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课时达标检测（十） 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π8，0B.⎝⎛⎭⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D.⎝⎛⎭⎫3π8，0答案：B2．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°答案：C3．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2] 答案：D4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D5．若函数y ＝f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 答案：A二、填空题6．设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是________．答案：547．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴是________． 答案：x ＝k π＋3π4，k ∈Z 8．函数y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间是________．答案：⎣⎡⎦⎤2π3＋4k π，8π3＋4k π，k ∈Z 三、解答题9．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．据题意：⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32 10．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0， 即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5.11．已知f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：∵π4≤x ≤3π4， ∴2π3≤2x ＋π6≤5π3， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤32. 假设存在这样的有理数a ，b ，则当a >0时，⎩⎨⎧ －3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3－5(不合题意，舍去)； 当a <0时，⎩⎨⎧ 2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.。
高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）一、A组1.函数y=|sin x｜的一个单调增区间是（）A.B。
C。
D.解析：画出y=|sin x｜的图象即可求解。
故选C。
答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cos（-π≤x≤π)的值域为（)A. B.［-1，1]C. D.解析：因为-π≤x≤π,所以—.所以—≤cos≤1，y=cos(-π≤x≤π）的值域为。
答案：C3。
函数f（x）=3sin在下列区间内递减的是(）A。
B.［—π,0]C。
D.解析：令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z,∴函数f（x)的递减区间为，k∈Z。
从而可判断，∴在x∈时,f（x)单调递减.答案:D4。
函数f（x）=2sin（ω〉0）的最小正周期为4π,当f（x)取得最小值时，x的取值集合为(）A.B.C.D。
解析:∵T==4π，∴ω=。
∴f（x)=2sin。
由x-=2kπ-（k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z).答案:A5.已知函数f（x）=sin，x∈R,下列结论错误的是（)A.函数f（x)的最小正周期为2πB.函数f（x)在区间上是增函数C。
精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π−x)都是减函数，则x的集合是A.B.C.D.2．函数的单调递增区间是A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z) 3．(2013·山东省实验中学检测)函数f(x)=sin2x-cos x的值域是A.[-1,1]B.[1,]C.[0,2]D.[-1,]精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧4．已知函数，的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是____.5．如果函数是定义在，上的奇函数，当时，函数的图像如图所示，那么不等式的解集是______．6．函数的值域是 .7．求函数的值域.8．已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)当时，求函数f(x)的最大值及最小值.能力提升1．函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围. 2．已知a＞0，函数，当时，−5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间.精心制作仅供参考唐玲出品1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二) 详细答案 【基础过关】1．A【解析】∵y ＝sin(π+x)＝−sinx ，∴其单调减区间为2,222k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ππππ，k ∈Z . ∵y ＝cos(2π−x)＝cosx ，∴其单调减区间为[2k π，2k π+π]，k ∈Z .∴y ＝sin(π+x)与y ＝cos(2π−x)都是减函数时的x 的集合为|222x k x k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭πππ+,k Z . 2．D3．D【解析】∵f (x )=y=sin 2x-cos x=1-cos 2x-cos x=-(cos x+ )2+ ,且cos x ∈[-1,1],∴y max =,y min =-1,故函数f (x )的值域为[-1,]. 4．,36k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦πππ-π，k ∈Z 【解析】()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，由题意知f(x)的周期为T ＝π，∴ω＝2.由222262k x k ≤+≤ππππ-π+，得36k x k ≤≤+πππ-π，k ∈Z . 5．， ， ，【解析】本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式.由图像可知：时， ；当 时， ．再由 是奇函数，知：当 时， ；当 时， ． 又∵当 ，或 时， ； 当时， ．∴当， ， ， 时，精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧6． 【解析】本题考查三角函数的值域问题.且 ，∴， . 7．解： ，令t=cosx ，则−1≤t≤1.故()224521y t t t =-+=-+，当t=−1时，函数取最大值，为10，当t=1时，函数取最小值，为2.所以函数的值域为[2，10].8．解：(1)()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2,ω=∴最小正周期2T ππω==. 由()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 解得()388k x kx k Z πππ-≤≤+∈， 故函数()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 有最大值2， 当244x ππ+=-，即4π=-时，()f x 有最小值−1. 【能力提升】1．令y=f(x),t=sin x,t ∈[-1,1],则y=-t 2+t+a=-(t- )2+a+ ,当t= 时,y 有最大值a+ ,当t=-1时,y 有最小值a-2.故函数的值域为[a-2,a+ ],从而 ,解得3≤a≤4. 2．解：∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， . ∴ｆ(x)∈[b,3a +b]，又∵−5≤f(x)≤1，∴可得b=−5，3a +b=l ，∴a =2，b=−5.精心制作仅供参考唐玲出品(2)由(1)知a =2，b=−5，∴()4sin 216f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， ∴7421421266()g x f x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又由lgg(x)＞0得g(x)＞l ，∴42116sin x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭， ∴1262sin x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴5222666k x k πππππ+<+<+，k ∈Z . 由()222662k x k k Z πππππ+<+≤+∈，得g(x)的单调增区间为(),6k k k Z πππ+∈； 由5222266k x k πππππ+≤+<+，得g(x)的单调减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。
正弦函数、余弦函数的性质(2)——基础巩固类——一、选择题1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 2．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－4π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋8π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z ) 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )5．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( ) A ．cos 32>sin 110>－cos 74 B ．cos 32>－cos 74>sin 110 C ．cos 32<sin 110<－cos 74 D ．－cos 74<cos 32>sin 1106．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π6]上是增函数”的一个函数为( )A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝cos(2x －π6) D ．y ＝sin(2x －π6)二、填空题7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域8．函数值sin 35π，sin 45π，sin 910π从大到小的顺序为 (用“>”连接)．9．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为三、解答题10．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．11．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b .(1)若a >0，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1,3]，求a ，b 的值．——能力提升类——12．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若函数f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为π.15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．正弦函数、余弦函数的性质(2)(答案解析)——基础巩固类——一、选择题1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 解析：令x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，4π3＋2k π，k ∈Z .k ＝0时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3是函数f (x )的一个单调递减区间，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.故选D.2．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－4π3，2k π＋2π3(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋8π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z ) 解析：函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间即为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递减区间．由2k π≤x 2－π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得2π3＋4k π≤x ≤8π3＋4k π，k ∈Z .故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( B )A.⎝⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3， ∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，故选B. 4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π， ∴ω＝2.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .5．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( C ) A ．cos 32>sin 110>－cos 74 B ．cos 32>－cos 74>sin 110 C ．cos 32<sin 110<－cos 74 D ．－cos 74<cos 32>sin 110解析：sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110，－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74.∵π>32>π2－110>π－74>0，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos 32<cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－110<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，即cos 32<sin 110<－cos 74.6．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π6]上是增函数”的一个函数为( D )A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝cos(2x ＋π3) C ．y ＝cos(2x －π6) D ．y ＝sin(2x －π6)解析：本题采用验证法，由周期性排除A ，由对称性排除C ，由单调性可排除B.二、填空题7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1.解析：y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上为减函数，当x ＝－π3时，y ＝sin x 有最小值－32，当x ＝π2时，y ＝sin x 有最大值1，所以值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.8．函数值sin 35π，sin 45π，sin 910π从大到小的顺序为sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10(用“>”连接)．解析：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10.9．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π.解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π.三、解答题10．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值． 解：(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )， 解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 11．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b . (1)若a >0，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1,3]，求a ，b 的值．解：(1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，由f (x )的值域为[1,3]知，⎩⎨⎧a >0，a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1；或⎩⎨⎧a <0，a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5. 综上得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.——能力提升类——12．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z 知f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω＋π4ω，2k πω＋5π4ω(k ∈Z )，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，所以2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π(k ∈Z )，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，又ω>0，所以取k ＝0，得12≤ω≤54.13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若函数f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ω·π2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，2πω＝6π，又－π<φ≤π，解得ω＝13，φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3.令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z .取k ＝0得－5π2≤x ≤π2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2为f (x )的一个单调递增区间，因为[－2π，0]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2，所以f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为π. 解析：如图，函数f (x )的图象经过三个实心点(或空心点)，结合f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调，因此x ＝2π6是函数f (x )的零点．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π6，因此x ＝7π12是函数f (x )的对称轴．于是T 4＝7π12－2π6，从而T ＝π.15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )，11 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，代入f (x )并由f (π2)>f (π)检验得，φ的取值为－5π6， 所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二课时【学习目标、细解考纲】1.掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性.2.会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.【知识梳理、双基再现】1.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.2.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.3.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.4.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.5.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.6.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1. 【小试身手、轻松过关】1.函数y=sinx+1的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x的最大值是21π54sin π45cos -π532sin π125cos )4sin(x y π+=,2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ43,4z)(k k 223.k 22∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππz)(k 43k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ_____________,最小值是_________________.2.y=-3cos2x 取得最大值时的自变量x 的集合是_________________.3.函数y=sinx,y ≥ 时自变量x 的集合是_________________.4.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________ ， ， ，【基础训练、锋芒初显】1.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、基础过关1． 若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2． 若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 3． 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4． 下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°5． 下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)6． 函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．7． 求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2 8． 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cos bx 的最值和最小正周期．二、能力提升9． 函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 11．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值． 三、探究与拓展13．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．答案1． C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.[0,2] 7． (1)[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )(2)⎣⎡⎭⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z ) 8．y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π 9．C 10.sin 3<sin 1<sin 2 11．解 f (x )＝cos 2x ＋sin x＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5， 解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.13．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π， 即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 得k ＝1.∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数， ∴a 的最大值是22π3.。
2019-2020年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）学业达标测试 新人教A 版必修41．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数解析：结合函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象可知C 正确． 答案：C2．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝____________时，函数取得最大值． 解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，所以x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，函数取得最大值． 答案：2k π＋π(k ∈Z )3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调减区间是___________________________________．解析：由2k π≤x －π3≤2k π＋π可得：2k π＋π3≤x ≤2k π＋π＋π3，即2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋4π3(k ∈Z ) 4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是______________________________________ (用“＞”连接)．解析：∵0＜1＜2＜3＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos 1＞cos 2＞cos 3. 答案：cos 1＞cos 2＞cos 35．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值： (1)y ＝3－2sin x ； (2)y ＝cos x3. 解：(1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 有最大值5，相应x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z. 当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 有最小值1，相应x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z. (2)令z ＝x3，∵－1≤cos z ≤1，∴y ＝cos x3的最大值为1，最小值为－1.又使y ＝cos z 取得最大值的z 的集合为{z |z ＝2k π，k ∈Z }，由x3＝2k π，得x ＝6k π，k ∈Z .∴使函数y ＝cos x3取得最大值的x 的集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }．同理可得使函数y ＝cos x3取得最小值的x 的集合为{x |x ＝(6k ＋3)π，k ∈Z }.2019-2020年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）学案新人教A 版必修41．理解正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性和单调性． 2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的奇偶性和单调性． 3．利用正弦函数、余弦函数的单调性与函数有关的单调区间．基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数都是周期函数，而对于周期函数，只要弄清楚它在一个周期内所具有的性质，便可以推知它在整个定义域内所具有的性质．对于正弦函数，结合图象知函数在区间⎣⎢⎡⎥⎤－π2，π2上单调递增，在区间⎢⎡⎥⎤π2，3π2上单调递减．根据函数的周期性，我们推知：正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.同样，余弦函数在每个闭区间[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其函数值从－1增加到＋1；在每个闭区间[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上都是减函数，其函数值从＋1减小到－1.思考应用1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦函数在第一象限是增函数”？ 解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．二、正弦函数和余弦函数的奇偶性根据诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．从正弦函数y ＝sin x 的图象和余弦函数y ＝cos x 的图象上也可以看出，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．思考应用2．从正、余弦函数的奇偶性可知正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称，正、余弦函数的图象还有其他对称轴和对称中心吗？解析： 利用正、余弦函数的周期性和图象可以得出：正弦曲线y ＝sin x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是(k π，0)(k ∈Z)，对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)；同理，余弦曲线y ＝cos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形．其对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．自测自评1．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：①③④是奇函数．故选C.2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是(B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，π 解析：由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知：y ＝sin x 和y ＝cos x 的均为减函数的一个区间是：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故选B. 3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π4．有下列命题：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z)；②y ＝sin x 在第一象限是增函数；③y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数．其中正确的个数是(A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①y ＝sin x 的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．②函数的单调性是相对于某一区间来说的，与所在象限无关．③正确．故选A.基础提升 1．下列命题正确的是(D )A ．y ＝sin x 在[0，π]内是单调函数B ．在第二象限内，y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 也是减函数C ．y ＝cos x 的增区间是[0，π]D ．y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是 (D )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R)可以得到函数f (x )是偶函数，选择D.3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在下列区间是增函数的是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4C ．[－π，0]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 解析：由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4.令k ＝0，得B 正确．故选B.4．若α，β均为锐角且α＋β＞π2，则(A )A ．sin α＞cos βB ．sin α＜cos βC ．sin α＞sin βD ．cos α＜cos β解析：由题意0＜π2－β＜α＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＜sin α，即sin α＞cos β.故选A.5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )(A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，并将图象在x 轴下方的部分对折到x 轴的上方，观察图象可知答案选A.6．判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2的奇偶性．分析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．解析：∵x ∈R，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，∴f (－x )＝－cos 3（－x ）4＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2为偶函数． 巩固提高7．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最小值是(D )A ．－13 B.154C ．0D ．－14解析：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3， ∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.当cos x ＝12时，y 取到最小值为y min ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－232－13＝－14.故选D.8．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时，满足已知．故a 的取值范围是(－π，0]．答案：(－π，0]9．求函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的单调区间．解析：由2k π－π≤2x ＋π3≤2kx (k ∈Z)得k π－23x ≤x ≤k π－π6(k ∈Z)．∴函数的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z)． 由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)得∴函数的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．10．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx的最值和最小正周期．解析：当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得a ＝12，b ＝1.∴g (x )＝－2sin x ．此时函数g (x )的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 当b <0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得a ＝12，b ＝－1.∴g (x )＝2sin x ．此时函数g (x )最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.1．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，将ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应变量的取值范围．2．判断函数的奇偶性时，必须先检查函数的定义域是否关于原点的对称区间，再验证f (－x )与f (x )的关系，进而判断函数的奇偶性．。
课时达标检测（十） 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 答案：B2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°答案：C3．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案：D 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D5．若函数y ＝f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 答案：A二、填空题6．设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是________．答案：547．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴是________． 答案：x ＝k π＋3π4，k ∈Z 8．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋4k π，8π3＋4k π，k ∈Z 三、解答题9．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω (k ∈Z)． 据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 10．求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． 解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. ∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0， 即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5.11．已知f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：∵π4≤x ≤3π4， ∴2π3≤2x ＋π6≤5π3， ∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32. 假设存在这样的有理数a ，b ，则当a >0时，⎩⎨⎧ －3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3－5(不合题意，舍去)； 当a <0时，⎩⎨⎧ 2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.。
更上一层楼基础•巩固1.函数y=cos(x+4π),x ∈R 是( ) A.奇函数 B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数 思路分析：根据函数奇偶性的定义进行判断.函数的定义域为x ∈R ，由f(-x)=cos(-x+4π)≠f(x)，f(-x)=cos(-x+4π)≠-f(x)， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数.答案：C2.下列叙述正确的个数是( )①作正弦函数图象时，单位圆的半径长与x 轴的单位长度可以不一致 ②y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象关于点P(π，0)成中心对称图形 ③y=cosx ，x ∈［0，2π］的图象关于x=π成轴对称图形 ④正、余弦函数y=sinx 、y=cosx 的图象不超出y=-1与y=1所夹的区域A.1B.2C.3D.4思路分析：①错；②③④正确.答案：C3.方程cosx=lgx 的实根的个数是( )A.1B.2C.3D.无数个思路分析：在同一坐标系中作函数y=cosx 与y=lgx 的图象，如图，显然两图象有三个交点(x i ，y i )，其中x i ∈(1，10)(i=1，2，3)是方程cosx=lgx 的解.答案：C4.若0＜α＜β＜4π，a=2sin(α+4π)，b=2sin(β+4π)，则( ) A.a ＜b B.a ＞b C.ab ＜1 D.ab ＞2思路分析：∵0＜α＜β＜4π，∴2444ππβπαπ<+<+<. 而正弦函数y=sinx ，x ∈［0，2π］是增函数， ∴sin(α+4π)＜sin(β+4π). ∴2sin(α+4π)＜2sin(β+4π)，即a ＜b. 答案：A5.函数y=3cos(215+x π)-1的最小正周期是___________.思路分析：1052==ππT .答案：10综合•应用6.当22ππ≤≤-x 时，函数f(x)=2sin(x+3π)的最大值是____________，最小值是____________.思路分析：∵-2π≤x≤2π，∴6536πππ≤+≤-x .令u=x+3π，则656ππ≤≤-u . ∵21-≤sinu≤1，∴-1≤2sinu≤2，即-1≤2sin (x+3π)≤2，即该函数的最大值与最小值分别是2、-1. 答案：2 -17.求函数1)42sin(2--=πx y 的定义域. 解：要使函数有意义，只需2sin(2x-4π)-1≥0，即sin(2x-4π)≥22. 令u=2x-4π，如图，作y=sinu 的图象.在区间［0，2π］上适合条件的u 的范围是［4π，43π］，扩展到整个定义域上，得4π+2kπ≤2x -4π≤43π+2kπ，k ∈Z .化简得4π+kπ≤x≤2π+kπ，k ∈Z ，即该函数的定义域是［4π+kπ，2π+kπ］，k ∈Z.回顾•展望8.求函数y=sin 2x-8sinx+15的最值.解：y=(sinx-4)2-1，∵x ∈R ，∴-1≤sinx≤1.于是问题就变成了求闭区间［-1，1］上二次函数的最大值与最小值问题了. 显然，当sinx=-1时，y max =(-1-4)2-1=24；当sinx=1时，y min =(1-4)2-1=8.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定[答案] D3．函数y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3的最大值是( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 [答案] C[解析] 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.[答案] 34[解析] ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )． 整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )． 所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )． 二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π [答案] C[解析] 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间．9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 [答案] B[解析] 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋asin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． [答案] sin 3<sin 1<sin 2 [解析] ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b ∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ， ∴{b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π； 当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π. 12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的[解析]式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π)故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1.∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
