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信号与系统考研练习题第一章习题1—1 画出下列各函数的波形图。
（1）（2）（3）（4）1—2 写出图1各波形的数学表达式图1(1) (2)(3) 全波余弦整流(4) 函数1—3 求下列函数的值。
（1）（2）（3）（4）（5）1—4 已知，求，。
1—5 设，分别是连续信号的偶分量和奇分量，试证明1—6 若记，分别是因果信号的奇分量和偶分量，试证明，1—7 已知信号的波形如图2所示，试画出下列函数的波形。
（1）（2）图 21—8 以知的波形如图3所示,试画出的波形.图31—9 求下列各函数式的卷积积分。
（1），（2），1—10 已知试画出的波形并求。
1—11 给定某线性非时变连续系统，有非零初始状态。
已知当激励为时，系统的响应为；若初始状态保持不变，激励为时，系统的响应则为。
试求当初始状态保持不变，而激励为时的系统响应。
1—12 设和分别为各系统的激励和响应，试根据下列的输入—输出关系，确定下列各系统是否具有线性和时不变的性质。
⑴⑵（3）（4）第一章习题答案1-1 （1）（2）（3）（4）1-2（1）、（2）、或或（3）（4） =1-3（1）（2）（3）（4）（5）01-4 ，1-7 （1）（2）1-81-9（1）（2）1-101-111-12 （1）非线性、时不变系统。
（2）线性、时变系统。
（3）线性、时不变系统。
（4）线性、时变系统。
第二章习题2—1 已知给定系统的齐次方程是，分别对以下几种初始状态求解系统的零输入响应。
1），2），3），2—2 已知系统的微分方程是当激励信号时，系统的全响应是，试确定系统的零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
2—3 已知系统的微分方程是该系统的初始状态为零。
1）若激励，求响应。
2）若在时再加入激励信号，使得时，，求系数。
2—4 如图1所示电路，已知，若以电流为输出，试求冲激响应和阶跃响应。
图12—5 某线性非时变系统的冲激响应如图2所示，试求当输入为下列函数时零状态响应，并画出波形图。
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221⎪⎭⎫⎝⎛。
解由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号；（3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。
由于5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。
（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。
1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：图1-1所示信号分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问）（1）；)sin(t e at ω-（2）；nT e -（3）；)cos(πn （4）；为任意值）（00)sin(ωωn （5）。
221⎪⎭⎫ ⎝⎛解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）；)30t (cos )10t (cos -（2）；j10t e （3）；2)]8t (5sin [（4）。
[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期；对于分量cos (30t )，其周期。
由于5T 1π=15T 2π=为的最小公倍数，所以此信号的周期。
5π21T T 、5T π=（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+=即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期。
5102T ππ==（3）因为[])16t (cos 2252252)16t (cos 125)8t (5sin 2-=-⨯=所以周期。
第一章 习题1．判断信号是否为周期的(1)(1)()cos(1)sin(1),2j t x t e t j t T πππ-==-+-=(2)11(){(cos 2)()}[(cos 2)()(cos 2)()]cos 2,122x t t u t t u t t u t t T ευππππ==+-== (3)1(){cos(2)()}[cos(2)()cos(2)()]4244x t t u t t u t t u t πππευπππ=+=++--, 非周期信号2．绘制下列信号波形(1)2()(36)()t t x t e e u t --=+ (2)()cos(10)[(1)(2)]t x t e t u t u t π-=---3．绘制波形(1)0(23)()tn e t n δ∞-=-⋅-∑ (2)1()(2)n t u t u t n∞=⋅--∑4．画出下列信号波形的偶分量和奇分量解：根据()()()2e f t f t f t +-=和()()()2o f t f t f t --=求解，求解过程中注意()f t 与()f t -的定义域。
-25．已知()f t 和()h t 的信号波形，求下列信号波形(1)()()f t h t - (3)(2)(4)2t f h t -+解：由()f t 求解()f at b +的过程中，简单方法是根据()f t 的关键点坐标0t ，按照公式01t at b =+求解()f at b +的关键点坐标1t ，然后画图。
6．已知()f t 的信号波形，求下列信号波形(1)(4)f t + (3)2(12)f t -解：解法同第5题，只不过注意信号的幅度变化。
7．已知(2)3t f -的波形，求()f t 的波形图解：由()f at b +求解()f t 的过程中，简单方法是根据()f at b +的关键点坐标1t ，按照公式01t at b =+求解()f t 的关键点坐标0t ，然后画图。
第1章 习题答案1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）；④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。
1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。
解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。
① 线性1）可加性不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而|f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)|即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。
由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。
2）齐次性由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数）即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。
② 时不变特性由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|，即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。
依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。
信号与系统第三版郑君里课后习题答案第一章习题参考解1，判刑下列信号的类型解：()sin [()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。
()()tt y t x ed τττ--∞=⎰连续、模拟、非周期、功率型信号。
()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。
()()y n n x n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。
1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。
(1) 0()s in ()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型(2) ()t x t A e -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。
(3) ()c o s 0tx t ett -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型(5) 4()(),0.5k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型(6) 0().j kx k eΩ= 离散、模拟、周期、功率型()s i n [()];()()()(2);()()tt y t A x t y t x ed y n x n y n n x n τττ--∞====⎰1－6题，1－4图。
t=-pi:1/200:pi;y1=1.5*sin(2*t+pi/6);subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),gridy2=2*exp(-t);subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),gridt1=0:1/200:2*pi;y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1);subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2;y4=2*t2+1;subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid习题1－6 5－6题n=0:pi/10:2*pi;y=(0.8).^n;subplot(4,1,1),stem(n,y,'fill'),title('(0.8)^n'),gridn1=0:pi/24:2*pi;y1=cos(2*pi*n1);y2=sin(2*pi*n1);subplot(4,1,2),stem3(y1,y2,n1,'fill'),title('exp[2*pi*n1'),gridsubplot(4,1,4),stem(n1,sin(2*pi*n1),'fill'),title('sin2pin1'),gridsubplot(4,1,3),stem(n1,cos(2*pi*n1),'fill'),title('cos2pin1)'),grid1－8，判断下列系统的类型。
第一章 习题1．判断信号是否为周期的(1)(1)()cos(1)sin(1),2j t x t e t j t T πππ-==-+-=(2)11(){(cos 2)()}[(cos 2)()(cos 2)()]cos 2,122x t t u t t u t t u t t T ευππππ==+-== (3)1(){cos(2)()}[cos(2)()cos(2)()]4244x t t u t t u t t u t πππευπππ=+=++--, 非周期信号2．绘制下列信号波形(1)2()(36)()t t x t e e u t --=+ (2)()cos(10)[(1)(2)]t x t e t u t u t π-=---3．绘制波形(1)0(23)()tn e t n δ∞-=-⋅-∑ (2)1()(2)n t u t u t n∞=⋅--∑4．画出下列信号波形的偶分量和奇分量解：根据()()()2e f t f t f t +-=和()()()2o f t f t f t --=求解，求解过程中注意()f t 与()f t -的定义域。
-25．已知()f t 和()h t 的信号波形，求下列信号波形(1)()()f t h t - (3)(2)(4)2t f h t -+解：由()f t 求解()f at b +的过程中，简单方法是根据()f t 的关键点坐标0t ，按照公式01t at b =+求解()f at b +的关键点坐标1t ，然后画图。
6．已知()f t 的信号波形，求下列信号波形(1)(4)f t + (3)2(12)f t -解：解法同第5题，只不过注意信号的幅度变化。
7．已知(2)3t f -的波形，求()f t 的波形图解：由()f at b +求解()f t 的过程中，简单方法是根据()f at b +的关键点坐标1t ，按照公式01t at b =+求解()f t 的关键点坐标0t ，然后画图。
并注意()t δ函数的幅度变化，按照该方法求解()f t 时，()t δ函数的幅度将倍乘a 。
8．求下列波形的直流分量和奇分量(1)()sin()f t t ω= 000112()sin()cos()|T D f f t t dt t T ππωωωωωπππ===-=⎰⎰，奇分量0o f =(3)()cos()sin())4f t t t t πωωω=+=+ 0D f =,1[()()]sin()2o f f t f t t ω=--=9．求下列函数积分(1)00()()()f t t t f t δ∞-∞-=-⎰ (3) 00()()()f t t t f t δ∞-∞-=⎰(5)2()(2)2t e t t e δ∞--∞++=-⎰(7)0[2sin 2]()(2sin 2)|4t t t t t t δ∞=-∞''+=-+=-⎰10．求下列函数值 (1)112111(9)[(3)(3)]03t dt t t dt δδδ---=++-=⎰⎰ (2)222(43)t t dt δ--+⎰, 令2()430f t t t =-+=得到121,3t t ==，2()(43)24f t t t t ''-+=-(1)2,(3)2f f ''=-=2222222111(43)(3)(1)222t t dt t dt t dt δδδ----+=-+-=⎰⎰⎰（选讲） (3)12[(1)(1)(3)]1t e t t t dt e δδ∞---+-++=+⎰ (5)1102[(1)(1)][()]|2t t t e t t dt e e e δδ∞----=-''-+-=+-=⎰ 11．试求下列函数值 (1)22220[()]2()()|()2()tt t t t d e u t e u t e t t e u t dtδδ----==-+=- (2)22()()t e t e t δδ-+= (5)4(1)(1)2(1)u t t t δδ--=-(6)2()2()t t t δδ''=（选讲）在此处证明以下公式()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''=-+，证明如下00()()()()()()()()()|()[()()]0()()()()()()[()()]|[()()]|(0)(0)2(0)(0)(0)(0)[(0)t t f t t t dt f t t d t f t t t t f t t dt t f t t dt t f t t dtf t t f t t f f f f δϕϕδϕδδϕδϕδϕϕϕϕϕϕ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞=='''='''=-''''=--''''=+''''''=++''=⎰⎰⎰⎰⎰()2(0)()(0)()]()t f t f t t dtδδδϕ∞-∞''''-+⎰()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''∴=-+12．已知()f t 的波形图，求(32)f t --的波形图解：根据()f t 的关键点坐标0t ，按照0132t t =--公式求出(32)f t --的关键点坐标，然后画图。
13．已知()f t 的波形图，画出()()df t y t dt=的波形图解：()f t 可表示为()(1)()[()(2)]f t u t u t t u t u t =+-+--所以()()(1)()2(2)()(2)df t y t t t t u t u t dtδδδ==+---+-- 16．求广义导数(1)()(1)(1)()(2)x t t u t tu t u t =+----所以()(1)2(1)()(2)[()(1)]2(1)(2)dx t u t t u t t dt u t u t t t δδδδ=-+----=---+---(2)(24)(4)()()[1](2)(4)t t t t x t e u t e e u t e u t ----=+----(4)(4)()[](2)(4)t t t t e u t e e u t e u t ----=+----所以(4)22(4)(4)()()()[](2)[](2)(4)(4)[()(2)][(2)(4)]()(4)t t t t t t dx t e u t t e e u t e e t e u t t dt e u t u t e u t u t t t δδδδδ--------=-+++-+------=---+---+--17．判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的 (1)()()de t r t dt=，线性、时不变、因果 (3)()sin[()]()r t e t u t =，非线性、时变、因果 (5)()(2)r t e t=，线性、时变、非因果(7)()()tr t e d ττ-∞=⎰，线性、时不变、因果时不变性：00()()t t r t t e d ττ--∞-=⎰，当10()()e t e t t =-作用于系统时0011000()()()()()()t tt t t t r t e d e t d T t e T dT e d r t t τττττττ---∞-∞-∞-∞==-=-==-⎰⎰⎰⎰令，为时不变 18．是否为可逆系统(1)()(5)r t e t =-，可逆，()(5)r t e t =+ (2)()()tr t e d ττ-∞=⎰，可逆 ，()()de t r t dt =但()()de t r t dt=不可逆，说明逆系统并不一定可逆。
19．判定系统的特性 系统微分方程为()()()sin ()f dv t Mk v t x t Mg t dtθ+=- (1) 如果()0t θ=，方程为线性常系数微分方程，系统为线性、时不变系统 (2) 如果()0t θ≠，方程为非线性常系数微分方程，系统为非线性、时变系统 (3) 如果()x t 为第一输入，sin ()t θ为第二输入，系统为线性、时不变系统 20．判定系统特性（线性、时变、因果、稳定性） (2)()[()]()r t T e t te t ==，线性、时变、因果、非稳定 (4)()[()](3)r t T e t e t ==，线性、时变、非因果、稳定(6)(),1()[()]0,0(),1e t t r t T e t t e t t ≥⎧⎪===⎨⎪≤-⎩，线性、时变、因果、稳定 (8)()[()]{()}r t T e t e t ευ==可以表示成 ()()()2e t e t r t +-=，线性、时变、非因果、稳定 21．写出微分方程 (a) (c)(c)()()()()()r t r t r t e t e t ''''''++=- ()3()2()5()4()r t r t r t e t e t ''''++=+22．画出下列微分方程的系统框图(2)322322()3()3()()()2()d d d d dr t r t r t r t e t e t dt dt dt dt dt+++=+23．某一线性时不变系统有下面的输入/输出关系：如果()()e t u t =，那么2()(1)()tr t e u t -=-；如果()cos(2)e t t =，那么()0.707cos(2/4)r t t π=-。
对下列输入，求出()r t 。
(1)()2()2(1)e t u t u t =--，22(1)()2(1)()2(1)(1)t t r t e u t e u t ---=---- (3)()5()10cos(2)e t u t t =-，2()5(1)()7.07cos(2/4)t r t e u t t π-=-+-24．若一线性时不变系统对图(a)所示的1()e t 的响应是图(b)所示的信号1()r t 。
图1-46(2)对(d)图所示输入3()e t 的响应。
