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《信号与系统》作业参考解答第一章（P16-17）1-3 设)(1t f 和)(2t f 是基本周期分别为1T 和2T 的周期信号。
证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为T nT mT ==21 （m ,n 为正整数） 解：由题知)()(111t f mT t f =+ )()(222t f mT t f =+要使)()()()()(2121t f t f T t f T t f T t f +=+++=+则必须有21nT mT T == （m ,n 为正整数） 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。
若是，确定其周期。
（1）t t t f πsin 62sin 3)(+= （2）2)sin ()(t a t f =（8）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 28sin 4cos )(k k k k f πππ解：（1）因为t 2sin 的周期为π，而t πsin 的周期为2。
显然，使方程n m 2=π （m ,n 为正整数）成立的正整数m ,n 是不存在的，所以信号t t t f πsin 62sin 3)(+=是非周期信号。
（2）因为)2cos 1()sin ()(22t a t a t f -==所以信号2)sin ()(t a t f =是周期π=T 的周期信号。
（8）由于)4/cos(k π的周期为8)4//(21==ππN ，)8/sin(k π的周期为16)8//(22==ππN ，)2/cos(k π的周期为4)2//(23==ππN ，且有16412321=⨯=⨯=⨯N N N所以，该信号是周期16=N 的周期信号。
1-10 判断下列系统是否为线性时不变系统，为什么？其中)(t f 、][k f 为输入信号，)(t y 、][k y 为零状态响应。
（1）)()()(t f t g t y = （2）)()()(2t f t Kf t y += 解：（1）显然，该系统为线性系统。
信号与系统课后习题与解答第⼀章1-1 分别判断图1-1所⽰各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解信号分类如下：--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所⽰信号分别为（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所⽰问）（1）)sin(t e at ω-；（2）nT e -；（3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221。
解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）)30t (cos )10t (cos -；（2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。
解判断⼀个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为⼀个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为⾮周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。
由于5π为21T T 、的最⼩公倍数，所以此信号的周期5T π=。
（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。
（3）因为[])16t (cos 2252252)16t (cos 125)8t (5sin 2-=-?=所以周期8162T ππ==。
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图。
(1) ||3)(t et x -=(2) ()⎪⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n (3) )(2sin )(t t tx επ= (5) )]4()([4cos )(--=-t t t et x tεεπ(7) t t t t x 2cos)]2()([)(πδδ--=(9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε)5- (11) )]1()1([)(--+=t t dtdt x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ⎰∞--=td t x ττδ)1()((14) )()(n n n x --=ε1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。
(1) ||3)(t et x -=解 能量有限信号。
信号能量为：(2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n解 能量有限信号。
信号能量为：(3) t t x π2sin )(=解 功率有限信号。
周期信号在(∞-∞,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，t π2sin 的周期为1。
(4) n n x 4sin)(π=解 功率有限信号。
n 4sin π是周期序列，周期为8。
(5) )(2sin )(t t t x επ=解 功率有限信号。
由题(3)知，在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2，因此)(2sin t t επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。
如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。
(6) )(4sin)(n n n x επ=解 功率有限信号。
由题(4)知，在),(∞-∞区间上n 4sin π的功率为1/2，因此)(4sinn n επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。
如果考察)(4sinn n επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。
1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：图1-1所示信号分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问）（1）；)sin(t e at ω-（2）；nT e -（3）；)cos(πn （4）；为任意值）（00)sin(ωωn （5）。
221⎪⎭⎫ ⎝⎛解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）；)30t (cos )10t (cos -（2）；j10t e （3）；2)]8t (5sin [（4）。
[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期；对于分量cos (30t )，其周期。
由于5T 1π=15T 2π=为的最小公倍数，所以此信号的周期。
5π21T T 、5T π=（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+=即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期。
5102T ππ==（3）因为[])16t (cos 2252252)16t (cos 125)8t (5sin 2-=-⨯=所以周期。
信号与系统前三章习题答案信号与系统前三章习题答案第一章：信号与系统基础1.1 习题答案1. 信号是指随时间变化的物理量，可以用数学函数表示。
系统是指对输入信号进行处理或变换的过程或装置。
2. 信号可以分为连续时间信号和离散时间信号。
连续时间信号在每个时间点上都有定义，可以用连续函数表示；离散时间信号只在某些离散的时间点上有定义，可以用数列表示。
3. 周期信号是在一定时间间隔内重复的信号，非周期信号则不具有重复性。
周期信号可以用正弦函数或复指数函数表示。
4. 信号的能量是指信号在无穷远处的总能量，可以用积分的形式表示；信号的功率是指信号在某个时间段内的平均功率，可以用平均值的形式表示。
5. 系统的特性可以通过冲激响应和频率响应来描述。
冲激响应是指系统对单位冲激信号的响应，可以用单位冲激函数表示；频率响应是指系统对不同频率信号的响应，可以用频率函数表示。
1.2 习题答案1. 线性系统具有叠加性和齐次性。
叠加性是指系统对两个输入信号的响应等于两个输入信号分别经过系统的响应的叠加；齐次性是指系统对输入信号的线性组合的响应等于输入信号分别经过系统的响应的线性组合。
2. 时不变性是指系统的特性不随时间的变化而变化。
即如果输入信号发生时间平移，系统的响应也会相应地发生时间平移。
3. 因果性是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号。
即系统的响应不会提前预知未来的输入信号。
4. 稳定性是指系统对有界输入信号产生有界输出信号。
即输入信号有限，输出信号也有限。
5. 可逆性是指系统的输出可以唯一确定输入。
即系统的响应函数是可逆的。
第二章：连续时间信号与系统2.1 习题答案1. 连续时间信号的频谱是指信号在频域上的表示，可以通过傅里叶变换得到。
频谱表示了信号在不同频率上的能量分布情况。
2. 系统的冲激响应可以通过输入信号和输出信号的傅里叶变换来求得。
通过傅里叶变换，可以将系统的时域特性转换为频域特性。
3. 傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性和共轭对称性。
第1章 习题答案1－1 题1－1图所示信号中,哪些是连续信号哪些是离散信号哪些是周期信号哪些是非周期信号哪些是有始信号解： ① 连续信号：图a 、c 、d ； ② 离散信号：图b ； ③ 周期信号：图d ；④ 非周期信号：图a 、b 、c ； ⑤有始信号：图a 、b 、c;1－2 已知某系统的输入ft 与输出yt 的关系为yt=|ft|,试判定该系统是否为线性时不变系统; 解： 设T 为此系统的运算子,由已知条件可知： yt=Tft=|ft|,以下分别判定此系统的线性和时不变性; ① 线性 1可加性不失一般性,设ft=f 1t+f 2t,则y 1t=Tf 1t=|f 1t|,y 2t=Tf 2t=|f 2t|,yt=Tft=Tf 1t+f 2t=|f 1t+f 2t|,而|f 1t|＋|f 2t|≠|f 1t+f 2t|即在f 1t →y 1t 、f 2t →y 2t 前提下,不存在f 1t ＋f 2t →y 1t ＋y 2t,因此系统不具备可加性; 由此,即足以判定此系统为一非线性系统,而不需在判定系统是否具备齐次性特性; 2齐次性由已知条件,yt=Tft=|ft|,则Taft=|aft|≠a|ft|=ayt 其中a 为任一常数即在ft →yt 前提下,不存在aft →ayt,此系统不具备齐次性,由此亦可判定此系统为一非线性系统;② 时不变特性由已知条件yt=Tft=|ft|,则yt-t 0=Tft-t 0=|ft-t 0|,即由ft →yt,可推出ft-t 0→yt-t 0,因此,此系统具备时不变特性; 依据上述①、②两点,可判定此系统为一非线性时不变系统; 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： 解：a ① 线性 1可加性由 ⎰+=tdx x f dtt df t y 0)()()(可得⎪⎩⎪⎨⎧→+=→+=⎰⎰tt t y t f dxx f dt t df t y t y t f dxx f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即则即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→,因此系统具备可加性; 2齐次性由)()(t y t f →即⎰+=tdx x f dtt df t y 0)()()(,设a 为任一常数,可得 即)()(t ay t af →,因此,此系统亦具备齐次性; 由上述1、2两点,可判定此系统为一线性系统;② 时不变性)()(t y t f → 具体表现为：⎰+=tdx x f dtt df t y 0)()()( 将方程中得ft 换成ft-t 0、yt 换成yt-t 0t 0为大于0的常数,即 ⎰-+-=-tdx t x f dtt t df t t y 0000)()()( 设τ=-0t x ,则τd dx =,因此⎰--+-=-0)()()(00t t t d f dt t t df t t y ττ也可写成⎰--+-=-0)()()(00t t t dx x f dtt t df t t y , 只有ft 在t=0时接入系统,才存在)()(00t t y t t f -→-,当ft 在t ≠0时接入系统, 不存在)()(00t t y t t f -→-,因此,此系统为一时变系统;依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统; b ① 线性 1可加性 在由)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 规定的)()(t y t f →对应关系的前提下,可得 即由)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋可推出→−−→−⎭⎬⎫→→,系统满足可加性;2齐次性 由)()(t y t f →,即)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y ,两边同时乘以常数a,有 即)()(t ay t af→,因此,系统具备齐次性;由1、2可判定此系统为一线性系统;② 时不变性分别将)()(00t t f t t y --和t 0为大于0的常数代入方程)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 左右两边,则左边＝)(3)(2)(00202t t y dt t t dy dtt t y d -+-+- 而 ，)()()(000t t y dt d t t y t t d d -=-- )()]()([)(022000t t y dtd t t y t t d d t t d d -=---所以,右边＝)(3)(2)(00202t t y dt t t dy dtt t y d -+-+-＝左边,故系统具备时不变特性; 依据上述①、②,可判定此系统为一线性时不变系统; c ① 线性 1可加性在由式)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++规定的)()(t y t f →对应关系的前提下,可得即在)()()()(2211t y t f t y t f →→、的前提下,有式)()()()(2121t y t y t f t f +→+存在,即系统满足可加性;2齐次性 由)()(t y t f →,即)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++,两边同时乘以常数a,有)]([3)]([2)]([2)]([)(3)(2)(2)(''''''t af t ay t ay t t ay t af t ay t aty t ay =++⇒=++,即有 )()(t ay t af→,因此,系统具备齐次性;依据上述1、2,此系统为一线性系统; ② 时不变性分别将)()(00t t f t t y --和 t 0为大于0的常数代入方程)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++ 左右两边,则因此,系统是时变的;依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统; d ① 线性 1可加性在由式)()()]([2't f t y t y =+规定的)()(t y t f →对应关系的前提下,可得而不是：)]()([)]()([})]'()({[2121221t f t f t y t y t y t y +=+++ 即在)()()()(2211t y t f t y t f →→、的前提下,并不存在)()()()(2121t y t y t f t f +→+因此系统不满足可加性,进而系统不具备线性特性;下面的齐次性判定过程可省略 2齐次性 由)()(t y t f →,即)()()]([2't f t y t y =+,两边同时乘以常数a,有)()()]([2't af t ay t y a =+,即式)]([)]([})]({[2't af t ay t ay =+不成立,不存在)()(t ay t af →因此,系统也不具备齐次性;单独此结论,也可判定此系统为一非线性系统; ② 时不变性分别将)()(00t t f t t y --和 t 0为大于0的常数代入方程)()()]([2't f t y t y =+ 左右两边,则即以式)()()]([2't f t y t y =+规定的)()(t y t f →关系为前提,存在)()(00t t y t t f -→-因此,系统是非时变的;依据上述①、②,可判定此系统为一线性时不变系统; 1－4 试证明方程)()()('t f t ay t y =+所描述的系统为线性系统;提示：根据线性的定义,证明满足可加性和齐次性; 证明：1证明齐次性2证明可加性由以上1、2,可知系统是线性的;1－5 试证明题1－4的系统满足时不变性;提示：将方程中的t 换为t-t 0,导出ft-t 0与yt-t 0对应; 证明：分别将)()(00t t f t t y --和 t 0为大于0的常数代入方程)()()('t f t ay t y =+ 左右两边,则即以式)()()('t f t ay t y =+规定的)()(t y t f →关系为前提,存在)()(00t t y t t f -→-因此,系统满足时不变性;1－6 试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性;提示：利用时不变性和微分的定义推导; 证明：设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为)()(t y t f →,则由线性可加性可得)()()()(t t y t y t t f t f ∆--→∆--因此tt t y t y t t t f t f ∆∆--→∆∆--)()()()(所以t t t y t y t t t f t f t t ∆∆--→∆∆--→∆→∆)()()()(lim lim即)()(''t y t f → 线性时不变系统具有微分特性;1－7 若有线性时不变系统的方程为)()()('t f t ay t y =+,若在非零ft 作用下其响应te t y --=1)(,试求方程)()(2)()(''t f t f t ay t y +=+的响应;解：已知tet y t f --=→1)()(,由线性关系的齐次性特性,有又由线性系统的微分特性,有 再由线性关系的可加性特性,可得。
