信号与系统课后习题答案—第章

信号与线性系统课后答案第一章 信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fεt=(sin)(t （5）)tf=r(sin)(t（7）)tf kε(k=(2)（10）)f kεk-=(k+]()1(1[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

信号与系统课后习题与解答第⼀章1-1 分别判断图1-1所⽰各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解信号分类如下：--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所⽰信号分别为（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。

1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所⽰问）（1）)sin(t e at ω-；（2）nT e -；（3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221。

解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。

1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）)30t (cos )10t (cos -；（2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。

解判断⼀个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为⼀个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为⾮周期信号。

（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。

由于5π为21T T 、的最⼩公倍数，所以此信号的周期5T π=。

（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。

（3）因为[])16t (cos 2252252)16t (cos 125)8t (5sin 2-=-?=所以周期8162T ππ==。

习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。

因此，公共周期3110==f T s 。

(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。

因此，公共周期5110==f T s 。

(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。

所以是非周期的。

(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。

因此，公共周期π==01f T s 。

1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。

显然是功率信号。

t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。

显然是能量信号。

3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。

1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。

Chapter 1 Answers1.6 (a).NoBecause when t<0, )(1t x =0.(b).NoBecause only if n=0, ][2n x has valuable.(c).Yes Because ∑∞-∞=--+--+=+k k m n k m n m n x ]}414[]44[{]4[δδ ∑∞-∞=------=k m k n m k n )]}(41[)](4[{δδ ∑∞-∞=----=k k n k n ]}41[]4[{δδ N=4.1.9 (a). T=π/5Because 0w =10, T=2π/10=π/5.(b). Not periodic.Because jt t e e t x --=)(2, while t e -is not periodic, )(2t x is not periodic.(c). N=2Because 0w =7π, N=(2π/0w )*m, and m=7.(d). N=10Because n j j e e n x )5/3(10/343)(ππ=, that is 0w =3π/5, N=(2π/0w )*m, and m=3.(e). Not periodic. Because 0w =3/5, N=(2π/0w )*m=10πm/3 , it ’s not a rational number.1.14 A1=3, t1=0, A2=-3, t2=1 or -1dtt dx )( isSolution: x(t) isBecause ∑∞-∞=-=k k t t g )2()(δ, dt t dx )(=3g(t)-3g(t-1) or dtt dx )(=3g(t)-3g(t+1) 1.15. (a). y[n]=2x[n-2]+5x[n-3]+2x[n-4]Solution:]3[21]2[][222-+-=n x n x n y ]3[21]2[11-+-=n y n y ]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{1111-+-+-+-=n x n x n x n x ]4[2]3[5]2[2111-+-+-=n x n x n xThen, ]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y(b).No. For it ’s linearity.the relationship between ][1n y and ][2n x is the same in-out relationship with (a). you can have a try.1.16. (a). No.For example, when n=0, y[0]=x[0]x[-2]. So the system is memory. (b). y[n]=0.When the input is ][n A δ,then, ]2[][][2-=n n A n y δδ, so y[n]=0. (c). No.For example, when x[n]=0, y[n]=0; when x[n]=][n A δ, y[n]=0. So the system is not invertible.1.17. (a). No.For example, )0()(x y =-π. So it ’s not causal.(b). Yes.Because : ))(sin()(11t x t y = , ))(sin()(22t x t y =))(sin())(sin()()(2121t bx t ax t by t ay +=+1.21. Solution:We have known:(a).(b).(c).(d).1.22. Solution:We have known:(a).(b).(e).(g)1.23. Solution:For )]()([21)}({t x t x t x E v -+= )]()([21)}({t x t x t x O d --= then,(a).(b).(c).1.24.For: ])[][(21]}[{n x n x n x E v -+= ])[][(21]}[{n x n x n x O d --=then,(a).(b).1.25. (a). Periodic. T=π/2.Solution: T=2π/4=π/2.(b). Periodic. T=2.Solution: T=2π/π=2.(d). Periodic. T=0.5. Solution: )}()4{cos()(t u t E t x v π=)}())(4cos()()4{cos(21t u t t u t --+=ππ )}()(){4cos(21t u t u t -+=π )4cos(21t π= So, T=2π/4π=0.51.26. (a). Periodic. N=7Solution: N=m *7/62ππ=7, m=3.(b). Aperriodic.Solution: N=ππm m 16*8/12=, it ’s not rational number.(e). Periodic. N=16 Solution as follow:)62cos(2)8sin()4cos(2][ππππ+-+=n n n n x in this equation,)4cos(2n π, it ’s period is N=2π*m/(π/4)=8, m=1.)8sin(n π, it ’s period is N=2π*m/(π/8)=16, m=1.)62cos(2ππ+-n , it ’s period is N=2π*m/(π/2)=4, m=1. So, the fundamental period of ][n x is N=(8,16,4)=16.1.31. SolutionBecause )()1()(),2()()(113112t x t x t x t x t x t x ++=--=. According to LTI property ,)()1()(),2()()(113112t y t y t y t y t y t y ++=--=Extra problems:Sketch ⎰∞-=t dt t x t y )()(. 1. SupposeSolution:2. SupposeSketch:(1). )]1(2)1()3()[(--+++t t t t g δδδ(2). ∑∞-∞=-k k t t g )2()(δ(2).Chapter 22.1 Solution:Because x[n]=(1 2 0 –1)0, h[n]=(2 0 2)1-, then(a).So, ]4[2]2[2]1[2][4]1[2][1---+-+++=n n n n n n y δδδδδ (b). according to the property of convolutioin:]2[][12+=n y n y(c). ]2[][13+=n y n y][*][][n h n x n y =][][k n h k x k -=∑∞-∞= ∑∞-∞=-+--=k k k n u k u ]2[]2[)21(2 ][211)21()21(][)21(12)2(0222n u n u n n k k --==+-++=-∑ ][])21(1[21n u n +-= the figure of the y[n] is:2.5 Solution:We have known: ⎩⎨⎧≤≤=elsewhere n n x ....090....1][，，, ⎩⎨⎧≤≤=elsewhere N n n h ....00....1][，，,(9≤N ) Then, ]10[][][--=n u n u n x , ]1[][][---=N n u n u n h∑∞-∞=-==k k n u k h n h n x n y ][][][*][][ ∑∞-∞=-------=k k n u k n u N k u k u ])10[][])(1[][(So, y[4] ∑∞-∞=-------=k k u k u N k u k u ])6[]4[])(1[][( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=∑∑==4,...14, (140)0N N k Nk =5, then 4≥N And y[14] ∑∞-∞=------=k k u k u N k u k u ])4[]14[])(1[][(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=∑∑==14,...114, (1145)5N N k Nk =0, then 5<N ∴4=N2.7 Solution:[][][2]k y n x k g n k ∞=-∞=-∑（a ）[][1]x n n δ=-,[][][2][1][2][2]k k y n x k g n k k g n k g n δ∞∞=-∞=-∞=-=--=-∑∑(b) [][2]x n n δ=-,[][][2][2][2][4]k k y n x k g n k k g n k g n δ∞∞=-∞=-∞=-=--=-∑∑ (c) S is not LTI system..(d) [][]x n u n =,0[][][2][][2][2]k k k y n x k g n k u k g n k g n k ∞∞∞=-∞=-∞==-=-=-∑∑∑2.8 Solution: )]1(2)2([*)()(*)()(+++==t t t x t h t x t y δδ )1(2)2(+++=t x t xThen,That is, ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-+-=-<<-+=others t t t t t t t t y ,........010,....2201,.....41..,.........412,.....3)(2.10 Solution:(a). We know:Then,)()()(αδδ--='t t t h)]()([*)()(*)()(αδδ--='='t t t x t h t x t y )()(α--=t x t xthat is,So, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤-+≤≤≤≤=others t t t t t t y ,.....011,.....11,....0,.....)(ααααα(b). From the figure of )(t y ', only if 1=α, )(t y ' would contain merely therediscontinuities.2.11 Solution:(a). )(*)]5()3([)(*)()(3t u et u t u t h t x t y t----==⎰⎰∞∞---∞∞--------=ττττττττd t u e u d t u eu t t )()5()()3()(3)(3⎰⎰-------=tt t t d e t u d et u 5)(33)(3)5()3(ττττ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-=-<≤-=<=---------⎰⎰⎰5,.......353,.....313.........,.........0315395)(33)(3393)(3t e e d e d e t e d e t tt t t t t t t t ττττττ(b). )(*)]5()3([)(*)/)(()(3t u e t t t h dt t dx t g t ----==δδ)5()3()5(3)3(3---=----t u e t u e t t(c). It ’s obvious that dt t dy t g /)()(=.2.12 Solution∑∑∞-∞=-∞-∞=--=-=k tk tk t t u ek t t u e t y )]3(*)([)3(*)()(δδ∑∞-∞=---=k k t k t u e)3()3(Considering for 30<≤t ,we can obtain33311])3([)(---∞=-∞-∞=--==-=∑∑ee e ek t u e e t y tk k tk kt. (Because k must be negetive ,1)3(=-k t u for 30<≤t ).2.19 Solution:(a). We have known:][]1[21][n x n w n w +-=(1) ][]1[][n w n y n y βα+-=(2)from (1), 21)(1-=E EE Hfrom (2), αβ-=E EE H )(2then, 212212)21(1)21)(()()()(--++-=--==E E E E E E H E H E H ααβαβ∴][]2[2]1[)21(][n x n y n y n y βαα=-+-+-but, ][]1[43]2[81][n x n y n y n y +-+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=143)21(:....812βααor ∴⎪⎩⎪⎨⎧==141βα(b). from (a), we know )21)(41()()()(221--==E E E E H E H E H21241-+--=E EE E ∴][)41()21(2][n u n h n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2.20 (a). 1⎰⎰∞∞-∞∞-===1)0cos()cos()()cos()(0dt t t dt t t u δ(b). 0dt t t )3()2sin(5+⎰δπ has value only on 3-=t , but ]5,0[3∉-∴dt t t )3()2sin(5+⎰δπ=0(c). 0⎰⎰---=-641551)2cos()()2cos()1(dt t t u d u πτπττ⎰-'-=64)2cos()(dt t t πδ0|)2(s co ='=t t π 0|)2sin(20=-==t t ππ∑∞-∞=-==k t h kT t t h t x t y )(*)()(*)()(δ∑∞-∞=-=k kT t h )(∴2.27Solution()y A y t dt ∞-∞=⎰,()xA x t dt ∞-∞=⎰,()hA h t dt ∞-∞=⎰.()()*()()()y t x t h t x x t d τττ∞-∞==-⎰()()()()()()()()()(){()}y x hA y t dt x x t d dtx x t dtd x x t dtd x x d d x d x d A A ττττττττττξξτττξξ∞∞∞-∞-∞-∞∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞==-=-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(a) ()()(2)tt y t e x d τττ---∞=-⎰,Let ()()x t t δ=,then ()()y t h t =. So , 2()(2)(2)()(2)()(2)t t t t t h t ed e d e u t τξδττδξξ---------∞-∞=-==-⎰⎰(b) (2)()()*()[(1)(2)]*(2)t y t x t h t u t u t e u t --==+---(2)(2)(1)(2)(2)(2)t t u eu t d u e u t d ττττττττ∞∞-------∞-∞=+------⎰⎰22(2)(2)12(1)(4)t t t t u t e d u t e d ττττ---------=---⎰⎰(2)2(2)212(1)[]|(4)[]|t t t t u t e e u t ee ττ-------=--- (1)(4)[1](1)[1](4)t t e u t e u t ----=-----2.46 SolutionBecause)]1([2)1(]2[)(33-+-=--t u dtde t u e dt d t x dt d t t )1(2)(3)1(2)(333-+-=-+-=--t e t x t e t x t δδ.From LTI property ,we know)1(2)(3)(3-+-→-t h e t y t x dtdwhere )(t h is the impulse response of the system. So ,following equation can be derived.)()1(223t u e t h e t --=-Finally, )1(21)()1(23+=+-t u e e t h t 2.47 SoliutionAccording to the property of the linear time-invariant system: (a). )(2)(*)(2)(*)()(000t y t h t x t h t x t y ===(b). )(*)]2()([)(*)()(00t h t x t x t h t x t y --==)(*)2()(*)(0000t h t x t h t x --=012y(t)t4)2()(00--=t y t y(c). )1()1(*)(*)2()1(*)2()(*)()(00000-=+-=+-==t y t t h t x t h t x t h t x t y δ(d). The condition is not enough.(e). )(*)()(*)()(00t h t x t h t x t y --==τττd t h x )()(00+--=⎰∞∞-)()()(000t y dm m t h m x -=--=⎰∞∞-(f). )()]([)](*)([)(*)()(*)()(000000t y t y t h t x t h t x t h t x t y "=''='--'=-'-'==Extra problems:1. Solute h(t), h[n](1). )()(6)(5)(22t x t y t y dt dt y dtd =++ (2). ]1[][2]1[2]2[+=++++n x n y n y n y Solution:(1). Because 3121)3)(2(1651)(2+-++=++=++=P P P P P P P Hso )()()()3121()(32t u e e t P P t h t t ---=+-++=δ (2). Because )1)(1(1)1(22)(22i E i E EE E E E E E H -+++=++=++=iE Eii E E i -+-+++=1212 so []][)1()1(2][1212][n u i i i k i E E i i E E i n h n n +----=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++=δChapter 33.1 Solution:Fundamental period 8T =.02/8/4ωππ==00000000033113333()224434cos()8sin()44j kt j t j t j t j tk k j t j t j t j tx t a e a e a e a e a e e e je je t t ωωωωωωωωωππ∞----=-∞--==+++=++-=-∑3.2 Solution:for, 10=a , 4/2πj ea --= , 4/2πj ea = , 3/42πj ea --=, 3/42πj ea =n N jk k N k e a n x )/2(][π∑>=<=n j n j n j n j e a e a e a e a a )5/8(4)5/8(4)5/4(2)5/4(20ππππ----++++=n j j n j j n j j n j j e e e e e e e e )5/8(3/)5/8(3/)5/4(4/)5/4(4/221ππππππππ----++++= )358cos(4)454cos(21ππππ++++=n n)6558sin(4)4354sin(21ππππ++++=n n3.3 Solution: for the period of )32cos(t πis 3=T , the period of )35sin(t πis 6=Tso the period of )(t x is 6 , i.e. 3/6/20ππ==w)35sin(4)32cos(2)(t t t x ππ++= )5sin(4)2cos(21200t w t w ++=)(2)(21200005522t w j t w j t w j t w j e e j e e ----++=then, 20=a , 2122==-a a , j a 25=-, j a 25-=3.5 Solution:(1). Because )1()1()(112-+-=t x t x t x , then )(2t x has the same period as )(1t x ,that is 21T T T ==, 12w w =(2). 212111()((1)(1))jkw t jkw tk T T b x t e dt x t x t e dt T--==-+-⎰⎰111111(1)(1)jkw tjkw t T Tx t e dt x t e dt T T --=-+-⎰⎰ 111)(jkw k k jkw k jkw k e a a e a e a -----+=+=3.8 Solution:kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==while:)(t x is real and odd, then 00=a , k k a a --=2=T , then ππ==2/20wand0=k a for 1>kso kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==t jw t jw e a e a a 00110++=--)sin(2)(11t a e e a t j t j πππ=-=-for12)(2121212120220==++=-⎰a a a a dt t x∴2/21±=a ∴)sin(2)(t t x π±=3.13 Solution:Fundamental period 8T =.02/8/4ωππ==kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==∴t jkw k k e jkw H a t y 0)()(0∑∞-∞==0004, 0sin(4)()0, 0k k H jk k k ωωω=⎧==⎨≠⎩ ∴000()()4jkw t k k y t a H jkw e a ∞=-∞==∑Because 48004111()1(1)088T a x t dt dt dt T ==+-=⎰⎰⎰So ()0y t =.kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==∴t jkw k k e jkw H a t y 0)()(0∑∞-∞== ∴dt e jkw H t y Ta t jkw Tk 0)()(10-⎰=for⎪⎩⎪⎨⎧>≤=100, (0100),.......1)(w w jw H ∴if 0=k a , it needs 1000>kwthat is 12100,........1006/2>>k kππand k is integer, so 8>K3.22 Solution:021)(1110===⎰⎰-tdt dt t x Ta Tdt te dt te dt e t x T a t jk t jk t jkw T k ππ-----⎰⎰⎰===1122112121)(10t jk tde jk ππ--⎰-=1121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=----111121ππππjk e te jk t jk tjk ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=--ππππππjk e e e e jk jk jk jk jk )()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=ππππjk k k jk )sin(2)cos(221[]πππππk jk k j k jk k)1()cos()cos(221-==-=0............≠k404402()()1184416tj tj t t j tt j t H j h t edt ee dte edt e e dtj j ωωωωωωωω∞∞----∞-∞∞----∞===+=+=-++⎰⎰⎰⎰A periodic continous-signal has Fourier Series:. 0()j kt k k x t a e ω∞=-∞=∑T is the fundamental period of ()x t .02/T ωπ=The output of LTI system with inputed ()x t is 00()()jk t k k y t a H jk e ωω∞=-∞=∑Its coefficients of Fourier Series: 0()k k b a H jk ω= (a)()()n x t t n δ∞=-∞=-∑.T=1, 02ωπ=11k a T==. 01/221/21()()1jkw t jk tk T a x t e dt t e dt Tπδ---===⎰⎰ （Note ：If ()()n x t t nT δ∞=-∞=-∑,1k a T=） So 2282(2)16(2)4()k k b a H jk k k πππ===++ (b)()(1)()n n x t t n δ∞=-∞=--∑ .T=2, 0ωπ=,11k a T== 01/23/21/21/2111()()(1)(1)221[1(1)]2jkw t jk tjk t k T k a x t e dt t e dt t e dtT ππδδ----==+--=--⎰⎰⎰So 24[1(1)]()16()k k k b a H jk k ππ--==+, (c) T=1,02ωπ=01/421/4sin()12()jk t jk tk T k a x t e dt e dt Tk ωπππ---===⎰⎰28sin()2()[16(2)]k k k b a H jk k k ππππ==+ 3.35 Solution: T= /7π,02/14T ωπ==.kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==∴t jkw k k e jkw H a t y 0)()(0∑∞-∞==∴0()k k b a H jkw =for⎩⎨⎧≥=otherwise w jw H ,.......0250,.......1)(,01,. (17)()0,.......k H jkw otherwise ⎧≥⎪=⎨⎪⎩that is 0250250, (14)k k ω<<, and k is integer, so 18....17k or k <≤. Let ()()y t x t =,k k b a =, it needs 0=k a ,for 18....17k or k <≤.3.37 Solution:11()[]()212()21312411511cos 224nj j nj n n n n j nn j nn n j j j H e h n ee ee e e e ωωωωωωωωω∞∞--=-∞=-∞-∞--=-∞=-===+=+=---∑∑∑∑A periodic sequence has Fourier Series:2()[]jk n Nk k N x n a eπ=<>=∑.N is the fundamental period of []x n .The output of LTI system with inputed []x n is 22()[]()jk jk n NNk k N y n a H eeππ=<>=∑.Its coefficients of Fourier Series: 2()jk Nk k b a H eπ=(a)[][4]k x n n k δ∞=-∞=-∑.N=4, 14k a =.So 2314()524cos()44j k Nk k b a H e k ππ==-3165cos()42k b k π=-3.40 Solution: According to the property of fourier series: (a). )2cos(2)cos(20000000t Tka t kw a e a ea a k k t jkw k t jkw k k π==+='- (b). Because 2)()()}({t x t x t x E v -+=}{2k v k k k a E a a a =+='-(c). Because 2)(*)()}({t x t x t x R e +=2*kk k a a a -+='(d). k k k a Tjka jkw a 220)2()(π=='(e). first, the period of )13(-t x is 3T T ='then 3)(1)13(131213120dme m x T dt e t x T a m T jk T t T jk T k +'--'-'-'⎰⎰'=-'='ππTjkk m T jk T T jk T jk m T jk T ea dm e m x T e dm e e m x T πππππ221122211)(1)(1---------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰3.43 (a) Proof:（i ）Because ()x t is odd harmonic ,(2/)()jk T t k k x t a e π∞=-∞=∑,where 0k a = for everynon-zero even k.(2/)()2(2/)(2/)()2T jk T t k k jk jk T tk k jk T tk k T x t a ea e e a e ππππ∞+=-∞∞=-∞∞=-∞+===-∑∑∑It is noticed that k is odd integers or k=0.That means()()2Tx t x t =-+（ii ）Because of ()()2Tx t x t =-+,we get the coefficients of Fourier Series222/200/222(/2)/2/20022/2/200111()()()11()(/2)11()()(1)jk t jk t jk t T T T T T T k T jk t jk t T T T T Tjk t jk t T T k TT a x t e dt x t e dt x t e dtT T T x t e dt x t T e dt T T x t e dt x t e dt T T πππππππ-----+--==+=++=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/21[1(1)]()jk t T kT x t e dt T π-=--⎰It is obvious that 0k a = for every non-zero even k. So ()x t is odd harmonic ,(b)Extra problems:∑∞-∞=-=k kT t t x )()(δ, π=T(1). Consider )(t y , when )(jw H ist(2). Consider )(t y , when )(jw H isSolution:∑∞-∞=-=k kT t t x )()(δ↔π11=T , 220==Tw π(1).kt j k k tjkw k k e k j H a ejkw H a t y 20)2(1)()(0∑∑∞-∞=∞-∞===ππ2=(for k can only has value 0)(2).kt j k k tjkw k k e k j H a e jkw H a t y 20)2(1)()(0∑∑∞-∞=∞-∞===πππte e t j t j 2cos 2)(122=+=- (for k can only has value –1 and 1)。

第1章 习题答案1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？解： ① 连续信号：图〔a 〕、〔c 〕、〔d 〕； ② 离散信号：图〔b 〕； ③ 周期信号：图〔d 〕； ④ 非周期信号：图〔a 〕、〔b 〕、〔c 〕； ⑤有始信号：图〔a 〕、〔b 〕、〔c 〕。

1－2 某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。

解： 设T 为此系统的运算子，由条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。

① 线性1〕可加性不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，那么y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而|f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)|即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。

由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。

2〕齐次性由条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，那么T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) 〔其中a 为任一常数〕即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。

② 时不变特性由条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，那么y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|，即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。

依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。

信号与系统第三版郑君里课后习题答案第一章习题参考解1，判刑下列信号的类型解：()sin [()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。

()()tt y t x ed τττ--∞=⎰连续、模拟、非周期、功率型信号。

()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。

()()y n n x n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。

1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。

(1) 0()s in ()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型(2) ()t x t A e -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。

(3) ()c o s 0tx t ett -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型(5) 4()(),0.5k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型(6) 0().j kx k eΩ= 离散、模拟、周期、功率型()s i n [()];()()()(2);()()tt y t A x t y t x ed y n x n y n n x n τττ--∞====⎰1－6题，1－4图。

t=-pi:1/200:pi;y1=1.5*sin(2*t+pi/6);subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),gridy2=2*exp(-t);subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),gridt1=0:1/200:2*pi;y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1);subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2;y4=2*t2+1;subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid习题1－6 5－6题n=0:pi/10:2*pi;y=(0.8).^n;subplot(4,1,1),stem(n,y,'fill'),title('(0.8)^n'),gridn1=0:pi/24:2*pi;y1=cos(2*pi*n1);y2=sin(2*pi*n1);subplot(4,1,2),stem3(y1,y2,n1,'fill'),title('exp[2*pi*n1'),gridsubplot(4,1,4),stem(n1,sin(2*pi*n1),'fill'),title('sin2pin1'),gridsubplot(4,1,3),stem(n1,cos(2*pi*n1),'fill'),title('cos2pin1)'),grid1－8，判断下列系统的类型。