专题八立体几何【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、空间几何体的三视图、体积与表面积公式1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.1.从近几年高考考查内容来看,这一部分主要考查空间几何体与涉及数学文化、空间几何体的三视图、表面积与体积、几何体的外接、内切球的计算,考查空间几何体侧面展开图问题,题型既有选择题,也有填空题,难度适中.2.这一部分突出对空间直线、平面位置关系的判断,会求两异面直线所成的角,在解答题中主要是考查直线与平面平行、垂直的判定与性质,常出现在解答题第一问,难度中等,解题时注意线线、线面、面面平行、垂直位置关系的相互转化.3.利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角(特别是二面角)、空间距离均是高考的热点,通过向量的运算来证明直线平行、垂直,求夹角,难度中等,以解答题形式出现,把立体几何问题转化为空间向量问题.1.强化识图能力,还原成自己熟悉的几何体.2.对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补.3.重视立体几何最值问题的研究.4.三视图、平面展开图(折线转化成直线).5.完善知识网络,强调通性通法,以下是平行垂直关系的转化关系图.6.加强空间向量对垂直问题的研究:空间直角坐标系的建立是基于三线两两垂直的,因此只有真正掌握了对垂直关系的判断、论证的研究方法,真正理解法向量的自由性,以及求法向量的方法,才能使问题顺利解决.二、空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.能运用公式、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.3.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面平行的判定定理与有关性质.4.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的判定定理与有关性质.三、空间向量运算及立体几何中的向量方法1.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示、用向量的数量积判断向量的平行与垂直.2.理解直线的方向向量与平面的法向量.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.【真题探秘】§8.1空间几何体的三视图、表面积与体积基础篇固本夯基【基础集训】考点一三视图与直观图1.(2018课标Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A2.给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是.答案②③④3.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,O'C'=2 cm,则原图形OABC的形状是.答案菱形考点二空间几何体的体积4.(2018河南顶级名校3月联考,10)某四棱锥的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是边长为2的正方形,侧视图的轮廓是底边长分别为2和1的直角梯形,则该几何体的体积为()A.83B.43C.8√23D.4√23答案 A5.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√2,则此球的体积为()A.√6πB.4√3πC.4√6πD.6√3π答案 B6.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2√2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的体积为.答案1483π考点三空间几何体的表面积7.(2019安徽黄山二模,6)某空间几何体的三视图如图所示,其中正视图和俯视图均为边长是1的等腰直角三角形,则此空间几何体的表面积是()A.√2+√32B.1+√32C.√2+√3+12D.√2+√3答案 C8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,且AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积是.答案169π9.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则阳马C1-ABB1A1的外接球的表面积是.答案50π综合篇知能转换【综合集训】考法一与表面积和体积有关的问题1.(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案4√152.(2020届浙江东阳中学10月月考,16)顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C是PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为.答案2√633.(2020届江西南昌调研,15)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中2a+b=2(a>0,b>0),则此三棱锥体积的最大值为.答案13考法二与球有关的切、接问题4.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6π D.32π3答案 B5.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()A.32√3πB.48πC.24πD.16π答案 A6.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是.答案327.(2018湖南师大附中模拟,16)在体积为43的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是.答案92π8.(2018江西南昌二中1月模拟,16)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,SA=√3,SB=2√3,二面角S-AB-C的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为.答案21π应用篇知行合一【应用集训】1.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案 B2.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3 cm3C.1 372π3 cm3 D.2 048π3cm3答案 A3.(2019课标Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案118.8【五年高考】考点一三视图与直观图1.(2017课标Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16答案 B2.(2019课标Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;√2-1考点二空间几何体的体积3.(2019课标Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π答案 D4.(2017课标Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π答案 B5.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324答案 B6.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.答案107.(2019天津,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π48.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案1129.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .答案4310.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 . 答案92π 11.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 . 答案 √712.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍. (1)若AB=6 m,PO 1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?解析 (1)由PO 1=2 m 知O 1O=4PO 1=8 m.因为A 1B 1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=13·A 1B 12·PO 1=13×62×2=24(m 3);正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O=62×8=288(m 3).所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).(2) 设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m),则0<h<6,O 1O=4h(m).连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 12+P O 12=P B 12,所以(√2a 2)2+h 2=36,即a 2=2(36-h 2).于是仓库的容积V=V 柱+V 锥=a 2·4h+13a 2·h=133a 2h=263(36h-h 3),0<h<6,从而V'=263(36-3h 2)=26(12-h 2).令V'=0,得h=2√3或h=-2√3(舍).当0<h<2√3时,V'>0,V 是单调增函数;当2√3<h<6时,V'<0,V 是单调减函数.故h=2√3时,V 取得极大值,也是最大值.因此,当PO 1=2√3 m 时,仓库的容积最大. 方法指导 (1)根据已知条件求出相关数据,进而利用相应体积公式求解.(2)选择中间关联变量PO 1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变量的函数,进而转化成研究函数最值的问题.本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.考点三空间几何体的表面积13.(2016课标Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π答案 C14.(2016课标Ⅲ,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81答案 B15.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为16.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为785√15,则该圆锥的侧面积为.答案40√2π【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届山东夏季高考模拟,5)已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=π,SB=4,SC=2√13,AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是()2A.4B.6C.4√3D.6√3答案 C2.(2020届九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.141 59,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为()A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案 C3.(2018江西南昌二中3月月考,9)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )A.8B.4C.4√3D.4√2 答案 D4.(2020届安徽合肥高三调研,6)已知一个机械工件的正(主)视图与侧(左)视图如图所示,俯视图与正(主)视图完全一样.若图中小网格都是边长为1的正方形,则该工件的表面积为( )A.24πB.26πC.28πD.30π 答案 C5.(2019青海西宁二模,8)《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体,其中有三个面是梯形,另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图中粗线所示,其中小正方形网格的边长为1,则该羡除的体积为( )A.20B.24C.28D.32 答案 B6.(2020届辽宁瓦房店高级中学10月月考,11)一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为π4,则圆锥的内切球的表面积为( )A.8πB.4(2-√2)2π C.4(2+√2)2π D.32(2−√2)249π 答案 B7.(2018广东惠州二模,10)已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥S-ABC 的外接球的球心到平面ABC 的距离是( ) A.√33 B.1 C.√3 D.3√32答案 A8.(2020届辽宁阜新高级中学10月月考,11)在三棱锥S-ABC 中,AB=√10,∠ASC=∠BSC=π4,AC=AS,BC=BS,若该三棱锥的体积为√153,则三棱锥S-ABC 外接球的体积为( )A.πB.4√3πC.√5πD.π3答案 B9.(2020届河北衡水中学模拟,11)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,将这个菱形沿对角线BD折起,使得平面DAB⊥平面BDC,若此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5π,则AB的长为()A.√52B.√3C.√5D.3答案 B10.(2020届湖南长沙一中第一次月考,12)已知三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1,当三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时,球O的表面积为()A.5π3B.2π C.5π D.20π3答案 A二、多项选择题(每题5分,共15分)11.(改编题)已知三棱锥A-BCD中,BC⊥CD,AB=AD=√2,BC=1,CD=√3,则()A.三棱锥的外接球的体积为4π3B.三棱锥的外接球的体积为8π3C.三棱锥的体积的最大值为√36D.三棱锥的体积的最大值为√3答案AC12.(改编题)如图,矩形ABCD中,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法中正确的是()A.存在某个位置,使得CN⊥AB1的长是定值C.若AB=BM,则AM⊥B1DD.若AB=BM=1,当三棱锥B1-AMD的体积最大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π答案BD13.(2019山东德州上学期期末考试数学试题)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为PB、PC的中点,在此几何体中,给出下面的结论,其中正确的是()A.直线AE与直线BF异面B.直线AE与直线DF异面C.直线EF∥平面PADD.直线DF⊥平面PBC答案AC三、填空题(每题5分,共35分)14.(2020届山东夏季高考模拟,16)半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,则△ABC,△ACD与△ADB面积之和的最大值为.答案815.(2020届重庆一中第二次月考,13)已知圆锥的母线长为5,侧面积为15π,则该圆锥的体积为.答案12π16.(2019辽宁丹东质量测试(一),14)一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积为.答案√2π17.(2019福建漳州二模,15)已知正四面体ABCD的外接球的体积为8√6π,则这个四面体的表面积为.答案16√318.(2019东北师大附中、重庆一中等校联合模拟,15)若侧面积为4π的圆柱有一外接球O,当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为.答案6π19.(2020届福建厦门一中10月月考,15)三棱锥P-ABC中,PA=PB=2√2,AB=4,BC=3,AC=5,若平面PAB⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.答案25π20.(2020届广东广州十六中质量检测(一),15)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,底面为矩形,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为.答案64π3。
