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循环码（7,4）8.4 循环码时间：2012年09⽉01⽇信息来源：《通信原理》精品课程⽹站点击：2452次我要评论(0) 【字体：⼤中⼩】循环码是线性分组码重要的⼀个⼦类，现有的重要线性分组码都是循环码或与循环码密切相关。
与其他⼤多数码相⽐，循环码的编码及译码易于⽤简单的具有反馈连接的移位寄存器来实现，这是它的优势所在。
另外，对它的研究是建⽴在⽐较严密的数学⽅法基础之上，因此⽐较容易获得有效的译码⽅案。
循环码在实际中应⽤很⼴。
8.4.1 循环码基本概念⼀个线性（）分组码，如果它的任⼀码字经过循环移位后（左移或右移），仍然是该码的⼀个码字，则称该码为循环码。
上⼀节中表8-3所⽰的（7，3）分组码就是⼀个循环码。
为了便于观察，将（7，3）码重新排列如表8-9所⽰。
表8-9 循环码的循环移位（8.4-1）来描述⼀个码字。
表8-9中的任⼀码组可以表⽰为（8.4-2）这种多项式中，仅是码元位置的标记，因此我们并不关⼼x的取值，这种多项式称为码多项式。
例如，码字（0100111）可以表⽰为（8.4-3）左移⼀位后为（1001110），其码字多项式为（8.4-4）需要注意的是，码字多项式和⼀般实数域或复数域的多项式有所不同，码字多项式的运算是基于模⼆运算的。
（1）码多项式相加，是同幂次的系数模⼆加，不难理解，两个相同的多项式相加，结果系数全为0。
例如（8.4-5）（2）码多项式相乘，对相乘结果多项式作模⼆加运算。
例如（8.4-6）（3）码多项式相除，除法过程中多项式相减按模⼆加⽅法进⾏。
当被除式的幂次⾼于等于除式的幂次，就可以表⽰为⼀个商式和⼀个分式之和，即（8.4-7）其中余式的幂次低于的幂次。
把称作对取模的运算结果，并表⽰为（8.4-8）有了这个运算规则，就可以很⽅便地表⽰⼀个移位后码字多项式。
可以证明，字长为的码字多项式和经过次左移位后的码字多项式的关系为（8.4-9）例如，（7，3）循环码的码字（1001110），其多项式为，移位3次后的多项式可求得如下：（8.4-10）即，它对应的码字为11101008.4.2 循环码⽣成多项式由表8-9可知，（7，3）循环码的⾮0码字多项式是由⼀个多项式分别乘以得到的。
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
循环码的名词解释循环码是一种特殊的编码方式，用来提高数据传输的可靠性和容错能力。
它在数据通信领域广泛应用，并且在计算机网络、无线通信和数据存储等方面发挥着重要作用。
1. 循环码的基本原理与应用循环码是通过在数据中插入冗余信息来实现错误检测和纠正的。
它利用数学运算的方法，在编码和解码过程中实现了循环移位和异或运算，从而能够有效地检测和纠正数据中的错误。
循环码的编码过程主要分为两步：首先，将原始数据序列转化为多项式形式；然后，通过对多项式进行除法运算，得到一个多项式商和余数。
接着，将余数添加到原始数据序列末尾，得到编码后的循环码。
在数据传输过程中，接收端会对接收到的循环码进行解码。
解码的过程类似于编码过程，通过对接收到的循环码进行除法运算，得到一个多项式商和余数。
如果余数为零，表示数据没有发生错误；如果余数不为零，则表示发生了错误，并且可以通过运算来纠正错误。
循环码在许多数据传输领域中都有广泛的应用。
在计算机网络中，循环码常被用于帧同步和错误检测；在无线通信中，循环码则用于数据压缩和信道编码；在数据存储中，循环码则被用来提高磁盘驱动器的可靠性。
2. 循环码的类型与特性循环码根据其生成多项式的次数和码字长度可以分为不同类型，常见的有循环冗余校验码（CRC码）和哈米尔顿循环码。
CRC码是一种广泛应用的循环码类型，它的生成多项式的次数固定，一般在16位、32位或64位。
CRC码的特点是简单、高效和易于实现，适用于需要高效的错误检测的场景。
哈米尔顿循环码是另一种常见的循环码类型，它的生成多项式是哈米尔顿矩阵的一部分。
哈米尔顿循环码的特点是可以纠正多个错误，但生成与解码的复杂度较高，适用于对数据可靠性要求较高的场景。
除了CRC码和哈米尔顿循环码外，还有其他类型的循环码，如重量为素数的循环码、重量为2的循环码等。
它们各有特点和应用范围，可以根据实际需求选择适合的循环码类型。
3. 循环码的发展与应用前景随着通信技术的不断发展和应用场景的不断扩展，对于循环码的需求也变得越来越高。
F2+uF2+u2F2+u3F2上的循环码和自对偶码闫国旗;辛小龙【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2011(047)011【摘要】构造了一个含有16个元素的有限环,给出了这个有限环上码长为奇数的循环码的必要条件.然后给出了这个有限环上码长为奇数的循环码的一个生成多项式,得到了在这个环上的自对偶码存在的一个充分必要条件.%A finite ring with 16 elements is constructed and a necessary condition for a fmite ring code with odd length becoming cyclic code is given.Furthermore,a generator polynomial of the finite ring code with odd length is obtained, and finally a necessary and sufficient condition for the existence of the self-dual codes of the finite ring is eventually proved.【总页数】4页(P26-29)【作者】闫国旗;辛小龙【作者单位】西北大学数学系,西安,710127;西北大学数学系,西安,710127【正文语种】中文【中图分类】O157.4;O236.2【相关文献】1.Zm上的负循环码和自对偶码 [J], 蒋春涛;辛小龙;赵陆一2.环R上的一类常循环码及自对偶码 [J], 徐露露;刘丽3.环F3+vF3上的循环码与常循环码 [J], 刘修生;许小芳;黄振华4.常循环码的s-Hermitian自对偶码 [J], 杨建生;张倩倩5.常循环码的自对偶码 [J], 杨建生;蔡文超因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
常用循环码简介3.1 循环码循环码是在严密的代数学理论基础上建立起来的，是线性分组码的一种。
这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且纠错的能力较强。
顾名思义，循环码除具有线性码的一般性质之外，还具有循环性，即任一码组循环移位以后，仍为该码中的一个码组。
在代数编码理论中，为了便于计算，经常将循环码表示成码多项式的形式，设码组为),,,,(0121a a a a a n n --=，则码多项式定义如下：0121)(a x a x a x a X T n n ++++=--在循环码除全“0”码组外，再没有连续k 位均为“0”的码组，即连“0”的长度最多只有)1(-k 位。
否则，在经过若干次循环移位后将得到一个k 位信息位全为“0”，但监督位不全为“0”的一个码组。
因此，)(x g 必须是一个常数项不为“0”的)(k n -次多项式，而且这个)(x g 还是这种码中次数为)(k n -的唯一一个多项式，称这唯一的)(k n -次多项式)(x g 为码的生成多项式。
一旦确定了)(x g ，则整个),(k n 循环码就被确定了。
由此，可以写出循环码的生成矩阵G. 通常这时得到的循环码的生成矩阵不是典型矩阵，可通过线性变换转为典型矩阵，则循环码组可写成：[])()(21X G a a a X T k n n n ---=[])()()1(21x g a x a x a x a X G k n n n +++=----所有的码组多项式)(x T 都可被)(x g 整除，而且任意一个次数不大于)1(-k 的多项式乘)(x g 都是码多项式，该条性质用于编码，还可用于验证接收码组是否出错。
由于任一循环码多项式)(x T 都是)(x g 的倍式，故可写成)()()(x g x h X T =，而)(x g 本身也是一个码组，即有)()(x g X T ='。
由于)(X T '是一个)(k n -次多项式，故)(X T x k '是一个n 次多项式，在模1+n x 运算下，也是该编码中的一个许用码组。
