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第十一章-无穷级数练习题（一）.基本概念 收敛.Q Q 1.设v U n 为正项级数，下列四个命题 n -1(1)(2) 若limU n =0,则「U n 收敛； 若v U n 收敛，贝U v U n 100收敛; n=1 n W A.级数X |U n |收敛；n =1B.极限 lim Un =0 ;C. 极限 lim Un ^ = r ::: 1 ;F U nnD. 部分和数列Sn =•'.： Uk 有界.k 45.下列级数中条件收敛的是（).(3)若 lim U n 1 nY U n Q Q(4)若v U n 收敛，则 n -1 中，正确的是( ) A . (1)与 (2)；C . (3)与(4)；Q Q 1,则v U n 发散; n =1 lim 5^ ::: 1 . n匚U n■■ 1' 1 ；厂' n= - n cos 1;n 4 tnB.B .⑵与(3)；D . (4)与(1). C. 2.下列级数中，收敛的是（ 1 )• oO q' (-1)n 1 ; n 吕 .n 1001 A. ' -；n £ n□0 B .、 n ；n 壬 2n +1 QQD. ' （-1）nn 4 n, n6.下列级数中绝对收敛的是).8 1 、(-1)n— n=1 nC . 0.001 一 0.001 30.001; 1B. ' —nw nD . 4 32 43 443•在下列级数中，发散的是（ ).Q QC. (-1)n nM n旳1D.二.sin .n 吕 nQO *;（二）.求等比级数的和或和函数。
提示：注 意首项C . —1—；n - n 3n 17.幕级数nx n 1在(-2, 2)上的和函数 n=02s(x) = ___________ .八2 八3 八4333 ...23' 44 4 4oO8.幕级数(-1)nn=04ns(x)= ---------------4.条件（）满足时，任意项级数U n 定n=1在（-4 , 4）上的和函数9.无穷级数：］旳的和S=—（三）■判定正项级数的敛散性。
第十一章 无穷级数§11.1 级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数1n n aq ∞=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C)1q <； (D)1q >． 答(D)．2. 下列结论正确的是( )．(A)若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1n n u ∞=∑收敛；(C)若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；(D)若1n n u ∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠. 答(C)．3. 若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．(A)121()nn n u v S S ∞=±=±∑； (B)11nn ku kS ∞==∑；(C)21nn kvkS ∞==∑； (D)112nn nu S vS ∞==∑． 答(D). 4. 若级数1n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．(A)1()n n u S ∞=-∑收敛； (B)11n nu ∞=∑收敛； (C)11n n u∞+=∑收敛； (D)n ∞=收敛. 答(C).5. 若级数1n n a ∞=∑收敛，其和0S ≠，则级数121()n n n n a a a ∞++=+-∑收敛于( )．(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).6. 若级数∑∞=1n na发散，∑∞=1n nb收敛则 ( )．(A)∑∞=+1)(n n nb a发散；(B)∑∞=+1)(n n nb a可能发散，也可能收敛；(C)∑∞=1n nn ba 发散； (D)∑∞=+122)(n n n b a发散. 答(A).二、填空题1. 设1a <，则().n n a ∞=-=∑答：11a +. 2. 级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为．答：21ln 3-.3. 级数0n ∞=∑，其和是 ． 答： 14.数项级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和为.答：12. 5*. 级数0212nn n ∞=-∑的和为. 答： 3.三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)23238888(1)9999nn -+-++-+答： 收敛.解： (2) 11113693n+++++ 答： 发散.解：(3)1133n++ 答： 发散.解：(4) 232333332222n n +++++ 答： 发散.解：(5) 22331111111123232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答： 收敛.解：§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数一、单项选择题1. 级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=，则( )．(A)若1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑收敛； (C)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D)若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑发散. 答(D).2. 若10,(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是( )．(A)1nn a ∞=∑； (B)11()n n n a a ∞+=+∑；(C)21n n a∞=∑； (D)n ∞=． 答(C).3. 设级数 (1)12!nn n n n ∞=∑与 (2) 13!nn n n n ∞=∑，则( )． (A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).4. 设级数(1) n ∞=与 (2) 110!nn n ∞=∑, 则( ).(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛,级数(2)发散； (D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D).5. 下列级数中收敛的是( )．(A)1n ∞= (B)11sin n n ∞=∑； (C)1(1)31nn n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞=-∑． 答(A).6*. 若级数22116n n π∞==∑，则级数211(21)n n ∞==-∑( ). (A)24π; (B)28π; (C)212π; (D)216π. 答(B).7. 设1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑均为正项级数,若1lim=∞→nnn v u ，则下列结论成立的是( ).(A)1nn u ∞=∑收敛, 1n n v ∞=∑发散； (B) 1n n u ∞=∑发散, 1n n v ∞=∑收敛；(C)1nn u∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛,或1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散. (D)不能判别. 答(C).8. 设正项级数∑∞=1n nu收敛，则( ).(A)极限1limn n n u u +→∞≤1； (B) 极限1lim n n nuu +→∞<1；(C)极限1n； (D)无法判定. 答(A)9. 用比值法或根值法判定级数1n n u ∞=∑发散，则∑∞=1n nu( ).(A)可能发散； (B)一定发散；(C)可能收敛； (D)不能判定. 答(B)二、填空题1. 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是部分和nS .答：有上界.2. 设级数1n n α∞=∑收敛，则α的范围是. 答：32α>． 3. 级数1n n u ∞=∑的部分和21n nS n =+，则n u =. 答：2(1)n n +. 4. 级数0212n n n ∞=+∑是收敛还是发散. 答：收敛.5. 若级数11sin p n n n π∞=∑收敛，则p 的范围是. 答：0p >.6. 级数13!n n n n n∞=∑是收敛还是发散 . 答：发散.三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1) 2111n nn ∞=++∑； 答：发散. (2) 11(1)(2)n n n ∞=++∑； 答： 收敛.(3) 1sin2nn π∞=∑； 答：收敛. (4)11(0)1n n a a∞=>+∑.答1a >收敛;1a ≤发散.2. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1) 132nnn n ∞=⋅∑； 答：发散. (2) 213n n n ∞=∑； 答： 收敛. 解：(3) 12!n n n n n ∞=⋅∑； 答： 收敛. (4)11tan2n n n π∞+=∑． 答： 收敛.解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性：(1) 121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； 答： 收敛. (2)11[ln(1)]nn n ∞=+∑； 答：收敛.解： 解：(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑； 答：收敛.解：(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑其中,()n a a n →→∞，,,n a b a 均为正数．答：当b a <时收敛，当b a >时发散，当b a =时不能判断．§11.3 一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑满足,(1,2,)n n u v n ≤=,则( )．(A) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑发散；(B) 若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散；(C) 若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑未必收敛．答(D).2. 下列结论正确的是( )．(A) 1nn u∞=∑收敛，必条件收敛； (B) 1nn u∞=∑收敛，必绝对收敛；(C) 1nn u ∞=∑发散，则1nn u ∞=∑必条件收敛；(D)1n n u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛． 答(D) .2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．(A) 1(1)31nn n n ∞=--∑; (B) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (C) 111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； (D) 111(1)n n n ∞-=-∑． 答(B) .3. 下列级数中，条件收敛的是( )．(A) 1(1)n n ∞-=-∑； (B) 112(1)3nn n ∞-=⎛⎫-⎪⎝⎭∑； (C) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (D) 111(1)2n n n n ∞-=-⋅∑． 答(A) . 4. 设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛- ⎝∑( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 发散； (D)敛散性与α的取值有关． 答(C).5. 设),3,2,1()11ln(cos =+=n nn a n π，则级数( ).(A)∑∞=1n na与∑∞=12n na都收敛. (B)∑∞=1n na与∑∞=12n na都发散.(C)∑∞=1n na收敛，∑∞=12n na发散. (D)∑∞=1n na发散，∑∞=12n na收敛. 答(C).6.设),3,2,1(10 =<<n na n ,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A)∑∞=1n n a . (B)∑∞=-1)1(n n na . (C) ∑∞=2ln n n n a . (D)∑∞=22ln n n n a . 答(D). 7.下列命题中正确的是( ).(A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则21)(n n nv u+∑∞=收敛.(B)若∑∞=1n nn v u收敛,则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛.(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥. (D)若),3,2,1( =<n v u n n ,且∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nv发散. 答(A).二、填空题1. 级数11(1)n n n α-∞=-∑绝对收敛，则α的取值范围是 ． 答： 1.α> 2. 级数11sin 2n n nαπ∞=∑条件收敛，则α的取值范围是 ． 答：0 1.α<≤3. 级数2n n a ∞=∑收敛，则0(1)nn n a n ∞=-∑是条件收敛还是绝对收敛 ．答：绝对.收敛三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) 1(1)n n ∞-=-∑ 答： .条件收敛解： (2)111(1)3n n n n∞--=-∑； 答： .绝对收敛 解： (3)21sin (1)n n n α∞=+∑； 答： .绝对收敛 解： (4)111(1)32n nn ∞-=-⋅∑； 答： .绝对收敛 解： (5)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； 答： .条件收敛 解：(6) 2112(1)!n n n n ∞+=-∑ 答： .发散 解：§11.4 幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间是( )．(A)[1,1]-； (B)(1,1)-； (C)[1,1)-； (D)(1,1]-． 答(C).2. 幂级数1(1)(1)2nnnn x n ∞=+-⋅∑的收敛区间是( )．(A)[2,2]-； (B)(2,2)-； (C)[2,2)-；(D)(2,2]-． 答(D).3. 幂级数2213nn n x n ∞=⋅∑的收敛半径是( ).(A)3R =； (B)R ； (C)13R =； (D)R = 答(B). （A ） (C)（B ）(D)4. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(C).5. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =-处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(D).6．若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a ( ).(A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性不能确定. 答(B).二、填空题1. 幂级数21nn x n∞=∑的收敛域是 ． 答： [1,1].-2. 幂级数2123n n nn x nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛域是． 答： 11,.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 幂级数1211(1)(21)!n n n x n --∞=--∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,sin .R x =+∞4. 幂级数20(1)(2)!n nn x n ∞=-∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,cos .R x =+∞5. 设0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，则20n n n a x ∞=∑的收敛半径为 ．答：6. 设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为4，则210n n n a x ∞-=∑的收敛半径为 ．答：2.7. 幂级数1(23)(1)21nn n x n ∞-=---∑的收敛域是 . 答：(1,2].8. 幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 .答：]2,0[.一、简答题1. 求下列幂级数的收敛域． (1)1nn nx∞=∑； 答： (1,1).- (2)121(1)nn n x n ∞-=-∑； 答： [1,1].- (3) 13nnn x n ∞=⋅∑； 答：[3,3)-． (4) 2121n n n x n ∞=+∑； 答：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．(5) nn ∞= 答：[4,6). (6)211(1)21n nn x n +∞=-+∑． 答：[1,1].-2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)11n n nx∞-=∑； 答：21(),(1,1)(1)S x x x =∈--． 解：(2) 21121n n x n -∞=-∑． 答：11()ln ,(1,1)21xS x x x +=∈--．解：3*. 求级数112nn n ∞=⋅∑的和． 答：2ln 2. 解：§11.5 函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数是( )．(A) 46212!3!x x x ++++；(B) 46212!3!x x x -+-+；(C) 2312!3!x x x ++++ ； (D) 2312!3!x x x -+-+． 答(B).2. 如果()f x 的麦克劳林展开式为20n n n a x ∞=∑，则n a 是( )．()(0)(A)!n f n ；(2)(0)(B)!n f n ；(2)(0)(C)(2)!n f n ；()(0)(D)(2)!n f n ． 答(A). 3. 如果()f x 在0x x =的泰勒级数为00()n n n a x x ∞=-∑，则n a 是( )．()0(A)()n f x ；(2)0()(B)!n fx n ；(2)0()(C)!n f x n ；()0()(D)!n f x n ． 答(C). 4. 函数()sin 2f x x =展开成x 的幂级数是( )．357(A)3!5!7!x x x x -+-+； 224466222(B)12!4!6!x x x -+-+； 335577222(C)23!5!7!x x x x -+-+； 462(D)14!6!x x x -+-+． 答(C).二、填空题1. 函数()xf x a =的麦克劳林展开式为． 答： 0(ln ).!n nn a x n ∞=∑ 2. 函数12()3x f x +=的麦克劳林展开式为． 0ln 3.2!nn n xn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3. 幂级数2111(1)(21)!n n n x n -∞-=--∑的和函数是 ． 答：sin .x4. 函数1()1f x x =-的麦克劳林级数为． 答：0.n n x ∞=∑5. 函数1()1f x x=+的麦克劳林级数为． 答：0(1).n n n x ∞=-∑6. 函数()ln(1)f x x =+的麦克劳林级数为．答： 11(1).nn n x n∞-=-∑ 7. 函数()xf x e =在1x =处的泰勒级数． 答：0(1).!n n ex n ∞=-∑8. 函数1()1f x x =+在1x =处的泰勒级数．答： 10(1)(1).2nnn n x ∞+=--∑ 9. 函数1()f x x=展开成3x -的幂级数为． 答： 1(3)(1).3nnn n x ∞+=--∑ 10. 函数2()cos f x x =展开成x 的幂级数为． 答：212012(1).2(2)!n nn n x n -∞=+-∑ 11. 级数0(1)(2)!nn n ∞=-∑的和等于. 答：cos1.三、简答题1. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间． (1) ()ln(),(0)f x a x a =+>； 解：答：11ln()ln (1).nn nn x a x a n a ∞-=+=+-⋅∑ (2) 2()sin f x x =；解：答：2211(2)sin (1),(,).2(2)!nn n x x n ∞-==--∞+∞∑ (3) ()(1)ln(1)f x x x =++； 解：答：12(1)(1)ln(1),(1,1].(1)n nn x x x x n n -∞=-++=+--∑(4*) ()f x =；解：21212(2)!(1),[1,1].(!)2n nn n x x n +∞=⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∑(5). 2()23xf x x x =--．解：答：211221112(2)!(1),(1,1).2343(!)2n n nn n x n x x x x n +∞-=⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑2. 将函数()cos f x x =展开成3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的幂级数．解：答： 221011cos (1),(,).2(2)!33nn n nn x x x n ππ+∞=⎡⎤⎛⎫⎫=-+++-∞+∞⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑3*. 将函数2()ln(3)f x x x =-在1x =展开成幂级数． 解：答： 2101(1)ln(3)ln 2(1),(0,2].2n n n n x x x n ∞-=-⎡⎤-=+--⎢⎥⎣⎦∑ 4*. 将函数21()32f x x x =++展开成4x +的幂级数.解：答： 2110111(4),(6,2).3223n n n n x x x ∞++=⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭∑§11.6 2π为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系{}1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,().x x x x nx nx(A) 在区间[,]ππ-上正交； (B) 在区间[,]ππ-上不正交；(C) 在区间[0,]π上正交； (D) 以上结论都不对． 答(A).2. 函数系{}1,sin ,sin 2,,sin ,().x x nx(A) 在区间[0,]π上正交； (B) 在区间[0,]π上不正交；(C) 不是周期函数； (D) 以上结论都不对． 答(B).3. 下列结论不正确的是( )．(A)cos cos d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰；(B)sin sin d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰； (C)cos sin d 0nx mx x ππ-=⎰； (D)cos cos d 0nx nx x ππ-=⎰． 答(D).4. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(B)010,()cos d n n a b f x nx x ππ==⎰； (C)020,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(D)020,sin d n n a b nx x ππ==⎰．答(C).5. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n b a f x nx x ππ==⎰；(B)020,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰； (C)010,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰；(D)020,cos d n n b a nx x ππ==⎰． 答(B).二、填空题1. ()f x 是以2π为周期的函数，()f x 傅里叶级数为．答：01(cos sin ).2n n n a a nx b nx ∞=++∑其中1()cos d ,0,1,2,,n a f x nx x n πππ-==⎰1()sin d ,1,2,.n b f x nx x n πππ-==⎰2. ()f x 是以2π为周期的偶函数，()f x 傅里叶级数为．答：01cos .2n n a a nx ∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.n a f x nx x n ππ==⎰其中3. ()f x 是以2π为周期的奇函数，()f x 傅里叶级数为．答：1sin .n n b nx ∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n b f x nx x n ππ==⎰其中4. 在(),()f x x x πππ=--≤≤的傅里叶级数中，sin x 的系数为 ．答：2.5. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，sin 2x 的系数为 ．答： 1.-6. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，cos2x 的系数为 ．答：0.三、简答题1. 下列函数()f x 的周期为2π，试将其展开为傅里叶级数．(1) 2()31,()f x x x ππ=+-≤<；解：答： 221(1)()112cos ,(,).nn f x nx nπ∞=-=++-∞+∞∑(2) ,0(),0bx x f x ax x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩；解：答：121[1(1)]()(1)()()()cos sin ,4n n n b a a b fx a b nx nx n n ππ-∞=⎧⎫----+=-++⎨⎬⎩⎭∑ (21).x k π≠+2. 将函数()2sin ()3xf x x ππ=-≤≤展开为傅里叶级数．解：答：121()(1)sin ,(,).91n n n f x nx n ππ∞+==---3. 将函数()cos ,()2x f x x ππ=-≤≤展开成傅里叶级数． 解：答：121241()(1)cos ,[,].41n n f x nx n ππππ∞+==+---∑4. 将函数(),(0)2xf x x ππ-=≤≤展开成正弦级数．解：答：1sin (),(0,].n nxf x n π∞==∑ 5. 将函数2()2,(0)f x x x π=≤≤展开成正弦级数和余弦级数．解：答：2331422()(1)sin ,[0,).n n f x nx n n n πππ∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ 2212(1)()8cos ,[0,].3nn f x nx nππ∞=-=+∑§11.7 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是( )．(A)coscos d 0,()lln x m xx n m l l ππ-=≠⎰； (B)sin sin d 0,()l l n x m x x n m l l ππ-=≠⎰；(C)cos sin d 0l l n x m x x l l ππ-=⎰； (D)sin sin d 0l l n x n x x l lππ-=⎰． 答(D).2. ()f x 是以2l 为周期的函数，则()f x 的傅里叶级数为( )．(A)01cos n n n n x n x a a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑；(B)01cos 2n n n a n x n x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑； (C)1nn n xb l π∞=∑； (D)01cos 2n n a n x a l π∞=+∑． 答(B). 3. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)cos2n n a n x a l π∞=+∑； 01(B)cos n n n xa a l π∞=+∑； 1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 01(D)sin 2n n a n xa l π∞=+∑． 答(A). 4. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)sin 2n n b n x b l π∞=+∑； 01(B)cos n n n x b b l π∞=+∑1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 1(D)cos n n n xb l π∞=∑． 答(C).二、填空题1. ()f x 是以2为周期的函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cossin .222n n n a n n a x b x ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ 111()cos d ,0,1,2,,22n n a f x x x n π-==⎰其中111()sin d ,1,2,.22n n b f x x x n π-==⎰2. ()f x 是以2l 为周期的偶函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cos .2n n a n a x l π∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.l n n a f x x x n l lπ==⎰其中3. ()f x 是以2l 为周期的奇函数，()f x 的傅里叶级数为.答：1sin.n n n b x l π∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n n b f x x x n l l ππ==⎰其中4. 设()f x 是以3为周期的函数，1,10(),02x x f x x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩．又设()f x 的傅里叶级数的和函数为()S x ，则(0)S =，(3)S =．答：1(0)(3).2S S ==5. 设()f x 是以3为周期的函数，32,10(),01x f x x x -≤<⎧=⎨≤<⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =处收敛于．答：3.26. 设()f x 是以2为周期的函数，1,02()10,12x x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，又设()S x 是()f x 的正弦级数的和函数，则74S ⎛⎫= ⎪⎝⎭．答： 71.44S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为211()122f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭，试将其展开为傅里叶级数．解：答： 121111(1)()cos(2)(,).122n n f x n x ππ=∞=-=+-∞+∞∑2. 设周期函数在一个周期内的表达式为21,30()1,03x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩，试将其展开为傅里叶级数．解：答： 1221166()[1(1)]cos(1)sin ,3(21).233n n n n n f x x x x k n n ππππ∞+=⎧⎫=-+--+-≠+⎨⎬⎩⎭∑ 3*. 将函数2(),(02)f x x x =≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 123218(1)2[(1)1]sin ,0 2.2n n n n x x x n n πππ+∞=⎧⎫-=+--≤<⎨⎬⎩⎭∑ 2221416(1)cos ,0 2.32n n n x x x n ππ∞=-=+≤≤∑。
