数学物理方法 第三章 幂级数展开

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幂级数和泰勒展开
例2：
• 题目：
• 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。
• 解答：
• f(z) = 1/(1-z) • f’(z) = 1/(1-z)2 • f”(z) = 2/(1-z)3 • f(n)(z) = n!/(1-z)n+1 • f(n)(0) = n! • an= 1 • f(z) = ∑k=0 zk • 该幂级数在圆|z|<1内收敛；
解：
• 1.比值法 • = |q|
• |q|<1，绝对收敛；
• =1，不确定；
• |q|=1，不确定；
• >1，发散。
• |q|>1，发散。
根值法
• 2.根值法
• = limk |uk|1/k • <1，绝对收敛；
• =|q|limk |a0|1/k = |q|
• =1，不确定；
• |q|<1，绝对收敛；
孤立奇点
可去奇点：极限有限， 邻域展开式无负幂项； (n阶)极点：极限无穷， 邻域展开式有有限个负幂项； 本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。
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例5：
• 题目：
• 在b = 0 的邻域上把 f(z)= (1-z)-2 展开。
• 解答：
• (1-z)-2 = [(1-z)-1]’
• (1-z)-1 = ∑k=0 zk
• (1-z)-2 = [ ∑k=0 zk]’ = ∑k=0 k zk-1
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双边幂级数和罗朗展开
负幂级数
形式：
• s(z) = ∑k=0 ak(z-b)-k
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孤立奇点
分类
原则：
• 根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；
分类：
• 极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z；
• 极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如 1/zn；
• 极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ；
性质
• 奇点
邻域罗朗展开式
• 可去奇点：
一致收敛性：
N( ,z), s.t. n>N( ,z) |s(z)-
• 定义： >0, sn(z)|<
• 性质：
N( ),, s.t. n>N( )
|s(z)-
• 各项连续 和连续，和的积分=各项积分之和；
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• 各项可导 和可导，和的导数=各项导数之和
幂级数和泰勒展开
幂级数
形式：
• s(z) = ∑k=0 ak(z-b)k
收敛域：
• t = 1/|z-b|
• |t| = 1/|z-b| < R
• |z-b|>R’ = 1/R
双边幂级数
形式：
• s(z) = ∑k=- ak(z-b) k
分析
• 双边幂级数 = 正幂级数 + 负幂级数
收敛域：
• R’<|z-b|<R
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双边幂级数和罗朗展开
罗朗展开
问题：
• 一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？
罗朗定理：
• 一个在环R1<|z-b|<R2内解析的函数f(z)可以展开为双边 幂级数 f(z) = k= ak(z-b)k
• 该幂级数在环R1<|z-b|<R2内收敛； • 同一环域中的罗朗展开式是唯一的； • 罗朗系数为
an 21 i
f() d，L在环内 L(b)n1
• >0,
绝对收敛
N( ), s.t. n>N( ) => |s-sn|<
• 定义：s = i=1 |ui|收敛 • 性质：绝对收敛=>收敛
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复级数
收敛性判别法
例：
级数
• ∑i=1 ui
比值法
•= limk |uk+1/uk|
• <1，绝对收敛；
• 判断几何级数的敛散性 ∑n=0 a0 qn
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幂级数和泰勒展开
发散方法（用性质）
• 线性组合的展开 = 展开之线性组合。
• 和函数的积分 = 各项积分之和；
• 和函数的导数 = 各项导数之和；
例3：
• 题目：
• 在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。
• 解答：
• cosh(z) = [exp(z)+exp(-x)]/2
• exp(z) = ∑k=0 zk/k! • exp(-z) = ∑k=0 (-z)k/k! • cosh(z) = ∑k=0 [zk/k!+ (-z)k/k!]/2
• 解答：
• exp(t) = ∑k=0 tk/k! • exp(1/z) = ∑k=0 z-k/k!
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双边幂级数和罗朗展开
例3：
• 题目：
• 以b=0为中心把f(z)=1/[z(z-1)]展开。
• 分析
• 因为f(z)有两个单极点z=0和z=1,
• 所以它以b=0为中心的解析环有两个
• 0<|z|< 1和1<|z|<∞，需要分别展开
无负幂项；
• (n阶)极点： 有限个负幂项， (最高为n次) ；
• 本性奇点：
无限多个负幂项；
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本章小结
双边幂级数
形式：s(z) = k=- ak(z-b)k 性质：在环域内一致收敛
罗朗展开
条件：在环R1<|z-b|<R2内解析的函数f(z) 定理：可以展开为双边幂级数
f(z) = k= ak(z-b)k
收敛域：
• R = limk |ak/ak+1|
• = limk |ak+1(z-b)k+1 /ak(z-b)k|=|z-b|/R
• |z-b|<R
<1，绝对收敛；
• |z-b|=R
=1，不确定；
• |z-b|>R
>1，发散。
一致收敛性：
• s(z)dz = • s’(z) =
k=0 ak(z-b)k dz k=0 [ak(z-b)k]’
• >1，发散。
• |q|=1，不确定； h • |q|>1，发散。
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复级数
复函项级数
形式：∑i=1 ui(z) 通项：ui(z) 部分和函数：sn(z) = ∑i=1n ui(z)
和函数：s(z) = lim sn(z)
收敛域：{ z|wenku.baidu.com(z)存在 }
• 定义： >0, sn(z)|<
• 解答：
• 在环域0<|z|< 1中
• f(z) = 1/[z(z-1)]= -1/[z(1-z)] = -1/z ∑k=0 zk
•
= -∑k=0 zk-1
• 在环域 1<|z|<∞中
• f(z) = 1/[z(z-1)] = 1/[z2(1-z-1)] = 1/z2∑k=0 z-k
•
= ∑k=0 z-k-2
= ∑k=0 z2k/(2k)! • 该幂级数在圆|z|< 内收敛；
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幂级数和泰勒展开
例4：
• 题目：
• 在b = 0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z) 展开。
• 解答：
• ln(1-z) = -∫(1-z)-1dz
• (1-z)-1 = ∑k=0 zk • ln(1-z) = -∫∑k=0 zk dz = - ∑k=0 zk+1/(k+1)
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孤立奇点
概念
奇点：
• 定义：函数的非解析点； • 举例：csc(z)在z=n , csc(1/z)在z=0，1/n ； • 判断：初等函数在其定义域内解析；
孤立奇点：
• 定义：存在解析邻域的奇点； • 举例：csc(z)在z=n 为孤立奇点,
csc(1/z)在z=0为非孤立奇点； • 特点：本身无定义，对周围有影响； • 判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；
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幂级数和泰勒展开
泰勒展开
问题：
• 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？
泰勒定理：
• 一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z) = ∑k=0 ak(z-b)k
• 该幂级数在圆|z-b|=R内收敛； • 以b为中心的展开式是唯一的； • 系数 ak=f(n)(b)/n! • 应用柯西积分公式，系数也可以表示为
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双边幂级数和罗朗展开
罗朗展开举例
例1：
• 题目：
• 在|z|>0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。
• 解答：
• cosh(z) = ∑k=0 z2k/(2k)! • cosh(z)/z = ∑k=0 z2k-1/(2k)!
例2：
• 题目：
• 在|z|>0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。
ann 1 !f(n)(b)21 i L( f(b ))n1d
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幂级数和泰勒展开
展开方法
基本方法（用定理）
• f(z) = ∑k=0 ak(z-b)k， an=f(n)(b) /n!
例1：
• 题目：
• 在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。
• 解答：
• f(z) = exp(z) • f(n)(z) = exp(z) • f(n)(0) = 1 • an= 1/n! • f(z) = ∑k=0 zk/k! • 该幂级数在圆|z|< 内收敛；
数学物理方法
幂级数展开
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幂级数展开
复级数 幂级数和泰勒展开 双边幂级数和罗朗展开 孤立奇点 本章小结
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复级数
复数项级数
形式： i=1 ui 通项：ui 为复数 部分和：sn = n ui
和：s = lim sn 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + … 收敛：s 存在