幂级数解方程(偏微分方程)

线性微分方程的幂级数解法常系数齐次线性微分方程可以用代数的方法进行求解，然而，对于变系数线性微分方程来说，由于方程的系数是自变量的函数，就不能用代数的方法求解。

微积分学的知识告诉我们，在满足某一些条件下，可以用幂级数表示一个函数，由此自然想到能否用幂级数表示微分方程的解呢？本章以二阶方程为例，讨论线性微分方程的幂级数解法。

考虑变系数线性微分方程 (5.1)0)()()(22=++y x c dxdy x b dxy d x a 其中)(),(),(x c x b x a 均为x 的解析函数。

如果系数函数)(),(),(x c x b x a 中含有公因子)(0x x -，那么可把其削去，考虑原方程的同解方程即可。

因此，不妨假设系数函数没有公因子)(0x x -。

下面分两种情况考虑方程)1.5(的初值问题解的存在唯一性。

)1( 0)(0≠x a ，则由)(x a 的解析性，在0x x =的某一邻域内0)(≠x a 。

此时，可把方程)1.5(改写成如下形式(5.2)0)()(22=++y x q dxdy x p dxy d 其中)()()( ,)()()(x a x c x q x a x b x p ==在0x x =的某一邻域内是解析函数。

考虑方程)2.5(的初值条件）（是给定的常数）其中3.5 ,()( ,)(2120'10y y y x y y x y ==则初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。

此时，称0x x =为方程)1.5(的一个常点。

)2( 0)(0=x a ，由于)(),(),(x c x b x a 中不含有公因子)(0x x -，则)(0x b 和)(0x c 中至少有一个不等于零。

因此，在|)(|0x p 和|)(|0x q 中至少有一个为∞+。

此时，无法确定初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。

在这一种情况下称0x x =为方程)1.5(的一个奇点。

大连理工大学硕士学位论文偏微分方程的精确解及Taylor级数解姓名：***申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***20040601摘要本文以计算机代数和导师张鸿庆教授的“ＡＣ＝ＢＤ”理论为工具，以构造机械化算法为目的，以源于物理，力学，光学等领域中的非线性问题所对应的非线性偏微分代数方程（组）为研究对象，研究了它们的一些问题，如精确解（孤子解，周期解），Ｋｉｃｃａｔｉ方程展开法，微分代数及Ｔａｙｌｏｒ级数解。

第一章介绍了孤立予理论，计算机代数，数学机械化等学科的起源和发展，以及国内外学者在这些方面所做的工作和一些所取得的成就。

第二章以“ＡＣ＝ＢＤ”的理论模式为指导，考虑了非线性偏微分方程（组）的精确解的构造，给出了“ＡＣ＝ＢＤ”理论的基本思想，Ｃ—Ｄ可积理论在微分方程求解中的应用，然后通过具体的变换给出了构造Ｃ—Ｄ对的算法。

第三章基于非线性发展方程求解，代数化，算法化，机械化的指导思想，运用吴方法和符号计算为工具，考虑了非线性发展方程精确解的构造，提出了射影Ｐｄｃｃａｔｉ方程展开法，并将其应用到求解二维广义Ｂｕｒｇｅｒｓ方程及耦合ＭＫｄＶ—ＫｄＶ方程中。

第四章介绍了微分代数的基础知识，并讨论了偏微分代数方程的Ｔａｙｌｏｌ一级数解。

在特征集的基础上，讨论了其参数导数构成的状况，并给出算法。

关键词：偏微分代数方程；精确解；数学机械化；射影Ｒｉｃｃａｔｉ方程展开法；Ｔａｙｌｏｒ级数解。

ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｏｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ＰＤＡＥｏｒＰＤＡＥｓ）ｒｅｌａｔｅｄｔｏｓｏｍｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｏｐｉｃｓｗｈｉｃｈｏｒｉｇｉｎｆｒｏｍｐｈｙｓｉｃｓ，ｍｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄｏｐｔｉｃｓｅｔａｌａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ），ｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄＴａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｒａｌｇｅｂｒａａｎｄｔｈｅ“ＡＣ＝ＢＤ’’ｍｏｄｅｌｏｆＰｒｏｆｅｓｓｏｒＺｈａｎｇＨｏｎｇｑｉｎｇａｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄａｓｔｈｅｔｏｏｌｓｔｏｄｅａｌｗｉｔｌｌｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍＣｈａｐｔｅｒ１ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｓｅｖｅｒａｌｓｕｂｊｅｃｔｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｕｃｈａｓｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙ，ｃｏｍｐｕｔｅｒａｌｇｅｂｒａ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎＴｈｅｍａｉｎｗｏｒｋｓａｎｄａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓｔｈａｔｈａｖｅｂｅｅｎｏｂｔａｉｎｅｄａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｃｈａｐｔｅｒ２ｃｏｎｓｉｄｅｒｓｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ＰＤＥｓ）ｕｎｄｅｒｔｈｅｇｕｉｄａｎｃｅｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆ“ＡＣ＝ＢＤ”Ｔｈｅｂａｓｉｃｔｈｅｏｒｙｐｆ“ＡＣ＝ＢＤ”ａｎｄｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅＣ—ＤｐａｉｒａｒｅｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｔｈｒｏＬＩｇｈｓｏｍｅｃｏｎｃｒｅｔｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｄｅａｓｏｆａｌｇｅｂｒａｉｃｍｅｔｈｏｄ，ａｌｇｏｒｉｔｈｍｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ，ａｎｄｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｃｈａｐｔｅｒ３ｄｅａｌｓｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｓｅｏｆＷｕ—ｍｅｔｈｏｄａｎｄｓｙｍｂｏｌｉｃｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｏｏｂｔａｉｎｓｏｍｅｎｅｗｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＢｕｒｇｅｒｓｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｃｏｕｐｌｅｄＭＫｄｖ—ＫｄＶｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｈａｐｔｅｒ４ｉｓｄｅｖｏｔｅｄｔｏｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅＴａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｅｔ，ｔｈｅｃａｓｅｏｆｉｎｆｉｎｉｔｙｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｓｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙｕｓｉｎｇｏｆｆｉｎｉｔｅｖａｌｕｅａｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＴｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｌｉｎｅａｒＰＤＡＥｓｉＳｅｘｔｅｎｄｅｄｔｏｔｈｅｎｏｎ／ｉｎｅａｒＰＤＡＥｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｘａｃｔｓｏｈｉｆｉｏｎ；Ｔａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅＩｕｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ大连理工大学硕士学位论文第一章绪论本文以物理，力学，光学等领域的线性和非线性问题所对应的线性和非线性微分代数方程（组）为研究对象，以计算机代数（符号计算）为工具，研究了其精确解，可积性等问题。

形式幂级数的基础理论和应用形式幂级数是现代数学基础理论中的一个重要分支，是研究无穷级数的一个重要手段。

本文将从形式幂级数的定义、性质等方面来探讨其基础理论和应用。

一、形式幂级数的定义与基本性质形式幂级数指的是由一系列形如$a_n x^n$的项所组成的级数，其中$x$为未定元，系数$a_n$可以取任意实数或复数。

例如：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x^n+... (a_n\in \mathbb{C})$$其中$f(x)$为形式幂级数，如果其中某一项$a_nx^n=a_mx^m(m\neq n)$，则称其为一项余项。

形式幂级数不是函数，只是一个由一系列项组成的形式化级数。

针对形式幂级数，有一些基本性质：1. 形式幂级数的加法运算：设$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$，则它们之和为:$$f(x)+g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$$2. 形式幂级数的乘法运算：设$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$，则它们的乘积为:$$f(x) \cdot g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$$其中:$$c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$$3. 形式幂级数的复合运算：设$f(x) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n$，则它们的复合为：$$f(g(x))=\sum_{n=0}^{\infty} a_n g^n(x)$$其中$a_n g^n(x)$表示对于形式幂级数$g(x)$，将其代入到 $a_n x^n$ 中，再对一系列项进行求和。

微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 我们就要寻求其它解法. 常用的有幂级数解法和数值解法. 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法.求一阶微分方程),(y x f dx dy =满足初始条件00|y y x x ==的特解, 其中函数f (x , y )是(x -x 0)、(y -y 0)的多项式:f (x , y )=a 00+a 10(x -x 0)+a 01(y -y 0)+ ⋅ ⋅ ⋅ +a im (x -x 0)l (y -y 0)m .这时我们可以设所求特解可展开为x -x 0的幂级数:y =y 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ ,其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅ , 是待定的系数. 把所设特解代入微分方程中, 便得一恒等式, 比较这恒等式两端x -x 0的同次幂的系数, 就可定出常数a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 从而得到所求的特解. 例1 求方程2y x dxdy +=满足y |x =0=0的特解. 解 这时x 0=0, y 0=0, 故设y =a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+ ⋅ ⋅ ⋅ ,把y 及y '的幂级数展开式代入原方程, 得a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4+ ⋅ ⋅ ⋅=x +(a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+ ⋅ ⋅ ⋅ )2=x +a 12x 2+2a 1a 2x 3+(a 22+2a 1a 3)x 4+ ⋅ ⋅ ⋅ ,由此, 比较恒等式两端x 的同次幂的系数, 得a 1=0, 212=a , a 3=0, a 4=0, 2015=a , ⋅ ⋅ ⋅ , 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为2012152⋅⋅⋅++=x x y . 定理 如果方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0中的系数P (x )与Q (x )可在-R <x <R 内展开为x 的幂级数, 那么在-R <x <R 内此方程必有形如 n n n x a y ∑∞==0的解.例2 求微分方程y ''-xy =0的满足初始条件y |x =0=0, y '|x =0=1的特解.解 这里P (x )=0, Q (x )=-x 在整个数轴上满足定理的条件. 因此所求的解可在整个数轴上展开成x 的幂级数y =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+ ⋅ ⋅ ⋅n n n x a ∑∞==0 .由条件y |x =0=0, 得a 0=0. 由y '=a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+ ⋅ ⋅ ⋅及y '|x =0=1, 得a 1=1. 于是 n n n x a x x a x a x a x y ∑∞=+=⋅⋅⋅++++=244332212342321 4321-∞=∑+=⋅⋅⋅++++='n n n x na x a x a x a y ,222432)1( 34232-∞=-=⋅⋅⋅+⋅+⋅+=''∑n n n x a n n x a x a a y .y =x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+ ⋅ ⋅ ⋅n n n x a x ∑∞=+=2y '=1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+ ⋅ ⋅ ⋅121-∞=∑+=n n n x na , y ''=2a 2x +3⋅2a 3x +4⋅3a 4x 2+ ⋅ ⋅ ⋅22)1( -∞=-=∑n n n x a n n .把y 及y ''代入方程y ''-xy =0, 得2a 2+3⋅2a 3x +4⋅3a 4x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +n (n -1)a n x n -2+⋅ ⋅ ⋅ -x (x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+⋅ ⋅ ⋅+a n x n +⋅ ⋅ ⋅)=0,即 2a 2+3⋅2a 3x +(4⋅3a 4-1)x 2+(5⋅4a 5-a 2)x 3++(6⋅5a 6-a 3)x 4+ ⋅ ⋅ ⋅ +[(n +2)(n +1)a n +2-a n -1]x n + ⋅ ⋅ ⋅ =0. 于是有,0 ,0 ,341 ,0 ,065432⋅⋅⋅==⋅===a a a a a , 一般地 )1)(2(12++=-+n n a a n n (n =3, 4, ⋅ ⋅ ⋅). 由递推公式可得,34679101910 ,0 ,0 ,34671677109847⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅===⋅⋅⋅=⋅=a a a a a a , 一般地 3467 )3)(13(113⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+m m a m (m =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 所求的特解为34679101346713411074⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+=x x x x y .。