(仅供参考)张量分析提纲及部分习题答案

第一章 矢量和张量1.1 矢量及其代数运算公式（1） 试给矢量下个定义；（2） （1.1.13）Schwartz 不等式，即三角不等式。

在某空间中，定义了距离，则两边之和大于第三边。

（3） 试证明（1.1.22）；并回顾矩阵理论中，如C AB =，则()()()det det det C A B =的证明方法；1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量（4） 矢量的数学表示方法：基矢量及分量；为使用方便，如算内积，引入对偶的逆变基矢量及相应分量。

（5） 1ijij g g -⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦（1.2.23b ）；指标升降关系（1.2.29）。

1.3 曲线坐标系（6） 自然基矢量（1.3.8），一般称协变基。

（7） （1.2.11）；逆变基矢量是坐标面的梯度。

（8） 坐标i x 一般是不存在的。

例：()123I II x x x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则()()32I II I x x y x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，()12223II II IIx xx x ∂⎧==-⎪⎪∂⎨∂⎪==⎪∂⎩r g i j r g j ， ()()()()221112112421222214669I II I I I II II I III I II I II I II II I II II dx g dx g dx x dx x x dx Pdx Q dx dx g dx g dx x x dx x dx P dx Q dx ⎧⎡⎤=+=+-=+⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪=+=-+=+⎩。

当i iII IP Q x x ∂∂=∂∂时，坐标(),I II x x 才可能存在。

即向量场(),P Q 无旋时，其在两点间的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。

本例中，i iII I P Q x x∂∂≠∂∂，故相应的“协变坐标”不存在。

（正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。

）（9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12）。

（10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a ）不成立。

1.4 坐标转换（11） 基的变换，也就是坐标变换（顺便说明一下什么是矢量）：i i i i i u u u β''''===i i i u g g g ，即i i i i u u β''=。

我们说，基变换时，分量满足相应i i i i u u β''=关系的量是矢量。

有了i i β'后，可以引入i i β'，表示对应的逆变换，且有[]1i ii i ββ''⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦（12） 与坐标相对应的基变换：j j i i x x β''∂=∂，i i j jx x β''∂=∂（13） 举例说明用矢量表示应力，是怎样的力不从心；并说明一下“连续介质”中“连续”的问题。

1.5 并矢与并矢式（14） 并矢就是一个二阶张量；但张量不总能表示成一个并矢，而总是一个并矢式。

（15） 并矢的相等。

若=ab cd ，则a 与c 线性相关，b 与d 线性相关。

（16） 回到（13），连续介质中一点的应力状态σ=ζkk ，对任给的有向截面n ，有()n σ=ζkk n ；1.6 张量的基本概念（17） 是定义在“坐标变换”上的。

（18） 张量的表示方法。

（19） 证明度量张量是张量：这个东西的定义是ijij g g g ，其中ij i j g =g g ；在另一组基下，这个东西是i j i j g ''''g g 。

我们要证明iji j ij i j g g ''''=g g g g 。

()()()()()()()i j i i j j i i j j i j i j i j i j ij ij i j i j i j i i j j i j i j g g g ββββββ''''''''''''''''''''=====g g g g g g g g g g g g g g g g g g（20） 应力是一个张量，并且是对称张量，其内涵是？。

说明一下应力是张量，一点的应力状态表示成iji j σg g ，则在任一给定的面n 上，受力是()iji j σg g n ；二维情况下，应力记为xx xy xx xy yx yy yx yy σσσσσσσσ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ii ji ij jj我们考察上图中各面（用外法线的单位矢量表示相应的面）的受力情况： 对i 面，单位面积上受力()()iji j xx xy yx yy xx xy σσσσσσσ=+++=+g g n ii ji ij jj i i j对-j 面，单位面积上受力()()()iji j xx xy yx yy yx yy σσσσσσσ=+++-=--g g n ii ji ij jj j i j考察斜边上的面元（sin cos x y n n θθ=-+=+n i j i j ）受力，()()()()0n xx xy yx yy dl dy dx ma O dxdy a σσσσ+++--===ζi j i j ，所以，()()()()()()()()()()()()s i n c o s n x x x yy x y y x x x y y x y y x x x y x y x y y y x x x y x y x y yyx x x y y x y yx y d y d x d l d ln n n n n n σσσσσσθσσθσσσσσσσσσσσσ=-+++=-+++=+++=+++=++++=ζi j i j i j i j i j i j ii ji i ij jj j ii ji ij jj i j ζn对静止的连续介质，有0Afd ρΩ+Ω=⎰⎰⎰⎰⎰ζn ，0d fd ρΩΩ∇Ω+Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ζ，0f ρ∇+=ζ。

（21） 证明应力是一个张量；记ij σ：表示在给定基{}i g 下，在面j g 上，单位面积受力j F 在i g 方向上的分量为1ij j σg ；（此即ij σ的物理意义，这是因为()11i ji ij j j ij j j σσ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭g g g F g g g ，11ij i ij i ij j j σσ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭F g g g g g ）； 对应地，记i j σ''：表示在给定基{}i 'g 下，在j 'g 上，单位面积受力j 'F 在i 'g 方向上的分量为1ij j σ''g ；下证：iji j ij i j σσ''''=g g g g ，；1.7 张量的代数运算（22） 并乘、缩并、矢积。

1.8 张量的矢积（23） 置换张量（Eddington 张量）与ε~δ等式。

（24） 证明置换张量是张量，（1.8.11）。

（25） 广义Kronecker δ；（1.8.17），（1.8.18），（1.8.19），（1.8.20） （26） 矢积，用置换张量表示。

（27） 置换张量表示的混合积。

习题1.1-1.7：略；1.8 ：()1111213123221222333132330ikik g g g dx d d g dx dx dx dx dx g g g dx g g g dx ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪≤== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ；1.9-1.13：略； 1.14：注意，所谓斜圆锥是指，O 点沿z 方向在大圆平面上的投影M 在大圆的直径上。

1x θ=，2x z =，()sin QN R θπ=-r j ，()cos PN R θπ=--r i ，PM C =-r i ， ()cos MN PN PM R C θ=-=+r r r i ；对斜圆锥面上任一点（图中黑点处），不难由相似三角形得到，()cos sin z zR C R z H Hθθ=+++r i j k ，进而可得，sin cos Rz zR H H θθθθ∂-==+∂r g i j ，cos sin z R C R z H Hθθ∂+==++∂r g i j k ，()222222222sin 1sin 2cos R z RCzH H a RCz R CR C H H H αβθθθ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；1.15-1.18：略；1.19：相应的线元矢量是kk dx g （带～表示不求和），其长度()()k kkk k k kkkk ds dx dx dx g dx ===g g g ；1.20：cos k l k lkk llg g g θ==g g g g1.21-1.26：略；1.27：因为定义适用于任何坐标系，所以有()()0lim j j j j ij j i i i t x t t x t dx x dx v v t dt x dtβ''''''∆→+∆-∂====∆∂；1.28：（连续介质中，某物质点的拉格朗日坐标是不会变的，因为拉格朗日坐标就固结在物质上；变的是拉格朗日坐标与欧拉坐标的相互关系，欧拉坐标即空间坐标，是固结在空间中的，一般也就是笛卡尔坐标。

）()()()()()ˆˆˆˆˆi j i j i j i j i j ij ij d d d d dx dx dx dx g g dx dx -=-=-rr r r g g g g ， ()1ˆ2ij ij ij g g ε=-。

i j ij εg g 显然是张量（把i jij εg g 看作是并矢式即可），且是对称张量，因为ij ji εε=；浅释“应变是张量”：应变反应了一种“连续可微”的变形，而所谓“连续可微”，在无穷小邻域内，就是线性（这一点，在单变量函数中表现得尤为明显）；而所谓“应变”就是将一点邻域的任意微矢径（神一样的d r ）“连续可微地”，也就是“线性地”映射成另一个微矢径。

因为这一映射是线性的，所以可以用张量来表述。

（参见本书P263页）引入P263的变形梯度ˆi i =F g g，则ˆii =F g g ，注意F 是确定的张量。

下利用F 证i j i j ij i j εε''''=g g g g ，即要证ˆˆi j i j ij i j gg ''''=g g g g ()()()()()()()()()()()()ˆˆˆˆˆˆi j i j i j i i j j ij i j i j i j i j i j i j i j i j i j i i j j i j i j i j g g ββββ''''''''''''''''''''⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦g g g g g g F g F g g g F g F g g g F g F g g g F g F g g g g g g g g g1.29-1.30：略；1.31：坐标变换时，有k i i kv v β''=，kk i i x xβ''∂=∂，因为()()k km k n k m n m n m n n m n m n m n m k k m n k k m n k k k k m n k k nmm n k n m m n n m n m n m m n k k n m m v v v v x x x x v v v v v x x x x x x v x βββββββββββββββββββ''''''''''''''''''''''''''''''''⎡⎤∂∂∂∂⎛⎫⎢⎥-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂=∂n m m n k k n k m k k kn m n m n n m m n n m n m m n n m n m m n v v v v v x x x x x x x x xv v x x βββδβδβ''''''''''''∂∂∂∂∂∂∂-=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-∂∂1.32-1.37：略；1.38：（参见本书P169）1kl kl ij ki lj kl ij E Eγγεδδσδδσ+=-，故可在任意坐标下，:=εD ζ，其中1ijkl ki lj kl ij D g g g g E Eγγ+=-； 1.39：123123123i j km in jl km n lijk m n l ijk mnl c c c c e a b a b a b e a a a be ab ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== 1.40-41：略；1.42：23123d dx dx =⨯a g g ；… 1.43：略；1.44：()()()()()()⨯⨯=-A ΒC D A C ΒD A D ΒC ()ijki j k a b ε⨯=A Βg ，()ijk ijk c dε⨯=C D g ，()()()()()()()()()ijk m n l m n ijk m n ij j i i j k mnl i j mnki j m n m n i j j i i j i j a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d εεδδδδδ⨯⨯===-=-=-A ΒC D g g A C ΒD A D ΒC1.45-46：略；1.47：方法一：要证1**1....pr p p q q q r p qT T βββ''''''=；。