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晶体物理性能南京大学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容．由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第一章张量的基础知识§１．１标量、矢量和二阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５二阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的足符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表示和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴………………………………………§１．９二阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第二章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原子间力…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应力……………………………………………………………………………………§２．４推广的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５立方晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因子的测量方法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３高频电场的介电极化（光的色散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离子晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的一般性质…………………………………………………………………§４．２常用铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热力学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电方程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应用实例――石英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲面……………………………………………………………§５．４晶体表面上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光干涉及其应用……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１非线性极化…………………………………………………………………………§６．２非线性极化系数……………………………………………………………………§６．３非线性介质中电磁场耦合方程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７角度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放大…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐方法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13非线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应用§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的几个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第八章声光效应及其应用§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作用产生的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作用的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在一些物理常数测量中的应用…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散角α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射面相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第一章 张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。
第一章 张量的概念§ 1.1 引言什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。
有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。
当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。
例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛σσσσσσσσσ=σzz zyzxyz yy yxxz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。
当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。
把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。
矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。
可以看出，张量是矢量概念的推广。
关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。
由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。
采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。
这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。
因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。
此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。
张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。
附录I 张量分析近代力学在电子计算机的辅助下冲破了数学求解上的重重困难，取得了突飞猛进的发展，力求对复杂的物理现象和工程问题做出更为系统和真实的描述和研究。
张量分析能以简洁的表达形式和清晰的推导过程来有效地描述复杂问题的本质，已被近代力学文献和教科书普遍采用。
作为入门，此处着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。
I.1 矢量和张量的记法，求和约定力学中常用的量可以分成三类：只有大小没有方向性的物理量称为标量。
例如温度T 、密度ρ、时间t 等。
既有大小又有方向性的物理量称为矢量，常用黑体（或加箭头）表示，为与课堂讲述一致，此处选择用上加箭头表示矢量。
例如矢径r 、位移u 、速度v 、力f 等。
具有多重方向性的更为复杂的物理量称为张量，常用黑体（或加下横）表示，为与课堂讲述一致，此处选择用下加横线表示矢量。
例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为σ。
矢量可以在参考坐标系中分解。
例如图1 中P 点的位移u 在笛卡儿坐标系()321,,x x x 中分解为∑==++=31332211i i i e u e u e u e u u (I.1)其中1u 、2u 、3u 是位移的三个分量，1e 、2e 、3e是沿坐标轴的三个单位基矢量。
由此引出矢量（可推广至张量）的三种记法： ( l ）实体记法：把矢量或张量的整个物理实体用一个黑体字母或上加箭头来表示。
例如把位移记为u 。
( 2 ）分解式记法：同时写出矢量或张量的分量和相应分解方向的基矢量。
例如用式(I.1)表示位移u 。
( 3 ）分量记法：把矢量或张量用其全部分量的集合来表示，省略相应的基矢量。
例如用三个位移分量()3,2,1=i u i 的集合表示位移u 。
下面详细讨论后两种记法中广泛采用的指标符号。
对于一组性质相关的n 个量可以采用指标符号来表示。
例如，n 维空间中矢量a 的n 个分量1a ，2a ，…，n a 可缩写成()n i a i ,,2,1 =。
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。
写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。
1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。
这是一个约定，称为求和约定。
例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。
不求和的指标称为自由指标。
1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。
第一篇 张量分析第一章 矢 量 §1—1 矢量表示法物理中的位移、速度、力都是矢量。
利用三维空间中的有向线段ν表示矢量是最直观的表示法，如图1-1所示。
有向线段的长度v 代表矢量的大小。
这种方法不依赖于坐标系的选择。
矢量的分量表示法是另一种表示方法，选定一个坐标系。
比如通常的正交直线坐标系，即卡氏坐标系，然后确定矢量对于该坐标系的分量(,,)x y z v v v ν(1-1a)这一有序数也可视作一个单行矩阵。
矢量也可以用基矢与其对应分量写成x y z iv jv kv ν=++ (1-1b)其中,,x y z iv jv kv 称为分矢量。
而i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1) (1-1c)是单位矢量，它们组成卡氏系中的一组基矢(称为标架)。
§1-2指标符号上面所述用分量(,,)x y z v v v 或用基矢量i,j,k 来表示矢量的方法，在推广到比三维更高的空间时就有困难了。
因此，发展了另一种记法。
把x 、y 、z 分别记为111,,x y z 这样，一个n 维空间的矢量(无法用直观图表示)用分量表示时为123(,,,...,)n v v v v ν= (1-2a)它可视为一个M 维的单行矩阵，且可写为{}i v ν= (1,2,3,...,)i n =同理，基矢i,j,k 可分别写为123,,e e e ，n 维空间的基矢i e (1,2,3,...,)i n =。
而与式(1-1b)对应的写法为112233n n e v e v e v e v ν=++++ (1-2b)相应的分矢量为11,,,i i e v e v ，其中1e =(0,…,0,1,0,…,0) (1-2c)↑ 顺序第i 个这里i 叫做v 的下标，也有记作jv (如本书第三章以后章节所出现)的，这时j 称为上标。
有些量比矢量更复杂，只用一个下(或上)指标还不够，还要采用更多的指标，比如,,,ij ij ijk A B C ，等等。
