张量分析简答题

张量考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 张量是多维数组的推广，它在数学中通常用来描述什么？A. 向量场B. 线性变换C. 标量场D. 矩阵2. 以下哪个不是张量的属性？A. 阶数B. 维度C. 线性D. 可微性3. 在张量代数中，两个张量的乘积被称为什么？A. 张量积B. 外积C. 内积D. 张量和4. 张量场在物理学中通常用来描述什么？A. 力B. 温度C. 位移D. 速度5. 张量的阶数是指什么？A. 张量中元素的数量B. 张量可以展开的维度数C. 张量在空间中的自由度D. 张量中非零元素的个数6. 张量分析中，哪种操作可以改变张量的阶数？A. 张量积B. 张量和C. 张量外积D. 张量内积7. 在连续介质力学中，应力张量是如何描述的？A. 描述物体内部的力B. 描述物体的位移C. 描述物体的变形D. 描述物体的体积变化8. 张量运算中的“缩并”操作是指什么？A. 将张量简化为更低阶的张量B. 将两个张量合并为一个C. 将张量中的某些维度进行求和D. 将张量中的元素进行排序9. 在张量代数中，张量的转置操作会改变张量的什么？A. 阶数B. 维度C. 元素的值D. 元素的排列顺序10. 张量场在广义相对论中扮演什么角色？A. 描述时空的曲率B. 描述物体的质量分布C. 描述物体的动量D. 描述物体的角动量二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述张量与矩阵的区别，并给出一个张量的例子。

2. 解释什么是协变导数，并说明它在张量场中的应用。

3. 描述张量积与外积的区别，并给出一个具体的例子。

三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二阶张量 \( A \)，其元素为 \( A_{ij} \)，计算 \( A \) 的迹（trace）。

2. 考虑一个四维空间中的张量场 \( T^{ab}_{cd} \)，其中 \( a, b, c, d \) 都是从0到3的整数。

如果 \( T^{ab}_{cd} \) 在某一点\( P \) 处满足 \( T^{ab}_{cd} = T^{ba}_{dc} \)，计算在该点\( T \) 的对称化（symmetrized）形式。

《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。

*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。

班 级： 姓 名： 学 号： 考试日期：密 封 线拟题人： 2011-2012 学 年 1 学 期 张量分析（A ） 试卷 校对人：一. 简答题（每题2分，共10分）1． ij j a b 与k ikb a 是否相等? 2． *ij δ是如何定义的?3． 张力张量的阶数与对称性如何？ 4． 对偶基的定义。

5． 阶数大于等于2的张量的分量有几种类型？二. 给出坐标变换*i ij j x x α=,其中 0()1000ij α⎛= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(a) 若在i x -坐标系中12322,A i i i =-+ 求它在*i x -坐标系中的分量。

（5分）(b) 若**132,B i i =+ 求它在i x -坐标系中的分量。

（5分） (c) 计算在i x -坐标系中的A B ⨯。

（5分）三. 平面应力12()21i j s -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求：（1）与单位向量n =+垂直的面上的应力。

（5分） （2）这个面上的法应力与切应力。

（5分）四. 一个二阶张量的分量如下给出：()400021012ij I ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(a) 求此张量的特征值及主轴。

（8分）(b) 写出在以主轴为坐标轴的坐标系中此惯性矩张量的分量。

（2分）五. 写出下列张量的散度223121222233112222312()ij x x x x x x s x x x x x x x x x x ⎛⎫-⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭ (10分)六. 写出由给定基决定的ix -坐标系与*ix -坐标系间的转换：1212122,e i i e i i =+=-+；*1*212122,2.e i i e i i =+=-+（10分）七. 令()ix φ为直角笛卡尔坐标系i x 中的数量场，且令**i i jj x x α=为由这个直角笛卡尔坐标系到一个斜坐标系*ix 的坐标转换。

证明：(1,2,3)ii xφ∂=∂是φ的梯度的共变分量。

（10分） 八. 已知两个斜笛卡尔坐标系ix -坐标系与*ix -坐标系，分别由下列基确定：1232133132,,;e i i e i i e i i i =+=+=++*1*2*311312,2,2.e i e i i e i i ==+=+在ix -坐标系中，一个二阶笛卡尔张量的共变和反变分量分别为：()()120161825203,182532032253242ij ij a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭写出这个二阶张量在*ix-坐标系中的共变分量及反变分量。

张量分析作业1.2题 证明：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()C B AD D B A C D C B A U B A D C B A D C A B U B A U A B B A U A B U BA U AB U B A U B A DC wv u v w u w v u U D C B A D C D C B A ⨯∙-⨯∙=⨯⨯⨯=⨯⨯∙-⨯∙=∙-∙=∙+∙-∙+∙-=⨯⨯-=⨯⨯⨯-∙-∙=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯令同理可证得：利用点积交换律得：得：，利用公式设1.5 求证：0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。

证明： a b ⨯=xy z xy zij ka a ab b b =()()()0y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k -+-+-= ∴i j j i a b a b =即i ji ja a kb b == i i a kb = i j k i j k k k k a i a j a k b i b j b k ∴++=++即k =a b ,a b ∴线性相关 同理可证 当,a b 线性相关时，0a b ⨯= ∴0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。

1-7解：c mb a =+ ()1,2,3c =()2,,2mb m m m =- (),,a x y z =22021223x y z m x m y z m +-=+=+=-=解得1320234,,,9999x y z m ====-132023999a i j k =++1.8 试求线元d kx 的长度d k s 。

解：d d d d =d d d k ki k k ki i i x g x x x g r g r r δ=⇒==⇒1.10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1-10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1.17求：题1.13所示圆柱坐标和球坐标i x ,与笛卡尔坐标j x '的转换系数'i j β与'j i β。

练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。

2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。

5. 证明ijkmik =-2δjm 。

6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。

7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。

并验证主方向是相互正交的。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。

求这个位移场的应变张量Γ。

11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。

练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。

解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。

张量分析习题答案张量分析习题答案张量分析是数学中的一个重要分支，它在物理学、工程学和计算机科学等领域中有着广泛的应用。

学习张量分析需要掌握一定的数学知识和技巧，通过解答习题可以更好地理解和应用这一理论。

本文将给出一些张量分析习题的详细解答，帮助读者更好地掌握这一领域的知识。

1. 习题一：设有一个二阶张量A，其分量为Aij = 2i + j，求A的迹和对称部分。

解答：首先，迹是指一个方阵的主对角线上元素的和。

对于二阶张量A，其迹为Aii，即A的两个主对角线元素之和。

根据题目给出的分量表达式，可以得到A的迹为A11 + A22 = 2(1) + 1 + 2(2) + 2 = 9。

其次，对称部分是指一个张量的分量满足Aij = Aji的部分。

对于二阶张量A，其对称部分为(A + A^T)/2，其中A^T表示A的转置。

根据题目给出的分量表达式，可以得到A的转置矩阵为：A^T = [A11 A21][A12 A22]= [2(1) + 1 2(2) + 2][1 2]将A和A^T代入对称部分的表达式中，可以得到对称部分为：(A + A^T)/2 = [(2(1) + 1) + (2(1) + 1)]/2 [(2(2) + 2) + 2]/2[(1 + 1) + 1]/2 [(2 + 2) + 2]/2[3 4][1 2]2. 习题二：设有一个三阶张量B，其分量为Bijk = i^2 + j^2 + k^2，求B的迹和对称部分。

解答：对于三阶张量B，其迹为Biii，即B的三个主对角线元素之和。

根据题目给出的分量表达式，可以得到B的迹为B111 + B222 + B333 = (1^2 + 1^2 + 1^2) + (2^2 + 2^2 + 2^2) + (3^2 + 3^2 + 3^2) = 9 + 12 + 27 = 48。

对于三阶张量B，其对称部分为(B + B^T)/2，其中B^T表示B的转置。

根据题目给出的分量表达式，可以得到B的转置张量为：B^T = [B111 B211 B311][B121 B221 B321][B131 B231 B331]= [1^2 + 1^2 + 1^2 2^2 + 1^2 + 1^2 3^2 + 1^2 + 1^2][1^2 + 2^2 + 1^2 2^2 + 2^2 + 1^2 3^2 + 2^2 + 1^2][1^2 + 3^2 + 1^2 2^2 + 3^2 + 1^2 3^2 + 3^2 + 1^2]= [3 6 9][6 9 14][9 14 19]将B和B^T代入对称部分的表达式中，可以得到对称部分为：(B + B^T)/2 = [(1^2 + 1^2 + 1^2) + (3)]/2 [(2^2 + 1^2 + 1^2) + (6)]/2 [(3^2 + 1^2 + 1^2) + (9)]/2[(1^2 + 2^2 + 1^2) + (6)]/2 [(2^2 + 2^2 + 1^2) + (9)]/2 [(3^2 + 2^2 +1^2) + (14)]/2[(1^2 + 3^2 + 1^2) + (9)]/2 [(2^2 + 3^2 + 1^2) + (14)]/2 [(3^2 + 3^2 + 1^2) + (19)]/2[5 8 10][8 11 16][10 16 24]通过以上习题的解答，我们可以更好地理解和应用张量分析的知识。

关于张量分析的数学原理和实际应用案例引言张量分析是一门重要的数学分支，在科学和工程领域有着广泛的应用。

作为一种多维量、多方向、多变量的数据结构，张量在物理、力学、电磁学、地球物理学等领域的描述、建模与计算中起着不可或缺的作用。

本文将介绍张量分析的数学原理以及实际应用案例，旨在帮助读者更好地了解这门学科。

第一部分数学原理1.张量的定义按照一般的定义，张量是一个可用于表示多维量和多向量之间关系的数学对象。

它可以看做是一种多维矩阵，其中每个元素都有多个指标。

与标量和向量不同，张量的指标可以有多个，我们常常用字母来表示。

2.张量的运算在张量分析中，张量的运算包括加、减、乘等。

与标量和向量不同，张量的乘法并不等同于代数乘法，而是采用了一种特殊的“卷积运算”。

例如，两个二阶张量相乘的结果是一个四阶张量。

这种方法既能描述多维多向量之间的关系，又可以实现基本的数学运算。

3.张量的变换由于张量具有多个指标，所以张量的变换涉及到各个指标的变化。

例如，一个二阶张量在坐标系变换后，其各个分量会发生相应的变化。

我们可以通过矩阵变换来描述张量的变换规律。

这一点在物理领域的应用尤其常见。

第二部分实际应用案例1. 电磁场模拟电磁场模拟是利用计算机模拟电磁场分布的方法，是工程和科学研究中的一项重要任务。

在这个过程中，张量分析被广泛应用。

例如，可以用张量表示电场强度、磁场强度等物理量，通过各种运算描述它们之间的关系。

同时，也可以用张量来描述电磁波的传播规律，实现电磁场的精确计算。

这种方法被广泛应用于电子器件设计、通讯技术等领域。

2. 生物医学图像处理生物医学图像处理是生物医学领域研究的一个重要方向，包括了图像采集、处理、分析等各个环节。

其中，张量分析被广泛应用于图像处理中。

例如，可以用张量表示医学图像中的像素强度、颜色等信息，通过各种运算分析其空间分布与统计规律，实现对生物组织的诊断、治疗等应用。

这种方法在医学影像学、神经科学等领域有着广泛的应用。

张量习题答案张量习题答案张量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。

它是一个多维数组，可以用来表示向量、矩阵和更高维的数据结构。

张量的运算和性质十分复杂，因此在学习张量的过程中，习题是不可或缺的一部分。

下面我将为大家提供一些张量习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题：给定两个向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，求a和b的内积。

答案：内积是两个向量对应分量的乘积之和。

所以，a和b的内积可以表示为：a·b = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32。

2. 习题：已知一个3×3的矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求矩阵A的转置。

答案：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

对于矩阵A来说，它的转置可以表示为：A^T = [[1, 4, 7], [2, 5, 8], [3, 6, 9]]。

3. 习题：已知一个2×2的矩阵B = [[2, 3], [4, 5]]，求矩阵B的特征值和特征向量。

答案：特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。

对于矩阵B来说，我们可以通过求解特征方程来求得其特征值和特征向量。

特征方程可以表示为：det(B - λI) = 0，其中I是单位矩阵，det表示行列式。

解特征方程可以得到矩阵B的特征值。

然后，将每个特征值代入(B - λI)x = 0，求解得到特征向量。

具体计算过程略。

4. 习题：已知一个3维张量C，其形状为(2, 3, 4)，求张量C的元素个数。

答案：张量的元素个数等于各个维度的乘积。

对于张量C来说，其元素个数可以计算为：2 × 3 × 4 = 24。

5. 习题：已知一个2维张量D，其形状为(3, 3)，求张量D的逆矩阵。

答案：逆矩阵是在线性代数中常用的概念，对于方阵来说，如果存在逆矩阵，那么该矩阵是可逆的。