张量分析简明教程 公式整理手写版

eijk有27个量，其中 个不为零。其标号中，每相 个量， 个不为零。 个量 其中6个不为零 其标号中， 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 它将改变正负号。 它将改变正负号。如
AB BA [C ij ] = [C ij ]T
r r 则有(板书演示 板书演示) 因为 eiA ⋅ e jA = δ ij ，则有 板书演示
AB BA C ik C kj = δ ij
或
AB BA [C ij ][C ij ] = [ I ]
BA 根据 [C ijAB ] = [C ij ]T ，可见
r r r ei × e j = eijk ek
12:17
16
r r r r r A × B = Ai ei × B j e j = Ai B j eijk ek
eijk = −ejik r r r r A× B = −B × A
易证
r r r ei ⋅ (e j × ek ) = eijk
上式亦可作为e 的定义。 上式亦可作为 ijk的定义。
aij b j = aik bk
ϕ ,i dxi = ϕ ,k dxk
12:17
7
如果标号不是字母，而是数字， 如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约 定，如
σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ x + σ y + σ z(求和约定 求和约定) 求和约定
不求和) 其中 σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z (不求和 不求和 另外 (σ x + σ y + σ z )(σ x + σ y + σ z ) 应写成 σ iiσ jj ，不 因为后者的标号重复了4次 能写作σ iiσ ii，因为后者的标号重复了 次。 两矢量的点乘积应写成 r r r r A ⋅ B = Ai ei ⋅ B j e j

1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi

ai i ai xi
18

显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成

f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i

g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2

g = g gj
i ij
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量， 或共轭度量张量
B) 相伴（共轭）度量张量
gi ⋅ g j = gik gk ⋅ g j = gikδkj = gij
g = g ⋅gj
ij i
gi ⋅ g j = δ ij ⇒ gik gk ⋅ g j = δ ij
gik gkj = δ ij ⇒
类似
gi = gij g j
gi = gij g j gi = gij g j
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换， 提升或下降指标。
C) 矢量的逆变分量和协变分量
任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
可知：若坐标系由xi 变换为yi ，则基矢量gi按上述变换法则变换。基矢 量gi也称为协变基矢量。
三、基本度量张量
对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。 在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。
ds2 = dr ⋅ dr =gi dxi ⋅ g j dx j = gi ⋅ g j dxi dx j
i j k a = aij = eijka1a2 a3
aeilm = e a a a
i ijk l
j k m n
E) 克罗内克符号与置换符号的关系
1 δ1 δi j = δ12 3 δ1 1 δ2 2 δ2 3 δ2 1 1 0 0 δ3 2 δ3 = 0 1 0 =1 3 δ3 0 0 1
δli δl j δlk
y j = y j (x1, x2 , x3 )
逆变换为：
( j =1 2,3) ,

§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3

第三章 张量分析将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。

张量的协变导数是本章讨论的重点。

§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：j ,i i i i j ,j ,i i j ,jg V g V )g V (V xV +===∂∂ (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。

（3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。

下面分别进行讨论。

一、基矢量i g 的偏导数j ,i g由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出s j i s2s i s j j ,i i xx z )i x z (x g ∂∂∂=∂∂∂∂=这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量：kkijkijkj,i g g g Γ=Γ= （3.1-2）式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。

从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。

若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到i j klk i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3b)ijk Γ称为第一类克里斯托费尔（Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。

（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。

2 x j
(

xi
)
两个特殊符号

两个特殊符号
为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书 写。

kronecker符号

定义
1 i j ij 0 i j
11 22 33 1 12 21 13 31 23 32 0
例题
Qii, S展开？ 步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开 2. 写出a=Aijbicj的展开式。
1. 3. 4.
5.
写出 ti ji n j 的展开式。 写出 bik b jk ij 的展开式。 u j 的展开式。 ?写出 1 ui
eij
6.
1 ?写出 w 2 ij eij 的展开式。
第一章 张量分析初步
第一章 张量分析初步


本章学习目的 引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、 应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概 念及运算做准备。是本门课的数学基础。 ? 1 已学习过的物理量

标量？ 向量？
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
2

有了标量和向量是否足够描述自然现象？
如何用一个最简单 的式子来表示？

用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? aij x j bi 可总结为： aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号

指标记号


空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐 z 标为：x, y ,z P(x, y, z) 直角坐标系中的基向量：

或
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i
a a i
ii i（对 i’ 求和）
a a i
ii i（对 i 求和）
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
ee121211
12 22
1233ee12
e3 31 31 33e3
ei iiei （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
可见：
e ijk e jk i e k ij e jik e ik j e k ji
e i j k 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2, e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
则
ei ej eijkek
常见的恒等式

a y x a y y a y z
az z az x az y
右梯度
grada a
a i e i e j

j

ai ei e j xj
ai , j ei e j
a ij e i e j
其中：
a ij
柱面坐标系 设直角坐标系为
曲线坐标系为
则式
i i
x x x
1 1
的具体形式取为：
i'
'
'
x
x
i'
i
: x1 , x 2 , x 3
1'

, x
3'
: x r, x
2'
z

x i' x x x 2 x 2 xi
x
3
x x z
3 i'
r cos r sin
x z C3 (常数)为垂直于z轴的平面；
3'
(iii)
和坐标曲线： (i) (ii) (iii)
x r C1和 x C2 的交线(z线)是直线；
dS1
dS3
d S1 d r2 d r3 d S2 d r3 d r1 d S3 d r1 d r2
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有： 左边
(a1n1 a2 n2 a3n3 )dS
除
r 0
外，
J 0 ，故有逆变换的具体形式如下：
x
1'
r
'

2.9克里斯托弗尔符号 ij   i g j  gkk  ig j  gkrgr  gkr ig j g r  gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk  g kr  ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把  i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk  0 ，  ij  0k(2.9.10)k ij  ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故  ijk  0 和  (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。

事实上，由于g ij , k   gk 0。

 ig j  这里分解系数  ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。

在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p  和   表示。

 ij gigj kgi gj g i  k gj  kij   kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i  ijk   ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j   jki   jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk  1 2 g k   ijp kp k  ijk   i g j  g kk ij  ig j  ggkrjk , i g ki , j  gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。

i Lagrange坐标系中, 物理量求物质导数仅需保持 坐标不变, 而对
时间 t 求导. Euler 坐标系中求物质导数时, 不仅要考虑物理自身随时间的变化, 而且要考虑由于质点运动而引起的位置坐标 x i 的变化. Lagrange 坐标系一般是曲线坐标系, 而Euler坐标系可以取直角坐 标系,一般在推导时采用Lagrange坐标系, 然后转换到Euler坐标系 中进行计算. 5
ˆi dg ˆ v) g ˆ i ( ˆi E g ˆi ω g dt
ˆi dg ˆ ) g ˆ i ( v ˆ i (E - Ω) g ˆi E g ˆ i Ω g ˆi E g ˆi ω g dt
13
4.3 欧拉坐标系基矢量的物质导数
r r ( x i (t )),
2. Lagrange坐标
r ( x j (t )) j gi g ( x (t )) i i x
ξ3
拉格朗月坐标是嵌在质点上, 随物体一起运动和变形, 又称随体坐标或嵌入坐标: i ξ3 变形前后的同一个质点坐标值不 B g ξ2 改变, 但是两质点的距离在变形前 A 后发生了变化。
ˆij dT
j ˆij d T ˆ ˆ d g dT d ˆ i d g j j i j i ˆ j i g ˆ j g ˆ ig ˆ T ˆ T ˆi ˆ ig ˆ ) (T j g g dt dt dt dt dt
ˆ r ˆ ˆi dr ( i ) t d i d i g ˆ r ˆ ˆ i ( j , t ) g i ( i )t g
ξ3
B A
3 g
ξ3
ˆ3 g
B'
ˆ2 g
A'

() ( ),ij xi x j
2
uk ,ij
uk xi x j
2
3.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj
j=1
j 为自由标
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
1
同一个方程中各项自由标必须相同
2
不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变

Ti ' j '
i i j j Tij
' '
符合 i' j' k' l' i' i j' j k' k ijkl ,为一新张量
交换律：
A B B A
结合律：
A ( B C ) ( A B) C
2.矢量与张量的点积
T Tij ei e j
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1

e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'

' x1
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则：i' j α

cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos(e2' , e1 ) cos(e2' , e2 ) sin cos

12
'

x1 11 ' 同样： x 2 21 '
T x ' 1 i ' j ' x ' 22 2 12
'

x ' 1 x ' 2
由（ ）式得
2、梯度
1
标量场
( x1 , x 2 , x 3 ) grad , i e i
为一阶张量－－矢量
2
张量场
A Aijei e j
（1）左梯度
A e i i A jk e j e k A jk , i e i e j e k
（2）右梯度
A i A jk e j e k e i A jk , i e j e k e i 高一阶的张量场
第一节
指标符号
第二节
第三节
张量的定义和代数运算
张量分析
自然法则与坐标无关。 坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩 盖了物理本质；并且相关表达式冗长。
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x 2 x n
记作
x i ( i 1, 2 , n )
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
xi i j' x j'
由 x i ' x ' ' i j j ij 又
j 'k
xk
x i ik x k
ij
'
j 'k
ik
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律

x2
A

• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶 域内转换到边界
l
x1
向二维扩展：Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
gi ( x j ) gi ( x j x j )
gi gi ( x , x , x )
1 2 3
O
是坐标的非线性函数
基矢量的导数，Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号 协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号 g j g j k k k ij gk ij i g 定义式 i x x
m Tim m T i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度 特殊张量1：度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此，Laplace算子的计算式：
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间，只有一个最基本的一阶矢量微分算子， 即梯度算子。 Euclid空间，只有一个最基本的二阶标量微分算子， 即Laplace算子。
从而可得右梯度和左梯度：
T i T T (r ) i g x

。从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。
设 为三维区域 中的向量场，关于 的左右散度为
， 从上面两式可以看出向量的左右散度相等。
关于向量场 的左右旋度为
，
对于 的左右旋度，有关系式
。
标量场 的 Laplace 算子 为，
向量场 的 Gauss 公式为
其中 为区域 的边界曲面， 外法向量。
向量场 的 Stokes 公式为
， 为 上的单位
这里 为任意曲面， 为 的边界曲线，在边界 上积分 的环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者 来看，曲线沿反时针为正。
第二部分 张量的简单运用
张量分析在许多领域有着广泛的应用，现在所学的弹塑性力学就 有简单的运用介绍，而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意 义。
对称张量之和，即：
Cij Aij Bij
Aij
1 2
C ij
C ji
Aji
Bij
1 2
C ij
C ji
1 2
C ji
Cij
B ji
4）高阶张量的对称和反对称
高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置
换张量，它关于任一对下标是反对称的：
ijk jik ,ijk ikj ,ijk kji
2.3 张量的乘法
两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张
量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。
设 Aij 、 Bk 是张量，则外积
Cikj Aij Bk
Aˆij y
Amn
x
x m y i
x n y j
Aˆij yBˆ k y
y k xl
x m y i

第五章 张量分析§5.1 张量函数及其导数一、张量函数、同向同性张量函数的定义若一个张量H(标量、矢量、张量)依赖于n 个张量1T 、2T 、……、n T （矢量、张量）而变化，即当1T 、2T 、……、n T 给定时，H可以对应的确定（或者说，在任意坐标系中，H的每个分量都是1T 、2T 、…、n T 的一切分量的函数），则称H 是张量1T 、2T 、……、n T 的张量函数，记作：12H ()n F T T T =、、…、 （1） 如应力、应变关系 ():F C σεε==kl ij ijkl C σσ=定义：矢量的标是函数()f u ϕ=，如将自变量u 改为 uQ U =∙(Q 为任意正交张量)，函数值保持不变，则称此标量函数为各向同性标量函数。

定义张量X 的旋转量X : 1）若X ϕ=为标量，则 X ϕϕ== （2） 2）若X u =为失量，则 T X u Q U u Q==∙=∙ （3） 3）若X T =为二阶张量，则X T =为T 的正交相似张量 T X TQ T Q ==∙∙ （4） Q 为一任意正交张量（可表示旋转与反射）。

定义：一函数12()n x f X X X = 、、…、，当将自变量12n X X X、、…、改为其旋转量 12n X X X 、、…、时，函数值x 必相应地变为其旋转量 x，即： 12()n x f X X X = 、、…、⇒ 12()nx f X X X=、、…、 对任意的Q则的此函数为各向同性函数。

二、张量函数导数的定义，链规则1． 有限微分，导数与微分定义标量x 的函数()F x 对于增量z 的有限微分'()j F x z 为'01()lim [()()]j h F x z F x hz F x h→=+- （5）z 是自变量x 的有限量值的增量，与x 的量纲相同，h 是一个无量纲的无穷小量。

对矢量v 的矢量函数w，即()w F v =（6）定义：'01()lim [()()]j h F v u F v hu F v h→=+- （7）'(;)F v u 也是一个矢量，而且有''()()j F v u F v u =∙ （8）'()F v 是一个二阶张量，称为函数()F v 的导数，或写作()dF v dv又 ()()'(;)()'()()F v hu F v hF v u o h hF v u o h +-=+=∙+（9）其中 ()o h ： 0()lim 0h o h h→= （10）令 dv hu = ，取（10）式的主部，称为()F v的微分，它是当自变量v 有微小的增量dv 时，函数F 的微小增量，记作dF ，'()['()]TdF F v dv dv F v =∙=∙ （11）下面给出n 阶张量A 的m 阶张量函数()T A导数的一般定义，01'()lim [()()]j h T A C T A hC T A h→=+-（12）增量C 是与自变量A 同价的n 阶张量，而有限微分'(;)T A C 是与函数()T A同价的m 阶张量。