谈分离变量法
【摘 要】 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.文章对分离变量法进行了不同角度
的定义,针对其能解决的问题作出了详尽的说明.通过对比二次函数数形结合与分离变量两种方法体现了分离变量的优越性.文章还对分离变量法进行了推广,使得一些较为困难的题目解决起来更容易,也更有理论依据(文中给出的定理没有作出相应的证明).文章使得对分离变量的理解更为深刻,应用更为广泛.
【关键词】 分离变量、恒成立、存在、有解
1.引言
高考复习中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常规.教学过程中发现，与二次函数有关的求解参数的题目,大多数学生都掌握得不好,正确率很低.然而,相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法,值得我们进行以下探讨.
2.分离变量法
定义1.1 分离变量法(狭义)：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等
号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：
定理1.1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等
式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.
定理1.2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等
式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.
定理1.3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）.
解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.
3.分离变量法的优越性
这里主要是通过3道求解参数范围的题目,对比二次函数数形结合方法与分离变量法,体现分离变量法的优越性.
例1. 已知函数()2
1,(0,1]f x x ax x =++∈,且()||3f x ≤恒成立,求a 的取值范围.
例2.已知函数 EMBED Equation.3 )()()(x g x f x h -=存在单调递增
区间，求a 的取值范围.
例 3.已知a 是实数，函数2
()223.f x ax x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围.
例 1 【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组22
13
,(0,1]13x ax x x ax ⎧++≤⎪∈⎨++≥-⎪⎩
恒成立 → 2()1f x x ax =++在(0,1]x ∈上的最大值与最小值 → 以对称轴与定义域端点进行比较分类,
研究单调性.正确率较低.
法二(分离变量):问题转化为 EMBED Equation.DSMT4 (0,1]x ∈上恒成立(除x 时注意符号), → 由定理1.1得相应函数最值,正确率较高.
例 2 【分析】问题转化为 EMBED Equation.DSMT4 0x >上有解,即 EMBED Equation.DSMT4 0x >上有解.
法一(二次函数):此题(0)10f =-<,分类是只需注意开后和轴,较为简捷.正确率不高,原因在于没有注意特殊点,将问题分为1解,2解,想得过于复杂. 法二(分离变量):问题转化为2
12x
a x -≥
在0x >上有(存在)解 → 由定理 1.2得2min
12x a x -⎡⎤
≥⎢⎥⎣⎦.求解相应范围上的最小值,正确率较高.
例3 【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.
方法二(分离变量):问题转化为2
2230ax x a +--=在[1,1]x ∈-上恒有解 → 分离变量得
23221
x
a x -=
-,
2222[1,)(,)(,1]2222x ∈--- 有解 → 由定理 1.3得只需求函数232()21
x
g x x -=-在2222[1,)(,)(,1]2222x ∈--- 上的值域即可, 22±单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.
通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,较之于二次函数数形结合法,分离变量可以让学生比较容易在思维能力不足的情况下解决更多的问题.因此,教学过程中我建议学生遇到两种方法都可以解决的问题时,优先使用分离变量,收到不过的效果.
4.分离变量的推广及应用
4.1 分离变量的推广
上述讨论的分离变量主要是针对两个变量进行分析.在实际解题过程中,有一部分题目是关于多个变量的不等式恒成立、不等式存在解的问题.如何处理这种问题?是否有更一般的分离变量法?下面通过两个例题对该问题进行探讨. 例4.已知函数1()f x x x =-. 设,x y k +=若不等式22
()()()2k f x f y k
≥-对任意,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k .
【分析】这个问题是恒成立问题,不等式中有3个变量,由题意不难理解到
