从动能定理到第二类拉格朗日方程

６６力学与实践其它部分，甚至是质系整体的运动．航天技术中用内部安装的３个动量１５ｌ轮来控制在空问运行的航天器姿态运动就是质系动量矩定理在现代科技中应用的一个范例．

２００３年第２５卷参考文献１贾书惠，李万琼．理论力学．北京：高等教育出版社，２００２

２贾书惠．从猫下落谈起．北京：高等教育出版社，１９９０

从动能定理到第二类拉格朗日方程陆明万张雄（清华大学工程力学系，北京１０００８４）

摘要第二类拉格朗日方程是处理质系（尤其是多自由度、非自由质系）动力学问题的重要理论基础，被列为理论力学多学时教学大纲的基本要求．第二类拉格朗日方程的导出过程涉及较多的数学变换，如何揭示这些抽象数学变换背后的物理意义成为教学的一个难点．借鉴学生所熟知的动能定理，介绍·种在物理意义指导下逐步进行数学变换的讲授方法．关键词理论力学，第二类拉格朗日方程，动能定理

１引言

第：二类拉格朗日方程是一种基于能量函数的标量型微分方程，它能直接导出与每个独立广义坐标……对应的全部运动微分方程；它已经找到两类首次积分，分别具有“广义动量守恒”和“广义能量守恒”的明确物理意义；它的解题过程规范化而不易出错．基于这些优点，第二类拉格朗日方程是处理非自由质系（尤其是多自由度系统）动力学问题的重要理论基础，并能有效地应用于柔体或刚一柔耦合系统，因而被列为理论力学课程多学时教学大纲的基本要求，是我国相应理论力学教材的重要内容之一ＬＩ“ｓＩ．第二二类拉格朗日方程的导出过程涉及较多的高等数学变换和演绎过程，成为教学的一个难点．学生普遍反映“太抽象”、“为什么要这样变来变去”、“拉格朗日怎么会想出这些奇妙的变换的？”．本文将借鉴动能定理来论述第二类拉格朗日方程的导出过程，可以看到这些变换和演绎过程是在明确物理意义指导下进行的，第二类拉格朗日方程实际上是在广义世标中动能定理的一种更为广泛、更为完善的理论表达形式，它吸收了动能定理的全部优点，而克服了动能定理只能建忘、个方程、只能独立处理单自由度问题的严重缺点．

作为预备知识，首先回顾一下动能定理和达朗贝尔一拉格朗日原理．

２动能定理由牛顿第二定律导出动能定理的步骤是：首先将牛顿第二定律转化为动量定理，即将ｍｏ转化为动量变化率ａ（ｍｖ）／ａｔｍ。＝掣＝Ｆ

Ⅱ【２００３－０５－１８收到第１稿，２００３－４３７－１０收到修改稿

（１）

然后等式两边点乘ｖｄｔ＝ｄｓ，将力转化为功＿ｄ（ｍｒｖ）．”ｄｔ：Ｆ．ｔ，ｄｔ：Ｆ．ｄ８：ｄⅥ，（２）

ｄｔ

再将等式左边通过如下变换转化为动能的微分ｄ（ｍ”）·ｔ，＝ｄ（；ｍｔ，·ｔ，）＝ｄ（；ｍ＂２）＝ｄＴ（３）

代回式（２）就得到质点动能定理的微分形式ｄＴ＝８Ｗ（４）

即在无限小位移中质点动能的变化等于作用在该质点上的力所作的元功．将质点动能定理对质系中的所有质点求和可以直接导出质系动能定理

ｄ８ｉ（５）

动能定理的最大优点是引进了动能这个能量函数．动能是个恒正的标量函数，不涉及矢量运算，不需要分解成多个分量方程，因而在应用动能定理时只要动能、势能和功的表达式写对了，后继的运算就相当简单．但是动能定理也存在一个严重缺点：它只能列出一个方程，只能独立处理草自由度问题，对于多自由度系统必须适当补充若干由动量定理或动量矩定理导出的方程才能联立求解；而且由于质系总动能中包含了所有自由度的动能，对多自由度系统由动能定理导出的方程往往比较复杂，需要利用补充的动量定理或动量矩定理消去其中的若干项后才能进一步简化．引入第二类拉格朗日方程就是为了发扬动能定理的显著优点、克服其严重缺点，将动能定理用能量描述的基本思想引伸到多自由度系统．

３达朗贝尔一拉格朗日原理第二类拉格朗日方程可以由达朗贝尔一拉格朗【ｊ原理（又称动力学普遍方程）导出．对于由质量为ｍ。，矢径勾ｒｉ的质点只（ｉ＝１，…，，。）所组成的、受主动力Ｆ。作用的质系，达朗贝尔一拉格朗日原理表示为

＞（Ｆｉ—ｍｉ我）·占ｎ＝０（６）Ｊ‘＿－Ｊ

Ｆ。∑汹＝＼、／Ｋ何１—２ｄ。∑嘲

　万方数据第５期陆明万等：从动能定理到第二类拉格朗日方程６７即对具有理想、双面约束的非自由质系，在任一瞬时，作用于该质系的主动力及惯性力在质系任意虚位移上所作的元功之和为零．对于：作自由质系，各质点的直角坐标不是独立变量，它们之间必须满足给定的约束条件，只有选择广义坐标才能自动满足约束条件．设ｑｋ（岛＝１，·一，Ⅳ）为所研究质系的广义坐标，将矢径ｒｉ表示为广义坐标和时间的函数ｒｉ（ｑ１，ｑ２，···，ｑⅣ，ｔ），贝０

阢：ＦＮ要哧毒暑ｄ帆

代入式（６），交换对ｉ和对忌的叠加顺序，得篆）＋（喜一堕Ｏｑｋ／１１１如ｋ＝。（８）

上式方括号中的物理量与Ｊｑｋ之乘积为功，因而其物理意义为对应于广义坐标帆的广义力．将其中含主动力Ｆｉ和惯性力一ｍ。铲ｉ的第一和第二项分别定义为厂１义主动力

Ｑ一＝∑ｎ篆（９）

和广义惯性力豢（１０）

把Ｑ≈和Ｑ：表示为广义坐标的函数，式（８）变成Ⅳ∑（Ｑ＆＋Ｑ：）占帆＝０（１１）

这就是ｒ１‘义坐标中的达朗贝尔－拉格朗日原理．对于完整系统广义坐标相互独立，虚位移６ｑｋ可以任意选择，例如在１一Ｎ间选择任意的ｋ，取５ｑｋ＝１；５ｑｊ（ｊ｝ｓｋ）＝０，则由式（１１）得到

Ｑｋ＋Ｑ：＝０（岛＝１，２，…，Ⅳ）（１２）这是在广义坐标中受理想、完整、双面约束的非自由质系的动力学微分方程组．它共有Ⅳ个方程，每个自由度对应一个方程，而且相互都是独立的，因而是描述非自由质系动力学过程的最少量的方程．众所周知，基于动量定理和动量矩定理在常用坐标系（如直角坐标系）中也能导出描述非自由质系动力学过程的微分方程组，但其中各方程往往是互不独立的，因为它们必须满足约束条件的限制，这些方程的总数也将大于Ⅳ．这里正是由于选择了自动满足约束条件的广义坐标才得到了相互独范的最少量方程．４第二类拉格朗日方程比较质系的达朗贝尔一拉格朗日原理（１１）和动能定理Ⅳ（５）可以看到：式（１１）中第一项∑Ｑｋ５ｑｋ的物理意义是主动力所作的功５Ｗ，相当于式（５）的右端项¨；因而式Ⅳ（１１）中第二项∑Ｑ：的ｋ应对应于式（５）的左端项（差‘负号），即与动能有关．在广义坐标中如何用动能来表示』。义惯性力Ｑ：是导出第二类拉格朗日方程的关键步骤．由导出动能定理过程中的式（３）左端可以看到，若要引入动能必须寻找动量与速度的点积，并且其中之一应该是微分或导数．参照由牛顿定理导出动能定理的过程，将Ｑｉ中的ｒｎ子ｉ转化为动量对时间的导数ｄ（ｍｉ＇Ｏ／ｄｔ旦ｄｔ（篆）（：１３）＼ａ吼／一…这里因ｄｒｉ／Ｏｑｋ也是时Ｉ司的函数，上式右端必须补上第二项．上式右端第一项中的第一因子已经含有动量ｍ十ｉ，要将该项用动能表示的关键是要寻找一种等效变换将其第：二因子Ｏｒｉ／Ｏｑｋ中的分子ｒｉ变为速度手ｉ．问题的另一种提法是：对十ｉ做什么运算能得到Ｏｒｉ／Ｏｑｋ？为了找到答案首先应该写出手ｉ的表达式．将ｒｉ（ｑ：，ｑ２，…，ｑＮ，ｔ）对时间求导得帝；＝∑丽Ｏｒｉ奇ｋ＋Ｏ砒ｒ＿＿Ａ【１４）拉格朗日敏锐地注意到：矢径ｒ。是广义坐标吼和时间ｔ的函数，与广义速度瓠无关，而饥（南＝１，２，…，Ⅳ）之间又是相互独立的，所以只要将上式对讥求导马上就能找到等效变换篆＝杀ｃ１５）ａ饥ａ肌、～７代入后式（１３）右端第一项就能用动能表示为一未（喜嘶ｔ＋杀）＝～ｄ（Ｌ嘲嘶ｉ·篆）＝一未杀（塞扣子；）＝一未器ｃ·６，对式（１３）右端第二：项可以猜想，若能交换其第二因子中对时间和对广义坐标的求导顺序，即

旦ｄｔ（薏）＝杀ｍ，

＼ａ蛳／ａ帆‘～７

１）方程（ＩＩ）与方程（５）的区别是：式（１１）是在广义坐标中，是主动力在虚位移上所做的虚功；式（５）是在常用坐标系中，主动力在真实位移上做的元功．但是这些区别并不影响下面的类比推理．

≯ｍ。∑沮十生瓠生讯：ｓ～抚．ｐ—ａ托俄帆讹。∑汹。∑嘲

一一一旦出２

Ｆ。∑湖Ⅳ叭Ⅳ∑汹

ｍ一

。∑汹

｜｜Ｑ

　万方数据力学与实践２００３年第２５卷该项马上就能出现动量与速度的点积，因而可以用动能表不为娄讹咖未（差）＝娄％盼堕Ｏｑｋ＝

毫（塞；讹乎；）＝丽９Ｔ（ｔ８）

问题是式（１７）所含ｒｉ（ｑｌ，ｑ２，…，ｑＮ，ｔ）中的诸广义坐标本身都是随时间而变化的，ｑｋ和ｔ相互并不独立．能否交换

对时间求全导数和对广义坐标求偏导数的顺序需要证明．拉格朗日给出了严格证明．将速度（１４）式对广义坐标求偏导

鼍＝一０…２５，ｉｉ¨暴＝∑去（器）瓠＋妄（鼍）＝－五吖＼加Ｏｑｊ！）将上式左右两端中广义坐标的下标Ｊ换成南（这里Ｊ和南都在１一Ｎ间任意取值，因而是等价的）就证明了式（１７）的猜想．将式（１６）和式（１８）代回式（１３）

Ｑ：＝一夏ｄ丽ＯＴ＋面ＯＴ（１９）再代入，’‘义坐标的质系动力学微分方程（１２）就得到第二类拉格朗日方程

旦塑一一ＯＴ：Ｑ％（≈：ｌ，２，…，Ⅳ）（２０）ｄｔＯＯ————ｋ一—Ｏｑ—ｋ

２ｑ‘（惫２ｌ，２＇’‘’，』Ｖ）（２０）

由上述推导可以看到，第二类拉格朗日方程就是在广义坐标中用动能和广义力表示的质系动力学微分方程．它既吸收了动能定理引进能量函数的优点，又继承了广义坐标中质系动力学微分方程组的全部优点，成为动力学分析中被广泛应用的莺兽理诊慕础．

等效变换式（１５）和式（１７）是打开通向第二类拉格朗日方程之门的钥匙，为了纪念，称为拉格朗日公式．它不仅是矢径导数的等效变换关系，而且适用于以广义坐标和时间为自变量的任何函数．

５结束语任何数学变换和演绎都是在一定的指导思想Ｆ完成的，这些指导思想往往来自物理上（或其他学科）某种直观的、创造性的猜想，然而猜想只是希望的火花，要成为科学必须应用严密的数学工具加以严格证明，或者通过精细的实验观测给出可靠验证．面临２１世纪科学与技术的迅猛发展，在工科院校的基础力学教学中，应重视高等数学工具的应用与普及化．要引导学生将高等数学与专业知识相互联系、融会贯通，而不是回避高等数学工具、将其束之高阁，这是提高教学质量的重要环节．目前教学改革正向既要精简学时、又要提高教学质鬃的纵深方向发展，以提供学生更多的自主学习空间、更好地发挥学生独立创新能力．仪在原有教案的基础上作简单的删繁就简，或搞压缩饼干式的满堂灌都不能达到优良的教学效粜．教师需要站在更高的角度来审视和改革原有的教学内容和教学方法，帮助学生打好基础、培养学生主动学习和独立创新能力．

参考文献１李俊峰，张雄，任革学，高云峰．理论力学．北京：清华大学一施普林格出版社，２００１２贾书惠，李万琼．理论力学．北京：高等教育出版社，２００２

３刘延柱，杨海兴．理论力学．ｊＥ京：高等教育出版社，１９９１４朱照宣，周起钊，殷金生．理论力学（下册）．北京：北京大学出版社，１９８２５哈尔滨工业大学理论力学教研组．理论力学（下册）．第四版北京：高等教育出版社，１９８２

我怎样讲受力分析一理论力学教学札记之一