第三章 连续系统的频域分析

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傅里叶级数的指数形式
可以从三角傅立叶级数直接导出，由欧拉公式：
1 sin nt e jnt e jnt 2j 1 jnt cos nt e e jnt 代入三角形傅氏级数中去， 2




a0 f (t ) an cos nt bn sin nt 2 n 1 n 1
7
例
试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里 f (t) 叶级数。 f (t ) a0 an cos nt bn sin nt 1
2
n 1 n 1
T 2
2 T 2 2 T a0 f (t )dt dt T (1)dt 0 T 0 T 0 T 2
0
T 2
T

n
2
(cos n
T
T 2
8
1)
例
将具有不连续点的周期函数（如 矩形脉冲)进行傅立叶级数展开 后，选取有限项进行合成。当选 取的项数越多，在所合成的波形 中出现的峰起越靠近原信号的不 连续点。当选取的项数很大时， 该峰起值趋于一个常数，大约等 于总跳变值的9%。这种现象称 为吉布斯效应。
______。 B
2
f (t )
周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是
1
0
T 2
T
t
-1
(A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。
奇函数：只含正弦项； 半周镜象对称： 只含奇次谐波
25
例 3 习题3.8
t0
t0+T

与之对应的冲激响应为： 与之对应的冲激响应为：
e− jωt0 = 0
( ω < ωc ) ( ω > ωc )
1 ∞ jωt h(t ) = FT [ H ( jω )] = ∫−∞ H ( jω) ⋅ e dω 2π jω ( t −t0 ) ωc 1 e 1 ω c jω ( t − t 0 ) ⋅ = dω = ∫−ωce 2π j (t − t0 ) −ω 2π c
3.8 连续系统的频域分析 3.8.4 理想低通滤波器的特性
若系统能让某些频率的信号通过， 若系统能让某些频率的信号通过 ， 而使其他频率的信号 受到抑制，则该系统称为滤波器。 受到抑制，则该系统称为滤波器 滤波器 所谓理想滤波器 是指不允许通过的频率成分 所谓理想滤波器，是指不允许通过的频率成分，一点也 理想滤波器 是指不允许通过的频率成分， 不让它通过， 百分之百地被抑制掉；而允许通过的频率成分， 不让它通过， 百分之百地被抑制掉；而允许通过的频率成分， 让其顺利通过， 百分之百地让其通过。 让其顺利通过， 百分之百地让其通过
y(t) = Kf (t − t0 )
K：幅度变换系数， ：幅度变换系数， 在频域上： 在频域上：
时域中 的条件
t0：延迟时间。 延迟时间。 延迟时间
− jωt0
Y ( jω) = KF( jω) ⋅ e
频域中 的条件
Y ( jω) ∴ H ( jω) = = K ⋅ e− jωt0 F ( jω)
RC ∴uo (t) = y f (t) = FT [Yf ( jω)] = FT [ ] 1+ jωRC 1 1 − RC t −1 = FT [ ] = e ε (t ) 1 + jω RC
−1
−1

信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。

连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。

傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。

对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。

通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。

在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。

频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。

频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。

对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。

基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。

频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。

通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。

在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。

例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。

在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。

总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。

通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。

连续和离散系统分析连续系统分析：连续系统的数学描述通常使用微分方程。

对于一个线性时不变（LTI）系统，其数学模型可以表示为：y(t)=x(t)*h(t)其中，y(t)是系统的输出，x(t)是输入，h(t)是系统的冲激响应（即单位冲激函数对系统的响应）。

该式可以进一步表示为积分形式：y(t)=∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ这是一种卷积形式的表达。

对连续系统进行频域分析时，通常使用拉普拉斯变换。

假设输入信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，输出信号y(t)的拉普拉斯变换为Y(s)，系统的传递函数（频域特性）为H(s)，则系统的频域响应可以表示为：Y(s)=X(s)*H(s)其中，*表示拉普拉斯变换中的乘法运算。

离散系统分析：离散系统的数学描述通常使用差分方程。

对于一个线性时不变系统，其数学模型可以表示为：y[n]=x[n]*h[n]其中，y[n]是系统的输出，x[n]是输入，h[n]是系统的冲激响应。

离散系统的频域分析通常使用傅里叶变换或者z变换。

在离散系统中，傅里叶变换将离散信号转换到周期连续频域上。

假设输入信号x[n]的傅里叶变换为X(e^jω)，输出信号y[n]的傅里叶变换为Y(e^jω)，系统的传递函数为H(e^jω)，则系统的频域响应可以表示为：Y(e^jω)=X(e^jω)*H(e^jω)其中，*表示傅里叶变换中的卷积运算。

另一种广泛应用的离散系统分析方法是z变换。

z变换将离散信号转换到z平面上，相当于傅里叶变换的离散形式。

假设输入信号x[n]的z变换为X(z)，输出信号y[n]的z变换为Y(z)，系统的传递函数为H(z)，则系统的频域响应可以表示为：Y(z)=X(z)*H(z)其中，*表示z变换中的乘法运算。

对于离散系统，还需要考虑采样定理以及采样频率对系统分析的影响。

采样定理指出，如果连续信号的最高频率成分小于采样频率的一半，那么可以通过离散信号获得连续信号的信息。

总之，连续和离散系统分析是信号与系统理论中的基础内容。