连续系统的频域分析

第三章傅立叶变换时域分析：f(t) y f(t)=h(t)*f(t)↓分解↑基本信号δ(t)→LTI →h(t)频域分析： f(t) ye jωt =h(t)* H(jω)Fe jωt↓分解↑基本信号 sinωt→LTI →H(jω)e jωte jωtH(jω)：系统的频域响应函数，是信号角频率ω的函数，与t无关.主要内容：一、信号的分解为正交函数。

二、周期信号的频域分析−付里叶级数（求和），频谱的特点。

信号三、非周期信号的频域分析−付里叶变换（积分），性质。

分析四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jω)；y(jω)= H(jω)·F(jω). (系统分析)五、抽样定理：连续信号→离散信号.§3.1 信号分解为正交函数一、正交：两个函数满足φ1(t)φ2(t)dt=0,称φi(t),φj(t)在区间(t1 ,t2)正交。

二、正交函数集：几个函数φi(t)φi(t)dt= 0 当i≠j;K i 当i=j.三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外，不存在ψ(t)满足ψ (t)φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n).例、三角函数集:{1,cosΩt,cos2Ωt,… ,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…sin(nΩt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/Ω为周期.满足： cosmΩtcosnΩtdt= 0 m≠nT/2 m=n≠0T m=n=0sin（mΩt）sin(nΩt)dt= 0 m≠nT/2 m=n≠0sin(mΩt)cos(nΩt)dt= 0. 所有的m和n.结论:三角函数集是完备正交集。

推导： cosmΩtcosnΩtdt=(1/2) [cos(m+n) Ωt+cos(m-n) Ωt]dt=(1/2)sin(m+n)Ωt +(1/2)sin(m-n)Ωt=(1/2)[sin(m+n) Ω(t0+T)-sin(m+n)Ωt0]+(1/2)[sin(m-n) Ω(t0+T)-sin(m-n)Ωt0]=0 当m≠n时.m=n≠0，原式=(1/2) [ cos(m+n)Ωt+1]dt=(1/2)·t =T/2 m=n=0 , 原式=(1/2) [1+1]dt=T.4、复函数的正交函数集：几个复函数集{φi(t)}，φi(t)φi*(t)dt= 0 i≠jk i i=j例：复函数集{ e jnΩt}(n=0,±1,±2…)区间(t0,t0+T）,T=2π/Ω为周期。

满足 e jm Ωt(e jnΩt)*dt= e j(m-n)Ωt dt=[1/(j(m-n)Ω)] e j(m-n)Ωt dt =0 m≠n= 1dt=T m=n.结论：{ e jnΩt}是完备正交集。

(n=0,±1,±2…)二、信号分解为正交函数集。

1、分解：二维 A=c1v x + c2y y { v x，v}y二维正交矢量集三维 A= c1v x +c2v y +c3v z { v x，v y，v z }三维正交矢量集n维：{φ1(t)…φn(t)}在(t1 ,t2)构成正交函数集。

f(t)≈c1φ1 (t)+ c2φ2(t)+…c nφn(t)+(t)= c jφj(t)任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。

2、系数c j的选择。

方均误差定义：=[1/(t2-t1)] [f(t)- c jφj(t)]2dt使最小，对第i个系数c i来说，应使/c i =0.∴c j= [ f(t)φj(t)dt]/ ( [φj(t)]2dt)=(1/K j) f(t)φj(t)dt最佳近似条件下的方均误差：=[1/(t2-t1)]( [f(t)]2 dt - c j2K j).∵≥0,n↑, ↓;∴n→∞,→0. 则 [f(t)]2 dt= c j2K j→称帕斯瓦尔方程。

f(t)= c jφj(t).即函数f(t)在区间(t1 ,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。

§3.2付里叶级数一、付里叶级数：（三角形式）f(t)=(a0/2)·1+a1cosΩt+a2cos2Ωt+…+b 1sinΩt+b 2sin2Ωt+…= a0/2+ a n cos(nΩt)+ b n sin(nΩt).积分区间：t 0 t0+T, 0T, -T/2T/2K i= (cos(nΩt))2 dt=T/2.a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dtb n=(2/T)f(t)sin(nΩt)dt形制：a-n=a n是偶函数b-n=-b n时奇函数 (其中n=0,1,2…).2、三角形式二：同频率项合并。

f(t)=a0/2+A1cos(Ωt+φ1)+A2cos(2Ωt+φ2) +…= a0/2+ A n cos(nΩt+φn).A0=a0 a n=b n =-arctg(b n / a n).由性质可知：a0= A0 a n=An cosφn b n= b n sinφn3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。

f(t)= a0/2+A1cos(Ωt+φ1)+A2cos(2Ωt+φ2) +…+A n cos(Ωt+φn)+…例3.2-1 f(t)为方波，分解为付里叶级数。

周期：T 频率：1/T 角频率：Ω=2π/T. 区间：(-T/2,T/2)(1)f(t)= a0/2+ a n cos(nΩt)+ b n sin(nΩt)a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt =0b n=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt= 0 n=2,4,6…. 4/(nπ) n=1,3,5…∴f(t)=(4/π)[sinΩt+(1/3)sin(3Ωt)+…+ (1/n)sin(nΩt)+…]结论：方波只含有1，3，5等奇次谐波分量，无直流分量。

（2）方均误差（有限项逼近）=[1/(t2-t1)][ f2(t)dt- c2]j K j=(1/T)[ 1dt-(T/2) （b j）2]=1-(1/2) （b j）2只取基波：=1-(1/2)(4/π)2=0.189.取基三次谐波：=1-(1/2)[(4/π)2+(4/3π)2=0.0994.基“+”3，”+”5次: =1-(1/2)[(4/π)2+(4/3π)2+(4/5π)2]=0.0669 （3）方波分解的特点1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方误差越小。

2、当合成波所含基波次数n→∞，在间断点仍有约9%偏差，在间断点出尖峰下的面积非常小以致趋近于零。

二、奇偶函数的付里叶系数的特点:1、为偶函数：f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。

a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt=(2/T)f(t) cos(nΩt)dt +(2/T)f(t) cos(nΩt)dt∴a n=(4/T)f(t) cos(nΩt)dtb n=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt+(2/T)f(t)sin(nΩt)dt∴ b n= 0.当f(t)为偶函数时a n=(4/T)f(t) cos(nΩt)dt A n= |a n|b n/ a n=0b n= 0 ϕn= mπ arctgb n/a n角度为0，π2、f(t)为奇函数。

F(-t)=-f(t),波形关于原点对称。

当f(t)为奇函数时：= |b n|ab n=(4/T)f(t)sin(nΩt)dt ϕn= (2m+1)π/2. b n/a n→∞.∴奇函数只有正弦项。

★任意函数f(t)=f od(t)+f ev(t) → f od(t)=(f(t)-f(-t))/2. f(-t)= f od(-t)+f ev(-t)= -f od(t)+f ev(t) f ev(t)=(f(t)+f(-t))/2.3、f(t)为奇谐函数。

（半波对称函数）f(t)=- f(t±T/2),移动T/2后，关于横轴对称。

付里叶级数只含奇次谐波，不含偶次谐波。

a0= a2= a4= a6=⋯ b0= b2= b4=⋯=0例3.2-2 把锯齿波信号展为付里叶级数。

解：方法1：f(t)=t/T既不是偶函数也不是奇函数，直接在[0,T]区间上求a n，b n .方法二：把分为奇偶两部分。

f ev(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(-t+T)/T]=1/2.f od(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T-(-t+T)/T]=t/T-1/2=(t-T/2)/T. 奇函数部分分解为：a nb n =(4/T)[t/T-1/2]sin(nΩt)dt=(4/T2)[sin(nΩt)-nΩcos(nΩt)]/(nΩ)2+(2/T)[cos(nΩt)]/(nΩ)]=-1/nπ. n=1,2,3…b n sin(nΩt)∴f(t)= f ev(t)+f od(t)=1/2+=1/2-(1/π)[sinΩt+(1/2)sin(2Ωt)+(1/3) sin(3Ωt)+…].锯齿波含直流分量和各次谐波分量。

三、周期信号分解为指数形付里叶级数。

1、定义式：（由三角形式推导）f(t)=A0/2+A n cos(nΩt+φn)= A0/2+ (A n/2)[e j(nΩt+φn)+e -j(nΩt+φn)]。

∴ f(t)= Fne jnΩt2、确定付里叶系数FnFn=(1/2) A n e jφn+(1/2)[A n cosφn)+jA n sinφn]=(1/2)(a n-jb n)=(1/2)(2/T) f(t)cos(nΩt)dt-j(1/2)(2/T) f(t)sin(nΩt)dt=(1/T)f(t)[cos(nΩt)-jsin(nΩt)]dt∴ Fn=(1/T) f(t)e-jnΩt dt. n=0,±1,±2…3、物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(nΩ)的虚指数信号(e jnΩt)之和。

每个分量的大小用Fn来表示，分为幅度和相位。

★各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数，以及各系数间的关系见表4-1。

§3.3 周期信号的频谱一、频谱的概念：频谱分为☞幅度频谱：以频率ω（或角频率Ω）为横坐标，An/｜Fn｜为纵坐标。

☞相位频谱：以频率ω（或角频率Ω）为横坐标，φn为纵坐标。

f(t)=A0/2+A n cos(nΩt+φn)A0为直流分量幅度；A n为n次谐波的振幅；φn为n次谐波的初相角。

周期信号的频谱是离散的。

结论：正如波形是信号在时域的表示一样，频谱则是信号在频域的表示。

描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。

信号分解：从已知信号绘制其频谱图。

合成：根据其频谱图反过来和成原有的信号。

波形f(t)频谱Fn与An比较：An：每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度，物理意义明确。