研究生流体力学讲义2010修改稿

高等流体力学 讲义

2011~2012学年 1

预备知识 §1 场论的基本概念 一、标量场 空间区域D的每一点M（x,y,z）对应一个数值φ（x,y,z），它在此空间域D上构成一个标量场，用点M（x,y,z）的标量函数φ（x,y,z）表示。 例：温度场T（x,y,z），密度场ρ（x,y,z）。

二、矢量场 空间区域D的每一点M（x,y,z）对应一个矢量值A（x,y,z），它在此空间域D上构

成一个矢量场，用点M（x,y,z）的矢量函数A（x,y,z）表示。 kzyxAjzyxAizyxAzyxAzyx),,(),,(),,(),,( （0-1） 例：流速场 kzyxVjzyxVizyxVzyxVzyx),,(),,(),,(),,( 矢量场的矢量线——曲线上各点处的矢量均与曲线相切。 （设M（x,y,z）为矢量线上任一点）

矢径为 kzjyixr 微分为 kdzjdyidxrd rd与场矢量kAjAiAAzyx相切 图 0-1

 zyxAdzAdyA

dx (矢量线微分方程) （0-2）

三、梯度 标量场φ（x,y,z）的梯度定义为 kzjyixgrad



（0-3）

式中 zkyjxi 称哈密尔顿算子（为矢性微分算子） （0-4） 由定义知，标量函数的梯度为矢量函数，其方向与过点M0（x,y,z）的等值面c的方向重合，指向增加的一方，是变化率最大的方向，表最大变化率数值。 四、方向导数

定义 MMMMlMM00)()(lim0 （0-5）

当0l，沿l向增加 当0l，沿l向减小 图 0-2 2

计算式 coscoscos·zyxgradll （0-6） 其中 kjilcoscoscos 为方向l的单位矢量，,,为方向角，cos,cos,cos

为方向余弦。

方向导数为在方向l上的变化率，它等于其梯度在方向l上的投影。 lgradl （0-7）

梯度性质： 1、 方向导数等于梯度在该方向上的投影； 2、 标量场每一点M的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数（M）增大的方向。

例：求标量场32yzxyu在点M（2,-1,1）处的梯度，以及在矢量kjil22方向的方向导数。 解： MMkyzjzxyiygradu]3)2([|232

kji33 又在l方向的单位矢量

kjilll313232||

3122||22l

MMlMlgraduugradlu]·[|| 31)31()3(32)3(321

五、散度 通量定义：设有矢量场)(MA，沿其中某一有向 曲面S的曲面积分 sdAdsAn· （0-8）

叫A向正侧穿过曲面S的通量。 图 0-3 例：微元面积上流量(即通量) sdvdQ· （当Q>0表示沿曲面正侧穿过，反之负号）

总流量 sdvQ· 如S为闭曲面 sdvQ· 3

散度定义：设有矢量场)(MA，于场中一点M作一含M在内的任一闭曲面S，设其所包围的空间域为Ω，以△V表示其体积，以△表示从内穿出S的通量，若当Ω以任意方式缩向M点，则

散度 VsdAVAdivMM·limlim （0-9） 由定义知，散度为一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率。 0Adiv为有源，0Adiv表示该点有散发通量的正源，<0为负源。 图 0-4

定理：矢量场kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(，在任一点M（x,y,z）处的散度为

)(·)(·kRjQiPzkyjxiAAdiv

zRyQxP （0-10）

六、旋度 环量的定义：设有矢量场)(MA，则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分

ldA· （0-11） 叫此矢量场按所取方向沿曲线l的环量。 物理意义：力F沿闭曲线运动一周所做功。

ldFW· 图 0-5 在流速场V（M）中，流速沿曲线一周的环流。 ldVQl· 在直角坐标系中 kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(

kztdljytdlixtdl),cos(),cos(),cos( kdzjdyidxld （3个cos为l的切线矢量t的方向余弦） 环量 RdzQdyPdxldA·

环量面密度 sdlAslMsMs·limlim （即为环量对面积的变化率） 图 0-6 旋度定义：在矢量场)(MA中的一点M处存在这样的一个矢量R，矢量场A在点M处沿R方 4

向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是|R|，则称R为矢量场A在点M处的旋度，记作rotA即rotA＝R。 （即旋度矢量在数值和方向上表示出了最大的环量面密度） 旋度计算：设kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(，

i j

k

AArot x y z

P Q R kyPxQjxRzPizQyR)()()( （0-12） 例：设一刚体绕坐标原点O的某个轴l转动，其角速度为 kji321，任一点M的矢径为kzjyixr，

线速度为rvkxyjzxiyz)()()(211332， 求线速度场v的旋度。 图 0-7 解： kxyjzxiyzv)()()(211332

kjivrot)()()(332211 

2)((2321kji

§2 张量初步 一、概念 张量概念的引入与坐标系无关，现只在笛卡儿直角坐标系中定义张量，叫笛卡儿张量。张量概念是标量和矢量概念的推广。标量函数在任一点的函数值只用一个数能完全描述；矢量函数需要三个分量。实际中存在这样的物理量，在三维空间需要多于三个分量才能完全描述。例，微元体表面的应力要九个分量才能描述。这就促成了将矢量概念推广成能容纳更多分量的张量概念。 张量的阶数和分量数 不同特征的物理量用不同阶的张量描述，张量阶数由它所包含的分量数决定。N阶张量的分量数为3N。标量是0阶张量，矢量是1阶张量。流体力学用的最多是2阶，共9个分量。 并不是任何由分量组成的量都是张量。只有这样的量才是张量，在坐标系旋转时其分量按一定规律变化，因而能维持某些量不变。张量的特征是：不随坐标系旋转而变化。例：标量场函数值和矢量长度都不随坐标系的旋转而变化。 二、张量表示法 由于张量常包含多个分量，在式中要把所涉及的分量一一写出非常繁杂。规定如下张量表示法： a) 对应于x,y,z，将坐标改写为x 1,x2,x3，简记为xi，(i=1,2,3)； b) 用ai表示一个矢量，i是自由指标，可取1，2，3； 5

c) 取和约定。为便于书写，约定同一项中如有两个自由指标相同时，表示要对该指标从1到3求和。两相同指标称爱因斯坦求和符合。

例：332211babababaii

aeaeaeaeaii332211 (ie 是单位矢量)

adivaxaxaxaxaii·332211

bzkyjxikajaiabai)](·)[()·(321

zbaybaxbabzayaxa321321)(

jijxba

 （用指标表示，二阶张量）

引入拉普拉斯算子△ 2· （0-13）

222222zyx

 （0-14）

zazyayxaxaa

2 （0-15）

iijijixxaxax2)(

iixxagradadivaa22)()(· （a为标量） （0-16）

d) 克罗内克尔符号δij，定义为 0 当ij （i,j=1,2,3） （可视为二阶张量，3个 δij＝ （0-17） 分量为1，6个分量为0） 1 当i=j

例：若ie是正交坐标系的单位矢量，有

ijjiee· 性质：3,jjiijiij e) 置换符号εijk（利奇符号），（i,j,k=1,2,3）（三阶张量）