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u u (x ,y ,z ,t)
u t x,y,z
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系： u u (x 0 ,y 0 ,z 0 ,t)
u
t x0 ,y0 ,z0
流体质点的速度随时间变化，即加速度。
Du
在欧拉参考系下用
表示流体质点的速度变化。
1.1 连续介质假说
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时， 可用统计平场的方法定义场变量如下：
u lim(vm) V m
lim(m)
V V
在微观上充分大统计平均才有确
定的值；宏观上充分小，统计平均 才能代表一点的物理量变化。
V
v
•
m
连续介质方法的适用条件
1 L3 n
1.1 连续介质假说
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考 系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考 系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关 系式
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
, y0 , z0 来区分不同的流体质点，而用 t 来确定流体质点
的不同空间位置。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
系统 某一确定流体质点集合的总体。 随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换； 始终由同一些流体质点组成。 在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质 量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基 本方程组。
D 在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）
Dt
t 时刻， (x,y,z,t)
t t 时刻， ( x x ,y y ,z z ,t t)
泰勒级数展开，
(xx,yy,zz,tt)
(x,y,z,t)txyz
t x y z
D lim 1 (xx, yy,zz,t t)(x,y,z,t)
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体 控制体
流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。 流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时 间变化。 为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制 体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得 到欧拉参考系中的基本方程组。
独立变量 x, y, z, t,
u u (x,y,z,t)
(x,y,z,t)
当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
拉格朗日参考系
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位 置随时间的变化，
r r(x 0,y0,z0,t)
式中 x0 , y0 , z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。
Dt t0t
lit m0t
x t
x
y t
y
z t
z
u v w
t x y z
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
D 在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）
Dt
(x,y,z,t) 是流体质点的某物理量，式中 x, y, z 是流体质点
的坐标， x, y, z 不再是独立变量，而是 x0 , y0 , z0 , t 的函数。 ( x , y , z , t ) x ( x 0 , y 0 , z 0 , t ) , y ( x 0 , y 0 , z 0 , t ) , z ( x 0 , y 0 , z 0 , t ) , t
1.1 连续介质假说
流体质点
由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙 地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
流体质点是流体力学学科研究的最小单元。 当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速 度和密度。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系
着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。
独立变量 x0 , y0 , z0 , t。
T =T (x0 , y0 , z0 , t), ρ=ρ(x0 , y0 , z0 , t)
拉格朗日参考系
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
在拉格朗日参考系中 x, y, z 不再是独立变量，
x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0)
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径
统计方法
把流体看作由运动的分子组成，认为宏观现象起源于分子运动，运用力 学定律和概率论预测流体的宏观性质。 对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运
系数（μ，κ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完善。
n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程）， L为最小宏观尺度。
在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含 2×108 个 气体分子或 2×1011 液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数 场合均满足上述条件。 连续介质方法无论对气体和液体都适用。
1.1 连续介质假说
连续介质方法失效场合 火箭穿越大气层边缘，微观特征尺度接近宏观特征尺度； 研究激波结构，宏观特征尺度接近微观特征尺度。
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径
连续介质方法
把流体看作连续介质，而忽略分子的存在，假设场变量（速度、密 度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵 守质量、动量和能量守恒定律，从而推导出场变量的微分方程组。 流体力学采用连续介质的方法。流体微团描述流体中的点。
连续介质方法
Dt
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
物质导数
流体质点的物理量随时间的变化率。物质导数又称质点导数， 随体导数。
设场变量 ，则 D
Dt
表示某一流体质点的 随时
间的变化，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某
一特定流体质点时所看到的 随时间的变化。
D 是拉格朗日参考系下的时间导数。
Dt
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
D x x y z
D t t t x t y t z t x0,y0,z0
x,y,z
y,z,t x0,y0,z0
x,z,t x0,y0,z0
x,y,t x0,y0,z0
