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凸函数凹函数凸函数与凹函数是微积分中常见的概念，一般用于描述函数的形态。
它们的定义都是在定义域上，凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值，凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。
简单来说，凸函数就是“弯弯的”向上的函数，凹函数则是“弯弯的”向下的函数。
下面我们将详细介绍凸函数和凹函数的定义以及一些例子和应用。
一、凸函数1.1 定义：若函数 f(x) 的定义域 D 是一个凸集合，并且对于 D 中的任意两点 x1, x2 以及任意实数λ ∈ [0,1]，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 称为凸函数。
其中，λx1 + (1-λ)x2 是点 x1 和 x2 之间的中点，λ表示分配参数，(1-λ)表示剩余参数。
1.2 示例：函数 f(x) = x2 + 2x + 1 在 (-∞,+∞) 上是一个凸函数。
这个二次函数开口向上，图形很像一个碗，我们可以根据凸函数定义来验证它是否是凸函数。
首先，函数的定义域为 (-∞,+∞)，包含了所有的实数，是一个凸集合；其次，在该定义域内，任取两点 x1和x2，且λ∈[0，1]，我们可以在两点间连接一条线段，然后将这条线段分割为λx1和(1-λ)x2两部分，其中λx1表示x1所占的比重，(1-λ)x2表示x2所占的比重。
因为 f(x) 是一个二次函数，所以它是圆形的，当λ=0.5 时，分割点正好在圆心上，所以分割点的函数值就等于函数的最小值，即：f(λx1 + (1-λ)x2) = f((x1+x2)/2) = (x1+x2)2/4 + 2(x1+x2)/2 + 1 = (x1+x2)2/4 + x1 + x2 + 1/2。
此时，我们将 f(x1) 和 f(x2) 带入定义式中计算：λf(x1) + (1-λ)f(x2) = λ(x1)2 + 2λx1 + λ + (1-λ)(x2)2 + 2(1-λ)x2 + 1-λ= λx1^2 + (1-λ)x2^2 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + λ + 1-λ= λx12 + (1-λ)x22 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + 1我们可以发现，当将上式中“+λ+1-λ”化简后，它们和上面的 f(x1) + f(x2) 等价，且还多了一些其他的正数。
高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，丁是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research,economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words : Convex function； Inequality; Economics； Optimization problem摘要 (I)Abstract .................................................................................................................... I I..第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1.初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
凸函数的三种典型定义及其间的等价关系
花树忠
【期刊名称】《邯郸职业技术学院学报》
【年(卷),期】2002(15)3
【摘要】凸函数是一类常见的重要函数,有着十分广泛的应用.但是,不同数学教材中常常会给出不同的定义,本文给出三种比较多见的凸函数定义并就三者间的等价性进行证明.
【总页数】3页(P52-54)
【作者】花树忠
【作者单位】邯郸市职工大学基础教学部,邯郸,056001
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.等价关系的另外两种定义 [J], 曹发生;杨楠
2.黎曼积分的几种定义及其等价关系 [J], 林庆泽;尚亚东
3.调和p方凸函数与调和p次幂S-凸函数的定义及其判别法 [J], 沈君
4.实变量一元凸函数几种定义的等价关系 [J], 林永
5.凸(凹)函数的3种定义及其等价关系研究 [J], 李潘生
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凸函数的性质及其应用摘要凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。
[关键词]凸函数等价定义性质应用最优化Nature and Application of Convex FunctionAbstractConvex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature applicationOptimization目录绪论 (1)1凸函数的概念与等价定义 (1)1.1凸函数的概念 (1)1.2凸函数的等价定义 (2)2凸函数的简单性质 (3)3凸函数的判定定理 (5)4关于凸函数的几个重要不等式 (7)4.1Jensen不等式 (7)4.2Hadamard不等式 (10)5 凸函数的应用 (11)5.1 凸函数在证明不等式中的应用 (11)般凸函数和凸集 (13)广义凸函数求极小的问题 (14)5.4广义凸函数求极大的问题 (16)结束语 (19)致谢 (19)参考文献 (20)绪论凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。
函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎(陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学 092班，陕西 汉中 723000)指导教师：雍龙泉【摘要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。
凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。
本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性,判别方法及凸函数的应用。
首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。
然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。
后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。
然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。
最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。
【关键词】 凸函数；等价定义；判定方法1、引言凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研究凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奠基之作，即R.T.Rockafellar 的“Convex Analysis”,无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。
凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研究，即在一个不引入拓扑的线性空间中来研究。
凸函数的定义和判定凸函数是数学中的基础概念之一，它在实际应用中有着广泛的应用。
凸函数的定义和判定十分重要，下面我们将介绍它们的相关内容。
一、凸函数的定义在函数的定义域内，如果对于任意的 $x_1,x_2$ 和$0\leq\lambda\leq1$，都有：$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$那么函数 $f$ 就是一个凸函数。
这个定义可以用直观的方式解释：对于任意的两个点 $x_1$ 和 $x_2$，函数图像上的曲线位于这两个点的连线的下面。
还可以用二阶导数来描述凸函数，更具体地说，如果 $f$ 在定义域内的某个区间上二阶导数存在且大于零，则 $f$ 在该区间上是凸函数。
二、凸函数的判定方法除了使用定义，我们还可以通过实际运用凸函数的特点来判断一个函数是否是凸函数。
1. 凸函数的一次导数是递增的。
由定义可知，凸函数的强严凸部分性质意味着 $f''(x)\geq0$，所以 $f'$ 是递增的。
如果我们能证明函数的导数是递增的，那么这个函数就是凸函数。
2. 函数的二阶导数大于或等于零。
由定义可知，凸函数的强严凸部分性质意味着 $f''(x)\geq0$。
因此，如果我们能证明一个函数在其定义域内的二阶导数大于或等于零，则这个函数就是凸函数。
3. 函数的上凸壳等于它本身。
函数的上凸壳指的是连接函数图像上任意两个点，并且位于函数图像上方的切线或直线。
对于一个凸函数 $f$，上凸壳等于$f$ 本身。
4. 函数的二阶导数是递增的。
根据定义，凸函数的二阶导数是非负的。
事实上，任何满足二阶导数递增条件的函数，都可以被证明是凸函数。
以上是一些判定函数是否是凸函数的方法，每一种方法都有各自的适用范围。
三、凸函数的应用凸函数在实际应用中有着广泛的应用，例如在优化问题中，凸函数的最小值就是全局最小值。
凸函数的知识点总结一、凸函数的定义凸函数是一种具有很多重要性质的函数。
在数学上，凸函数的定义如下：设$f$是定义在实数集上的函数，如果对于任意的$x_1, x_2$和任意的$t \in [0,1]$，都有$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$，则称$f$是凸函数。
凸函数的定义实际上描述了函数图像上两点之间的连线位于函数图像之上，即函数的下凹性。
二、凸函数的性质1. 一阶导数的非减性：凸函数在其定义域上是处处可导的，在其定义域上的各点处，函数的导数保持不减。
2. 二阶导数的非负性：凸函数在其定义域上是处处二阶可导的，并且在其定义域上的各点处，函数的二阶导数大于等于零。
3. 零阶条件：如果$f$是定义在实数集上的连续函数，那么$f$是凸函数当且仅当对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
三、常见的凸函数1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中$a, b \in \mathbb{R}$，且$a \geq 0$。
2. 指数函数：$f(x) = e^{ax}$，其中$a \geq 0$。
3. 幂函数：$f(x) = x^a$，其中$a \geq 1$或$0 \leq a \leq 1$。
4. 对数函数：$f(x) = \log(x)$，其中$x > 0$。
四、凸函数的应用1. 在优化领域中，凸函数是一类非常重要的函数。
因为凸函数具有许多良好的性质，比如局部最小值也是全局最小值、一阶导数大于零等等。
所以在优化问题中，可以采用凸函数作为目标函数或约束条件，从而使得问题更容易求解。
2. 在经济学中，凸函数通常被用来描述一些经济变量之间的关系。
比如成本函数、效用函数等都可以用凸函数来描述。
3. 在凸优化问题中，凸函数也是一种标准形式的函数。
对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。
关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前 言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。
