凸函数的判别和应用

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。

本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。

在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。

一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。

本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。

编号学士学位论文凸函数及其应用学生姓名：艾木拉姑丽·吐尔逊学号：20060101025系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-1班指导教师：托乎提·塞都拉完成日期：2011 年 5 月10 日1摘要函数凸是一种非常重要的函数.它是研究函数，作出函数图象的基础，因此论文中首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，然后讨论凸函数的充要条件或充分条件.提出凸函数的9种常用的判别法，并给出每一个定理的证明，最后应用凸函数概念证明几个重要不等式.关键词：有界；单调；连续；可导；凸函数；Lagrange 定；Lepshitiz 条件；Jensen 不等式；2目 录摘要 .............................................................................................................................1 引言 .............................................................................................................................1 1.凸函数的定义与几何意义 .....................................................................................1 2.凸函数的判别法 .. (3)定理1............................................................................................................................ 3 定理2............................................................................................................................ 4 定理3............................................................................................................................ 5 定理4............................................................................................................................ 6 定理5............................................................................................................................ 6 定理6............................................................................................................................ 8 定理7............................................................................................................................ 9 定理8............................................................................................................................ 9 定理9.. (10)3.凸函数的应用 ....................................................................................................... 11 总结 ...........................................................................................................................17 参考文献 ...................................................................................................................18 致谢 (19)1引言讨论函数()y f x =的性态，仅仅知道函数()y f x =在区间I 严格增加还不够.因为函数()y f x =在区间I 严格增加还有不同的方式.函数的凹，凸性是研究函数性质（形态）的重要方法，且证明有些不等式的有力工具.为了掌握好函数的所有性质，首先要讨论函数凸性的充分条件与充要条件，因此本文中提出了凸函数的几种常用的判别法. 1.凸函数的定义与几何意义设函数()f x 在区间I 上有定义、从几何上来看、若()y f x =的图像上任意两点()()11,x f x 和()()22,x f x 之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上）、则称该函数是凸（凹）.参见图1.这个概念用解析的语言可以表述成 定义1；定义2：设函数()f x 在开区间I 有定义，若()12,,0,1x x I λ∀∈∀,有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦〈1〉则称()f x 在区间I 是下凸函数或简称函数()f x 在区间I 是凸的﹒()121x x x λλ=+-若定义中则221,x x x x λ-=-1211x x x x λ--=-则不等式〈1〉可以改写为()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤--2这就是凸函数的另一种定义﹒ 凸函数的几何意义： 当()0,1λ∈时点()()122211x x x x x x λλλλ=+-=--表示了区间()12,x x 中的某一点，即()12,x x x λ∈﹒在下图中弦12A A 的方程是：()()()12121fx f x y f x x x +=+-将x x λ=代入上式得()()()3231BA f x f x λλ=+-但()4BA f x =因此不等式〈1〉在几何上表示为34BA BA ≥也就是说，曲线()y f x =在弦12A A 下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状﹒（图1）除了凸函数上面的定义意外，还可以给出连续函数()f x 在区间I 上为凸函数的的等价性定义；定义1'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果21,x x ∀I ∈,有⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+≤221x f x f f将“≤”改为“〈”.定义2'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果Ix x x n ∈∀,...,,21，有()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++n x f x f x f f n x x x f n n (2121)x)x ()()21f x λ-图13例1： 证明()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒ 证明：事实上()1212,,,0,1x x R x x λ∀∈≠∀∈且有()()()()()()()()()()()()()()22221211222222222212121122222212221212121121111111f x x x x x x x x x x x x x x x x x x fx f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-=+-+-⎡⎤⎣⎦<+<+-++-⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦=+-=+-即函数()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒2.凸函数的判别法定理1设()f x 于(,)a b 上可微 ，则()f x 严格下凸⇔()f x '是严格增加﹒ 证明：()⇐根据Lagrange 中值定理对一切()1212,,,x x a b x x ∈≠及01t <<必存在()()1122,,t t x x x x ξξ∈∈和使得()()()()121t f x tf x t f x ---()()()()()121t t t f x f x t f x f x =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()112212211(1)0t t t f x x t f x x t t f f x x ξξξξ''=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=---<⎡⎤⎣⎦（ ()()12f f ξξ''<）()()()()121t f x tf x t f x ∴<+-由凸函数定义()f x 在(),a b 是函数﹒()⇒任取()12,,x x a b ∈满足12x x <我们来证明4()()()()12,f x f x f x a b '''<及在严格增加，设ξη<从(),x ξη∈知存在数01t <<使得()11t x t ξη=-+，根据()f x 的严格下凸条件得】()()()()1f t f x tf ξη<-+即()()()()f fx f f x xxξηξη--<--上式表明λ的函数()()()f fx xλψλλ-=-在()12,x x 严格增加.由此可见()()x x ψψ+<-记起()()11x f x ψ'+=并类次可()()22x f x ψ'+=∴()()()12f x f x f x '''<⇒在(),a b 严格增加﹒定理2函数()f x 在区间I 可导则()f x 在区间I 可导，则()f x 在I 是凸函数的充要条件是()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有证明：()⇒若()f x 在I 是凸函数，则由定理1有()f x '在I 上单调增加12,x x I∴∀∈ ()12x x <有()()()()2121f x f x f x x ξ'-=-()()()12121xx f x x x ξ'<<≥- ()()()()21121f x f x f x x x '∴≥+-同法可证明12x x >时也有()()()()21121f x f x f x x x '>+-()⇐若()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有令()3121x x x λλ=+- ()01λ<<则()()()131221211,x x x x x x x x λλ-=---=-∴对13,x x I∈有()()()()13313f x f x f x x x '≥+-()()()()33121f x f x x x λ'=+--5对()()()()()()()23233233321,x x I f x f x f x x x f x f x x x λ''∈≥+-=+-有从而()()()()()()()()()()()()()()()()()()133122332112312111111f x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλλ≥+--'-≥-+--∴+-≥=+-即()f x 在I 是凸函数. 定理3若函数()f x 在区间(),a b 上二阶可微且()0f x ''≥，则()f x 下凸. 证明：在区间(),a b 内任取两点()1212,x x x x <， 令120120202x x x x x x +=+-=即函数()f x 在0x 的泰勒公式是()()()()()()2000012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()0c x x 是与之间当1x x =时()()()()()()21001011012fx fx f x x x f c x x '''=+-+- ()10x c x <<当2x x =时()()()()()()22002022012fx fx f x x x f c x x '''=+-+-02x c x <<()()()()()()()()()()()()()()221200*********2201102201222122fx f x f x f x x x x f c x x f c x x fx f c x x f c x x ⎡⎤'''''∴+=++-+-+-⎣⎦⎡⎤''''=+-+-⎣⎦()()()()()()()()2212110220,00,00x a b f x f c f c f c x x f c x x ''''''''''∀∈>∴≥≥-+-≥ 有即于是()()()()()()1212022f x f x f x f x f x f x ++≥≤或因此()(),f x a b 在内是凸﹒6定理4设函数()f x 在开区间I 可导，函数()f x 在I 上是凸⇔曲线()y f x =位于它的任意一点切线的上方.证明：()⇒0x I ∀∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线方程： ()()()()000y x f x f x x x '=+- 从而()()()()()()000f x y x f x f x f x x x '-=---()()()()()()()00000f x x f x x x f f x x x ξξ''=---''=--⎡⎤⎣⎦其中ξ在x 与0x 之间.若函数()f x 在I 是凸，根据定理1，则()()00f f x x x ξ''--与同号，于是x I ∀∈，有()()0f x y x -≥即曲线()y f x =在其上任意点()()00,x f x 的切线上方.()⇐若0,x x I ∈，有()()()()()()0000f x y x f x f x f x x x '-=---≥当0x x <时有()()()000fx f x f x x x -'≤- ，当0x x >时有()()()000fx f x f x x x -'≥-于是x I ∀∈且()()()()121212fx f x fx f x x x x x x x x--<<≤--有 因此函数()f x 在I 上凸.定理5()f x 在(),a b 上为下凸函数的充要条件是对一切()123,,,x x x a b ∈ ()123x x x <<恒有x7()()()()()()213132213132fx f x fx f x fx f x x x x x x x ---≤≤--- ；证明：如图所示在曲线()y f x =上自左至右任取三点,,P Q R 则两两相连所得线段的斜率满足PQ PR Q R K K K ≤≤ （ 图-2）()⇒设3221313111x x x x x x x x λλ--=<-=--则 ，令()2131x x x λλ=+- 则根据()f x 的凸函数有()()()()()131311fx f x x fx f x λλλλ=+-≤+-⎡⎤⎣⎦ （1）()()3221133131x x x x fx fx x x x x --=+-- （2）进而得到()()()()()()312321213x x f x x x f x x x f x -≤-+- （3）()()()()()()3213122130x x f x x x f x x x f x ∴---+-≥()()()()()()()()3112113122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 或 ()()()()()()()()3213222122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 从而()()()()()()31212132x x f x f x x x f x f x --≤--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --∴≤-- 同法可证 ()()()()31323132fx f x fx f x x x x x --∴≤--()⇐由123,,x x x 在(),a b 上任意性，可以得到凸函数的定义2故()f x 在(),a b 上为一凸函数.8定理6()f x 在区间I 上为凸函数x I ⇔∀∈，当12x x x <<时有 ()()()11221101x fx x f x x f x ≥.证明：()⇒()1212,,,x x x I x x x f x ∀∈<<且在区间I 上可导，由定义()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦（1）设()121x x λλλ=+- 1211x x x x λ--=- 不等式（1）可以改写为()()()21122121x x x x fx fx fx x x x x --=+-- （2） 设12x x x <<将不等式（2）不等号两边乘上210x x ->有()()()()()()21112120x x f x x x f x x x f x -+-+-≥ （3）或可以改写为行列式的形式()()()1122111x fx x f x x f x ≥ ，()⇐()()()11221101x fx x f x x f x ≥ 设12x x x <<由于()()2121x x x x x x -=-+-，（3）或改写为()()()()()()()()21121120x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥或()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤-- ∴函数()f x 是凸函数.9定理7若函数()f x ，()g x 在区间I 上为凸函数，则()()f x g x +也在I 上为凸. 证明：因为()(),f x g x 在区间I 上为凸函数.∴对定义区间内任意两点12,x x 及()0,1λ∀∈，有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦及()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦不等式两边分别相加得()()()()()()()12121122111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦按定义()()f x g x +为凸函数.定理8若()f u 是单调增加的凸函数，且()u x ψ=为凸函数，则复合函数()f x ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.证明：()u x ψ= 是凸函数，12,x x ∀有()()121222x x x x ψψψ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（由凸函数的定义）又因为()f x 是单调增加的凸函数，所以12,x x ∀有()()()()121212222f x f x x x x x f f ψψψψψ+⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎡+⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦≤≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（()()1212122x x x x ψψψ+⎛⎫+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭）所以复合函数()f u ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.10定理9函数()f x 在区间I 上为凸⇔12,,n x x x I ∀∈ 有()()()112211221212n n n n n n t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭其中 ()122,,,,0nn t t t ≥>证明：()⇐若12,,,n x x x I ∀∈ 有 ()()()112211221212n n n n n nt f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()12,,,0nt t t > 则2n =时有()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤ ⎪++⎝⎭()12,0t t >令12,1t t t t ==- （0<t<1）有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ 由定义知函数()f x 在I 上为凸. 必要性()⇒若()f x 在I 为凸函数，则12,x x I ∀∈有()()()()121211f tx t x tfx t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ ()01t << 12,0t t ∴∀>令112t t t t =+ 则2121t t t t -=+ 则()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤⎪++⎝⎭ 即2n =是不等式成立.设1n k =-时有11()()()112211112211121121k k k k k k t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t ------+++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()121121,,,,,,,0k k x x x I t t t --∀∈> ，n k =时有()()112211121112211121121121.()()k k k k k k k k k k k k k k t x t x t x t t t t x t x t x t x t x t t t f f t t t t t t t t --------+++⎡⎤++++⎢⎥⎡⎤+++++++⎢⎥=⎢⎥++++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()112211*********.k k k k k k k kt x t x t x t t t ft x t t t t t t t -----⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭≤++++()()()112211121()k k k k k kt fx t f x t f x t f x t t t t ---++++≤++++即n k =是不等式成立，所以定理是正确的.3.凸函数的应用例2： ()f x 为区间I 上的凸函数,1,2,,x I n ιι∈= 10,1nιιιλλ=>=∑这时有()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤+++ . 证明：（用数学归纳法） 当2n =是凸函数的定义 12λ=时112λλ==()()()11221122f x x f x f x λλλλ+≤+成立.当1n k =-时0a ι> 111k a ιι-==∑ 有12()()()()112211112211k k k k f x x x f x f x f x αααααα----+++≤+++ 成立当n k = 时 11nιιλ==∑时只各项 1kιιλαλ=-就有()()1122111122111.1k k k k k k k k k kx x x f x x x x f x λλλλλλλλλλ----⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11221111k k k k k kx x x f f x λλλλλλ--⎡⎤+++=-+⎢⎥-⎣⎦()()()()()1122111.k k k k k fx f x f x f x λαααλ--≤-++++⎡⎤⎣⎦()()()()112211k k k k f x f x f x f x λλλλ--=++++()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ∴+++≤+++例3:设:()f x 在区间（a ，b ）内为凸函数，并且有界，试证()lim x af x +→与()5lim x f x →均存在.证明：不妨设()f x M ≤，根据()f x 的凸性知，()00,,x a b a x x ∀∈<<时()()()()()()00000fx f x fx f x fx Mk x x x x xx a---==>---是x 的单调有界函数，从而存在()()00lim ,x afx f x A x x +→-=-，而(),x a b ∈ ()()()()()0000fx f x f x x x fx x x -=-+-则()()()000lim x af x a x f x →=-+例4：设0i a >，0i b >（1,2,...,i n =）证明：11111nnnp qp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑其中110,,1p q qp<<+∞+=此不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2p q ==时，13又称为始瓦茨（Schwarz ）不等式或柯西不等式；证明：令 ()16f x x =则()()0;011121''>∀<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x xq q x f q 因此()f x 为()0,+∞上的严格凹函数，于是若10,,1ni i i i x t o t =>>=∑ 则有()q n n q nn q qx t x t xt xt xt 1111122111......++≤+++ 现取1pii np ii a t a==∑，q i i pib x a =并且代入不等式，得()q p i ni qq nqni nn a bbb a b a 1111111......⎪⎭⎫ ⎝⎛∑++≤∑++==整理即得q p i ni p p i ni i i ni b a b a 11111⎪⎭⎫⎝⎛∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑<∑==-；例5：由()ln f x x = 的凸性,利用Jensen 不等式来导出平均值不等式. 解:由于()210,f x x=-<故()fx 在()0,+∞上是凹函数,对于凹函数詹森不等式()()()()1...............1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ 应取反向,设()0,0,1,2,,;i x i n >=⋅⋅⋅并取()1,1,2,,i i n nλ==⋅⋅⋅显示有11ni i λ==∑把它们代入反向的（1）式，得到()111lnln ln lnnn x x x x nn+⋅⋅⋅+≥+⋅⋅⋅+=由于()ln f x x =是递增函数，因此得到1nx x n⋅⋅⋅≤再由()1ln ln g x x x=-=为—凹函数，类似地又有1111111ln ln ln ln nn x x nn x x +⋅⋅⋅+⎛⎫-≤-+⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭又得14111nn x x ≤+⋅⋅⋅+1111nnx x n nx x ⋅⋅⋅≤≤+⋅⋅⋅+例6：设()f x 为区域(),a b 内的凸函数，试证：()f x 在I 的一内闭区间[](),,a b αβ⊂上满足来布尼兹（Lipschitz ）条件.证明：首先我们要清楚来布尼兹（Lipschitz ）条件，称()f x 在[],αβ满足 来布尼兹（Lipschitz ）条件，是存在L ，使[]12,,x x αβ∀∈有()()1212fx f x L x x -≤-即()()1212f x f x Lx x -≤-曾有凸函数关于增量比值的性质：()()1212fx f x x x --是关于x 的增函数实际上，有关增量的结论，一般还有如下四个结论是等价的()123x x x <<（1）()f x 在[],αβ上凸函数； （2）()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --≤--；（3）()()()()31322131fx f x fx f x x x x x --≤--；（4）()()()()21322132fx f x fx f x x x x x --≤--；15上面式（1）（2）（3）均表明()()00fx f x x x --对固定的1x 而言，是关于x 的增函数的结论的变形形式.则由于[](),,a b αβ⊂，故有在0h >使得[](),,h h a b αβ-+⊂ 12x x <且[]12,,x x αβ∈时，取32x x h =+尤式（4）知()()()()213221fx f x fx f x M m x x hh---≤≤-，其中,M m 分别表示f 在[],h h αβ-+上的上，下确界，则()()1221..................M m f x f x x x h--≤-（1）12x x >，则可取32x x h =-，有()()()()21212121fx f x M m M m fx f x x x x x hh---≤⇒-≤--当21x x = 21x x =时不等式（1）成立.变换21,x x 的位置，不等式（1）成立，故[]12,,x x αβ∀∈有()()1221M m fx f x x x h--≤-；例7：设()f x 是区间[],a b 上的凸函数，则()()()122b af a f b a b f f x dx b a++⎛⎫≤≤⎪-⎝⎭⎰证明：由()f x 的凸性保证了积分()ba f x ⎰有意义当,2a b x b +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2a b a b x a +⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦且有()()22a b f a b x f x f +⎛⎫+-+≥⎪⎝⎭因为()()2a b baaf x dx fx dx +=⎰⎰令x a b μ=+-，得16()()()22a bbb aa b bf x dx f a b d f a b dx μμμ++=-+-=+-⎰⎰⎰从而()()()()22222bbb aa b a ba ba b f x dx f a b x f x dx f dx a b f ++++⎛⎫⎛⎫=+-+≥=-⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰于是()12b aa b f fx dx b a+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰作变换()()t b x b a =-÷-，则有()()()()()()()()()()()1111112b af a f b f x dx f a t b dt b a t a t b dt b a tf a t f b dt b a +=+-=-⋅+-≤-+-=-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而()()()12b af a f b f x dx b a+≤-⎰例8：设0,0,p q >>求证：当2o xπ<<时sin cos px qx <证：原式可以变形为22sin cos 1pqp qx x p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取对数又可变性为22sin cos 1ln ln ln px px p q p p q q p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()ln g x x =的凹性，即证；17总结凸函数是研究函数性质的重要工具，作出函数图象与证明不等式的一种方法.因此本文中主要讨论凸函数概念与凸函数的9种常用的判别法.应用凸函数解决问题或证明一个不等式时首先选取本文中的适当的一种凸函数判别法，然后利用此种方法讨论已知函数的凸性，最后按照函数的凸性来证明原不等式.18参考文献[1] 毛羽辉.数学分析选论（上册）[M].北京：科学出版社.2004：66～72[2] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析指导书[M]．高等教育出版社.2004：169～171[3] 谢惠民，恽自求，易法槐，钱定边．数学分析习题课讲义（上册）[M]．高等教育出版社.2004：243～245[4] 方企勤．数学分析（上册）[M]．北京大学数学系.1986：197～206[5] 欧阳光中，姚允龙．数学分析（上册）[M]．复旦大学出版社.1991：195～199[6]陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中．数学分析（上册）[M]．高等教育出版社.1978：193～200[7]刘玉璉，傅沛仁，林玎，刘宁 ．数学分析（上册）[M].高等教育出版社.2003：256～262[8]任胜健.数学分析（第一册）[M].北京大学出版社.2009:218～225[9]牛庆银.数学分析选论[M].科学出版社.2004:66～72[10]李胜宏.数学分析[M].浙江大学出版社.2009:197～20319 致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高.在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批准了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础.此致敬礼：艾木拉姑丽.吐尔逊 2011-5-10。

凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。

它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。

本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。

一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。

定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。

性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。

2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。

二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。

1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。

1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。

由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。

凸函数的定义凸函数是数学中一种非常基础且重要的概念，其在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。

本文就来介绍凸函数的定义及其一些基本性质。

一、凸函数的定义在介绍凸函数之前，我们先来了解一下凸集的概念。

凸集是指对于该集合中任意两个点，它们之间的连线上的所有点也都属于该集合。

例如，一个圆形就是一种凸集，而一条线段则不是。

有了凸集的定义，我们就可以引出凸函数的定义了。

如果函数f 的定义域上的任意两点构成的线段都落在函数的上方，则该函数被称为凸函数。

反之，如果这些线段都落在函数的下方，则该函数被称为上凸函数。

这里需要注意的是，对于凸函数来说，图形上的“上方”指的是函数图像的上面，即函数值更大的区域。

而对于上凸函数，则是函数图像的下面，即函数值更小的区域。

二、凸函数的基本性质1.一阶导数单调递增对于凸函数来说，其一阶导数具有单调性。

也就是说，如果 f是一个凸函数，则其一阶导数 f' 是单调递增的。

反之，如果 f 的一阶导数是单调递增的，则 f 是凸函数。

这个性质非常重要，因为它可以用来证明很多凸函数的性质。

例如，如果我们知道了某个函数的一阶导数的单调性，就可以进一步证明该函数的二阶导数不小于零，从而证明该函数是凸函数。

2.上凸函数和下凸函数的判定对于一个函数 f，如果其一阶导数 f' 单调递减，则该函数是上凸函数。

反之，如果其一阶导数 f' 单调递增，则该函数是下凸函数。

这个判定方法可以用来判断很多函数的凸性。

例如，如果我们知道某个函数的一阶导数的单调性，并且该函数的一阶导数单调递增，则该函数是下凸函数。

3.凸函数的次导数函数的次导数是指它的 n 阶导数。

对于凸函数来说，它的次导数也具有一定的性质。

如果 f 是一个凸函数，则其次导数都不小于零。

这个性质可以用于推断一个函数是否是凸函数。

例如，如果我们知道某个函数的一阶和二阶导数都不小于零，则可以推断该函数是凸函数。

三、凸函数应用实例凸函数在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。

文献综述数学与应用数学凸函数的性质与应用凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,它不仅在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化，运筹学等)中具有重要的应用,在具体的数学学科学习中也有重要的应用.我们在华东师范大学数学系编的数学分析书上册的第六章第五节学习了凸函数的有关定义和性质.在该书中对凸函数的定义叙述为:定义1[1] 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上的任意两点1x ,2x 和任意实数λ∈（0,1）总有: 1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.几何形状如下图所示:根据凸函数的定义和相关引理,我们可以得出关于二阶可导凸函数的一个重要的充要条件：定理2[1]设f 为区间I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸函数的充要条件是: 0)(''≥x f ,I x ∈.从凸函数的定义,图像,充要条件上,我们可以看到凸函数有其本身的特殊性和直观性,而这些性质对于证明某些较复杂的不等式,解答高中里的数学题目均有很大的帮助.国内外现状与研究方向：由于凸函数在数学上的广泛应用,国内外越来越多的学者专注于对凸函数各个方面的研究.首先,在凸函数的众多研究课题当中,对其基本定义和性质的研究最为广泛和普遍.研究的主要内容包括凸函数及对其概念的理解,等价定义,判别法,它的线形性[华东师范大学.数学分析上册(第三版)就对凸函数的概念和定义作了详细的说明].除了对凸函数原有性质的研究之外,对其新性质的研究也使研究者们趋之若鹜.目前越来越多的学者专注于凸函数的若干新性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,寻找求解线性与非线性不等式组的新方法.其次,在对凸函数的定义和性质有了充分研究的前提下,研究者们更加关注对凸函数的应用的研究.例如研究其与不等式证明有关的下凸函数的性质[邱忠文,刘瑞金.函数的凹凸性及不等式的证明;王新奇.利用函数的凹凸性证明一类三角不等式];利用Jenven不等式证明当 n 取任意自然数时该性质的推广;在不等式中的应用[于靖.利用曲线的凹凸性证明柯西不等式];凸函数与极值,导数的一些关系[裴礼文.数学分析中的典型问题与方法;孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和方法];判断函数极值点与拐点等应用.凸函数在高中数学中的研究也是一大亮点:由于凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐.初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用[方良秋.高考题中凸函数的题型及应用].最后,随着凸函数的凸性在数学,物理学,经济学,管理学,最优化理论等领域的广泛应用,对凸函数的凸性的进一步研究已成为众多学者密切关注的一个焦点,而由凸集和凸函数拓展延伸而产生的各类凸集和凸函数的不断出现,不仅极大地丰富了凸分析理论,而且有力地推动了数学科学的发展,特别是对数学规划,控制论,最优化等领域的发展起到巨大的作用,也引起了众多学者的密切关注和极大兴趣[钟伟,周彬林.凸函数的几种不同定义及应用].进展情况：一开始时,凸函数的重要作用被认为是在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化,运筹学等)中的应用.但随着对凸函数横向和纵向研究的逐渐深入,研究者们越来越意识到凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用.例如由重庆师范大学罗超群学者所写的《凸函数在分析中的初探》就详细得探讨了凸函数的线形性和凸函数与极值,倒数的一些关系;由中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时贞军学者和曲阜师范大学运筹与管理学院岳丽学者所写的《凸函数的若干新性质及应用》则详细讨论凸函数的性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,为线性与非线性不等式组,线性规划的求解提供了一种新方法;由井冈山职业技术学院的晏忠红学者所写的《凸函数的应用》则对用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式作出了讨论;由湖南省汨罗市第二中学的刘正良和宋加文老师则在《凸函数理论及应用策略》中描述了凸函数在初高中数学学科中的具体应用.总之,学者们对凸函数各方面的研究是趋之若鹜,使得凸函数在各方面的应用也越来越深入.存在问题：现阶段关于凸函数主要存在三个方面的问题:（1）在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念却往往被忽视.在一些工科类的微积分教材中,对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线(或割线)的上下位置关系来描述.（2）对二元凸函数的性质研究较少.(3)对于凸函数的定义和基本性质的介绍比较分散,跨度大.参考文献：[1] 华东师范大学. 数学分析上册（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：119-125.[2] 雷澜.凸函数的性质与不等式证明[N].渝州大学学报,2000,17(4):19-21.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 186-191.[4] 卢兴江,金蒙伟. 高等数学竞赛教程[M]. 杭州: 浙江大学出版社, 2010: 20-46.[5] 顾荣. 函数凹凸性定义的探讨[J]. 佳木斯教育学院学报，2010, 102(6): 299.[6] 王庆东,侯海军. R n 中函数凹凸性判定的充要条件[J]. 河北理科教学研究， 2003, 3: 50.[7] 张国坤. 多元函数的凹凸性再探[J], 曲靖师专学报. 1995, 14(6): 29-31.[8] 陈朝晖. 二元函数凹凸性的判别法及最值探讨[J]. 高师理科学刊, 2010, 30(5): 25-28.[9] 白景华. 凸函数的性质、等价定义及应用[J]. 开封大学学报, 2003, 17(2), 69-64.[10] 赵文彼, 栗洪敏. 利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式[J]. 工科数学, 1994, 10(4):227-229.[11] 王新奇. 利用函数的凹凸性证明一类三角不等式[J]. 西安文理学院学报(自然科学版), 2005,8(3): 37-40.[12] 于靖. 利用曲线的凹凸性证明柯西不等式[J]. 辽宁师专学报, 2003, 5(2): 2-3.[13] 沈文国. 用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广[J]. 兰州工业高等专科学校学报, 2001,8(4): 4-8.[14] 普丰山, 李兆强. 连续函数的单调性及凸凹性研究[J]. 河南科学, 2009, 27(8): 896-899.[15] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992：203-205.[16] 时贞军. 无约束优化的超记忆梯度算法[J]. 工程数学学报, 2000, 17(2): 99-104.[17] 孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和方法[M]. 长沙: 湖南科学技术出版社, 1983：246-264.[18] 方良秋.高考题中的凸函数题型及其应用[J].数学教学通讯报,2007,271:38-4.[19] 李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[N].广西师范学院学报,2004,21(2):93-95.[20] 邱忠文, 刘瑞金. 函数的凹凸性及不等式的证明[J]. 工科数学, 1993, 19(3): 151-154.[21] 陈太道.凸函数判定及其应用[N].临沂师范学院学报,2002,24(3):91-92.[22] 古小敏.对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2009,26(2):172-182.。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1 引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#） 若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （@） 若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向. 证明 由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bbf x naan i f a nn n b a f x dx edx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e（b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2ni b aif a bnn b aan a blmf b a ef x dxa bb a eb a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e（其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤-()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a bbbbf x x b aaaaa b a a b b a a b bbb ab aa ab a f x dx edx edx edxb a b a eedx ex b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质 在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故 ：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x xg x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数. 注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少.(4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 内的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 内部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11ni i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤---（4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 内存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰（7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明 先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'---在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x --''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x xη-'=-因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理 定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 内有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.证明 第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景； 第二个结论，先证充分性 由于0f ''≥在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证. 再证必要性（反证法） 因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen 不等式.Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1） 此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用范围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n 有1212...111...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1） 设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3） 证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nni i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1iini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i ip p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2） 设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤， （2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥证明 （1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B C f ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2） 令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ (%)证明 设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明 令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=-在上式中令n →∞时， 则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明 记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x=+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，ii a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i ii i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen 不等式，Hadamard 不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵阳,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,绍兴,2005,3[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报,太原,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南宁,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身后的帮助.。

凸函数的性质及应用摘要：函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。

而凸函数则是其中重要的一类。

本文主要是研究几类凸函数的性质与应用。

探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性和可微性。

同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。

关键词：凸函数性质应用1.凸函数的概念与等价定义1.1凸函数的概念人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。

这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）性概念。

定义1.1.1([1])设是定义在区间上的函数,若对上的任意两点 , ,常有，则称为上的凸函数。

定义1.1.2([2])若在定义上成立不等式（≠），则称是上严格的凸函数。

1.2凸函数的等价定义定义1.2.1设在区间上有定义，在上成为凸函数当且仅当对任意 ,∈ ,任意∈(0,1)有若不等号反向，则称为上的凹函数。

若“≤”改为“<”，则称为上的严格凸函数。

2.凸函数的简单性质在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。

定理2.1([4])设在区间I上为凸函数，对任意，则:时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数。

定理2.2([5])设，是间I上的凸函数，则其和也是I上的凸函数。

定理2.3([6])若设，是间I上的凸函数，则为I上的凸函数定理2.4([7])设是单调递增的凸函数，u=f(x)是凸函数，则复合函数也是凸函数定理2.5设为区间I上的凹函数，，则为区间I上的凸函数，反之不真。

3.凸函数的判定定理利用凸函数的定义判别函数是否为凸函数，常常并不方便。

因此需要建立一系列的便于应用的判别方法。

定理3.1若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数是上的一个凸函数。

定理3.2若在间上存在，则在上成为凸函数的充分必要条件是：在上4.关于凸函数的几个重要不等式4.1不等式定理4.1.1（凸函数的基本不等式）设是间上的凸函数，则对中任意个数成立不等式，当仅当时等号。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。

在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。

1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。

如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。

2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。

3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。

在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。

这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。

由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。

2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。

这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。

复杂函数的凸函数的判定方法1. 定义法呀！直接根据凸函数的定义来判断，就像判断一个人是不是好人，看他的行为符不符合好人的标准一样。

比如函数 f(x)=x^2，它的二阶导数恒大于等于 0，不就是明显的凸函数嘛！2. 一阶导数判别法也超实用！当函数的一阶导数单调递增时，嘿，大概率就是凸函数啦！就像跑步速度一直在加快，那肯定是在向上前进呀，比如函数 f(x)=e^x。

3. 二阶导数判别法可别小瞧！看到二阶导数恒大于等于 0，那差不多就是凸函数没跑啦！好比看到一个人总是笑眯眯的，那心情肯定不错呀，像f(x)=ln(x) 在定义域内就是这样。

4. 图像法很直观哦！直接瞅瞅函数图像是不是向上凸的，就一清二楚啦。

比如反比例函数，那图像一看就不是凸函数嘛！5. 割线法也很有趣呀！看看割线是不是都在函数曲线的上方，如果是，那就是凸函数啦！就像走在路上总是比路边的花草高一样明显，像函数f(x)=-x^2 就是典型的例子呀。

6. 琴生不等式法这个有点厉害哦！用它来判断凸函数也是一绝。

哎呀，就好像有个特别靠谱的标准来衡量一样，比如函数 f(x)=sin(x) 在一定区间内可以用这个方法呀。

7. 利用凸组合来判断也不错！看看满足凸组合的条件不，满足的话大概率就是啦！这就好像把不同的东西混在一起，看看是不是符合某种特征，就像 f(x)=x 就可以这样来瞧瞧。

8. 对比法也能行呀！和已知的凸函数做个比较，说不定就发现了。

这和找不同有点像呢，比如已知 f(x)=x^3 是凸函数，那和它类似的函数也可以试着判断呀。

9. 还可以用极限的思想呢！从极限的角度去分析函数的凸性。

哇，这就好像从很遥远的地方去观察一个东西一样，比如函数 f(x)=1/x 在某些区间上，用极限思想判断就很有意思呀！在我看来呀，这些方法都各有各的厉害之处，根据不同的函数特点去灵活运用，才能准确判断是不是凸函数呀！。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。

在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。

一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。

如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。

二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。

2.凸函数的二阶导数是非负的。

3.函数的局部极小值点是凸函数。

4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。

三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。

下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。

如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。

3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。

如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。

4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。

我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。

在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。

它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。

凸函数在不等式方面的应用凸函数是一类有着广泛应用的特殊函数，具有许多特殊的性质，在不等式方面的应用较广，并具有简炼、快捷之功能。

1、凸函数定义如果函数f（x）满足以下条件：对于任意两点x1，x2，都有f（q1x1+qx2）≤q1f（x1）+q2f（x2）或f（q1x1+q2x2）≥q1f（x1）+q2f（x2）其中q1≥0，q2≥0，q1+q2=1，则称函数f（x）在该区间是下凸函数或上凸函数。

2、凸函数的判别法（1）、在某区间上若函数f（x）满足对任意x1，x2都有f（）≤或f（）≥则函数是f（x）下凸函数或是上凸函数；（2）设函数f（x）在某区间上有二阶导数，若f∥（x）＞0或f∥（x）＜0则函数f（x）在该区间上是下凸函数或是上凸函数；（3）设函数f（x）在某区间内可导，则函数f（x）在该区间上是下凸函数或上凸函数充分必要条件是f／（x）在该区间内递增或递减；（4）设函数f（x）在某区间上可导，区间上的任意x0，x都有f（x）≥f（x0）+f／（x0）（x-x0）或f（x）≤f（x0）+f／（x0）（x-x0）则函数f（x）在该区间是下凸函数或上凸函数；（5）设函数f（x）在某区间上定义，若区间内每一点处曲线f（x）的切线都在该曲线的下方或上方，则函数f（x）在该区间上是下凸函数或上凸函数。

3、相应不等式琴森不等式设函数f（x）在区间（a，b）是下凸函数或上凸函数，则对任意x1，x2，…，x n有不等式f（）≤或 f（）≥琴森不等式的推广式：若p1，p2，…p n＞0则有≤或4、凸函数在不等式中的应用例1：证明f（x）=lgx在区间（0，+∞）上是上凸函数；证法一：（定义法）设x1，x2，…，x n为正实数，则f（）— [f（x1）+f（x2）]=lg —（lgx1+lgx2）=lg —lg =lg∵x1，x2，…，x n为正实数，∴x1+x2≥即≥ =1又y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴lg（）≥0，∴ f（）≥ [f（x1）+f（x2）]根据定义，函数f（x）是区间（0，+∞）上的上凸函数。

如何判断一个函数是否是凸的要判断一个函数是否是凸的，我们需要了解什么是凸函数以及凸函数的性质。

在数学中，一个函数被称为凸函数，如果对于任意两个取值在定义域上的点，连接这两个点的线段上的函数值不大于这两个点各自的函数值之间的线性插值。

简而言之，凸函数的图像在两点之间的部分，在这两点之间的连线上。

下面详细介绍凸函数的定义和相关性质，以及判断函数是否是凸函数的方法。

一、凸函数的定义：给定一个定义域为D的函数f，如果对于D上的任意两个点x1和x2，以及任意实数λ（0≤λ≤1），都满足如下条件：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则函数f被称为凸函数。

这个定义可以理解为，对于连接函数f上任意两点连线上的点x，函数f(x)的取值都不会超过连接这两个点的线段上函数值的线性插值。

如果函数f满足这个定义，则称f为凸函数。

二、凸函数的性质：1.凸函数的图像上的任意两个点之间的连线都在函数图像的上方或者是函数图像本身。

这可以由凸函数的定义推导得出。

2.凡是非空凸集的非空凸组合，对于凸函数f都有f(凸组合)≤凸组合的f值之和。

三、判断函数是否是凸的方法：1.一阶导数法：对于定义在实数集上的函数f，如果f在定义域上是可导的，那么对于凸函数来说，它的一阶导数是递增的。

我们可以通过计算函数的一阶导数来判断其递增性。

如果一阶导数始终大于等于零，则函数是凸的；如果一阶导数始终大于零，则函数是严格凸的。

2.二阶导数法：对于定义在实数集上的函数f，如果f在定义域上是二阶可导的，并且其二阶导数大于等于零，那么函数f是凸的；如果二阶导数大于零，则函数是严格凸的。

通过计算函数的二阶导数来判断其凸性。

3.利用判别凸函数的性质：通过判断函数图像上的连线是否在函数上方，可以直观地判断函数是否是凸的。

四、凸函数的常见类型：1. 线性函数：f(x) = ax + b，其中a和b为实数。

线性函数是凸函数也是凹函数。

2.常数函数：f(x)=c，其中c为实数。

凸函数的若干性质及应用凸函数是数学分析中的重要概念，具有许多重要的性质和广泛的应用。

本文将从性质和应用两个方面来阐述凸函数的相关内容。

一、性质：1. 定义：凸函数的定义是指函数f(x)在定义域的任意两点x1和x2，对于任意的t∈[0,1]，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)成立。

这个定义也可以用来判定函数的凹凸性。

2. 凸函数的图像：凸函数的图像总是位于其切线的下方，且曲线向上凸起，在凸函数的图像上取任意两点，连接这两点与曲线的切线，切线位于曲线的下方。

3. 严格凸函数：如果函数f(x)在定义域内的每两个不同的点x1和x2之间，对于任意的t∈(0,1)，都有f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2)成立，则称函数f(x)为严格凸函数。

4. 凸函数的一次导数：凸函数的一次导数是非递减的，也就是说，若函数f(x)是凸函数，则它的导函数f'(x)是非递减的。

二、应用：凸函数在许多领域都有广泛的应用，以下介绍凸函数的一些常见应用：1. 最优化问题：凸函数在最优化问题中具有重要作用，特别是线性规划和凸规划。

通过建立优化问题的目标函数为凸函数，可以快速求得该问题的最优解。

2. 机器学习：在机器学习中，凸函数常用于构建损失函数和约束条件。

通过选择合适的凸函数作为损失函数，可以用来拟合模型和训练模型，如线性回归和逻辑回归等。

3. 经济学：凸函数在微观经济学中具有广泛的应用，特别是在效用函数和供求关系中。

凸函数可以描述消费者偏好和生产者的成本、收益等经济现象，为经济学家提供了重要的理论工具。

4. 几何学：凸函数与凸集有着密切的关系，可以通过凸函数来描述凸集。

凸函数在几何学中被广泛用于解决凸优化问题、凸包问题等凸几何相关的问题。

5. 图像处理：在数字图像处理中，凸函数常用于图像的分割、边缘检测、图像重建等问题。

通过构建合适的凸函数和优化算法，可以提高图像处理的效率和精度。

凸函数在教育学中的应用凸函数是一种特殊的数学函数，具有许多独特的特性和应用。

在教育学中，凸函数也有着广泛的应用。

本文将探讨凸函数在教育学中的应用。

一、凸函数概述凸函数是指图像位于其切线上方的函数。

也就是说，对于一条切线，函数图像所有的点都在切线的上方。

凸函数具有多种特性。

其中最重要的是凸函数具有单峰性。

也就是说，凸函数图像在某个点上达到最大值，该点称为凸函数的极值点。

进一步，凸函数图像呈现出一条向上的曲线，而凹函数则呈现出一条向下的曲线。

二、凸函数在教育学中的应用1. 学习曲线分析学习曲线是指学习者在学习过程中知识掌握程度与学习时间的关系。

利用凸函数分析学习曲线，可以更好地把握学习过程的节奏，有效预测学生的学习成果。

具体而言，用凸函数分析学习曲线可以先得出其极值点，进而确定学生的学习阶段和适合学生的教学策略。

例如，对于初学者来说，由于知识掌握程度较低，学习曲线可能呈现出较缓的上升趋势，此时可以采用更为生动的教学方式，提高学生的学习积极性，激发学生的兴趣。

对于更为资深的学生，由于已经掌握了一定的知识，学习曲线可能会呈现出降角度逐渐减小的趋势，此时可以采用更多的知识联系、思维拓展等方式，提高学生的学习深度。

2. 学科评估分析凸函数还可以应用于学科评估分析中。

学科评估分析是指对于一门学科的学习情况进行综合评估，包含学生掌握情况、教学效果、考试成绩等多个方面。

利用凸函数分析学科评估可以先选择一定的指标，如学生掌握程度、教学效果等，将其综合计算得到一个凸函数。

进一步，通过比较不同学科的凸函数，可以得出各个学科的优劣情况。

例如，对于一门学科，若其凸函数呈现单峰性，则说明学生的学习有了明显的提升，教学效果较好，考试成果理应在良好水平上。

而若该学科的凸函数呈现出双峰性，则说明该学科教学可能存在问题，需要对教师教学方法、学生学习情况等方面进行深入的分析。

3. 学生成长趋势分析利用凸函数分析学生的学生成长趋势，可以更为科学地预测学生的发展方向，为学生的未来成长提供难得的机遇。