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凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。
本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。
简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。
如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。
（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。
（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。
这个性质在优化问题中非常有用。
3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。
此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。
二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。
也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。
如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。
（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。
（3）凸集的闭包也是凸集。
（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。
3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。
凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。
一、凹凸函数的代数定义容易理解，若函数 f（x）为凸函数，那么 -f（x）为凹函数。
所以，讨论清楚了凸函数，等价于讨论清楚了凹函数。
现在我们来讨论凸函数，现设一函数 f（x）。
在该函数定义域的凸区内任取两点x1、x2（x1<x2）。
设一点x=q1x1+q2x2(q1,q2>0 ，且q1+q2=1)那么易得，该点必包含于x1，x2之间。
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数; 在图形上看就是"开口向上" ,反过来,就是凸函数; 由于一阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0; 由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0,凸函数就是:缓慢升高,快速降低; 凹函数就是:缓慢降低,快速升高.。
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
常见的凸函数
1 指数函数eax
2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤0
3 负对数函数- log x
4 负熵函数x log x
5 范数函数||x||p
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。
）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。
当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。
如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。
如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。
如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。
02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。
函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。
仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。
⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。
如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。
那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。
解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。
上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
92. 什么是凸函数？如何判断？92、什么是凸函数？如何判断？在数学的广袤世界里，凸函数是一个重要的概念，它在优化理论、经济学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
那么，究竟什么是凸函数呢？又该如何去判断一个函数是否为凸函数呢？简单来说，凸函数是一种具有特殊性质的函数。
想象一下，在函数的图像上，如果连接任意两点的线段都在这两点之间的函数曲线之上，那么这个函数就是凸函数。
更严谨地，对于定义在某个区间上的函数 f(x)，如果对于区间内任意的两个点 x₁和 x₂，以及介于 0 和 1 之间的任意实数λ ，都满足不等式f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) ，那么这个函数就是凸函数。
为了更直观地理解凸函数，我们来看几个具体的例子。
比如，最简单的凸函数之一是二次函数 f(x) ＝ x²。
在其图像上，很容易发现任意两点之间的线段都在曲线之上。
再比如，函数 f(x) ＝｜x| 也是凸函数。
那如何判断一个给定的函数是否为凸函数呢？这有多种方法。
一种常见的方法是通过函数的二阶导数来判断。
如果函数 f(x) 的二阶导数 f'＇（x) ≥ 0 在其定义域内恒成立，那么这个函数就是凸函数。
以函数 f(x) ＝ x²为例，它的一阶导数为 f'（x) ＝ 2x ，二阶导数为f'＇（x) ＝ 2 ，因为 2 恒大于 0 ，所以 f(x) ＝ x²是凸函数。
另一种方法是利用定义来直接判断。
对于给定的函数，选取定义域内的任意两点，计算出λx₁＋（1 λ)x₂对应的函数值，并与λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) 进行比较。
但这种方法在实际操作中往往比较繁琐，特别是对于复杂的函数。
还有一种方法是通过函数的性质来判断。
例如，如果一个函数是由多个凸函数相加组成的，那么这个函数也是凸函数。
凸函数在实际应用中有着重要的价值。
在优化问题中，凸函数的性质使得我们能够更容易地找到最优解。
凸函数的判定条件在数学分析中，凸函数是一个非常重要的概念。
它具有很多优良的性质和应用，如优化、最小化、最大化等等。
因此，凸函数的研究是数学分析研究的一个重要方向。
本文将介绍凸函数的判定条件。
一、凸函数的定义在正式介绍凸函数的判定条件之前，先回顾一下凸函数的定义。
设$f$是定义在区间$I$上的实值函数，若对于$I$中的任意两个点$x_1$和$x_2$以及任意的$\lambda\in [0,1]$，都满足$$f(\lambda x_1+ (1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1) +(1-\lambda)f(x_2)$$则称函数$f$是$I$上的凸函数。
二、一阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有一阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f'$在$I$上单调不减。
也就是说，如果在$I$上$f''(x)\geq 0$，则$f$是$I$上的凸函数。
这个结论的证明可以使用割线法，即对$f$的两个点$x_1$和$x_2$，连结它们之间的割线。
由于$f$是凸函数，故割线上每一点的函数值都小于等于$f$在该点处的切线函数值。
利用切线的定义，即$f(x_2)-f(x_1) =f'(x_1)(x_2-x_1)+o(x_2-x_1)$，得到$f(x_2)-f(x_1)\geq f'(x_1)(x_2-x_1)$，即$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq f'(x_1)$。
因此，如果$f'$在$I$上单调不减，则$f$是凸函数。
反之亦然。
三、二阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有二阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f''(x)\geq 0$。
这个结论的证明可以使用Taylor公式。
设$x_0$为$I$上的任意一点，则对于$x\ne x_0$，有$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(c)$$其中$c$在$x$和$x_0$之间。
凸函数的定义和判定凸函数是数学中的基础概念之一，它在实际应用中有着广泛的应用。
凸函数的定义和判定十分重要，下面我们将介绍它们的相关内容。
一、凸函数的定义在函数的定义域内，如果对于任意的 $x_1,x_2$ 和$0\leq\lambda\leq1$，都有：$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$那么函数 $f$ 就是一个凸函数。
这个定义可以用直观的方式解释：对于任意的两个点 $x_1$ 和 $x_2$，函数图像上的曲线位于这两个点的连线的下面。
还可以用二阶导数来描述凸函数，更具体地说，如果 $f$ 在定义域内的某个区间上二阶导数存在且大于零，则 $f$ 在该区间上是凸函数。
二、凸函数的判定方法除了使用定义，我们还可以通过实际运用凸函数的特点来判断一个函数是否是凸函数。
1. 凸函数的一次导数是递增的。
由定义可知，凸函数的强严凸部分性质意味着 $f''(x)\geq0$，所以 $f'$ 是递增的。
如果我们能证明函数的导数是递增的，那么这个函数就是凸函数。
2. 函数的二阶导数大于或等于零。
由定义可知，凸函数的强严凸部分性质意味着 $f''(x)\geq0$。
因此，如果我们能证明一个函数在其定义域内的二阶导数大于或等于零，则这个函数就是凸函数。
3. 函数的上凸壳等于它本身。
函数的上凸壳指的是连接函数图像上任意两个点，并且位于函数图像上方的切线或直线。
对于一个凸函数 $f$，上凸壳等于$f$ 本身。
4. 函数的二阶导数是递增的。
根据定义，凸函数的二阶导数是非负的。
事实上，任何满足二阶导数递增条件的函数，都可以被证明是凸函数。
以上是一些判定函数是否是凸函数的方法，每一种方法都有各自的适用范围。
三、凸函数的应用凸函数在实际应用中有着广泛的应用，例如在优化问题中，凸函数的最小值就是全局最小值。
凸函数的知识点总结一、凸函数的定义凸函数是一种具有很多重要性质的函数。
在数学上，凸函数的定义如下：设$f$是定义在实数集上的函数，如果对于任意的$x_1, x_2$和任意的$t \in [0,1]$，都有$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$，则称$f$是凸函数。
凸函数的定义实际上描述了函数图像上两点之间的连线位于函数图像之上，即函数的下凹性。
二、凸函数的性质1. 一阶导数的非减性：凸函数在其定义域上是处处可导的，在其定义域上的各点处，函数的导数保持不减。
2. 二阶导数的非负性：凸函数在其定义域上是处处二阶可导的，并且在其定义域上的各点处，函数的二阶导数大于等于零。
3. 零阶条件：如果$f$是定义在实数集上的连续函数，那么$f$是凸函数当且仅当对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
三、常见的凸函数1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中$a, b \in \mathbb{R}$，且$a \geq 0$。
2. 指数函数：$f(x) = e^{ax}$，其中$a \geq 0$。
3. 幂函数：$f(x) = x^a$，其中$a \geq 1$或$0 \leq a \leq 1$。
4. 对数函数：$f(x) = \log(x)$，其中$x > 0$。
四、凸函数的应用1. 在优化领域中，凸函数是一类非常重要的函数。
因为凸函数具有许多良好的性质，比如局部最小值也是全局最小值、一阶导数大于零等等。
所以在优化问题中，可以采用凸函数作为目标函数或约束条件，从而使得问题更容易求解。
2. 在经济学中，凸函数通常被用来描述一些经济变量之间的关系。
比如成本函数、效用函数等都可以用凸函数来描述。
3. 在凸优化问题中，凸函数也是一种标准形式的函数。
凸函数的极值凸函数是数学中非常重要的一个概念，其在优化、经济学、物理等领域都有广泛应用。
凸函数不仅具有很好的性质和特性，而且还有一个极值问题。
什么是凸函数？凸函数是一种定义在实数集上的函数。
如果函数的任意两点之间的线段在函数图像上的点的下方，那么这个函数就是凸函数。
具体来说，如果对于任意 $a < b$，都有 $f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)$，其中 $0\leq t\leq 1$，那么函数 $f$ 就是凸函数。
凸函数的优良性质凸函数具有很多好的性质，其中最突出的就是对于任意两点之间的线段，它的斜率都是不递减的。
这一性质也被称为弱凸性质，它表明了凸函数在图像上的曲率是向上的，因此可以说凸函数具有一定的“凸出”特性。
凸函数还有许多其他的性质，比如说：- 凸函数的导函数是单调递增的；- 凸函数的下凸包是一个闭合包；- 凸函数的两个相邻的切线之间的区域总是在函数图像上方；- 凸函数的全局极小值只有一个。
在实际应用中，这些性质为凸函数带来了许多优势，比如说可以更容易地找到函数的极值，更加准确地优化问题等等。
凸函数的极值问题对于一个凸函数 $f(x)$，求其在定义域上的最大值或最小值是非常常见的问题。
根据凸函数的性质，在其定义域的边界处或者导函数为零的点处必然存在极值，而且极值点一定是全局极值点。
具体来说，如果在定义域的边界上存在极值点，那么极值点为全局极值点。
如果没有，则需要进一步考虑导函数为零的点。
在导函数为零的点处，需要进一步判断这个点的二阶导数符号。
如果二阶导数大于零，那么此处是函数的局部极小值；如果二阶导数小于零，则为局部极大值。
需要注意的是，在有些情况下，凸函数的极值点可能会有多个。
这时一般需要通过计算二阶导数的符号来判断哪个是全局极小值或极大值。
举个例子，考虑函数 $f(x)=x^2-2x+2$。
通过求导可得其导函数$f'(x)=2x-2$。
导函数为零的点为 $x=1$，而且 $f''(x)=2>0$，因此$x=1$ 是函数的局部极小值点。
关于凸函数的两个充要条件
1 什么是凸函数
凸函数是一种特殊的数学函数，它的变化率是恒定的，且它的图像朝一个方向攀爬，不存在下降的情况出现。
它的特点是，如果画在函数图像上任意两点之间连一条曲线，曲线都会在函数上方，也就是说曲线所在的区域和函数图像之间有一种凹凸关系，因此称之为凸函数。
2 凸函数的充要条件
1. 比较两个变量之间的关系时，如果这两个变量有一定的凸性，说明它们之间的关系是持续累积的，任意一个变量的变化都会比较稳定，而不会出现反复的情况。
2. 对于凸函数，在求解最优解，针对最大或最小值时，函数存在着一个极小或极大值，在极值点处函数变化率都是恒定的，也就是斜率变化率是最小或最大，这也是凸性函数存在的一个必要条件。
在双曲函数、对数函数以及指数函数等都是凸函数，它们都满足了以上两个充要条件，可以有效的帮助进行最优解的求解。
凸函数的图像凸函数在数学中具有广泛的应用，它的图像也具有一些独特的特点。
凸函数的图像呈现出一种弯曲的形状，无论是在二维还是多维的情况下都是如此。
本文将从凸函数定义、性质以及图像特点三个方面介绍凸函数的图像。
一、凸函数的定义及性质凸函数是指在定义域上的两点之间的线段均在函数的图像上方，这里的图像指的是函数图像在直角坐标系中所构成的线条。
换句话说，凸函数是一种具有向上弯曲形状的函数图像，它的斜率是单调递增的。
除了以上的定义特点，凸函数还具有以下几个性质：1. 凸函数的导函数单调递增。
2. 对于任意的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB的线段上的所有点都在凸函数的图像上。
3. 在函数图像上任取两点A、C，且C在A的右侧，设B是直线AC与函数图像交点，若D是函数图像上一点，且D位于BC 上，那么有f(D)≤g(D)，其中f(x)表示x在函数图像上对应的值，g(x)表示连接AB的线段上x对应的值。
二、凸函数的图像特点在了解了凸函数的定义和性质后，我们可以更深入地探讨凸函数的图像特点。
凸函数的图像呈现出一种向上弯曲的形状，且无论是在二维还是多维平面上都是如此。
以下是凸函数图像的一些具体特点：1. 凸函数的图像上没有尖点、断点以及拐点。
这里的尖点指的是函数图像出现俯仰的地方，可以想象成岩石的尖端，而断点则是函数图像出现断裂的地方，拐点则是函数图像在某一点处发生拐弯的地方。
凸函数的图像上不存在这些特殊的点，它们的图像始终是一条向上的曲线。
2. 凸函数的图像始终在斜率变化缓慢的地方具有凸性。
凸函数的导数始终是单调递增的，使得函数的斜率变化非常缓慢。
因此，即使在复杂的几何形状中，凸函数的图像看起来也是连续且凸起的。
3. 凸函数的图像具有可分离性。
凸函数的图像始终能够在平面上被完全包含，并且没有交叉，这种形状被称为可分离形状。
这种形状具有很强的可视化特性，使人们更容易理解它们的形状和性质。
三、凸函数在实际应用中的使用不同学科领域中，凸函数的特性得到了广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 在经济学中凸函数被用于描述惠更斯-斯蒂格利兹法的规律。
凸函数透视函数凸函数和透视函数是数学中非常重要的两个概念，它们广泛应用于各个领域中，包括金融、经济、物理、工程等等。
接下来，我们将从定义、性质以及应用三个方面来全面地介绍凸函数和透视函数。
一、凸函数的定义和性质凸函数是指在定义域上，任意两个点的连线都在曲线的上方或者曲线上，即曲线一定是向上凸起的。
凸函数的定义可以用下面的公式来表示：f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y)，其中0<=t<=1。
其中f(x)表示函数在x点处的取值。
上述公式表达了凸函数的性质，即对于函数上任意两点x和y，函数值在x处和y处取得的线性插值不会超过这两点线性插值得到的值。
凸函数的性质还包括：1.凸函数的导函数是单调递增的。
2.凸函数的二阶导函数大于等于0。
3.凸函数的局部最小值一定是全局最小值。
4.凸函数的下凸壳是凸函数的下包络线。
二、透视函数的定义和性质透视函数是指在n维空间中，通过将一个点映射到一个较低维度的子空间上来获取新的点的函数。
透视函数可以用下面的公式来表示：P(x)=(x1,x2,...,xk),其中1<=k<n。
其中n表示原始空间的维度，而k则代表透视后的子空间的维度。
透视函数的性质还包括：1.透视函数具有线性变换性质。
2.透视函数是可逆的。
3.透视函数是正交的。
4.透视函数能够将高维空间中的平面映射为低维空间中的平面。
三、凸函数和透视函数的应用凸函数和透视函数在不同领域中都有着广泛的应用。
比如，在金融中，凸函数可以用于描述风险收益关系，透视函数则可以用于降维处理，提高数据分析效率。
在物理学上，凸函数可以用于描述能量和势能的关系，透视函数则可以用于多光子激发等计算。
在计算机图形学中，透视函数则是构建3D图形的基础。
总之，凸函数和透视函数在理论研究和实际应用中，都有着不可替代的重要作用。
无论是从数学角度还是从实际应用中，我们都应该深入理解和掌握它们的基本概念、性质和应用。
凸函数一、【知识提纲】1、凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x 2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。
如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。
注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。
这个方法经常使用。
此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。
2、凸函数具有的常用性质 性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若11=∑=ni ia，则()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f a x a f 11 注：加权琴生不等式很重要，当na i 1=时，即为原始的琴生不等式。
注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。
二、应用例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i ∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11例2、证明：nx x x n x x x nn 2222122221.......+++≥+++例3、在ABC ∆中求证：（1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；例3、（变量和为常量型）（1） 设a a n i a ni ii ==∈∑=1,,...,3,2,1),1,0(，求证：a n naa a a a a a nn -≥-++-+-1...112211；（2） 设*∈R c b a ,,,且1111=-+-+-c c b b a a ，求证：23≥++c b a（3） 若c b a ,,为三角形的三边，且s c b a 2=++，求证：12)32(--≥+++++n n n n n s b a c a c b c b a例4、条件为1=abc 的不等式证明问题（1） 若*∈R c b a ,,且1=abc ，求证：1222222≥+++++cc b b a a（2）若*∈R c b a ,,且1=abc ，证明：)(2111222c b a c b a ++≤+++++同步训练的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23C 223D 232、设0>x ，0>y ，证明：()2ln ln ln yx y x y y x x ++≥+3、在ABC ∆中，求证：mm C m B m A 3tan3tan tan tanπ≥++，其中N m ∈且2≥m ．4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111．；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.6PCA PBC PAB ABC Pnn nn n n i n n x x x x x x n n i x )1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.52121+≥++++++=+++≥=> 求证：，，已知答案2、设0>x ，0>y ，证明：()2lnln ln yx y x y y x x ++≥+ 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01>=''xx f ，故其为凸函数．所以()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 即()y y x x y x y x ln ln 212ln 2+≤++． 4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()()()[]01252222>+--=''xx x x f ，故该函数为凸函数．而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i ni in i i i 1ln ln 1ln 1111．（11=∑=ni i a ） 去掉对数符号立得．．在ABC ∆中求证： （1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；证明：（1）考查函数x y sin 1=，其在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上为凸函数；（2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：即证()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2212121x x f x f x f ．()()2cot ln 2cotln 2121x x x f x f +=+2cot 2cot ln 21xx = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++≥2cos 12cos 21ln 2121x x x x 4cotln 221x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=2221x x f ．证毕．n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n nnn n n n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n n n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：。
凸函数是数学函数的一种特征。
凸函数是定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
凸函数是一个实值函数f C(区间)上定义一个凸子集向量空间中,任意两个向量的和一个凸子集C、f ((x1 + x2) / 2) > = ((x1) + f (x2)) / 2,那么f (x)是一个凸函数定义在一个凸子集C(这个定义是一致凸函数在凸规划的定义,凸)。
这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。
比如凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0; 一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）常见的凸函数1 指数函数eax2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤03 负对数函数- log x4 负熵函数x log x5 范数函数||x||p如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。
）如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。
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凸函数是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
中文名凸函数外文名convex function类别数学性质局部最小值即全局最小值定义域实线性空间注意国内外凹凸性定义不同目录1 基本简介2 属性▪性质▪定义3 微积分4 初等运算5 举例子基本简介编辑凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。
[1]注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。
碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量、有成立。
于是容易得出对于任意（0,1）中有理数，有如果f连续，那么可以改变成区间（0,1）中的任意实数。
若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意的实数，总有则f称为I上的凸函数，当定义中的“≤”换成“<”也成立时，对应可称函数f为对应子集或区间上的严格凸函数。
[2]判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数，对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上小于等于零，就称为凸函数。
如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。
[3]属性编辑性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。
如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。
例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。
定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。
若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。
作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。
Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。
证明：()():0,,ln f R f x x +∞→=的二阶导数为：()21''f x x=-，它是负的，所以这个函数是凹的，我们得到对于所有,X Y ,有111111ln ln ln ln p qX Y X Y X Y p q pq ⎛⎫=+≤+ ⎪⎝⎭， 所以1111pqX Y X Y p q≤+，利用这个结论，如果我们令p i X x =∑，qi Y y =∑则11111111111npq p pi inpqi iii i i p qx yx y x y X Y p X q Y p qX Y==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1111111()()nnnpq p qpqi i i i i i i x y X Y x y ===∴≤=∑∑∑则不等式即证得。
通过类比，序列()0n n a ≥满足112n n n a a a +-+≤，所有1n ≥，()n n a 叫做凸序列，如果()n n a -是凸序列，则()n n a 是凹序列。
同理，若序列其二阶导数0≥，则这个序列是凸的，若其二阶导数大于等于0，则序列是凹的，下面的例子解释了为什么把凸序列和凸函数放在一起研究的原因。
例1：已知()n n a 是有界凸序列，证明：()1lim 0n n n a a +→∞-=。
证明：一个定义在()0,+∞上的有界凸函数有水平渐进线，所以它的导数无限趋近于0，我们的问题是这个结论是离散的。
这个序列的一阶导数为：1(1)n n n b a a n +=-≥，由凸序列的性质可以写成11n n n n a a a a +--≥-，这就推出()n n b 是单调递增的，又()n n a 是有界的，所以()n n b 也是有界的，又()n n b 是单调的，由维尔斯特拉斯定理，单调有界必收敛，所以()n n b 必存在极限L ，如果0L >则n b 最终是正的，所以()n n a 是递增的，再有维定理，()n n a 必收敛于某个极限l ，则0L l l =-=，同理0,L <同样也会出现矛盾，所以只存在一种可能0L =。
下面是一些有关的问题。
425．令12,n x x x 是正实数，求实数a 使得12na x a x a x -+-+- 取得最小值。
426．已知a,b 大于0，x,c>1.证明 ：2()2cccab ab x x x+≥427．已知一个三角形，边长满足a b c ≥≥，对应角为A,B,C 。
证明：A bB cC a A c B a C b ++≥++.428．如果函数[]:,f a b R →是凸函数，则在(),a b 上连续。
429．证明一个定义在凸环上的连续函数是凸的，当且仅当对于任何,x y D ∈，()()()22f x f y x yf ++≤。
430. 如果一个实数函数()f x 对所有实数,x y 满足()()()22f x f y x yf x y++≥+-，我们定义为严格函数，证明这样的严格函数不存在。
430. 已知：[]:,f a b R→是一个凸函数，证明：对于所有[],,,x y z a b ∈()()()332()()()222x y z f x f y f z f x y y z z x f f f ++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭+++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦432. 如果对于所有实数a ，正实数数列()n n b使得()nn n a b 是一个凸序列，,则()ln n n b 也是凸的。
433. 求最大常数C 满足对于3n ≥和每一个凸序列()1nk k a =，都有()22111n nk k k k a C n a ==⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∑一个闭区间上的凸函数其最大值是在其闭区间的端点处取得的，我们用罗马尼亚的蒂米什瓦拉数学公报上由V .Cartoge 和Lascu 先生提出的问题，来说明利用这个定理有效的处理问题。
例2：已知[],,,1,3a b c d ∈,证明：()222223()a b c d a b c d +++≥+++证明：将所求证的不等式左边的平方式展开，并且移项到右边，我们得到等价的不等式：()222222222220a b c d ab ac ad bc bd cd +++------≤现在我们发现左边的表达式对每一个变量来说都是凸函数，所以当,,,1a b c d =或者3时，左边的表达式能取到最大值。
如果,,,a b c d 中有k 个数取3，则有4k -个数取1，这里k 能取1，2，3或4，则原不等式为：223(94)(34)4(1)k k k k k +--+-=--，而24(1)0k --≤显然成立，等号成立的条件是 ,,,a b c d 中有1个取3，另外3个取1，不等式证毕。
下面是另外一些同类型的题目。
434. 已知,,αβγ是三个固定正数，[],a b 是一个给定的区间，求[],a b 中的三个数x,y,z 使得()222,,()()()E x y z x y y z z x αβγ=-+-+-取得最大值。
435. 已知0a b <<和0it ≥，证明对于任何[]12,,,n x x x a b ∈ ，()221114n n n i i i i i i i i a b t t x x x ab ===+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑436. 对于任何自然数2n ≥和任何1x ≤，()()112nnnx x ++-≤437. 证明：对于任何正实数a,b 下列不等式成立222}3a b c ++-≤438. 已知f 是R 上连续实函数，且对于任何x R ∈和h>0满足1()()2x hx h f x f y dy h+-≤⎰。
证明: ()a f 在闭区间上的最大值是其中的一个极值。
()bf 是凸函数。
凸（凹）函数的一个重要的性质就是琴生不等式。
琴生不等式：对于一个凸函数f ，已知12,,n x x x 是凸域中的点，且12,,0n x x x ≥ ，且121n λλλ++= ，则()11221122()()()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ++≤++ 。
若f 是非线性且12,,n x x x 不全相等，则不等式是严格成立的，如果是凹函数，则不等号相反。
证明：证明的方法是对1n -进行归纳，基本的方法是利用个凸函数的定义。
假设不等式对于1n -个点i x 和1n -个加权数是成立的，那我们考虑n 个点和加权数，已知121n λλλλ-=++ ，记1n λλ+=和1121n nnnλλλ-+++= ，利用基本定义和归纳猜想，可以推出：()111122112211n n n n n n n n x x x f x x x x f x λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112121()n n n n f x x x f x λλλλλλλλ--⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭()()112121()()n n n n f x f x f x f x λλλλλλλλ--⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭=()()112211()()n n n n f x f x f x f x λλλλ--++++ 即为所求。
对于凹函数，使不等号反向即可。
作为琴生不等式的应用，我们证明下列命题：推广的平均不等式：给定整数12,,n x x x 和加权数12,,n λλλ ，且12n λλλλ=++ ，则下面的不等式成立，112112211121n nn n n n n n x x x x x x x x λλλλλλλλ----+++≥++++ 。
证明：取()ln f x x =，利用凹函数和琴生不等式可得：()112121112211ln ln ln ln ln n n n n n n n n x x x x x x x x λλλλλλλλ----=+++()1122ln n n x x x λλλ≤++1121211122n n n n n n x x x x x x x λλλλλλλ--∴≤++当121n nλλλ====的时候，我们可以得到AM-GM 不等式。
439. 已知A,B,C是三角形的三个顶点，则sin sin sin 2A B C ++≥440. 已知i a 是非负数，1,2,i n = ，并且11nii a==∑，已知01i x <≤，证明sin sin sin A B C ++≥441. 证明对于任何正实数123,,a a a ，都有222333123123333444123123a a a a a a a a a a a a ++++≥++++。
