凸函数

什么是凸函数及如何判断⼀个函数是否是凸函数t元j⼀、什么是凸函数　对于⼀元函数f(x)，如果对于任意tϵ[0,1]均满⾜：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为凸函数(convex function)　如果对于任意tϵ(0,1)均满⾜：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为严格凸函数(convex function)　我们可以从⼏何上直观地理解凸函数的特点，凸函数的割线在函数曲线的上⽅，如图1所⽰：从f(x1)连⼀条线到右侧的虚线，利⽤三⾓形边的⽐例性质可以推出中间虚线与上⾯直线交点的值　上⾯的公式，完全可以推⼴到多元函数。

在数据科学的模型求解中，如果优化的⽬标函数是凸函数，则局部极⼩值就是全局最⼩值。

这也意味着我们求得的模型是全局最优的，不会陷⼊到局部最优值。

例如⽀持向量机的⽬标函数||w||2/2就是⼀个凸函数。

⼆、如何来判断⼀个函数是否是凸函数呢？　对于⼀元函数f(x)，我们可以通过其⼆阶导数f″(x) 的符号来判断。

如果函数的⼆阶导数总是⾮负，即f″(x)≥0 ，则f(x)是凸函数　对于多元函数f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的⼆阶导数组成的⽅阵）的正定性来判断。

如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)凸函数三、Jensen不等式　对于凸函数，我们可以推⼴出⼀个重要的不等式，即Jensen不等式。

如果 f 是凸函数，X是随机变量，那么f(E(X))≤E(f(X))，上式就是Jensen不等式的⼀般形式　我们还可以看它的另⼀种描述。

假设有 n 个样本{x1,x2,...,x n}和对应的权重{α1,α2,...,αn}，权重满⾜a i⩾，对于凸函数 f，以下不等式成⽴：f(\sum_{i=1}^{n}\alpha_ix_i) \leq \sum_{i=1}^{n}\alpha_if(x_i)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。

凸函数上凸下凸凹函数
凸函数是指在定义域上的任意两点连线上的函数值都小于等于这条连线的最高点所对应的函数值的函数。

凸函数可以分为上凸和下凸两种类型。

上凸函数是指在定义域上的任意两点连线上的函数值都小于等于这条连线的最高点所对应的函数值的凸函数。

下凸函数是指在定义域上的任意两点连线上的函数值都大于等于这条连线的最高点所对应的函数值的凸函数。

凹函数是指在定义域上的任意两点连线上的函数值都大于等于这条连线的最高点所对应的函数值的函数。

综上所述，凸函数是一种特殊的函数类型，可以分为上凸函数、下凸函数和凹函数三种类型，根据其定义域上的连线和函数值的关系来进行分类。

d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）

2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非 负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k

正常凸函数
正常凸函数（Proper Convex Function）是指定义在实数域上的凸函数，其值域为实数 的上半平面（即函数值大于负无穷大的实数集合）。具体地，对于定义在实数域上的函数 f(x)，如果满足以下条件，则称其为正常凸函数：
1. 函数 f(x) 是凸函数，即对于任意的实数 x1 和 x2，以及任意的 t ∈ [0, 1]，都有 f(tx1 + (1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-ห้องสมุดไป่ตู้)f(x2)。
2. 函数 f(x) 的值域为实数的上半平面，即对于任意的实数 x，都有 f(x) > -∞。 正常凸函数在优化和凸分析中具有重要的性质和应用。它们在经济学、工程学、运筹学等 领域中经常被用来描述和优化各种问题。常见的正常凸函数包括指数函数、幂函数、对数函 数等。

凸函数,是数学函数的一类特征。

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。

常见的凸函数
1 指数函数eax
2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤0
3 负对数函数- log x
4 负熵函数x log x
5 范数函数||x||p
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。

）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。

当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。

如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。

如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。

凸函数的几个性质
1. 凸函数的导数在定义域内单调递增或单调递减；
2. 凸函数的二阶导数在定义域内非负；
3. 凸函数的图像在定义域内是上凸的；
4. 凸函数的极值点只可能是极小值点或极大值点；
5. 凸函数的极值点只可能出现在函数的端点或极值点处；
6. 凸函数的极值点处的导数值为零；
7. 凸函数的极值点处的二阶导数值非负；
8. 凸函数的极值点处的二阶导数值为零时，极值点为拐点；
9. 凸函数的极值点处的二阶导数值为正时，极值点为极小值点；
10. 凸函数的极值点处的二阶导数值为负时，极值点为极大值点。

92. 什么是凸函数？如何判断？92、什么是凸函数？如何判断？在数学的广袤世界里，凸函数是一个重要的概念，它在优化理论、经济学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。

那么，究竟什么是凸函数呢？又该如何去判断一个函数是否为凸函数呢？简单来说，凸函数是一种具有特殊性质的函数。

想象一下，在函数的图像上，如果连接任意两点的线段都在这两点之间的函数曲线之上，那么这个函数就是凸函数。

更严谨地，对于定义在某个区间上的函数 f(x)，如果对于区间内任意的两个点 x₁和 x₂，以及介于 0 和 1 之间的任意实数λ ，都满足不等式f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) ，那么这个函数就是凸函数。

为了更直观地理解凸函数，我们来看几个具体的例子。

比如，最简单的凸函数之一是二次函数 f(x) ＝ x²。

在其图像上，很容易发现任意两点之间的线段都在曲线之上。

再比如，函数 f(x) ＝｜x| 也是凸函数。

那如何判断一个给定的函数是否为凸函数呢？这有多种方法。

一种常见的方法是通过函数的二阶导数来判断。

如果函数 f(x) 的二阶导数 f'＇（x) ≥ 0 在其定义域内恒成立，那么这个函数就是凸函数。

以函数 f(x) ＝ x²为例，它的一阶导数为 f'（x) ＝ 2x ，二阶导数为f'＇（x) ＝ 2 ，因为 2 恒大于 0 ，所以 f(x) ＝ x²是凸函数。

另一种方法是利用定义来直接判断。

对于给定的函数，选取定义域内的任意两点，计算出λx₁＋（1 λ)x₂对应的函数值，并与λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) 进行比较。

但这种方法在实际操作中往往比较繁琐，特别是对于复杂的函数。

还有一种方法是通过函数的性质来判断。

例如，如果一个函数是由多个凸函数相加组成的，那么这个函数也是凸函数。

凸函数在实际应用中有着重要的价值。

在优化问题中，凸函数的性质使得我们能够更容易地找到最优解。

1
∇
2
1 0 f( x ) = 1
1 2
由于▽2f(x)的一阶顺序主子式为10，大于零，2阶 行列式为
10 1 1 2 20 1 19 0
表明▽2f(x)正定，故f(x)是严格凸函数。 b) 2 3
f (x) 3
2
8
▽2f(x)的奇数阶（一阶）顺序主子式分别为-2， 小于零；偶数阶主子式为 2 3 16 9 7 0 3 8
由已知条件有
f(x1)≥ f(x) + ▽f(x)T(x1-x)
f(x2)≥ f(x) + ▽f(x)T(x2-x)
所以
λ f(x1)≥ λ f(x) + λ ▽f(x)T(x1-x)
(1-λ) f(x2)≥ (1-λ) f(x) + (1-λ)▽f(x)T(x2-x)
两式相加，并进行整理，得
λ f(x1) +(1-λ) f(x2)≥f(x) + ▽f(x)T[λx1+(1-λ)x2 -x]
f(x2)＞ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
例3 设f(x)=x4，x属于（-∞，+∞），判断函数 的凸凹性。
解：任取两相异点x1，x2，则有
▽f(x1)= f'(x1)=4x13
f(x2)-[f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)]
=x24-x14-4x13(x2-x1)
=x24-2x12x22+x14+2x12x22-4x13x2+2x14
3、掌握凸函数的一阶与二阶判定方法。
第三节 凸函数
凸函数的定义
凸函数的性质
凸函数的判定

§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。

如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。

例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。

定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。

若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。

作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。

Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。

凸函数的极值凸函数是数学中非常重要的一个概念，其在优化、经济学、物理等领域都有广泛应用。

凸函数不仅具有很好的性质和特性，而且还有一个极值问题。

什么是凸函数？凸函数是一种定义在实数集上的函数。

如果函数的任意两点之间的线段在函数图像上的点的下方，那么这个函数就是凸函数。

具体来说，如果对于任意 $a < b$，都有 $f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)$，其中 $0\leq t\leq 1$，那么函数 $f$ 就是凸函数。

凸函数的优良性质凸函数具有很多好的性质，其中最突出的就是对于任意两点之间的线段，它的斜率都是不递减的。

这一性质也被称为弱凸性质，它表明了凸函数在图像上的曲率是向上的，因此可以说凸函数具有一定的“凸出”特性。

凸函数还有许多其他的性质，比如说：- 凸函数的导函数是单调递增的；- 凸函数的下凸包是一个闭合包；- 凸函数的两个相邻的切线之间的区域总是在函数图像上方；- 凸函数的全局极小值只有一个。

在实际应用中，这些性质为凸函数带来了许多优势，比如说可以更容易地找到函数的极值，更加准确地优化问题等等。

凸函数的极值问题对于一个凸函数 $f(x)$，求其在定义域上的最大值或最小值是非常常见的问题。

根据凸函数的性质，在其定义域的边界处或者导函数为零的点处必然存在极值，而且极值点一定是全局极值点。

具体来说，如果在定义域的边界上存在极值点，那么极值点为全局极值点。

如果没有，则需要进一步考虑导函数为零的点。

在导函数为零的点处，需要进一步判断这个点的二阶导数符号。

如果二阶导数大于零，那么此处是函数的局部极小值；如果二阶导数小于零，则为局部极大值。

需要注意的是，在有些情况下，凸函数的极值点可能会有多个。

这时一般需要通过计算二阶导数的符号来判断哪个是全局极小值或极大值。

举个例子，考虑函数 $f(x)=x^2-2x+2$。

通过求导可得其导函数$f'(x)=2x-2$。

导函数为零的点为 $x=1$，而且 $f''(x)=2>0$，因此$x=1$ 是函数的局部极小值点。

凸函数判定定理我们来了解凸函数的定义。

在数学中，给定定义域为实数集合上的一个函数f(x)，如果对于任意的实数x1和x2以及任意的实数t （0≤t≤1），都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f(x)就是一个凸函数。

简而言之，凸函数的定义可以理解为：连接函数图像上任意两点的线段，在函数图像上方或与函数图像重合。

接下来，我们探讨凸函数的性质。

凸函数具有以下几个重要的性质：1. 凸函数的导数是递增的。

对于凸函数f(x)而言，如果存在一个区间[a,b]，在该区间上f'(x)存在且恒大于等于0，则f(x)在该区间上是递增的。

2. 凸函数的二阶导数是非负的。

对于凸函数f(x)而言，如果存在一个区间[a,b]，在该区间上f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)在该区间上是凸函数。

3. 凸函数的切线是它的下界。

对于凸函数f(x)的任意一点(x0,f(x0))，存在一条切线y=k(x-x0)+f(x0)，使得切线在该点下方，即对于该点的任意x，都有f(x)≥k(x-x0)+f(x0)。

有了凸函数的定义和性质作为基础，我们可以应用凸函数判定定理来判断一个函数是否是凸函数。

凸函数判定定理可以简述为：如果一个函数在定义域上的二阶导数恒大于等于0，则该函数是凸函数。

这个定理的证明较为复杂，需要借助一些高等数学的知识，这里我们不做过多展开。

凸函数判定定理在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，凸函数常常用于描述效用函数、成本函数等，可以帮助分析经济现象和制定经济政策。

在优化问题中，凸函数是最优化问题的重要研究对象，凸优化算法可以高效地求解凸函数的最优解。

在机器学习和数据挖掘中，凸函数常用于构建模型和优化算法，例如支持向量机、逻辑回归等。

总结起来，凸函数是数学中一种重要的函数类型，具有许多重要的性质。

凸函数判定定理是判断一个函数是否为凸函数的重要方法之一，它的应用涵盖了经济学、优化问题、机器学习等多个领域。

凸函数一、【知识提纲】1、凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x 2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。

如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。

注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。

这个方法经常使用。

此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。

2、凸函数具有的常用性质 性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若11=∑=ni ia，则()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f a x a f 11 注：加权琴生不等式很重要，当na i 1=时，即为原始的琴生不等式。

注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。

二、应用例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i ∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11例2、证明：nx x x n x x x nn 2222122221.......+++≥+++例3、在ABC ∆中求证：（1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；例3、（变量和为常量型）（1） 设a a n i a ni ii ==∈∑=1,,...,3,2,1),1,0(，求证：a n naa a a a a a nn -≥-++-+-1...112211；（2） 设*∈R c b a ,,,且1111=-+-+-c c b b a a ，求证：23≥++c b a（3） 若c b a ,,为三角形的三边，且s c b a 2=++，求证：12)32(--≥+++++n n n n n s b a c a c b c b a例4、条件为1=abc 的不等式证明问题（1） 若*∈R c b a ,,且1=abc ，求证：1222222≥+++++cc b b a a（2）若*∈R c b a ,,且1=abc ，证明：)(2111222c b a c b a ++≤+++++同步训练的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23C 223D 232、设0>x ，0>y ，证明：()2ln ln ln yx y x y y x x ++≥+3、在ABC ∆中，求证：mm C m B m A 3tan3tan tan tanπ≥++，其中N m ∈且2≥m ．4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111．；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.6PCA PBC PAB ABC Pnn nn n n i n n x x x x x x n n i x )1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.52121+≥++++++=+++≥=> 求证：，，已知答案2、设0>x ，0>y ，证明：()2lnln ln yx y x y y x x ++≥+ 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01>=''xx f ，故其为凸函数．所以()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 即()y y x x y x y x ln ln 212ln 2+≤++． 4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()()()[]01252222>+--=''xx x x f ，故该函数为凸函数．而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i ni in i i i 1ln ln 1ln 1111．（11=∑=ni i a ） 去掉对数符号立得．．在ABC ∆中求证： （1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；证明：（1）考查函数x y sin 1=，其在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上为凸函数；（2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：即证()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2212121x x f x f x f ．()()2cot ln 2cotln 2121x x x f x f +=+2cot 2cot ln 21xx = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++≥2cos 12cos 21ln 2121x x x x 4cotln 221x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=2221x x f ．证毕．n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n nnn n n n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n n n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：。

凸函数是数学函数的一种特征。

凸函数是定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。

凸函数是一个实值函数f C(区间)上定义一个凸子集向量空间中,任意两个向量的和一个凸子集C、f ((x1 + x2) / 2) > = ((x1) + f (x2)) / 2,那么f (x)是一个凸函数定义在一个凸子集C(这个定义是一致凸函数在凸规划的定义,凸)。

这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。

同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。

比如凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的。

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0; 一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）常见的凸函数1 指数函数eax2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤03 负对数函数- log x4 负熵函数x log x5 范数函数||x||p如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。

）如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。

如何证明凸函数
1.使用定义：凸函数的定义是指对于函数f(x)上的两个点a和b，如果对于任意的t∈[0,1]，都有f((1-t)a+tb)≤(1-t)f(a)+tf(b)，那么函数f(x)就是凸函数。

因此，可以使用这个定义来证明函数的凸性。

2. 使用二阶导数的判别法：对于二次可导函数f(x)，如果f''(x)≥0，则函数f(x)是凸函数。

因为二阶导数大于等于0意味着函数的曲线是向上凸的。

3. 使用一阶导数的判别法：对于一阶可导函数f(x)，如果f'(x)单调递增，则函数f(x)是凸函数。

因为f'(x)的单调性决定了函数
f(x)的曲线的斜率单调递增，也就是说，曲线是向上凸的。

4. 使用Jensen不等式：Jensen不等式指出，对于凸函数f(x)和任意的实数x1,x2,…,xn和对应的权重w1,w2,…,wn，有
f(w1x1+w2x2++wnxn)≤w1f(x1)+w2f(x2)++wnf(xn)。

因此，可以使用Jensen不等式来证明函数的凸性。

总之，证明函数的凸性需要使用不同的方法，具体取决于函数的性质和定义。

- 1 -。

§2 凸函数及其应用凸函数定义及其等价形式：设f(x)在区间I 上有定义,若对任意x 1 、x 2∈I ，λ∈[0，1]成立不等式：f(λx 1+(1-λ)x 2)≤ λf(x 1)+ (1-λ)f(x 2)则称f(x)是区间I 上的凸函数。

f(x)是区间I 上的凸函数当且仅当对任意x 1 、x 2 、x 3∈I ，x 1 < x 2 < x 3，下列不等式之一成立:13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- ， 23231313)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- 。

事实上，设λ=1312x x x x --，则0 < λ < 1 ,且x 2 = λx 3+(1-λ)x 1 ,代入上面任意一式,变形后即得定义形式。

定理：若f(x)在区间I 上连续，则f(x)是区间I 上凸函数的充要条件为：对任意x 1 、x 2∈I 成立 2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ 。

证：只须证明充分性。

设n = k ≥ 2 时成立：())()()(21)2(221221k kx f x f x f x x x f k k+++≤+++ 。

考察n = k+1的情形：))22(21()2(1121221121kk k k k k k x x x x f x x f ++++++=++++1112212122121()()222111(()())(()())222kk k k k k k k k k x x x x f f f x f x f x f x ++++++++⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫≤++++ ⎪⎝⎭())()()(2112211++++=+k x f x f x f k 。

设λ＝n m 2∈[0，1]，则1-λ＝n n m22-。

注意到kx = kx x x +++，所以由上可知 )(22)(2)2)2(())1((212121x f m x f m x m mx f x x f nn n n n -+≤-+=-+λλ 。

凸函数知识点总结一、基本概念1.1 凸集在讨论凸函数之前，首先需要了解凸集的概念。

凸集是指对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然完全包含在这个集合中。

即对于集合中的任意两个点a和b，线段[a,b]上的所有点都属于该集合。

在数学上，给定一个集合S，如果对于任意的x、y∈S和0≤t≤1，tx+(1−t)y∈S，就称S是凸集。

1.2 凸函数在了解了凸集的概念之后，可以进一步理解凸函数。

在一个实数集上，如果一个函数f(x)满足如下性质：对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。

也就是说，对于函数上的任意两点x1和x2，连接这两个点的线段上的所有点(x)对应的函数值f(x)，都位于连接这两个点的线段上。

可以用一条直线来连接这两点，并且在这条直线的下方。

1.3 凸函数的图形在笛卡尔坐标系中，凸函数的图形呈现出一种特殊的形状。

它们通常是上凸的（在图像的上方），或者是下凸的（在图像的下方）。

这种凸性质是凸函数的重要特征，也是区分它们与其他函数的重要标志。

二、性质凸函数有许多重要的性质，这些性质对于理解和应用凸函数都非常重要。

下面列举了一些凸函数的一些重要性质：2.1 一阶导数的性质首先，凸函数在其定义域上是连续且可导的。

其次，凸函数的导数是递增的。

也就是说，对于凸函数f(x)，在它的定义域内，如果x1<x2，那么f'(x1)≤f'(x2)。

2.2 二阶导数的性质在凸函数的定义域内，凸函数的二阶导数必须是非负的。

也就是说，如果f(x)是凸函数，那么它的二阶导数f''(x)≥0。

2.3 凸函数的上确界如果一个凸函数在其定义域上是有上界的，那么它的上确界也存在，并且是有限的。

这是因为凸函数的定义保证了它在定义域上是有界的，并且在定义域上是递增的。

因此，上确界也必然存在。

2.4 凸函数的极值凸函数的极小值点是唯一的，而且在极小值点的函数值是整个定义域上的最小值。

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凸函数是数学函数的一类特征。

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

中文名凸函数外文名convex function类别数学性质局部最小值即全局最小值定义域实线性空间注意国内外凹凸性定义不同目录1 基本简介2 属性▪性质▪定义3 微积分4 初等运算5 举例子基本简介编辑凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。

[1]注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。

Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。

Concave Function指凸函数。

但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。

举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。

碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量、有成立。

于是容易得出对于任意（0,1）中有理数，有如果f连续，那么可以改变成区间（0,1）中的任意实数。

若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意的实数，总有则f称为I上的凸函数，当定义中的“≤”换成“<”也成立时，对应可称函数f为对应子集或区间上的严格凸函数。

[2]判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数，对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上小于等于零，就称为凸函数。

如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。

[3]属性编辑性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。