凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

数学计算机科学学院

摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.

关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用

Nature of Convex Function and its Application in Proving

Inequalities

Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science

Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which

makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality). We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.

Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application

1引言

在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲

线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.

2 概念

2.1 凸函数的定义

上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.

定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有

1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)

则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）

定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有

ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即

(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)

如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.

2.2 对数凸函数的性质 我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.

定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任