凸函数几个等价定义

本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。

它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。

为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。

本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。

关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。

目录一、凸函数的定义及其关系 (3)（一）凸函数的几种不同定义 (3)（二）不同定义之间的相互联系 (4)二、凸函数的性质 (4)（一）凸函数的一些简单运算性质 (4)（二）凸函数的其他性质 (7)三、函数凸性的判断方法 (11)四、凸函数的应用 (14)（一）有关凸函数的两个重要不等式 (14)（二）凸函数的性质在证明几个经典不等式中的应用 (15)（三）凸函数在初等不等式证明中的应用 (17)（四）凸函数在积分不等式中的应用 (19)五、总结 (20)参考文献 (18)凸函数的性质及应用马志霞（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070）摘要:凸函数是一类非常重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划等学科的理论基础和有力工具。

本文由凸函数的定义出发，给出了凸函数的七种等价定义，讨论了凸函数的有关性质,研究了函数凸性的判定方法，以及它在证明不等式中应用.关键词: 凸函数；不等式；性质；判别；证明；应用The properties and application of convex functionMa Zhixia(School of mathematical and statistical Northwest Normal University，Gan Su LanZhou 730070) Abstract: Convex function is a kind of very important function, the concept of the earliest it can be found in Jensen writings in pure mathematics and applied mathematics has extensive application in many fields, has become the basic theory of mathematical programming disciplines and powerful tool. In this paper, starting from the definition of convex function, seven equivalent definition of convex function are given, some properties of convex function are discussed, the methods for judging the convex function, and its application in proving inequality in.Key words：Convex function；inequalitye；property；distinction；proof；application一、凸函数的定义及其关系（一）凸函数的几种不同定义定义 1 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1),λ∈有()()()21211)()1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义2 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意不同的两点12,x x ，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ ,则称)(x f 是I 上的凸函数. 定义3 设函数)(x f 定义在区间I 上,对于任意的I x x x n ∈,,21 ，,有()()nx f x f x f n x x x f n n +++≤+++ 2121)()(， 则称)(x f 是区间I 上的凸函数. 定义4 设函数)(x f 定义在区间I 上，对于I 上任意三点123x x x <<，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，()()()232313131212)()(()x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--，则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义5 利用二阶导数判断曲线的向来定义函数的凸性：设函数()f x 在区间(,)a b 内存在二阶导数,则在(,)a b 内有 ()0()f x f x ''>⇒在(,)a b 内严格凸数。

凸函数的等价命题及其应用举例一、凸函数的定义及其等价命题定义1：f 在区间I 上有定义，如果对[]1,0,,,2121∈∀<∈∀t x x I x x ， 有)()()1())1((2121x tf x f t tx x t f +-≤+-，则f 称在I 上为凸函数。

这个一般定义下，我们得到了凸函数的几个等价命题： 命题1：下面几个命题等价： （1）)(x f 为区间上的凸函数；（2）对,,,2121x x I x x <∈∀令21)1(tx x t x +-=，则1221211;x x x x t x x x x t --=---=于是有)()()(21211122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤；（3）对,,,,321321x x x I x x x <<∈∀，有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--；（4）对),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==ni it11，有;)()(11∑∑==≤ni i ini i i x f tx t f ；（5）对,,00R I x ∈∃∈∀α，使得I x x x x f x f ∈-≥-),()()(00α。

引理:若f 为定义在)(0x U +上的单调有界函数,则左极限)(lim 0x f x x +→存在.下面给出凸函数的一个重要性质:性质:)(x f 是[]b a ,上的凸函数,则)(x f 上()b a ,连续. 证明:本证明分两步:首先证明)(x f 是()b a ,上的凸函数,则)(x f 在()b a ,内任一点0x 都存在左右导数.下面只证明凸函数)(x f 在0x 存在右导数,同理可证明也存在左导数.事实上,由命题1(3),设2031020121,,0h x x h x x x x h h +=+==<<,(这里取充分小的2h ,使()b a h x ,20∈+).则,)()()()(20201010h x f h x f h x f h x f -+≤-+令hx f h x f h F )()()(00-+=,由上式可见)(h F 为递增函数,现取0),,(x x b a x <'∈',则对任何0≥h ,只要),,(0b a h x ∈+,由命题1(3)也有)()()()()(0000h F hx f h x f x x x f x f =-+≤-''-,于是上面不等式左端为定数,因而函数)(h F 在0>h 上有上界,根据引理得)(lim 0h F h +→存在.即)(0x f +存在.再证明)(x f 在0x 存在左右导数,则)(x f 在0x 连续.事实上,在0x 存在右导数,则)(x f 在0x 右连续)(x f 在0x 存在左导数,则)(x f 在0x 左连续 故, )(x f 在0x 连续.综上,性质得证.命题2[：如果)(x f 在I 上任一闭区间上有上界，则它是凸函数的充分条件是：（6）2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +≤+∈∀推论1：将上一命题中“在I 上任一闭区间上有上界”换成“在I 上连续”，结论仍然成立。

凸函数的几种定义凸函数在优化和数学分析中有广泛的应用，其有多种定义，本文将介绍凸函数的几种定义。

1. 凸函数的一阶定义凸函数的一阶定义是指，定义域上的任意两个点之间的割线上，函数值的下凸性。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于所有的x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，那么f(x)为凸函数。

2. 凸函数的二阶定义凸函数的二阶定义是指，定义域上的所有点都满足函数的二阶导数大于或等于零。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果f''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。

3. 凸函数的三阶定义凸函数的三阶定义是指，定义域上的所有点的曲率大于或等于零。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其曲率f'''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。

4. 凸函数的凸集定义凸函数的凸集定义是指，函数图像的下方区间所形成的区间也是凸集。

即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其图像下方区间S={(x,y)| y≤f(x)}是凸集，并且S 在[a,b]上是凸的，那么f(x)为凸函数。

综上所述，凸函数的几种定义都指向了函数图像呈现的下凸性，即直线割过函数图像后位于函数图像下方的性质，其不同的定义方式体现了不同的性质和求解方法。

无论采用哪种定义方式，都需要考虑实际问题的特征和函数的定义域，以得到准确可靠的结果。

凸函数的性质有很多，例如在区间[a,b]上凸函数f(x)上，对于任意的x1,x2∈[a,b]和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，即凸函数的凸组合仍为凸函数。

此外，凸函数也有一些应用，例如在最优化问题中，将问题转化为凸函数求解可以更优effective。

然而，有些函数仅在部分定义域内为凸函数，而在另一部分定义域内则不是，因此在实际应用中必须慎重选择凸函数进行求解。

函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎(陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学 092班，陕西 汉中 723000)指导教师：雍龙泉【摘要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。

凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。

本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性,判别方法及凸函数的应用。

首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。

然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。

后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。

然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。

最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。

【关键词】 凸函数；等价定义；判定方法1、引言凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研究凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奠基之作，即R.T.Rockafellar 的“Convex Analysis”,无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。

凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研究，即在一个不引入拓扑的线性空间中来研究。