垂径定理1

9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；2. 垂径定理解读：（1）条件：“弦”可以是直径；（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；3. 垂径定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB∠的正弦值．一读：关键词：半径,弦.二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.三解：解： 过 圆心O 作 于M;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=⨯==∴AB AM A BO M AB OM ⊥在 中，由勾股定理得： 在 中，所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造直角三角形解答.四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与CD 之间的距离.核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.答案：过点 作 于 ，则 于连接 由垂径定理得,在 中,由勾股定理得: OAM RT ∆OAM RT ∆O 1522=-=BF OB OF OBF RT ∆2421,2021====CD DE AB BF ODOB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF同理在 中,两弦在圆心同侧时，两弦距离两弦在圆心异侧时，两弦距离2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用 勾股解答求出r ，从而求出 值，由三角形中位线得，答案： 连接 直径 弦在 中，由勾股定理得：cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ∆BF 2226)9r r =+-∴（OCF RT ∆6122121=⨯==∴CD CF ⊥AB OC722=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD222OC CF OF =+解得：是 的中位线132==∴BF DE CDE ∆CBBE =CFDF = 5.6=r FB ∴。

垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。

1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。

平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。

平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。

3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。

以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。

连接OA和OB。

由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。

△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。

由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。

垂径定理。

垂径定理（也称勾股定理）是数学中非常重要的一条定理。

它被广泛地应用于三角学和其他分支领域。

本文将介绍垂径定理的定义、证明和应用。

一、定义垂径定理是指在一个直角三角形中，斜边平方等于直角邻边上的两条线段长度的平方和。

即：斜边²=直角边²+直角边²。

二、证明垂径定理的证明不止一种方法，以下将介绍其中的一种方法。

在图形中，我们将设直角边a和b，斜边c为假设成立。

因此，我们需要证明平方等式a²+b²=c²成立。

1. 我们可以通过相似三角形证明这一定理。

首先，我们在直角三角形ABC中，构造一条高线AD和一条BD垂直于CD。

这样就可以得到两个小三角形ACD和BCD。

2. 由于角D是直角，因此小三角形ACD和BCD是相似的。

3. 角A和角B是共同的直角的对边角，因此它们相等。

4. 角ACD和角BCD是垂直的，因此它们是互补的。

5. 根据相似三角形定理，我们可以将长度AC和BD表示为CD的比例。

具体来说，我们有：AC/CD = CD/BD6. 上述等式可以整理为：AC² = CD² × （BCD/BCD+ACD）BD² = CD² × （ACD/BCD+ACD）7. 将上述两式相加，得到：AC² + BD² = CD²8. 根据勾股定理，这是一个正确的等式。

因此，我们得到了垂径定理的证明。

三、应用垂径定理被广泛地应用于三角学和其他分支领域。

以下是一些应用：1. 在数学中，垂径定理是解决三角形中任意一个角度和边长的重要工具。

例如，你可以使用该定理来确定三角形中的角度或确定其他边长等。

2. 如果你经常涉及到图形设计或从事建筑或工程设计，那么垂径定理也将是重要的工具。

例如，您可能需要使用该定理来更好地计算墙体或其他结构的角度、长度或高度。

3. 垂径定理还可以帮助您计算跨越河流或其他障碍物的桥梁或电线杆的高度。

第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。

O ED CBAOC BNMA NM AOr dd CBAO 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外 BC BD =AC AD =d=r直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 d<r 有两个交点 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r 内含（图5） 无交点 d<R-r六、圆的有关线的长和面积。

垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。

垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。

垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。

本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。

首先，我们来了解一下垂径定理的定义。

垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。

换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。

这是垂径定理的基本内容。

接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。

首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。

这是一个坐标证明的图。

为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。

因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。

我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。

我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。

我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。

根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。

根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。

因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。

接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。

例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。

我们需要证明这两条弦互相垂直。

根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。

因此，OA 等于OC，OB等于OD。

根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。

进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。

同理，OB和OD重合。

因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。

例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。

垂径定理的5个结论垂径定理是解决圆与直线之间关系的一项重要定理，它有着广泛的应用。

下面将从五个不同的角度，详细介绍垂径定理的五个结论。

一、定理1：切线垂直于半径根据垂径定理的第一个结论，圆的切线垂直于过切点的半径。

这一结论可以通过简单的几何推理得出。

设圆的半径为r，切点为A，切线为l，连接圆心O与切点A，假设在切点A处引出一条过切点A 的直径AB，连接OB。

由于OA=OB=r，所以AB是圆的直径。

根据定理，AB垂直于切线l。

因此，切线l垂直于过切点A的半径OA。

二、定理2：半径平分弦垂径定理的第二个结论表明，过圆心的半径可以平分弦。

这一结论也可以通过几何推理来证明。

设圆的半径为r，弦的两个端点为A、B，连接圆心O与弦的中点M。

根据定理，OM垂直于弦AB。

又因为OM=r，所以OM是圆的半径，即OM=OA=OB=r。

因此，OM平分弦AB。

三、定理3：半径垂直于弦垂径定理的第三个结论是，过圆心的半径垂直于弦。

这一结论可以通过定理2的推论得出。

根据定理2，过圆心的半径OM平分弦AB。

因为OM平分弦AB，所以OM垂直于弦AB。

因此，过圆心的半径垂直于弦。

四、定理4：垂直弦的两条半径相等定理4指出，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径的长度相等。

设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB。

根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB。

因为OA=OB=r，所以垂直弦的两条半径相等。

五、定理5：垂直弦的两条半径互为中线垂径定理的第五个结论是，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径互为弦的中线。

设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB，垂直弦的两条半径分别为OC和OD。

根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB，所以OC=OD=r。

因此，垂直弦的两条半径互为弦的中线。

垂径定理有着五个重要的结论：切线垂直于半径、半径平分弦、半径垂直于弦、垂直弦的两条半径相等、垂直弦的两条半径互为中线。