2020届北师大版(理科数学) 统计图表的应用 单元测试

2020-2021学年北师大版小学四年级数学下册《第六章数据的表示和分析》单元测试题一．选择题（共8小题）1．如图，（）可以表示下面哪种情况的统计．A．4个学生期末数学考试成绩B．四年级喜欢各项运动的男女生人数C．小明1﹣﹣8岁的身高D．蛋糕店的草莓蛋糕和芒果蛋糕最近5天的销售情况2．如图是小明每天上学走的路程统计图，那么他从家到学校需要走（）千米．A．5B．2.5C．103．下面说法中错误的是（）A．在研究平均数问题时可以用移多补少的方法B．我们在研究小数的意义时运用了数形结合的思想方法C．28+374+26 此题进行简便运算，我们头脑里可以想a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）这一运算律4．游泳池平均水深130厘米，小红身高1.35米，她在游泳池里一定不会有危险．这句话对吗？（）A．对B．不对C．不知道5．淘气从家去书城，中途休息了几分钟，到书城买完书后直接回家．下面正确描述淘气这一过程的图象是（）A．B．C．D．6．下面三幅图是4名学生一分钟内投篮投进个数情况统计图，图（）中虚线所指的位置表示平均每人投进的个数．A．B．C．7．淘气家的热水器中有60L水，晚上，爸爸先洗了10min澡，用了一半的水．5min后，淘气也去洗澡，他洗了15min，把热水器中的水刚好用完了．下面能描述热水器中水的体积随时间变化的情况的是（）A．B．C．D．8．下面是育英小学和西门小学四、五、六年级学生回收电池统计图．根据统计情况估计一下，哪个学校的学生回收的电池更多？（）A．西门小学B．育英小学C．两个学校一样多二．填空题（共8小题）9．下面是某学校五（1）班学生拥有课外读物情况，五（1）班共有学生人，平均每人拥有课外读物本．性别人数平均每人拥有课外读物/本男生1625女生243010．刘小兵折的纸飞机前4次飞行的距离如表：第1次第2次第3次第4次飞行距离/米18122117（1）这架纸飞机前4次飞行的平均距离是米．（2）如果再飞一次，并使平均飞行距离达到18米，第5次飞行的距离至少要达到米．11．看图回答问题．如图是小军从家去图书馆借书的行程图．①小军家到图书馆距离千米．②小军在图书馆待了分钟．③小军去的途中停了分钟．④小军去的时候平均每小时行千米．12．如图是打国际长途电话所需付的电话费与通话时间之间的关系图．（1）打2分钟需要元电话费，3分钟以上每分钟元．（2）打6分钟需要元，10.4元打了分钟．13．五（1）一班有男生20人，平均身高158cm；有女生16人，平均身高140cm，全班学生的平均身高是cm．14．在一幅条形统计图中，用3.5厘米长的直条表示21人，用厘米的直条表示42人．15．如图是希望小学四年级一周内向“我爱祖国”主题活动投稿情况统计图．请根据条形图回答问题．（1）每格代表篇．（2）这一周内，周投稿篇数最多，周投稿篇数最少．（3）周四比周二多投稿篇．（4）这一周一共投稿篇．16．一个长方体容器（如图1）现在以每分钟25升的速度向这个容器注水，容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A，B部分，B部分的底有一个洞，水按每分钟10升的速度往下漏．（如图2）表示从注水开始A部分水的高度变化情况，观察并思考回答下面的问题：（1）隔板的高度是分米．（2）注水36分钟共漏出水升．（3）如果不让B部分的洞漏水，只要分就能使水箱A部分的水位到达5分米．三．判断题（共5小题）17．四一班的数学平均分是92分，四一班没有不及格的．（判断对错）18．在一幅条形统计图中，用2厘米长的直条表示600吨，那么表示1800吨的直条应画6厘米．．（判断对错）19．折线统计图便于直观了解数据的大小及不同数据的差异．（判断对错）20．游泳池平均水深110厘米，小强身高130厘米，下水游泳一定没有危险。

北师大版六年级上册《第5章统计》单元测试卷一、填空．（16分）1. 常用的统计图有：________、________、________．2. 如果只表示各种数量的多少，可以选用________统计图表示；如果想要表示出数量增减变化的情况，可以选用________统计图表示；如果要清楚地了解各部分数量同总数之间的关系，可以用________统计图表示。

3. 要统计淘气家一年饮食、水电、服装、文化教育等各项支出分别是多少元，可以用________统计图；要统计他家一年中各月份的支出变化情况，可以用________统计图；要统计他家各项支出占总支出的百分比，可以用________统计图。

4. 要反映某地2008年来的降水变化情况，应绘制________统计图。

5. 在一个条形统计图中，如果用1厘米长的直条表示30人，那么应该用________厘米长的直条表示120人。

6. 六年级有学生160人，学生参加各兴趣小组的人数占总人数的百分比如图所示，根据右图算出：美术组有________人，歌咏组有________人，书法组有________人。

二、判断题．（对的打“√”，错误的打“×”）（10分）扇形统计图可分为单式扇形统计图和复式扇形统计图。

________．（判断对错）用统计图表示有关数量之间的关系，比统计表更加形象具体。

________．（判断对错）绘制统计图时，要清楚的表示数量增减变化情况，应该选用折线统计图。

________．（判断对错）折线统计图分为单式折线统计图和复式折线统计图。

…________．为了清楚地展示彩电全年的变化趋势，用折线统计图更合适。

…________．（判断对错）三、选一选．（10分）小明的爸爸要统计他每次数学测试成绩，看看他是否进步，应选择（）A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图医院要反映出一个病人一天的体温变化情况，最好用（）A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图为了清楚表示出男、女生占全校学生人数的比例，应绘制（）A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图果园工人选用（）来表示梨、苹果、桔子的产量占总产量的百分比。

2020届高三复习《统计图表、用样本估计总体》专题练专题1 扇形图1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．2．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半专题2 折线图1．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为x－甲，x－乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则()A．x－甲<x－乙，σ甲<σ乙B．x－甲<x－乙，σ甲>σ乙C．x－甲>x－乙，σ甲<σ乙D．x－甲>x－乙，σ甲>σ乙2．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3．空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300)为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是()A．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天专题3 茎叶图1．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为_______.2．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示．据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为3．空气质量指数(Air Qu a li ty Inde x，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________．(该年为365天)6．据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”，这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语考试．如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图．(1)通过这8人的英语四级成绩估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语考试的概率．专题4 频率分布直方图1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为2．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有____人．3．从某企业的某种产品中抽取1 000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在[185,215]内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________．4．某学校组织学生参加数学测试，成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．5．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．6．某校高二(16)班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[100,120]内的学生人数为7．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．8．近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间[30,40)内的有2 500人，在区间[20,30)内的有1200人，则m的值为9．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10，50]内，其中支出金额在[30，50]内的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n等于10．为了了解一批产品的长度(单位：毫米)情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为________．11．某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，则n的值为________．12．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kP a)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．13．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频数为14．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积之和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为15．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．16．某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．17．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；18．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2018年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：优20(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．19．某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值．(2)求月平均用电量的众数和中位数．(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240]的用户中应抽取多少户？20．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：(1)求a，b，c的值；(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．21．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元．该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．专题5 样本的数字特征的计算与应用1．数据1,3,4,8的平均数与方差分别是2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()甲乙A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为4．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为 5．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则( )A.x －＝4，s 2＝2B.x －＝4，s 2>2C.x －＝4，s 2<2D.x －>4，s 2<26．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为________．7．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数x ＝5，方差s 2＝2，则数据3x 1＋1,3x 2＋1,3x 3＋1，…，3x n ＋1的平均数和方差分别为 、8．已知正数x 1，x 2，x 3的方差s 2＝13(x 21＋x 22＋x 23－12)，则数据x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1的平均数为__9．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1■，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．10．某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．5.1 与频率分布直方图交汇1．200辆汽车通过某一段公路时的速度的频率分布直方图如图所示，则速度的众数、中位数的估计值分别为2．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为3．如图是一容量为100的样本重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的平均数与中位数分别为、5.2 与茎叶图交汇1．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为、2．某班学生A，B在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m＝________.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_____.4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为、5．一次数学考试后，某老师从甲、乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为6．在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为7．五四青年节活动中，高三(1)、(2)班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示(单位：分)，其中高三(2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x具有随机性(x∈N)，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为8．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为________．5.3 与优化决策问题交汇命题1．在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由．2．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：(1)请填写下表(写出计算过程)：(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．。

2020年北师大版八年级数学上册数据的分析单元测试卷一一、选择题：（每小题3分，共30分，每小题只有一个答案，请你把正确的选择填在表格中）1．若3，2，x，5的平均数是4，那么x等于( )A．8 B．6 C．4 D．22．一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是( )A．5和5.5 B．5.5和6 C．5和6 D．6和63．数据﹣3，﹣2，1，3，6，x的中位数是1，那么这组数据的众数是( )A．2 B．1 C．1.5 D．﹣24．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：年龄（单位：岁）14 15 16 17 18人数 3 6 4 4 1则这些队员年龄的众数和中位数分别是( )A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，155．某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的( )A．中位数B．众数 C．平均数D．极差6．天虹百货某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是( )A．服装型号的平均数 B．服装型号的众数C．服装型号的中位数 D．最小的服装型号7．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下：（单位：个）33 25 28 26 25 31如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为( ) A．900个B．1080个C．1260个D．1800个8．如果一组数据a1，a2，…，a n的方差是2，那么一组新数据2a1，2a2，…，2a n的方差是( )A．2 B．4 C．8 D．169．已知样本甲的平均数=60，方差=0.05，样本乙的平均数=60，方差=0.1，那么这两组数据的波动情况为( )A．甲、乙两样本波动一样大 B．甲样本的波动比乙样本大C．乙样本的波动比甲样本大 D．无法比较两样本波动的大小10．甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m（m为正整数）千克米，乙每次买米用去2m元．由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元，那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是( )A．甲比乙便宜B．乙比甲便宜C．甲与乙相同D．由m的值确定二、填空题：（每小题3分，共24分）11．据统计，某学校教师中年龄最大的为54岁，年龄最小的为21岁．那么学校教师年龄的极差是__________．12．若一组数据的方差为16，那么这组数据的标准差为__________．13．黎老师给出4个连续奇数组成一组数据，中位数是8，请你写出这4个数据：__________．14．第一小组共6名学生，在一次“引体向上”的测试中，他们分别做了：8，10，8，7，6，9个．这6名学生平均每人做了__________（个）．15．现有一组数据9，11，11，7，10，8，12是中位数是m，众数是n，则关于x，y的方程组的解是：__________．16．某中学为了了解全校的耗电情况抽查了10中全校每天的耗电量，数据如下表：度数90 93 102 113 114 120天数 1 1 2 3 1 2则表中数据的中位数是__________度；众数是__________度．17．对甲、乙两个小麦品种各100株小麦的株高x（单位：m）进行测量，算出平均数和方差为：=0.95，s甲2=1.01，=0.95，s乙2=1.35，于是可估计株高较整齐的小麦品种是__________．18．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示．若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数是__________．环数 6 7 8 9人数 1 3 2三、解答题：（共46分）19．为积极响应骨架“节能减排”的号召，某小区开展节约用水活动，根据对该小区200户家庭用水情况统计分析，2010年6月份比5月份节约用水情况如表所示：节水量/m3 1 1.5 2 2.5户数20 80 40 60则6月份这200户家庭节水量的平均数是多少？20．一次数学测试结束后，学校要了解八年级（共四个班）学生的平均成绩，得知一班48名学生的平均分为85分，二班52名学生的平均分为80分，三班50名学生的平均分为86分，四班50名学生的平均分为82分．小明这样计算该校八年级数学测试的平均成绩：==83.25，小明的算法正确吗？为什么？若不正确，请写出正确的计算过程．21．济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表：节水量（米3） 1 1.5 2.5 3户数50 80 100 70（1）300户居民5月份节水量的众数，中位数分别是多少米3？（2）扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为__________度；（3）该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3？22．如图是某校八年级（1）班全体同学为山区中学捐赠图书的情况统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）该班有学生多少人？（2）补全条形统计图；（3）八年级（1）班全体同学所捐赠图书的中位数和众数分别是多少？23．张明、李成两位同学初二学年10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如下图所示：利用图中提供的信息，解答下列问题．（1）完成下表：姓名平均成绩中位数众数方差张明80 80李成260（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是__________；（3）根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．参考答案1．B．2．B．3．B．4．B．5．A．6．B．7．C．8．C．9．C．10．B．11．答案为：33．12．答案为：4．13．答案为：5，7，9，11．14．答案为8．15．答案为：．16．答案为：113，113．17．答案为：甲．18．4．19．解：（1×20+1.5×80+2×40+2.5×60）÷200=370÷200=1.85（m3）．答：6月份这200户家庭节水量的平均数是1.85m3．20．解：小明的算法不正确；该校八年级数学测试的平均成绩：=83.2．21．解：（1）数据2.5出现了100次，次数最多，所以节水量的众数是2.5（米3）；位置处于中间的数是第150个和第151个，都是2.5，故中位数是2.5米3．（2）×100%×360°=120°；（3）（50×1+80×1.5+2.5×100+3×70）÷300=2.1（米3）．答：该小区300户居民5月份平均每户节约用水2.1米3．22．解：（1）根据题意得：15÷30%=50（人），则该班学生有50人；（2）捐书4册的人数为50﹣（10+15+8+5）=12（人），补全统计图，如图所示：；（3）将捐书数按照从小到大顺序排列为：1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，4，4，4，4，4，4，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，其中第25，26个数为2，4，中位数为3册；2出现次数最多，即众数为2册．23．解：（1）姓名平均成绩中位数众数方差张明80 80 80 60李成80 85 90 260（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是李成；（3）李成的学习要持之以恒，保持稳定；张明的学习还需加把劲，提高优秀率．。

2020-2021学年北师大版数学三年级下册第7单元《数据的整理和表示》单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．妈妈带小路去动物园玩，动物园中共有四只公狮子，有两只母狮子，八只猴子，用正字来表示，则猴子比狮子多的个数可以表示为（）A．丅B．2只C．正2．下面是三（二）班同学喜欢的“卡通明星”情况．喜欢孙悟空的有（）人．A．4 B．9 C．6 D．83．为了让学生全方位的发展，学校欲开放折纸课、航模课、阅读课，通过对学生的调查发现，学生对各课的喜爱程度分布如下：喜爱折纸课的同学比喜爱阅读课的同学多（）A．2B．3C．4二、判断题4．统计表和统计图都比原始数据记录单能更清楚地反映各数量之间的多少，所以统计工作一旦完成，原始数据也就没有任何作用了。

（______）5．下表是二（2）班学生喜欢的小动物的数量情况。

学生们最喜欢狗。

（_______）6．三年一班男生的身高统计如下：身高在135－145之间的人数有10人（____）三、填空题7．下面是森林动物园小动物的数量统计结果：（1）小刺猬有（_____）只，小猴子有（____）只，大象有（_____）只．（2）动物园中一共有（_____）只动物．8．数一数，图形中的角，填表格。

①②③9．常见调查的方法有：________、________、________、________等。

10．小丁丁和小胖到书店去调查，得到下面一组销售数据（单位：本）：（1）从3月1日～3月7日这7天，最受欢迎的书是________，卖得最少的书是________。

（2）用计算器计算：平均每天售出《数学小博士》________本，平均每天售出《趣味数学》________本，平均每天售出《数学练习》________本，（3）按这样计算，3月份可能售出：《数学小博士》________本，《趣味数学》________本，《数学练习》________本，（4）用计算器算一算：预计3月份________（填书名）的销售额最高，是________元，预计3月份________（填书名）的销售额最少，是________元，11．下面是乐乐玩具店售出的毛绒玩具的情况记录。

【备战2018高考高三数全国各地一模试卷分项精品】专题三导数与应用一、选择题【2018云南师大附中月考】若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于的函数，求出的取值范围即可，因此正确. 【2018山东菏泽上期期末】的值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】依题意，原式.【2018江西师大附中、临川一中联考】已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故，又，所以，由题设可得，解之得，又由于，所以，应选答案D.【2018湖北重点中联考】设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【2018湖北重点中联考】已知，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则问题化为求平面上两动点之间距离的平方的最小值的问题，也即求曲线上的点到直线的点的距离最小值问题.因，设切点，则切线的斜率，由题设当，即时，点到直线的距离最近，其最小值为，所以所求的最小值为，应选答案B.【2018河北衡水六调】如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.【答案】B【2018山西五校联考】已知函数()f x 的导数为()(),f x f x '不是常数函数，且()()(1)0x f x xf x '++≥，对[0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()122f ef <B ．()()12ef f <C ．()10f <D ．()()22ef e f < 【答案】A 【解析】原式等于()()()()()0xf x f x xf x xf x xf x ''++=+≥⎡⎤⎣⎦ ，设()()x F x e xf x =⎡⎤⎣⎦ ，那么()()()()()0x x x F x e xf x e xf x e xf x xf x ⎡⎤'''=+=+≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ，所以函数()()x F x e xf x =⎡⎤⎣⎦ 是单调递增函数，()()()()212122F F ef e f <⇔<⋅⋅ ，即()()122f ef < ，故选A.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解不等式，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f x f x '+ ，就构造()()xg x e f x = ，(2)若()()f x f x '- ，就构造()()x f x g x e =，（3）()()2f x f x '+ ，就构造()()2x g x e f x = ，（4）或是()()2f x f x '- 就构造()()2xf xg x e=，或是熟记()()g x xf x = ，()()f xg x x=等函数的导数，便于给出导数时，联想构造函数. 二、填空题【2018江西上饶一模】已知0a >，6()ax x-展开式的常数项为15，则2(1sin 2)aax x dx --+=⎰．【答案】2π【2018内蒙包头十校联考】设函数()[]331,2,2f x x x x =-+∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．【答案】2 【解析】试题分析：()()()233311f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，解得：1x =-或1x = ，当[]2,1x ∈--时，()0f x '> ，函数单调递增，当()1,1x ∈-时，()0f x '<，函数单调递减，当(]1,2x ∈时，()0f x '>，函数单调递增，所以经计算()28611f -=-++=- ，()11313f -=-++=，()11311f =-+=-，()28613f =-+= ，所以函数的最大值是3，最小值是-1，则2M m +=.【点睛】三次函数利用导数求解最值是我们必须熟练掌握的基础问题，三次函数求导后变为二次函数，若含参就需讨论二次项系数以及∆ ，若还给了定义域，那就需考查极值点与定义域的关系，有几个极值点在定义域内，这样讨论起来才会有条理.【2018荆、荆、襄、宜四地七校联考】已知函数2()2sin()12f x x x x π=-+的两个零点分别为m 、()n m n <，则21nmx dx -=⎰_________．【答案】三、解答题【2018安徽合肥一模】已知函数（为自然对数的底数），是的导函数. （Ⅰ）当时，求证；（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在且为. 【解析】 （Ⅰ）当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，在上为增函数，，（Ⅱ），由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1，2.下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由（Ⅰ），，当时，；当时，，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立所以的最大值是2.【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识来解决．【2018云南师大附中月考】已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在上的最值；（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；（3）当且时，证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明过程见解析.【解析】（Ⅰ）∵，∴，∴，∴，记，∴，令得．当时，单减；当时，单增，∴，故恒成立，所以在上单调递增，∴．（ii）当即时，∵在上单增，且，当时，，∴，使，即．当时，，即单减；当时，，即单增．∴，∴，由，∴，记，∴，∴在上单调递增，∴，∴，综上，．（Ⅲ）等价于，即．∵，∴等价于．令，则．∵，∴．当时，，单减；当时，，单增．∴在处有极小值，即最小值，∴，∴且时，不等式成立．【点睛】本题主要考查导数的定义，性质以及函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，不等式成立，分类讨论思想的应用，属于难题，本题（2）主要利用二次求导的方法，借助于二次求导进一步确定导函数的单调性，进而确定参数的范围，（3）构造辅助函数，求导，求出在的单调性，可求出的最小值，即可证明不等式成立，解题的关键是正确求导函数，确定导函数的单调性. 【2018湖北武汉武昌区调研】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设是的两个零点，证明.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析（Ⅱ）令，则.求导数，得，当时，，在上是减函数.而，，故当时，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，则，，由（Ⅱ）得，从而，于是，由（Ⅰ）知，.【点晴】本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论.【2018山东菏泽上期期末】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.【答案】（1）答案见解析；(2)证明过程见解析.（ⅰ）若，图象的对称轴，.两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【点睛】本题主要考查导数与单调性的知识，考查利用导数来证明不等式的方法，还考查了分类讨论的数思想和化归与转化的数思想方法.求导之前要先求定义域.求导通分后往往只需要研究导函数的分子.本题利用分子的判别式进行分类讨论.第一问要证明不等式，采用的是差比较法，做差后利用导数求得右边函数的最小值大于零即可得证.【2018四川资阳上期期末】已知函数（其中为自然对数的底数，）．（1）若仅有一个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，有两个零点，且．【答案】（1）；(2)证明过程见解析.（2）由（1）当时，为的极小值点，又∵对于恒成立，对于恒成立，对于恒成立，∴当时，有一个零点，当时，有另一个零点，即，且，（#）所以，下面再证明，即证，由得，由于为减函数，于是只需证明，也就是证明，，借助（#）代换可得，令，则，∵为的减函数，且，∴在恒成立，于是为的减函数，即，∴，这就证明了，综上所述，．【点睛】本题主要考查函数的单调性和不等式的证明，考查了利用求导数研究函数的性质解题能力和分类讨论思想的应用，第一问借助函数为单调函数进行转化，第二问通过构造函数，分析函数的单调性，最终达到证明不等式成立的目的，因此正确构造函数是解决本题的关键.【2018吉林二调】设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）若对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.（2）的定义域为，，①若，则，故当时，，在上单调递增.所以，对任意，都有的充要条件为，即，解得或.②若，则，故当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增.所以，对任意，都有的充要条件为，而在上恒成立，所以.③若，在上递减，不合题意.综上，的取值范围是.【2018江西师大附中、临川一中联考】已知函数，．（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) （3）（3）不等式等价于，整理得．设，由题意知，在上存在一点，使得．由．因为，所以，即令，得．①当，即时，在上单调递增，只需，解得．②当，即时，在处取最小值．令，即，可得．考查式子，因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．③当，即时，在上单调递减，只需，解得．综上所述，实数的取值范围是．【2018湖北重点中联考】设函数对恒成立.（1）求的取值集合；（2）求证：【答案】(1) (2)详见解析(2)由(1)可得，，令，则，所以【2018河北衡水六调】设函数．（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）．(3)令，其中，则，则，则，∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，即，可得，(*)则在区间内单调递增，在区间内单调递减，∴，，将(*)式代入上式，得． 根据题意恒成立， 又∵，当且仅当时，取等号，∴，∴，代入(*)式，得，即，又，∴，∴存在满足条件的实数，且．【点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值的方法， 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.【2018江西上饶一模】已知函数()ln f x x mx =+（m 为常数）． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当322m ≤-时，设21()()2g x f x x =+的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()2ln h x x ax x =--的零点，求1212()'()2x x y x x h +=-的最小值． 【答案】（1）0m <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m -，单调递减区间为1(,)m -+∞；当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；（2）42ln 23-.当0m =时，1'()0f x x=>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0m >时，10mx +>，故'()0f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调递增． 所以当0m <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m -，单调递减区间为1(,)m-+∞； 当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．（2）由21()ln 2g x x mx x =++得211'()x mx g x m x x x ++=++=，由已知210x mx ++=有两个互异实根1x ，2x ， 由根与系数的关系得12x x m +=-，121x x =，因为1x ，2x （12x x <）是()h x 的两个零点，故21111()2ln 0h x x x ax =--=①22222()2ln 0h x x x ax =--= ②由②-①得：222212112ln()()0x x x a x x x ----=， 解得2121212ln()x x a x x x x =-+-，因为2'()2h x x a x=--，得1212124'()222x x x x h a x x ++=-⋅-+， 将2121212ln()x x a x x x x =-+-代入得2121212112212ln 4'()2()22x x x x x x h x x x x x x ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥=-⋅--++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2121122ln 4x x x x x x =-+-+ 2221212211122111(1)2()22ln ln 21x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤-⎢⎥=--=--⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦，所以21221122111()'()2ln 221x x x x xy x x h x x x ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥=-=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦， 设211x t x =>，因为22221212129()22x x x x x x m +=++=≥， 所以221252x x +≥，所以221212122152x x x x x x x x +=+≥，所以152t t +≥，所以2t ≥． 构造1()ln 21t F t t t -=-+，得22214(1)'()0(1)(1)t F t t t t t -=-=>++， 则1()ln 21t F t t t -=-+在[2,)+∞上是增函数， 所以min 2()(2)ln 23F x F ==-，即1212()'()2x x y x x h +=-的最小值为42ln 23-．【2018内蒙包头十校联考】已知函数()ln b f x a x b x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中，,a b R ∈）. （1）当4b =-时，若()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，是否存在实数b ，使得当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()0f x >恒成立，如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =L ）.【答案】(1) (,0][1,)-∞+∞U ；（2）存在实数2(,)1e b e ∈+∞-，使得()0f x >恒成立.综上所述，a 的取值范围是(,0][1,)-∞+∞U ……4分（2）()ln bf x b x x x=--，其中()2220,1b b x bx b x f x x x x -++'>=-+=.（i ）当0b ≤时，()0f x '<，于是()f x 在(0,)+∞上为减函数，则在2,e e ⎡⎤⎣⎦上也为减函数.知()()max 110b f x f e b e b e e e ⎛⎫==--=--< ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去.……6分 （ii ）当0b >时，由()0f x '=得242b b bx ++=，列表得x240,2b b b ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ 242b b b ++ 24,2b b b ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x ' +0 -()f xZ最大值]……8分①若242b b b e ++≤，即201e b e <≤+，则()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减. 知()()max11b f x f e b e b e e e ⎛⎫==--=-- ⎪⎝⎭，而221121111ee b e e e e e e -⎛⎫⎛⎫--≤--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，于是()max 0f x <恒成立，不合题意，舍去.②若242b b b e ++>，即221e b e >+.则()f x 在24,2b b b e ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，在24,2b b b ⎛⎫+++∞⎪ ⎪⎝⎭上为减函数， 要使在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒有()0f x >恒成立，则必有()()20,0,f e f e ⎧>⎪⎨>⎪⎩则220,20,b b e e b b e e ⎧-->⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，所以243222,1.21e e b e e e e b e ⎧>=⎪⎪--⎨⎪>⎪-⎩……11分由于()3223221310e e e e e ---=-+<，则244322121e e e e e e e =>---，所以21e b e >-. 综上所述，存在实数2(,)1e b e ∈+∞-，使得()0f x >恒成立.……12分 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若()0f x > 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x < 恒成立()max 0f x ⇔< ；（3）若()()f xg x > 恒成立，可转化为()()min maxf xg x >.【2018山西五校联考】已知函数()322112,,32f x x ax a x b a b R =-+++∈． （1）若曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线与曲线()y f x =的公共点的横坐标之和为3，求a 的值； （2）当102a <≤时，对任意,[1,2]c d ∈-，使()()8f c b f d M a '-+≥+恒成立，求实数M 的取值范围． 【答案】(1)2a = ；（2）223M ≤-.（2）()32211232f c b c ac a c -=-++，令()32211232g c c ac a c =-++，则()222()(2)g c c ac a c a c a '=-++=-+-，令()0g c '=，则c a =-或2c a =， 因为102a <≤，所以1[,0),2(0,1]2a a -∈-∈， 所以当[1,]c a ∈--和(2,2]c a ∈时，()0g c '<，函数()g c 单调递减， 当(,2)c a a ∈-时，()0g c '>，函数()g c 单调递增，所以函数()g c 的极小值为3333117()2326g a a a a a -=+-=-，又()282243g a a =-++， 令()3278()2()4263h a g g a a a a =--=++-，易知，当102a <≤时，函数()h a 单调递增，故max 125()()0248h a h ==-<，所以()2()g g a <-，即当[1,2]c ∈-时，()2min 8(2)243g c g a a ==-++， 9分又()222292()24a a f d d ad a d '=-++=--+，其对应图像的对称轴为122a d =<，所以2d =时，()()2min 2422f d f a a ''==-++， 所以220()()643f c b f d a a '-+≥+-，故有2206483a a M a +-≥+，又22201226486()333a a a a +--=--，因为102a <≤，所以2122226()333a --≥-，所以223M ≤-． 12分【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若()0f x > 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x < 恒成立()max 0f x ⇔< ；（3）若()()f xg x > 恒成立，可转化为()()min maxf xg x > .【2018广东深圳一模】已知函数为自然对数的底数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值； （3）关于的方程有两个实根，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）对函数求导得，∴，又，∴曲线在处的切线方程为，即；当变化时，变化情况列表如下：1+ 0 -极大值∴，故当且仅当时取等号，又，从而得到；（3）先证，记，则，令，得，当变化时，变化情况列表如下：-+极小值∴，恒成立，即， 记直线分别与交于，不妨设，则，从而，当且仅当时取等号，由（2）知，，则，从而，当且仅当时取等号，故，因等号成立的条件不能同时满足，故．【2018荆、荆、襄、宜四地七校联考】设13ln )4()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=++y x 垂直. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对于任意的),1[+∞∈x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）求证：()())(341416)14ln(*1N n i i in ni ∈-+≤+∑=．【答案】（Ⅰ）0a =（Ⅱ）1≥m （Ⅲ）详见解析（Ⅱ）13ln 4)(+=x x x x f ，[)∞+∈∀1x ，()(1)f x m x ≤-，即⎪⎭⎫⎝⎛--≤213ln 4x x m x 设()⎪⎭⎫⎝⎛---=213ln 4x x m x x g ，即[)0)(,1≤∞+∈∀x g x . ()22243134x m x mx x m x x g -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=' ()m g 4-41=' ----------------------------3分 ①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾②若()1,0∈m 当0)(),3342,1(2>'-+∈x g mm x ，)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.③若,1≥m 当0)(),,1(≤'+∞∈x g x ，)(x g 单调递减，0)1()(=≤g x g ，即不等式成立 综上所述，1≥m .----- --7分。

第6单元过关检测卷一、填空。

(每空2分，共28分)1．下面是班主任方老师购买水果情况统计图。

(1)这是一幅()统计图，图中1格表示()水果。

(2)()的质量最多，()的质量最少。

(3)如果每千克橘子2.5元，买这些橘子一共需要()元。

2．下面是哈尔滨市7月份至10月份的月平均气温统计图。

(1)这是一个()统计图。

(2)哈尔滨市()月份和()月份的温差最大。

(3)从总体上看，哈尔滨市的气温呈()趋势。

3．乐乐吃了8个草莓，琳琳吃了12个草莓，她们两人吃的草莓的平均数在()和()之间。

4．某部队进行为期一星期的行军训练，前3天平均每天行125千米，后4天由于下雨，平均每天只行76千米。

该部队这次行军训练平均每天行()千米。

5．一辆摩托车从甲地开往乙地，前2时每时行驶60千米，后3时行驶了210千米，这辆摩托车平均每时行驶()千米。

6．甲、乙、丙三个数的平均数是45，乙、丙两个数的平均数是38，甲数是()。

二、判断。

(对的画“√”，错的画“×”。

第2题3分，其余每题1分，共7分)1．条形、折线统计图都是用一个单位长度表示一定的数量。

() 2．根据王飞的话，判断下面的说法是否正确。

王飞说：“我们第三小组同学的平均身高是134厘米。

”(1)第三小组同学的身高一定都是134厘米。

()(2)第三小组同学的身高不一定都是134厘米。

()(3)第三小组同学的身高都不可能超过134厘米。

() 3．一条小河平均水深1米，小明身高1.3米，他不会游泳，但下河玩耍肯定安全。

() 4．期末考试中，小丽语、数、英三科的平均成绩是95分，她的数学成绩可能是100分。

() 5．折线统计图与条形统计图的不同点主要是折线统计图能清楚地反映出数量的增减变化情况，而条形统计图则不能。

() 三、选择。

(将正确答案的字母填在括号里。

每题2分，共10分) 1．要反映一天24时的气温变化情况，应选择()。

A．条形统计图B．折线统计图C．以上都不对2．统计图书馆各类书籍的数量，应选择()。

课时分层训练(五十)统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数B[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程序，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B．]2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9­3­11，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) 【导学号：00090330】图9­3­11A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝150.3＝50.]3．(2017·南昌模拟)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图9­3­12所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是( )图9­3­12A．10 B．11C．12 D．13C[∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，∵乙组学生成绩的中位数是89，∴n＝9.∴m＋n＝12.故选C．]4．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图9­3­13中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )图9­3­13A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个D[对于选项A，由题图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]5．(2018·黄冈模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n＋1，则这(n＋1)个数据中，下列说法正确的是( )A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B[∵数据x1，x2，x3，…，x n是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，x n＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这n ＋1个数据中，年收入平均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；由于数据的集中程度受到x n ＋1的影响比较大，更加离散，则方差变大．] 二、填空题6．(2018·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图9­3­14.根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年为365天)图9­3­14146 [该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.]7．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．16 [已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.]8．(2017·郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：【导学号：00090331】2 [易知x 甲＝90，x 乙＝90.则s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.]三、解答题9．(2017·郑州调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图9­3­15所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.图9­3­15(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．[解] (1)根据题意可知：x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10， 3分 ∴m ＝3，n ＝8.5分(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，8分s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，10分∵x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.12分10．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：图9­3­16(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解](1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.3分所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3. 5分(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元). 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·淮北模拟)为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据(单位：℃)制成如图9­3­17所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1 ℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为( )图9­3­17A．2 B． 2C．10 D．10B[甲地该月11时的气温数据(单位：℃)为28,29,30,30＋m,32；乙地该月11时的气温数据(单位：℃)为26,28,29,31,31，则乙地该月11时的平均气温为(26＋28＋29＋31＋31)÷5＝29(℃)，所以甲地该月11时的平均气温为30 ℃，故(28＋29＋30＋30＋m＋32)÷5＝30，解得m＝1，则甲地该月11时的平均气温的标准差为1－2＋－2＋0－2＋－2＋－2] 5＝2，故选B．]2．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图9­3­18所示．图9­3­18(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．(1)3(2)6 000[(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.] 3．(2018·武汉模拟)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理制度，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了某年100位居民的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5]，(0.5,1]，…，(4,4.5]分成9组，制成了如图9­3­19所示的频率分布直方图.【导学号：00090332】图9­3­19(1)求a的值；(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值； (3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨．当x ＝3时，估计该市居民的月平均水费．(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)[解] (1)由(0.08＋0.16＋a ＋0.40＋0.52＋a ＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a ＝0.30.(2)∵前6组的频率之和是(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.4＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85， ∴2.5≤x ＜3，由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9. (3)设该市居民月均用水量为t 吨，相应的水费为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤3，3×4＋t －，3＜t ≤4.5，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤3，8t －12，3＜t ≤4.5.由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元)．。