《菱形的判定》课件.ppt

解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=
1 AC=4，OB= 2
1 2BD=3.
又∵AB=5，满足AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，及OA⊥OB.
∴ ▱ ABCD是菱形，AD=AB=5.
知1－讲
（来自教材）
知1－讲
例2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC 于点E，F，连接BE，DF. 求证：四边形BEDF是菱形．
知1－练
6 在▱ABCD中，下列结论不一定正确的是( ) A．AC＝BD B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．AB＝CD
知识点 2 由边的数量关系判定菱形
知2－讲
(1)(定义法)一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)(边)四边都相等的四边形是菱形. 要点精析： 若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证 明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．
知2－讲
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分 ∠BAC交BC于点D，CH⊥AB于点H，交AD于点F， DE⊥AB于点E，连接EF，那么四边形CDEF是菱 形吗？说说你的理由．
导引：要证明一个四边形是菱形，一 般先证明它是平行四边形，再 通过证明它的一组邻边相等或 对角线互相垂直来证明它是菱形．
总结
知1－讲
证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形 的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行 四边形．
知1－练
1 对角线互相垂直平分的四边形是菱形吗？说明理由.
2 画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6 cm和
8 cm.
（来自教材）

A
1
∵ EF 垂直平分 AC，
E O
D
∴ AO = OC. 又∠AOE =∠COF，
B
F
2
C
∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
练一练
在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若
添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条
为 24 cm 和 10 cm，则其周长为 52 cm .
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接
AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的
是（ B ）
A．AB = BC
B．AC = BC
C．∠B = 60°
D．∠ACB = 60°
解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，
复习引入 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形 一组邻边相等
菱形
菱 形
边
两组对边平行 四条边相等
的 性
角
两组对角分别相等 邻角互补
质
对角线
两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
B
C
第四部分 PART 04
课堂小结
your your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here
A

证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 A 又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形. D O B C
归纳
菱形常用的判定方法：
1、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵DE∥AC DF∥AB
E
3
12
∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
F D C
探究一
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以 B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点 C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一 猜，这是什么四边形？说出你的理由
A D
在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.
B
C
判定方法1：
一组邻边相等的平行四边形是菱形
A D
数学语言：
B
O
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
还有其他么方法吗?
练习：已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 3、有四条边相等的四边形是菱形.Biblioteka 小结：菱形的判定方法：
四条边相等
四边形 菱形
平行四边形
1.做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形． 对 (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形． 对 (3)邻角相等的四边形是菱形．错 (4)有一组邻边相等的四边形是菱形．错 (5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 是菱形． 对 错 (6)对角线互相垂直的四边形是菱形． (7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 对 (8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 对

定义判定：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分，从菱形的这一性质受 到启发，你能画出一个菱形吗？ 过点O画两条互相垂直的线段AC， BD，使得OA=OC，OB=OD， 连结AB，BC，CD，DA，则四 边形ABCD是菱形， D
A
O B
C
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 形；
（2）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D O A B
C
菱形的判定
定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. D 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:要证明□ABCD是菱形, O A 就要证明有一组邻边相等即可 .证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴BD是AC的垂直平分线 ∴BA=BC ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义）.
菱形的判定
菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
菱形的两组对边平行
边
菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相平分
菱 形 的 性 质
角
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分。
自学指导



通过自学你学会了几种菱形的判定方法？ 试着用几何语言表示菱形的每一种判定方 法。 你会证明它们吗？ 你会画菱形吗？你的依据是什么？
D A
O
B
C
1.如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC， DF//AB,AE=5. （1）判断四边形AEDF的形状？ （2）它的周长为多少？

A
D
O
E
B
C
解： (1)证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
A
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC＝1/2AC，OD＝1/2BD，AC＝BD.
O
D E
∴OC＝OD.
B
C
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：∵∠BOC＝120°，∴∠DOC＝60°.
∵四边形OCED是菱形，∴△ODC，△CDE是等边三角形．
A O
C
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形．
(依据___对__角__线__互__相_垂__直__的__平__行_四__边__形__是_菱__形____)
B
2. 如图所示，下列条件中能说明四边形ABCD是菱形的有（ C ）
①BD⊥AC
②OA=OC，OB=OD，AB=BC;
A
③AC=BD, ④AB=BC，AB∥CD
感谢您的聆听
EIGHT GRADE MATHEMATICS COURSEWARE VOLUME II
八年级下册
又∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA.
∴△BOC≌△DOA，∴OC=OA.
B
O
D
∴AC、BD互相垂直且平分，
∴四边形ABCD是菱形.
C
（2）若②③④，则四边形ABCD是菱形.
反例：当四边形ABCD是矩形时，满足②③④，但不是菱形.
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若∠BOC＝120°，AB＝4，求△BEC的面积．
求证：四边形ABCD是菱形.

第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
学习目标
1 课时讲授 由对角线的位置关系判定菱形
由边的数量关系判定菱形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
1.菱形的定义? 2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只需补充
______就可以判定它是一个菱形. 3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且
对角线互相垂直
菱 形
课后作业
作业 必做: 请完成教材课后习题
上去是菱形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？
与同伴交流．
四边相等的四边形是菱形。 请你完成这个定理的证明。
感悟新知
知2－讲
例例22：已知：如图，在 ABCD中，对 求证： ABCD 是菱形．
解：在△AOB中， ∵AB＝ ，OA＝2，OB＝1， ∴AB2＝AO2＋OB2. ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角． ∴AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱 形．下面我们证明这个结论．
感悟新知
例11：已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与
BD相交于点O，AC⊥BD. 求证： ABCD是菱形． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
复习提问
引AC出=问6题cm,BD=8cm, 则菱形ABCD的周长为_____cm.
课时导入
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形 是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一 复个习平提行问四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．

四边形ABCD是菱形的选法有（ D ）．
A．1种
B．2种 C．3种 D．4种
课堂练习
3．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且
DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是
点__D__在__∠_B__A__C_的__平___分__线__上__（___或__A__E_=_A__F_）_．（只写出符合要求的一个即可）
课堂练习
1．下列四边形中不一定为菱形的是（ A ） A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
课堂练习
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；
③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使
拓展提高
4．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,
PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试
说明理由．
解：四边形PCOD是菱形．
理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，
所以四边形PCOD是平行四边形． 又因为OC=OD， 所以平行四边形PCOD是菱形．
新知讲解
【思考】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成 一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条, 这个四边形什么时候变成菱形?
对角线互相垂直的时候变成菱形
新知讲解
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，O为垂足。 证明： □ABCD是菱形． 证明：在□ABCD中，
新知讲解
证明 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AE//CF（矩形的定义），∴ ∠1＝∠2. 又∵ ∠AOE＝∠COF，AO＝CO， ∴ △AOE ≌ △COF，∴ EO＝FO． ∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边 形）. 又∵ EF ⊥ AC， ∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

A
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
具有平行四边形的所有性质
D
O B
矩形的 性质
C
对角线相等 四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的 判定
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
根据菱形的定义,可得菱形的 第一个判定的方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
A D
数学语言：
∴△AEO≌△CFO ∴
四边形AFCE是菱形
课堂小结
三个角是直角 矩形
一组对边平行且相等 两组对边分别相等 四边形 两组对边分别平行 平行四边形
两组对角分别相等 对角线互相平分
四条边都相等
菱形
课本60页习题18.2第6、10题
已知：在 求证： 中，AC ⊥ BD
ABCD
A
ABCD
证明：
B
∵四边形ABCD是平行四边形
C
∴OA=OC 又∵AC⊥BD;
∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
∟
Байду номын сангаас
是菱形
O
D
判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D AC⊥BD B
□ABCD
A
D
C
B
C
菱形ABCD
数学语言
∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
A 证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形.
O B
C
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?

2 误区：对角线相等即为菱形
解决办法：需要确认对角线是否互相垂直。
菱形判定的应用举例和总结
应用举例一
在建筑设计中，使用菱形图案可 以创建独特的视觉效果。
应用举例二
在纺织品制造中，使用菱形图案 可以增加产品的时尚感。
总结
菱形判定是解决几何问题的重要 工具，应用广泛且具有实际意义。
对边平行
菱形的相对边互相平行。
内角和
菱形的所有内角和等于360度。
如何在几何问题中运用菱形的判定
1
题目分析
确定问题涉及的图形和已知条件。
2
判定菱形
利用菱形的判定方法判断给定的图形是否为菱形。
3
应用相关性质
根据菱形的相关性质解决问题。
常见菱形判定的误区与解决办法
1 误区：边长相等即为菱形
解决办法：需要确认相邻边是否相互垂直。
菱形的判定ppt课件
在这个课件中，我们将学习菱形的定义和特点，并了解如何判定一个图形是 否为菱形。演示将包括实例和相关性质，以及如何在几何问题中运用菱形的 判定。
什么是菱形？
菱形是一个具有如下特点的图形：所有四条边相等，相邻边互相垂直。
菱形的判定方法
1 边长判定法
四条边长相等，则图形为菱形。
2 对角线判定法
两条对角线相等且互相垂直，则图形为菱形。
菱形判定的实例演示
实例一
图形ABCD的四条边长相等，所以 它是一个菱形。
实例二
图形EFGH的两条对角线相等，但 边长不相等，所以它不是一个菱 形。
实例三
图形IJKL的两条对角线相等且垂 直，所以它是一个菱形。
菱形判定的相关性质
对角线平分角
菱形的两条对角线平分菱形两个内角。