数北师大必修4案：1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
1．单位圆
在直角坐标系中，以______为圆心，以________为半径的圆，称为单位圆． 2．任意角的正弦函数、余弦函数的定义
如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的____v 叫作角α的正弦函数，记作________；点P 的______u 叫作角α的余弦函数，记作______．
通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y ＝sin x 和y ＝cos x ，它们的定义域为________________，值域为______．
预习交流1
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)．怎样用x ，y ，r 表示sin α，cos α？
预习交流2
(1)已知角α的终边经过P ⎝⎛
⎭
⎫
32，12，则sin α＝__________，cos α＝__________.
(2)若点P (－3，－1)是角A 终边上的一点，则sin A ＝__________，cos A ＝__________. 3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号
预习交流3
(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？ (2)填空(比较大小)：sin 195°____0，cos 140°____0.
★答案★：1．原点 单位长
2．纵坐标 v ＝sin α 横坐标 u ＝cos α 全体实数 [－1,1]
预习交流1：提示：sin α＝y r ，cos α＝x
r
.
预习交流2：(1)12 3
2
(2)－1010 －31010
解析：x ＝－3，y ＝－1，r ＝10，
∴sin A ＝－110
＝－10
10，
cos A ＝－310
＝－310
10.
3．＋ ＋ － － ＋ － － ＋
预习交流3：(1)提示：由三角函数的定义可知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．
(2)＜ ＜
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
1．利用定义求任意角的正弦、余弦值
已知角α的终边在射线y ＝2x (x ＞0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值． 思路分析：解答本题可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助于三角函数的定义加以解决．
在直角坐标系的单位圆中，α＝
6
. (1)画出角α；
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标．
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角
函数值时，常用的解题方法有以两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则
对应角的正弦值sin α＝
b
a2＋b2
，余弦值cos α＝
a
a2＋b2
.
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
2．判断三角函数值的符号及角所在的象限
判断符号：(1)sin 340°cos 265°；
(2)若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α所在的象限．
思路分析：依据正弦函数、余弦函数在各个象限的符号作出判断．
(1)如果sin α＞0，且cos α＜0，则α是第______象限角；
(2)如果cos α＞0，且sin α＜0，则α是第______象限角；
(3)如果sin αcos α＞0，则α是第__________象限角；
(4)如果sin αcos α＜0，则α是第__________象限角．
(1)三角函数值的符号可按以下口诀记
忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．
(2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3．三角函数的定义域问题
求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x sin x
；
(2)y ＝lg sin 2x ＋9－x 2.
思路分析：考虑分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根号下不为负，建立不等式(组)，解之即可．
函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )． A ．(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π
2，(2k ＋1)π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π
2，(k ＋1)π(k ∈Z ) D ．[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )
求解三角函数定义域的解题策略
求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即通过列不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义．在求解一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴来解决．
★答案★：活动与探究1：解：方法一：设α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，
则y ＝2x (x ＞0)． 又因为x 2＋y 2＝1，
所以⎩⎨
⎧
x ＝55，y ＝255.
于是sin α＝y ＝255，cos α＝x ＝55
.
方法二：在角α终边上任取一点P (x ，y )(x ＞0)， 则|OP |＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |. 又x ＞0，所以|OP |＝5x .
所以sin α＝y x 2＋y 2＝y 5x ＝25
5，
cos α＝x x 2＋y 2
＝x 5x ＝5
5.
迁移与应用：解：(1)如图所示．
(2)∵sin α=
1
2
，cos α
∴角α的终边与单位圆的交点坐标为12⎫
⎪⎪⎝⎭
，如图所示．
活动与探究2：解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°＜0，cos 265°＜0.∴sin 340°cos 265°＞0. (2)∵sin 2α＞0，∴2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，
∴k π＜α＜k π＋π
2
(k ∈Z )．
当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π＜α＜2m π＋π
2
(m ∈Z )；
当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，
有2m π＋π＜α＜2m π＋3π
2
(m ∈Z )．∴α为第一或第三象限角．又由cos α＜0，可知α为
第三象限角．
迁移与应用：(1)二 (2)四 (3)一或三 (4)二或四 活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需sin x ≠0， ∴x ≠k π.
∴函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．
(2)要使函数有意义，需满足⎩
⎪⎨⎪⎧
sin 2x >0，
9－x 2≥0.
由sin 2x ＞0得2k π＜2x ＜2k π＋π(k ∈Z )，
即k π＜x ＜k π＋π
2
(k ∈Z )．①
由9－x 2≥0得－3≤x ≤3.②
由式①②得－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π
2
.
故函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪
－3≤x <－π2或0<x <π2.
迁移与应用：B 解析：要使函数有意义，需 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0，cos x ≤0， ∴2k π＋π
2
≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .
1．已知sin α＝－12，cos α＝3
2，则角α终边所在的象限是( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．角α的终边经过点P (0，b )，则( )． A ．sin α＝0 B ．sin α＝1 C ．sin α＝－1 D ．sin α＝±1
Ruize 3．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|
＝( )． A ．0 B ．1
C ．2
D ．－2
4．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是__________．
5．若点P (－4a,3a )(a ≠0)为角α终边上一点，求sin α，cos α.
★答案★：1．D 解析：sin α＝－12
＜0，∴α在第三或第四象限； cos α＝32
＞0，∴α在第一或第四象限． ∴α终边所在的象限是第四象限．
2．D 解析：r ＝|b |，∴sin α＝b r ＝b |b |
＝±1. 3．A 解析：∵α是第三象限角，
∴sin α＜0，cos α＜0.
∴|sin α|sin α－cos α|cos α|
＝－1＋1＝0. 4.⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：由题意知，cos x ≥0， ∴x ∈⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 5．解：r ＝|OP |＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，
当a ＞0时，r ＝5a ，α角在第二象限，
故sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－
45
. 当a ＜0时，r ＝－5a ，α角在第四象限，
故sin α＝－35，cos α＝45
.。