2020全国新高考培优高考仿真模拟(三)文科数学(解析版)

2020年高考全国丙卷数学（文）逐题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（ ）A .2B .3C .4D .5 【答案】B【解析】由题可得,集合{}|315B x x =<<中的正整数有4，5，6，7，8，9，10，11，12，13；集合{}1,2,3,5,7,11A =，可得{}5,7,11A B =，故选B 2．（5分）若(1)1z i i +=−，则z =（ ）A .1i −B .1i +C .i −D .i 【答案】D【解析】(1)1z i i +=−2221(1)1211221(1)(1)11(1)2i i i i i i z i i i i i −−+−−−−======−++−−−−，z i =，故选D 3．（5分）设一组样本数据1x ,2x ,，n x 的方差为0.01，则数据110x ,210x ,，10nx 的方差为（ ）A .0.01B .0.1C .1D .10 【答案】C【解析】1nii Xx n==∑221()0.01nii XX S n=−==∑1122222221111101010(10)(1010)10()()1001001nniii i n nnniiiii i i i XXx xnn XX XX XX XX S n n n n======'==='−−−−'=====∆=∑∑∑∑∑∑故选C4．（5分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e −−+=，其中K 为最大确诊病例数，当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln193≈） （ ）A .60B .63C .66D .69 【答案】C 【解析】**0.23(53)()0.951t K I t K e−−==+****0.23(53)0.23(53)0.23(53)0.23(53)*10.950.950.050.950.95190.05ln ln190.23(53)3t t t t eee et −−−−−−=+====−≈故*353660.23t+≈，故选C5.（5分）已知sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=（ ）A .12B .3C .23D .2【答案】B【解析】sin +sin+=3（）1πθθ1sin +sin +cos =221θθθ∴3sin +=221θθ1sin +cos =22（）1θθ+=6（）1πθsin +=63（）πθ∴故选B6.（5分）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹是（ ）A .圆B .椭圆C .抛物线D .直线 【答案】A【解析】设A ，B 点坐标分别为()11,x y ,()22,x y ，C 为(),x y 则()11=,AC x x y y −−，()22=,BC x x y y −−()()()()1212=1+=1AC BC x x x x y y y y ⋅⇒−−−−2221122112++++=1x xx xx x x y yy yy y y −−−()()2212121212+++++1=0x y x x x y y y x x y y −−−圆的一般方程为：22+++=0x y Dx Ey F +∴点C 的轨迹是为圆故选A7.（5分）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A .1(,0)4B .1(,0)2C .(1,0)D .(2,0)【答案】B【解析】当2x y ==±时，OD OE ==OE =222OD OE DE +=(2224⨯=解得：1p =F ∴的坐标为1(,0)2故选：B8.（5分）点(0,1)−到直线(1)y k x =+距离的最大值为（ ）A .1 BCD .2 【答案】B【解析】直线方程可变形为0kx y k −+=，由点到直线的距离d =得点(0,1)平方后可得222(1)2211111k k k k k k+=+=++++≤2所以点(0,1)到直线(1)y k x =+：B9.（5分）右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A .6+B .4+C .6+D .4+【答案】 C【解析】由图可知，该立体图像的四个表面图像是由三个直角边为2的等腰直角三角形和一个边长为的等边三角形组成11223622∴⨯⨯⨯⨯该几何体的表面积为++故选C10.（5分）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ）A .a c b <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b << 【答案】A【解析】332log 3log 3c ==，33log 2log a ==a c ∴<552log 5log 3c ==55log 3log b ==c b ∴< ，故选A11.（5分）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =（ ）A B . C . D . 【答案】C【解析】作BD AC ⊥2cos 3CD C BC == 2CD AD ∴==3AB BC ∴==，即ABC ∆为等腰三角形∴tan2B CD BD == 即22tan2tan tan 221tan 2BB B B B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭−1=−5==故选C12.（5分）已知函数1()sin sin f x x x=+，则（ ） A .()f x 的最小值为2B .()f x 的图像关于y 轴对称C .()f x 的图像关于直线x π=对称D .()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【解析】A .()11222f π−=−−=−<，故A 错B .11()sin()sin sin()sin f x x x x x−=−+=−−−()()0f x f x +−=故()f x 为奇函数，关于原点对称，故B 错 C .11()sin()sin sin()sin f x x x x xπππ−=−+=+− ()()f x f x π−=()f x ∴关于2x π=成轴对称，故C 错，D 正确，故选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考全真模拟卷（3）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2560A x x x =-+≥，{}10B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]3,1--D ．[)3,+∞2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．23．新中国成立70周年以来，党中央､国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点､城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ） A ．20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关 B ．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍 C ．2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元 D ．2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”．5．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ） A ．115 B ．13 C ．25 D ．357．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ） A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤9．函数ln||()xf x xx=+的图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． A ．①④B ．②③C ．①③D ．②（④11．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+ 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(,3),(1,3)a m b =-=．若//a b ，则m = ．14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,,a b c a b c N +=∈，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是 ．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 16．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++L 的值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ．（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积．19．（本小题满分12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4． （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值．21．（本小题满分12分） 已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----． （1）讨论()f x 的单调性．（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程2222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<． （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2560A x x x =-+≥，{}10B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-C ．[]3,1--D ．[)3,+∞【答案】A【解析】{}(][)2560,23,A x x x =-+≥=-∞⋃+∞Q ，{}(]10,1B x x =-≤=-∞，因此(],1A B =-∞I ，故选A ．2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++，所以z 的虚部为3-，故选B ． 3．新中国成立70周年以来，党中央､国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点､城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ）A ．20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B ．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C ．2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D ．2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍 【答案】D【解析】A ：观察统计图可知，20l5年-2018年中国居民人均可支配收入随着年份的增加而增加，选项A 正确；B ：2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.0549.7568÷≈倍，所以选项B 正确；C ：2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为1(21966.1923820.9825973.7928228.05)24997.254+++≈（元），所以选项C 正确； D ：2015年中国居民人均可支配收入是1949年的21966.1949.7442÷≈倍，所以选项D 错误，故选D ． 4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”．【答案】D【解析】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误；对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，正确．故选D ．5．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】211533311220,log 03355a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c a b <<，故选A ．6．某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ） A ．115 B ．13 C ．25 D ．35【答案】D【解析】甴列举法可得：从6罐中随机抽取2罐的方法数是15，能中奖的方法数是9，则能中奖的概率为概率为93155p ==，故选D ． 7．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±【答案】D【解析】设双曲线的方程为：22221x y a b -=，其渐近线方程为：b y x a =±，依题意可知2252a b ⎧+=⎪=，解得12a b ==，，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，故选D ．8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤【答案】B【解析】由题意可知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束，因此，判断条件应填入“94m =”．故选B ． 9．函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知，函数ln ||()x f x x x =+，满足ln ||ln ||()()()x x f x x x f x x x--=-+=-+=--，所以函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，所以B 选项错误；又因为(1)10f =>，所以C 选项错误；又因为ln 2(2)202f =+>，所以D 选项错误，故选A ． 10．将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②（④【答案】C【解析】由题意将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度， 得55()sin 2sin 2126f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令23x k ππ+=，k ∈Z ，得到,26k x k ππ=-∈Z ，所以对称轴为直线,26k x k ππ=-∈Z ； 令232x k πππ+=+，k ∈Z ，得到212k x ππ=+，k ∈Z ，所以对称中心为点,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ； 由2223k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，得63k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 在,()63k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减；由22223k k x πππππ≤≤+++，k ∈Z ，得236k x k ππ-+π≤≤-+π，k ∈Z ，所以函数()f x 在2,()36k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，所以①③正确，故选C ．11．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+ 【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116(248222S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(6=+，故选A ．12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞【答案】A【解析】要求解的不等式等价于()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，()()()()''10xx f x xf x g x e-+=>，所以()g x 在R 上为增函数，又因为(1)y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，所以()11g =，所以所求不等式等价于()()1g x g >，所以解集为()1,+∞，故选A ． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(,3),(1,3)a m b =-=．若//a b ，则m = ． 【答案】1-【解析】由331m ⨯=-⨯，得1m =-，故答案为：1-．14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,,a b c a b c N +=∈，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是 ． 【答案】11,60,61【解析】观察、先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足()222*,,a b ca b c N +=∈；②最小的数a 是奇数，并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如22222345,51213,72425,94041,116061=+=+=+=+=+⋅⋅⋅，由以上特点我们可知第⑤组勾股数：2116061=+，故答案为：11,60,61．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．16．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[6,2]-【解析】11'221()()ln 2f x x a f x x x x --=+⇒=+．由题可得函数()f x 在1x =处的切线斜率(1)1k f '==．又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ，所以函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-．将圆22:2440C x y x y +-+-=化为标准式为22(1)(2)9x y -++=，则圆C 的圆心坐标为：(1,2)-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =．因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则26≤≤，解得62a -≤≤，所以，实数a 的取值范围是[6,2]-，故答案为：[6,2]-．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++L 的值． 【解析】（1）121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥，注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=．（2）n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=L L ． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ．（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积． 【解析】（1）连接1AC 交1A C 于点O ，连接OD ． 因为四边形11AAC C 是平行四边形，所以O 是1AC 的中点．因为D 是AB 的中点，所以1//OD BC ．又OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）设三棱柱111A B C ABC -的高为h ，底面ABC ∆的面积为S ， 则三棱柱111A B C ABC -的体积12V S h =⋅=． 又111A A CE C AA E C ABA V V V ---==，1113C ABA A ABC V V Sh --==，所以111243A A CE V -=⨯=． 19．（本小题满分12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人，则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人，∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人，则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人，可得列联表如下：()221001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=，∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c ，从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个，∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P ==， 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4． （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值．【解析】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x ya b+=，① ∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，② ∴联立①②得()()222230b axa--=，∴()2203a a b x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =． （2）由题意知，24c =，即2c =，由（1）知，223a b =，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=．由已知得l：)2y x =-，联立()2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=． 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+21．（本小题满分12分） 已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----． （1）讨论()f x 的单调性．（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞．当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增； 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增．（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立． 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >． 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意； 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*）． 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞，所以2x e <<即2e a <<．综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e ． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）21 已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程2222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y y y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值．【解析】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=． （2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，d ==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d取最大值为2． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<．（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =时，令()|1||3|5g x x x =++-<，当1x <-时，()225g x x =-+<，解得312x ->>-； 当13x -≤<时，()45g x =<，不等式恒成立；当3x ≥时，()225g x x =-<，解得732x ≤<． 综上所述，不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+，所以2255a a -+<，即25255a a -<-+<，解得()0,2a ∈．。

2020年高考文科数学模拟试卷（三）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.设命题，则为（）A.B.C.D.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B.C. D.4.椭圆C：的右焦点为F，过F作轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为（）A. B.C. D.5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是（）A. B.C. D.6.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q—BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为（）A. 1B. 2C.D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. －2B.C. 3D.8.以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为（）A. B.C. D.9.函数在上的值域为（）A. B.C. D.10.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于P，若，则双曲线C渐近线方程为（）A. B. C.D.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit ，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为 （ ） A. 254 B. 381C. 510D. 76512.函数的零点个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 与a 有关 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为__________．14.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________． 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．16.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积之比为______．三、解答题：共70分。

2020年全国高考仿真模拟试卷(三)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{x|log2x>0}，则(∁R A)∩B＝() A．(－∞，0]∪(1，＋∞) B．(0,1] C．[3，＋∞) D．∅2．复数z＝2i1－i的共轭复数是()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是()A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为()A．0 B．1 C．2 D．35．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．976．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π3B.13＋2π3C.13＋2π6 D ．1＋2π67．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝2π，则tan(a 3＋a 5 )的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－338．如图，在圆O 中，已知弦AB ＝4，弦AC ＝6，那么A O →·B C →的值为( )A ．10B ．213 C.10 D ．－109．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛10．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A. 6 B ．2 2 C ．2 3 D ．411．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形(这个矩形的长不小于宽)，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392B.752 C ．39 D.601812．已知函数f (x )＝x 3－4x ，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，其中x 1<x 2<x 3，m <0，则( )A ．x 1>－2B ．x 21＋x 22<4C ．x 22＋x 23<6D ．x 3>2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________．14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝4x ＋3y 的最大值为 ．15. 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第________天，两马相逢．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，EB ＝2FD ＝4.(1)求证：EF ⊥AC ；(2)求几何体EF ABCD 的体积．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2a cos C＝2b －c .(1)求角A 的大小；(2)若AB ＝3，AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 的面积．19．在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中，教委对本区A ，B ，C ，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．(1)若该区共2000名高中学生，估计A 学校参与“创城”活动的人数；(2)在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；(3)在上表中从B ，C 两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B ，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率．20．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0,1)，右焦点到直线x ＝a 2c 的距离为33.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点A 作两条互相垂直的直线l 1 ，l 2分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,0. 21．已知函数f (x )＝ln x －1x －ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若a <－1，求函数f (x )的单调区间；(3)若1<a <2，求证：f (x )<－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程是ρsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)． (1)求直线l 被曲线C 截得的弦长；(2)从极点作曲线C 的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.。

第9天 模拟卷（三）一、单选题1．（2019·周口市中英文学校高二期末（理））在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】2(1)1z i i z i i i =+∴=+=-+，因此复数z 对应点的坐标为(1,1)-，在第二象限，故本题选B.2．（2019·内蒙古自治区高一期末（理））若集合A ={x ∈N||x −1|≤1 }, B ={x|y =√1−x 2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】A【解析】A ={x ∈N||x −1|≤1 }={0,1,2}，B ={x|y =√1−x 2}=[−1,1]， A ∩B ={0,1}，所以A ∩B 的真子集的个数为22−1=3，故选A 。

3．（2020·福建省高一期末）设0.82a =，2log 0.6b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】因为0.80221a =>=；22log 0.6log 10b =<=；4440log 1log 3log 41=<<=， 故a c b >>. 故选：D.4．（2019·重庆高二期末（理））如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,则下列说法正确的是( )A ．x a =是函数()y f x =的极小值点B ．当x a =-或x b =时,函数()f x 的值为0C ．函数()y f x =关于点()0,c 对称D ．函数()y f x =在(),b +∞上是增函数 【答案】D【解析】由函数f (x )的导函数图象可知，当x ∈(−∞,−a ),(−a ，b )时,f ′(x )<0，原函数为减函数； 当x ∈(b ,+∞)时,f ′(x )＞0，原函数为增函数. 故x a =不是函数()y f x =的极值点，故A 错误；当x a =-或x b =时,导函数()f x '的值为0，函数()f x 的值未知，故B 错误； 由图可知，导函数()f x '关于点()0,c 对称，但函数()y f x =在(−∞,b )递减,在(b ,+∞)递增,显然不关于点()0,c 对称，故C 错误；函数()y f x =在(),b +∞上是增函数，故D 正确； 故答案为：D .5．（2020·广东省高一期末）若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 【答案】C【解析】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，0.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=≈-=-< ⎪⎝⎭，0.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高一期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点(2sin ,3)A α，则cos α=（ ） A ．12 B ．12-C ．D ． 【答案】A【解析】由三角函数定义得tan 3α2sin α=，即sin α3cos α2sin α=,得3cos ()22α2sin α21cos α,==-解得1cos α 2=或cos α2=-（舍去）故选A7．（2017·广东省高考模拟（文））已知幂函数()af x x =的图象过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．32【答案】B【解析】由题设1313aa =⇒=-，故()()11212g x x x x -=-=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时取最小值12202g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，应选答案B． 8．（2017·辽宁省高考模拟（理））已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间(0,)t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在之内的概率为（ ） A ．12B ．13 C ．14D ．23【答案】A 【解析】当a b > 时2223142a b ab a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2b a <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.二、多选题9．（2020·江苏省高二期中）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 【答案】ABD【解析】因为截面PQMN 是正方形 ，所以//,//PQ MN PN QM ， 又MN ⊂平面DAC 所以//PQ 平面DAC又PQ ⊂平面BAC ,平面BAC平面DAC AC =////,PQ AC MN//AC 截面PQMN ，故B 正确同理可证////,PN BD MQ因为PN NM ⊥，所以AC BD ⊥，故A 正确 又45PMQ ︒∠=所以异面直线PM 与BD 所成的角为45︒，故D 正确AC 和 BD 不一定相等，故C 错误故选：ABD10．（2020·福建省高一期末）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()2f x -都为偶函数，则（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f x +为偶函数C ．()2f x +为奇函数D ．()f x 为周期函数【答案】ABD【解析】因为()1f x -是偶函数，故可得()()11f x f x -=--，① 又()2f x -是偶函数，故可得()()22f x f x -=--，② 由①可得：()()2f x f x =--；由②可得()()4f x f x =--； 故可得()()24f x f x --=--，则()()2f x f x =-， 故可得()f x 是周期为2的周期函数，故D 正确； 又因为()()1,2f x f x --均为偶函数， 故可得()()1,f x f x +是偶函数，故AB 正确；故()2f x +也是偶函数. 综上所述，正确的选项有ABD . 故选：ABD.11．（2020·海南省高三其他）已知抛物线C ：()220y px p =>的准线经过点()1,1M -，过C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．AB DE +的最小值为16C ．四边形ADBE 的面积的最小值为64D ．若直线1l 的斜率为2，则90AMB ∠=︒【答案】ABD【解析】由题可知12p=，所以2p =，故A 正确. 设直线1l 的斜率为()0k k ≠，则直线2l 的斜率为1k-.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线1l ：()1y k x =-，直线2l ：()11y x k=--.联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=， 121=x x .所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+. 同理223421242441k DE x x p k k ⨯+=++=+=+， 从而2218416AB DE k k ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立，故B 正确. 因为()22118112ADBES AB DE k k ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形3232≥=，当且仅当1k =±时等号成立，故C 错误.()()11221,11,1MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-()1212121211x x x x y y y y =++++-++，将123x x +=，121=x x 与122y y +=，124y y =-代入上式，得0MA MB ⋅=，所以90AMB ∠=︒，故D 正确.故选：ABD ．12．（2019·山东省高三期中）已知向量()sin ,cos a a α＝，1)2(b =，，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥ ，则1tan 2α=C ．若f a b α=⋅（）取得最大值时，则1tan 2α=D ．a b -的最大值为1 【答案】ACD【解析】A 选项，若a b ，则2sin cos 0αα-=，即1tan 2α=，故A 正确． B 选项，若a b ⊥，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，故B 不正确．C 选项，()sin 2cos )f a b ααααϕ==++，其中tan 2ϕ=. 当()f α取得最大值时，sin()1αϕ+=，即22k παϕπ+=+，11tan tan(2)tan()22tan 2k ππαϕπϕϕ=-+=-==，故C 正确.D 选项，222()2152(sin 2cos )6)a b a b a b αααϕ-=+-=+-+=-+，当sin()1αϕ+=-时，2()a b -取得最大值为6+所以a b -的最大值为1，故D 正确. 故答案为：ACD第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．（2019·新疆维吾尔自治区高考模拟（文））某单位有360名职工，现采用系统抽样方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，…，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间[181,288]的人数为__________． 【答案】6【解析】样本间隔为3602018÷=，在区间]181[288，内共有2881811108-+=人，108186÷=， 即在区间]181[288，内的抽取人数为6人，故答案为6. 14．（2020·江西省上高二中高二月考（理））函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】4(2,)ln 21+【解析】()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--，令'0f x 得2ln 0x a x a --=，由于222,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e<<<<<+<， 分离常数a 得21ln xa x=+. 构造函数()21ln x h x x =+，()()'22ln 1ln x h x x =+，所以()h x 在2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln eeh h h e e e e⎛⎫====== ⎪+⎝⎭+. 下证22e e >：构造函数()22xg x x =-，()'2ln 22xg x =-，当2x ≥时，22ln 222ln 22x -≥-①，而1ln 2ln 2e =<=<，即1ln 212<<，所以222ln 24<<，所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时，()g x 单调递增.由于()20g =，所以当2x >时，()()20g x g >=，故()0g e >，也即22022e e e e ->⇒>. 由于()22ln 2ln 2eee e >⇒>，所以()22h h e ⎛⎫<⎪⎝⎭. 所以a 的取值范围是4(2,)ln 21+故答案为：4(2,)ln 21+15．（2020·四川省泸县第四中学高三月考（文））已知过点(10)，的直线与抛物线2x y = 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(0)2，，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += __________．【答案】72【解析】设1122Ax y B x y （，），（，）， 则221122x y x y ==，， 两式作差得：121212121212y y x x x x y y x x x x --+=-∴=+-（）（）， ，即AB 的斜率为 12x x +．设AF BF m += ，则121211,,22y y m y y m ++=∴+=- ，AB ∴的中点坐标为121224x x m +-（，），AB 的垂直平分线的斜率为121x x -+，AB ∴的垂直平分线方程为121211242x x m y x x x +⎛⎫--=-- ⎪+⎝⎭（）， 线段AB 的垂直平分线经过点()02，，解得72m =．|AF|+|BF|的值为72． 故答案为72．四、双空题16．（2020·浙江省高三二模）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4,45,a B ︒==若()()()sin sin sin ,a b A B c b C -+=-则A =________，b =________.【答案】3π【解析】由()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-以及正弦定理得，()()()a b a b c b c -+=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=.由正弦定理得sin sin a b A B ==，解得3b =故答案为：3π. 五、解答题17．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等比数列{}n a 的各项为正数，n S 为其前n 项的和，3=8a ，3=14S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n b a -是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项的和n T ．【答案】（．）2n n a =（．）322n n b n =-+，1232222n n nT n +=+-- 【解析】（．）由题意知，等比数列{}n a 的公比1q ≠，且0q >，所以()23131381141a a q a q S q ⎧==⎪-⎨==⎪-⎩， 解得122a q =⎧⎨=⎩，或11823a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）， 则所求数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（．）由题意得1(1)332n n b a n n -=+-⨯=-，故32322nn n b n a n =-+=-+()23123(14732)2222n n n T b b b b n =+++⋯+=+++⋯+-++++⋯+()212(132)212nn n -+-=+-1232222n nn +=+--18．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满cossin ,2B Ca B a +== （1）求角A 的大小；（2）若点M 为边AC 边上一点，且,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积．【答案】（1）3π （2【解析】（1cossin 2B C a B +=sin sin 2Aa B =sin sin sin 2AB A B =在ABC 中, sin 0B ≠,sin 2cos sin 222A A AA ==在ABC 中, 0A π<<,则022A π<<，所以sin 02A ≠,则有cos 2A =所以26，A π=即3A π=. （2）在MBC △中，,2MC MB BMC π=∠=,则4ACB π∠=则MBC △为等腰直角三角形， 又a =BC =,所以MB MC ==在直角MAB △中,3A π=,2MB =,2tan MB CAB AM AM∠===所以AM =所以AC AM MC =+==所以11322224△ABC S AC BM +=⨯⨯=⨯=19．（2020·四川省阆中中学高三一模（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在1(,](1,2,3,4,5)55n nn -=时，日平均派送量为24x y +=单．若将频率视为概率，回答下列问题：①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由. 【答案】（1）100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①0.44，②见解析【解析】．1）甲．100y n =+．乙：()140,054{1405420,54n y n n <≤=+-⨯>．故为100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数 200.1300.3200.5200.7100.90.44100x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==②甲:EX=0.21520.31540.21560.21580.1160155.4⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙．EX=0.21400.31400.21800.22200.1260176⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙的期望更高，故选择乙方案．20．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考（文））已知过圆1C ：221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析 【解析】（1）直线OE l的方程为y =，则直线AB l的斜率AB k = 所以AB l：33y x =-+，即0,3A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=； （2）．当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --， 因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=，所以PM PN ⊥.．当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.21．（2020·内蒙古自治区北重三中高三其他（理））已知函数()(0)xf x ae a =≠，21()2g x x =. （1）当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程：（2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）22y x =--；（2）3] 【解析】（1）2a =-时，()2x f x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，则切线方程为11122()x xy e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，则切线方程为22221()2y x x x x -=- 由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则1202x x =⎧⎨=-⎩ ， 所以，公切线方程为22y x =--； （2）21()()2xy f x g x ae x =-=-， x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=-，1212x x x x a e e ∴==， 令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1k x k =- 令ln ()(3)1xh x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-， 又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0xt x x -'=<，则()t x 单调递减，2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤ ，易知()0h x >，1ln 3(0,]2x ∴∈ ， 令()x x x e ϕ=，1()x xx e ϕ-'=，则()x ϕ在(,1]-∞上递增，113]x x a e ∴=∈ 22．（2019·北京市第二十二中学高三期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，PB =，，）求证：BC PB ⊥，，，）求二面角P CD A --的余弦值，（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE 平面PCD ，求线段BE 的长，【答案】．．．见解析． ．．．5 【解析】．．．证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ．且平面PAB ⋂平面ABCD AB =． 因为BC ．AB ，且BC ⊂平面ABCD 所以BC ．平面PAB ． 因为PB ⊂平面PAB ． 所以BC ．PB ．．．．解：在．PAB 中，因为2PA =．PB =1AB =．所以222PA AB PB =+，所以PB ．AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以()1,0,0A -．()0,0,0B ．()0,2,0C ．()1,3,0D -．(P ．()1,1,0CD =-．(0,2,PC =．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =． 设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =．则00m CD m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2x yy =⎧⎪⎨=⎪⎩． 令2z =．则)m =．设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角．则cos cos ,5n m n m n m α⋅====⋅． 即二面角P CD A --． （Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ．所以AE AP λ=．[]0,1λ∈．因为=AP （．所以)AE λ=（．()1,0,3BE BA AE λ=+=-． 又因为//BE 平面PCD ．m 为平面PCD 的一个法向量． 所以0BE m ⋅=．)120λλ-+=，所以1=3λ．所以23BE ⎛=- ⎝⎭．所以7BEBE ==。

普通高等学校招生全国统一考试试题文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。

（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i55 （D ）43i55-【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。

（3）已知向量BA →=（12，32），BC →=（32，12），则∠ABC=（A ）30° （B ）45°（C）60°（D）120°【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，可以确定D 是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20C 0只有7、8两个月份，故应选答案D 。

2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。

点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。

3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。

2020年新课标III高考仿真模拟卷数学（文科）2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2020i3i1iz-=+，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A．14B．25C．710D．153．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A．43斛B．45斛C．47斛D．49斛4．若执行下图的程序框图，则输出i的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ）A ．16B ．19C ．20D ．256．若sin 2cos αα=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．125 B ．95 C ．1 D ．457．若圆226:80M x y x y +-+=上至少有3个点到直线:1(3)l y k x -=-的距离为52，则k 的取值范围是（ ）A ．[3,0)3]-⋃B ．[3,3]C ．(,3]3,)-∞⋃+∞D ．(,3)3,)-∞⋃+∞8．若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．)2,+∞C ．()2,+∞D ．()0,19．函数()()22sin x xf x x -=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．12B ．14C ．23D ．6411．若不等式0x x xe e a -+-≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．1,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞ D ．221,e e ⎛⎤-∞+⎥⎝⎦12．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线()220y px p =>的焦点为2F ，设两曲线的一个交点为P ，若221216PF F F p ⋅=u u u u v u u u u v ，则椭圆的离心率为( )A ．12B 2C 3D 3第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，若复数5i()12ia a +∈+R 是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2答案：C解：5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)-==+++-， 因为a ∈R ，2i a ++为纯虚数，故2a =-．2．已知集合2{|560}M x x x =--≤，1{|(),1}6xN y y x ==≥-，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N = D ．()M N ⊆R答案：B解：2{|560}{|16}M x x x x x =--≤=-≤≤，1{|(),1}{|06}6x N y y x y y ==≥-=<≤，故N M ⊆．3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则ππsin()cos()26θθ--+=（ ）A ．54310+ B ．54310- C ．54310-+ D ．54310-- 答案：D解：设直角三角形三边分别为x ，2x +，10，可知222(2)10x x ++=，解得6x =， 故直角三角形三边分别为6，8，10，故3sin 5θ=，4cos 5θ=， ππππ543sin()cos()cos cos cos sin sin 266610θθθθθ----+=--+=．4．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，1()03f =，则满足18(log )0f x >的x 取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．1(0,)(1,2)2C ．11(0,)(,2)82D ．1(0,)2答案：B解：根据单调性和奇偶性，可得()0f x >的解为13x >或103x -<<， 故18(log )0f x >，则18log 13x >或18log 103x -<<，解得102x <<或12x <<， 故选B ．5．设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<答案：B 解：1331log log 414a ==>，12311()464b ==，12411()381c ==， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则1c b <<，故选B ．6．已知平面向量(1,3)=-a ，(4,2)=-b ，若λ-a b 与b 垂直，则λ=（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2答案：D解：(4,32)λλλ-=--+a b ，∵λ-⊥a b b ，∴4(4)(2)(32)0λλ-+-⨯-+=，解得2λ=．7．圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．36 B ．18 C ．62 D ．52答案：C解：圆的方程可化为22(2)(2)18x y -+-=，圆心为(2,2)，半径32r =，圆心到直线140x y +-=的距离|2214|522d r +-==>，直线与圆相离， 故圆上的点到直线的最大距离与最小距离的的差为262r =．8．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ）A ．29B ．15C ．310D ．13答案：A解：甲在5次综合测评中的成绩中位数为91，则被污损的两个数中其中一个为91， 设另一个数为m 且1m ≥，甲在5次综合测评中的平均成绩为186********91.45x ++++==， 乙的平均成绩为2868891999090.855m mx +++++==+，要使21x x <，90.891.45m+<，得3m <， ∵19m ≤≤且m ∈N ，故乙的平均成绩低于甲的概率为29． 9．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin (sin cos )0B A C C -+=，2a =，2c =C =（ ）A ．5π6B ．π6C ．π4D ．π3答案：B解：sin()sin (sin cos )cos sin sin sin 0A C A C C A C A C +-+=-=，因为sin 0C ≠，故sin cos A A =， 在ABC △中，π4A =，根据正弦定理sin sin a c A C =，得1sin 2C =， 因为c a <，∴π6C =． 10．在ABC △中，,A B 分别是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上．若0BA BC ⋅=，()0BA BC AC +⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ）A 51B 21C ．212D ．212答案：B解：0BA BC ⋅=，则BA BC ⊥，又22()()()()0BA BC AC BA BC BC BA BC BA +⋅=+⋅-=-=， 可知||||BC BA =，即BA BC =，ABC △为等腰直角三角形，C 点在双曲线右支上，∴2BA BC c ==，22AC c =，又2AC BC a -=，即2222c c a -=，可得21e =．11．《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“井三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除111ABC A B C -中，111AA BB CC ∥∥，1AA a =，1BB b =，1CC c =，两条平行线1AA 与1BB 间的距离为h ，直线1CC 到平面11AA B B 的距离为h '，则该羡除的体积为()6hh V a b c '=++．已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（ ）A ．33B ．53C ．43D ．23答案：B解：由三视图还原几何体知，羡除111ABC A B C -中，AB EF ∥，底面ABCD 是矩形，2AB CD ==，1EF =，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ，CD 间的距离2h AD ==， 如图，取AD 中点G ，连接EG ，则EG ⊥平面ABCD ， 由侧视图知直线EF 到平面ABCD 的距离为1h '=， 所以该羡除的体积为125()(221)663hh V a b c '⨯=++=++=．12．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且2OA OB ⋅=（O 为坐标原点），若ABO △与AFO △的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（ ）A 73B ．6C ．23D ．43答案：C解：设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m ，联立2x ty my x=+⎧⎨=⎩，可得20y ty m --=，根据根与系数的关系，得12y y m ⋅=-，∵2OA OB ⋅=，∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y +-=，∵,A B 位于x 轴的两侧，∴122y y =-，∴2m =， 设点A 在x 轴的上方，则10y >， ∵1(,0)4F ，∴11212111113242()4232242y S S y y y y +=⋅=-+⋅⋅=+≥第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量a ，b 满足2||||=a b ，()⊥+a a b ，则向量a ，b 的夹角为 ． 答案：120︒解：由()⊥+a a b ，得2()0⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以2⋅=-a b a ，21cos ,||||||2||2⋅-<>===-⋅⋅a b a a b a b a a ， 向量a ，b 的夹角为120︒．14．已知等差数列{}n a 的首项和公差都不为0，1a 、2a 、4a 成等比数列，则372a a a += ． 答案：5解：等差数列{}n a 的首项和公差d 都不为0，1a 、2a 、4a 成等比数列，可得2214a a a =，即有2111()(3)a d a a d +=+，化为1a d =，则37121281052a a a d da a d d++===+． 15．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1b bC A c a+=，则cos B 的取值范围为 ．答案：1[,1)2解：cos cos 1b bC A c a+=， ∴由余弦定理可得222222122b a b c b b c a c ab a bc +-+-⋅+⋅=，化简可得2b ac =， 由余弦定理可得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， 1cos 12B ∴≤<，即1cos [,1)2B ∈． 16．已知函数1,0(),0x x mx x xef x e mx x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若函数()f x 有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．答案：24e m >解：()f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数1,0(),0x x x g x e e x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点， 即2x e mx =有两个不等正根，即2xem x =有两个不等正根． 令2()xe h x x =，则3(2)()xe x h x x-'=，它在(0,2)内为负，在(2,)+∞内为正， ∴()h x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又∵当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，∴24e m >．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy ，再求ˆy与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1122211()()ˆ()nni iiii i nniii i x y nxy x x y y bxnxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，411546i ii x y ==∑． 答案：（1）23；（2）ˆ 1.49.6y x =+，是；（3）18分钟．解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A ， 记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以52()1153P A =-=． （2）后面4组数据是：因为1213141513.54x +++==，2629283128.54y +++==， 411546i ii x y==∑，421734i i x ==∑，所以1222127571546422ˆ 1.42773442ni i i n i i x y nxy b x nx ==--⨯⨯===--⨯∑∑，ˆˆ28.5 1.413.59.6a y bx =-=-⨯=， 所以ˆ 1.49.6yx =+． 当10x =时，ˆ 1.4109.623.6y=⨯+=，23.6230.61-=<， 当11x =时，ˆ 1.4119.625y=⨯+=，252501-=<， 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.49.635x +≤，得1187x ≤，故间隔时间最多可设置为18分钟．18．（12分）已知数列{}n a 和2{}na n 均为等差数列，112a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足41(1)(1)n n n a b n n +=-⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．答案：（1）2n n a =；（2）11(1)1nn S n =-+-⋅+． 解：（1）数列2{}n a n 为等差数列，2222132213a a a ⋅=+， 又∵数列{}n a 为等差数列，∴222111(2)()3a d a d a ++=+，即21()0a d -=，即1a d =，又∵112a =，∴11(1)222n n a n =+-⋅=． （2）由（1）及题设，得2111(1)(1)()(1)1n n n n b n n n n +=-⋅=-⋅+++，∴111111111()()()(1)()1(1)12233411n n n S n n n =-+++-+++-+=-+-⋅++．19．（12分）已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF ．（1）求证：AF PB ⊥；（2）求点D 到平面AEC 的距离．答案：（1）证明见解析；（2）263． 解：（1）连接AE ，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AD PA ⊥，PAAB A =，∴AD ⊥面PAB ，又∵PB ⊂面PAB ，∴PB AD ⊥，又∵在直角三角形PAB 中，PA AB =，E 为PB 的中点， ∴AE PB ⊥，ADAE A =，∴PB ⊥面ADE ，AF ⊂面ADE ，∴AF PB ⊥． （2）以22PA AB AD BC ====，∴122AE PB ==5AC =3EC = ∴AE EC AC 222+=，∴16232AEC S ==△ 设点D 到平面AEC 的距离为d ， ∵D AEC E ACD V V --=，∴1611122332d =⨯⨯⨯⨯，∴63d =． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)，且离心率32e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点,A B ，点P 的坐标为(2,1)，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为,αβ，证明：παβ+=．答案：（1）22:182x y C +=；（2）证明见解析． 解：（1）由题意得224112a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得28a =，22b =，所以椭圆的方程为22:182x y C +=．（2）设直线1:2l y x m =+，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y ，得222240x mx m ++-=，2248160Δm m =-+>，解得22m -<<，当0m =时，12y x =（舍）， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x m +=-，21224x x m ⋅=-， 由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以π,2αβ≠． 设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ， 则1tan k α=，2tan k β=，要证παβ+=，即证tan tan(π)tan αββ=-=-，只需证120k k +=，∵11112y k x -=-，22212y k x -=-，故12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----， 又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以1221122111(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)22y x y x x m x x m x --+--=+--++--21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=，∴120k k +=，παβ+=． 21．（12分）已知函数()ln ()af x x a a x=+-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的方程()xaf x e ax x=+-有唯一实数解0x ，且0(,1)x n n ∈+，*n ∈N ，求n 的值． 答案：（1）见解析；（2）1n =． 解：（1）221()()a x af x a x x x-'=-=∈R ， 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<，单调递减；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，单调递增， 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(0,)a 上单调递减，函数()f x 在(,)a +∞上单调递增．（2）由已知可得方程ln 0x x e ax a -+-=有唯一解0x ，且*0(,1),x n n n ∈+∈N ，设()ln (0)xh x x e ax a x =-+->，即()0h x =有唯一解0x ，*0(,1),x n n n ∈+∈N ，由1()x h x e a x '=-+，令1()()x g x h x e a x '==-+，则21()0x g x e x'=--<， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，即()h x '在(0,)+∞上单调递减， 又0x →时，()h x '→+∞；x →+∞时，()h x '→-∞， 故存在0(0,)t ∈+∞，使得0001()0t h t e a t '=-+=． 当0(0,)x t ∈时，()0h x '>，()h x 在0(0,)t 上单调递增；0(,)x t ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在0(,)t +∞上单调递减．又()0h x =有唯一解，则必有0000()ln 0th t t e at a =-+-=，当0x →时，()h x '→-∞，故存在唯一的00x t =满足下式：由0000010ln 0x x e a x x e ax a ⎧-+=⎪⎨⎪-+-=⎩，消去a ，得000001ln (1)()0x xx e x e x -+--=，令11()ln (1)()ln 21xxx xx x e x e x e xe xxϕ=-+--=-++-， 则2221111()2(1)(1)()x x x x xx x e e xe x e x e x x x xϕ-'=-++-=+-=-+．故当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(1,)+∞上单调递增．由(1)0e ϕ=-<，1(2)ln 202ϕ=-+>，即存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=，即0()0h x =． 又关于x 的方程()xaf x e ax x=+-有唯一实数解0x ，且*0(,1),x n n n ∈+∈N ， ∴0(1,2)x ∈，故1n =．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且||AB =l 的倾斜角． 答案：（1）直线l 的普通方程见解析，22:280C x y x +--=；（2）直线l 的倾斜角为π6或π2． 解：（1）因为直线l的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的直角坐标方程为2x =；当π2α≠时，直线l的直角坐标方程为tan (2)y x α-=-， 因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+， 所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=． （2）直线l 与圆C 交于A ，B两点，且||AB = 故圆心(1,0)C 到直线l的距离1d ==． ①当π2α=时，直线l 的直角坐标方程为2x =，符合题意； ②当ππ[0,)(,π)22α∈时，直线l 的方程为tan 2tan 0x y αα--=，所以1d==，整理得tan |α=π6α=． 综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()||2|1|(0)f x x a x a =++->． （1）求()f x 的最小值；（2）若不等式()50f x -<的解集为(,)m n ，且43n m -=，求a 的值． 答案：（1）1a +；（2）2a =．解：（1）32,()2,132,1x a x a f x x a a x x a x --+≤-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+-≥⎩， 1x ∴=时，()f x 的最小值为1a +．（2）当1522a a +<<+，即342a <<时，()50f x -<的解集为(3,1)3aa --， 44134333a a a ∴--+=-=，2a ∴=符合； 当225a +≤，即302a <≤时，()f x 的解集为(1,1)33a a---，4112333a a ∴-++=≠， 综上可得2a =．。