2020全国新高考培优高考仿真模拟(三)文科数学(解析版)

2020年高考全国丙卷数学（文）逐题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（ ）A .2B .3C .4D .5 【答案】B【解析】由题可得,集合{}|315B x x =<<中的正整数有4，5，6，7，8，9，10，11，12，13；集合{}1,2,3,5,7,11A =，可得{}5,7,11A B =，故选B 2．（5分）若(1)1z i i +=−，则z =（ ）A .1i −B .1i +C .i −D .i 【答案】D【解析】(1)1z i i +=−2221(1)1211221(1)(1)11(1)2i i i i i i z i i i i i −−+−−−−======−++−−−−，z i =，故选D 3．（5分）设一组样本数据1x ,2x ,，n x 的方差为0.01，则数据110x ,210x ,，10nx 的方差为（ ）A .0.01B .0.1C .1D .10 【答案】C【解析】1nii Xx n==∑221()0.01nii XX S n=−==∑1122222221111101010(10)(1010)10()()1001001nniii i n nnniiiii i i i XXx xnn XX XX XX XX S n n n n======'==='−−−−'=====∆=∑∑∑∑∑∑故选C4．（5分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e −−+=，其中K 为最大确诊病例数，当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln193≈） （ ）A .60B .63C .66D .69 【答案】C 【解析】**0.23(53)()0.951t K I t K e−−==+****0.23(53)0.23(53)0.23(53)0.23(53)*10.950.950.050.950.95190.05ln ln190.23(53)3t t t t eee et −−−−−−=+====−≈故*353660.23t+≈，故选C5.（5分）已知sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=（ ）A .12B .3C .23D .2【答案】B【解析】sin +sin+=3（）1πθθ1sin +sin +cos =221θθθ∴3sin +=221θθ1sin +cos =22（）1θθ+=6（）1πθsin +=63（）πθ∴故选B6.（5分）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹是（ ）A .圆B .椭圆C .抛物线D .直线 【答案】A【解析】设A ，B 点坐标分别为()11,x y ,()22,x y ，C 为(),x y 则()11=,AC x x y y −−，()22=,BC x x y y −−()()()()1212=1+=1AC BC x x x x y y y y ⋅⇒−−−−2221122112++++=1x xx xx x x y yy yy y y −−−()()2212121212+++++1=0x y x x x y y y x x y y −−−圆的一般方程为：22+++=0x y Dx Ey F +∴点C 的轨迹是为圆故选A7.（5分）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A .1(,0)4B .1(,0)2C .(1,0)D .(2,0)【答案】B【解析】当2x y ==±时，OD OE ==OE =222OD OE DE +=(2224⨯=解得：1p =F ∴的坐标为1(,0)2故选：B8.（5分）点(0,1)−到直线(1)y k x =+距离的最大值为（ ）A .1 BCD .2 【答案】B【解析】直线方程可变形为0kx y k −+=，由点到直线的距离d =得点(0,1)平方后可得222(1)2211111k k k k k k+=+=++++≤2所以点(0,1)到直线(1)y k x =+：B9.（5分）右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A .6+B .4+C .6+D .4+【答案】 C【解析】由图可知，该立体图像的四个表面图像是由三个直角边为2的等腰直角三角形和一个边长为的等边三角形组成11223622∴⨯⨯⨯⨯该几何体的表面积为++故选C10.（5分）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ）A .a c b <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b << 【答案】A【解析】332log 3log 3c ==，33log 2log a ==a c ∴<552log 5log 3c ==55log 3log b ==c b ∴< ，故选A11.（5分）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =（ ）A B . C . D . 【答案】C【解析】作BD AC ⊥2cos 3CD C BC == 2CD AD ∴==3AB BC ∴==，即ABC ∆为等腰三角形∴tan2B CD BD == 即22tan2tan tan 221tan 2BB B B B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭−1=−5==故选C12.（5分）已知函数1()sin sin f x x x=+，则（ ） A .()f x 的最小值为2B .()f x 的图像关于y 轴对称C .()f x 的图像关于直线x π=对称D .()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【解析】A .()11222f π−=−−=−<，故A 错B .11()sin()sin sin()sin f x x x x x−=−+=−−−()()0f x f x +−=故()f x 为奇函数，关于原点对称，故B 错 C .11()sin()sin sin()sin f x x x x xπππ−=−+=+− ()()f x f x π−=()f x ∴关于2x π=成轴对称，故C 错，D 正确，故选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考全真模拟卷（3）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2560A x x x =-+≥，{}10B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]3,1--D ．[)3,+∞2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．23．新中国成立70周年以来，党中央､国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点､城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ） A ．20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关 B ．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍 C ．2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元 D ．2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”．5．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ） A ．115 B ．13 C ．25 D ．357．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ） A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤9．函数ln||()xf x xx=+的图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． A ．①④B ．②③C ．①③D ．②（④11．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+ 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(,3),(1,3)a m b =-=．若//a b ，则m = ．14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,,a b c a b c N +=∈，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是 ．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 16．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++L 的值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ．（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积．19．（本小题满分12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4． （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值．21．（本小题满分12分） 已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----． （1）讨论()f x 的单调性．（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程2222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<． （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2560A x x x =-+≥，{}10B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-C ．[]3,1--D ．[)3,+∞【答案】A【解析】{}(][)2560,23,A x x x =-+≥=-∞⋃+∞Q ，{}(]10,1B x x =-≤=-∞，因此(],1A B =-∞I ，故选A ．2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++，所以z 的虚部为3-，故选B ． 3．新中国成立70周年以来，党中央､国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点､城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（ ）A ．20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B ．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C ．2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D ．2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍 【答案】D【解析】A ：观察统计图可知，20l5年-2018年中国居民人均可支配收入随着年份的增加而增加，选项A 正确；B ：2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.0549.7568÷≈倍，所以选项B 正确；C ：2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为1(21966.1923820.9825973.7928228.05)24997.254+++≈（元），所以选项C 正确； D ：2015年中国居民人均可支配收入是1949年的21966.1949.7442÷≈倍，所以选项D 错误，故选D ． 4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”．【答案】D【解析】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误；对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，正确．故选D ．5．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】211533311220,log 03355a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c a b <<，故选A ．6．某种饮料每箱装6罐，每箱中放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为（ ） A ．115 B ．13 C ．25 D ．35【答案】D【解析】甴列举法可得：从6罐中随机抽取2罐的方法数是15，能中奖的方法数是9，则能中奖的概率为概率为93155p ==，故选D ． 7．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．23y x =±C ．32y x =±D ．2y x =±【答案】D【解析】设双曲线的方程为：22221x y a b -=，其渐近线方程为：b y x a =±，依题意可知2252a b ⎧+=⎪=，解得12a b ==，，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，故选D ．8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤【答案】B【解析】由题意可知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束，因此，判断条件应填入“94m =”．故选B ． 9．函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知，函数ln ||()x f x x x =+，满足ln ||ln ||()()()x x f x x x f x x x--=-+=-+=--，所以函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，所以B 选项错误；又因为(1)10f =>，所以C 选项错误；又因为ln 2(2)202f =+>，所以D 选项错误，故选A ． 10．将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②（④【答案】C【解析】由题意将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度， 得55()sin 2sin 2126f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令23x k ππ+=，k ∈Z ，得到,26k x k ππ=-∈Z ，所以对称轴为直线,26k x k ππ=-∈Z ； 令232x k πππ+=+，k ∈Z ，得到212k x ππ=+，k ∈Z ，所以对称中心为点,0212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ； 由2223k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，得63k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 在,()63k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减；由22223k k x πππππ≤≤+++，k ∈Z ，得236k x k ππ-+π≤≤-+π，k ∈Z ，所以函数()f x 在2,()36k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，所以①③正确，故选C ．11．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+ 【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116(248222S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(6=+，故选A ．12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞【答案】A【解析】要求解的不等式等价于()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，()()()()''10xx f x xf x g x e-+=>，所以()g x 在R 上为增函数，又因为(1)y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，所以()11g =，所以所求不等式等价于()()1g x g >，所以解集为()1,+∞，故选A ． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(,3),(1,3)a m b =-=．若//a b ，则m = ． 【答案】1-【解析】由331m ⨯=-⨯，得1m =-，故答案为：1-．14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,,a b c a b c N +=∈，我们把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是 ． 【答案】11,60,61【解析】观察、先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足()222*,,a b ca b c N +=∈；②最小的数a 是奇数，并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如22222345,51213,72425,94041,116061=+=+=+=+=+⋅⋅⋅，由以上特点我们可知第⑤组勾股数：2116061=+，故答案为：11,60,61．15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．16．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[6,2]-【解析】11'221()()ln 2f x x a f x x x x --=+⇒=+．由题可得函数()f x 在1x =处的切线斜率(1)1k f '==．又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ，所以函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-．将圆22:2440C x y x y +-+-=化为标准式为22(1)(2)9x y -++=，则圆C 的圆心坐标为：(1,2)-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =．因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2,6]，则26≤≤，解得62a -≤≤，所以，实数a 的取值范围是[6,2]-，故答案为：[6,2]-．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+，求122320172018111b b b b b b +++L 的值． 【解析】（1）121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥，两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥，注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=．（2）n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=L L ． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D 是棱AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ．（2）若E 是棱1BB 上的任意一点，且三棱柱111A B C ABC -的体积为12，求三棱锥1A ACE -的体积． 【解析】（1）连接1AC 交1A C 于点O ，连接OD ． 因为四边形11AAC C 是平行四边形，所以O 是1AC 的中点．因为D 是AB 的中点，所以1//OD BC ．又OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）设三棱柱111A B C ABC -的高为h ，底面ABC ∆的面积为S ， 则三棱柱111A B C ABC -的体积12V S h =⋅=． 又111A A CE C AA E C ABA V V V ---==，1113C ABA A ABC V V Sh --==，所以111243A A CE V -=⨯=． 19．（本小题满分12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人，则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人，∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人，则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人，可得列联表如下：()221001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=，∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c ，从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个，∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P ==， 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4． （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值．【解析】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x ya b+=，① ∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，② ∴联立①②得()()222230b axa--=，∴()2203a a b x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =． （2）由题意知，24c =，即2c =，由（1）知，223a b =，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=．由已知得l：)2y x =-，联立()2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=． 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+21．（本小题满分12分） 已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----． （1）讨论()f x 的单调性．（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞．当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增； 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增．（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立． 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >． 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意； 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*）． 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞，所以2x e <<即2e a <<．综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e ． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）21 已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程2222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y y y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值．【解析】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=． （2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，d ==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d取最大值为2． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<．（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =时，令()|1||3|5g x x x =++-<，当1x <-时，()225g x x =-+<，解得312x ->>-； 当13x -≤<时，()45g x =<，不等式恒成立；当3x ≥时，()225g x x =-<，解得732x ≤<． 综上所述，不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+，所以2255a a -+<，即25255a a -<-+<，解得()0,2a ∈．。

2020年高考文科数学模拟试卷（三）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.设命题，则为（）A.B.C.D.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B.C. D.4.椭圆C：的右焦点为F，过F作轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为（）A. B.C. D.5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是（）A. B.C. D.6.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q—BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为（）A. 1B. 2C.D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. －2B.C. 3D.8.以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为（）A. B.C. D.9.函数在上的值域为（）A. B.C. D.10.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于P，若，则双曲线C渐近线方程为（）A. B. C.D.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit ，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为 （ ） A. 254 B. 381C. 510D. 76512.函数的零点个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 与a 有关 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为__________．14.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________． 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．16.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积之比为______．三、解答题：共70分。

2020年全国高考仿真模拟试卷(三)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{x|log2x>0}，则(∁R A)∩B＝() A．(－∞，0]∪(1，＋∞) B．(0,1] C．[3，＋∞) D．∅2．复数z＝2i1－i的共轭复数是()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是()A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为()A．0 B．1 C．2 D．35．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．976．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π3B.13＋2π3C.13＋2π6 D ．1＋2π67．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝2π，则tan(a 3＋a 5 )的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－338．如图，在圆O 中，已知弦AB ＝4，弦AC ＝6，那么A O →·B C →的值为( )A ．10B ．213 C.10 D ．－109．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛10．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A. 6 B ．2 2 C ．2 3 D ．411．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形(这个矩形的长不小于宽)，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392B.752 C ．39 D.601812．已知函数f (x )＝x 3－4x ，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，其中x 1<x 2<x 3，m <0，则( )A ．x 1>－2B ．x 21＋x 22<4C ．x 22＋x 23<6D ．x 3>2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________．14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝4x ＋3y 的最大值为 ．15. 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第________天，两马相逢．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，EB ＝2FD ＝4.(1)求证：EF ⊥AC ；(2)求几何体EF ABCD 的体积．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2a cos C＝2b －c .(1)求角A 的大小；(2)若AB ＝3，AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 的面积．19．在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中，教委对本区A ，B ，C ，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．(1)若该区共2000名高中学生，估计A 学校参与“创城”活动的人数；(2)在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；(3)在上表中从B ，C 两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B ，C 两校各有1人没有参与“创城”活动的概率．20．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0,1)，右焦点到直线x ＝a 2c 的距离为33.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点A 作两条互相垂直的直线l 1 ，l 2分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,0. 21．已知函数f (x )＝ln x －1x －ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若a <－1，求函数f (x )的单调区间；(3)若1<a <2，求证：f (x )<－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程是ρsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)． (1)求直线l 被曲线C 截得的弦长；(2)从极点作曲线C 的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.。

第9天 模拟卷（三）一、单选题1．（2019·周口市中英文学校高二期末（理））在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】2(1)1z i i z i i i =+∴=+=-+，因此复数z 对应点的坐标为(1,1)-，在第二象限，故本题选B.2．（2019·内蒙古自治区高一期末（理））若集合A ={x ∈N||x −1|≤1 }, B ={x|y =√1−x 2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】A【解析】A ={x ∈N||x −1|≤1 }={0,1,2}，B ={x|y =√1−x 2}=[−1,1]， A ∩B ={0,1}，所以A ∩B 的真子集的个数为22−1=3，故选A 。

3．（2020·福建省高一期末）设0.82a =，2log 0.6b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】因为0.80221a =>=；22log 0.6log 10b =<=；4440log 1log 3log 41=<<=， 故a c b >>. 故选：D.4．（2019·重庆高二期末（理））如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,则下列说法正确的是( )A ．x a =是函数()y f x =的极小值点B ．当x a =-或x b =时,函数()f x 的值为0C ．函数()y f x =关于点()0,c 对称D ．函数()y f x =在(),b +∞上是增函数 【答案】D【解析】由函数f (x )的导函数图象可知，当x ∈(−∞,−a ),(−a ，b )时,f ′(x )<0，原函数为减函数； 当x ∈(b ,+∞)时,f ′(x )＞0，原函数为增函数. 故x a =不是函数()y f x =的极值点，故A 错误；当x a =-或x b =时,导函数()f x '的值为0，函数()f x 的值未知，故B 错误； 由图可知，导函数()f x '关于点()0,c 对称，但函数()y f x =在(−∞,b )递减,在(b ,+∞)递增,显然不关于点()0,c 对称，故C 错误；函数()y f x =在(),b +∞上是增函数，故D 正确； 故答案为：D .5．（2020·广东省高一期末）若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 【答案】C【解析】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，0.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=≈-=-< ⎪⎝⎭，0.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高一期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点(2sin ,3)A α，则cos α=（ ） A ．12 B ．12-C ．D ． 【答案】A【解析】由三角函数定义得tan 3α2sin α=，即sin α3cos α2sin α=,得3cos ()22α2sin α21cos α,==-解得1cos α 2=或cos α2=-（舍去）故选A7．（2017·广东省高考模拟（文））已知幂函数()af x x =的图象过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．32【答案】B【解析】由题设1313aa =⇒=-，故()()11212g x x x x -=-=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时取最小值12202g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，应选答案B． 8．（2017·辽宁省高考模拟（理））已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间(0,)t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在之内的概率为（ ） A ．12B ．13 C ．14D ．23【答案】A 【解析】当a b > 时2223142a b ab a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2b a <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.二、多选题9．（2020·江苏省高二期中）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 【答案】ABD【解析】因为截面PQMN 是正方形 ，所以//,//PQ MN PN QM ， 又MN ⊂平面DAC 所以//PQ 平面DAC又PQ ⊂平面BAC ,平面BAC平面DAC AC =////,PQ AC MN//AC 截面PQMN ，故B 正确同理可证////,PN BD MQ因为PN NM ⊥，所以AC BD ⊥，故A 正确 又45PMQ ︒∠=所以异面直线PM 与BD 所成的角为45︒，故D 正确AC 和 BD 不一定相等，故C 错误故选：ABD10．（2020·福建省高一期末）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()2f x -都为偶函数，则（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f x +为偶函数C ．()2f x +为奇函数D ．()f x 为周期函数【答案】ABD【解析】因为()1f x -是偶函数，故可得()()11f x f x -=--，① 又()2f x -是偶函数，故可得()()22f x f x -=--，② 由①可得：()()2f x f x =--；由②可得()()4f x f x =--； 故可得()()24f x f x --=--，则()()2f x f x =-， 故可得()f x 是周期为2的周期函数，故D 正确； 又因为()()1,2f x f x --均为偶函数， 故可得()()1,f x f x +是偶函数，故AB 正确；故()2f x +也是偶函数. 综上所述，正确的选项有ABD . 故选：ABD.11．（2020·海南省高三其他）已知抛物线C ：()220y px p =>的准线经过点()1,1M -，过C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．AB DE +的最小值为16C ．四边形ADBE 的面积的最小值为64D ．若直线1l 的斜率为2，则90AMB ∠=︒【答案】ABD【解析】由题可知12p=，所以2p =，故A 正确. 设直线1l 的斜率为()0k k ≠，则直线2l 的斜率为1k-.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线1l ：()1y k x =-，直线2l ：()11y x k=--.联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=， 121=x x .所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+. 同理223421242441k DE x x p k k ⨯+=++=+=+， 从而2218416AB DE k k ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立，故B 正确. 因为()22118112ADBES AB DE k k ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形3232≥=，当且仅当1k =±时等号成立，故C 错误.()()11221,11,1MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-()1212121211x x x x y y y y =++++-++，将123x x +=，121=x x 与122y y +=，124y y =-代入上式，得0MA MB ⋅=，所以90AMB ∠=︒，故D 正确.故选：ABD ．12．（2019·山东省高三期中）已知向量()sin ,cos a a α＝，1)2(b =，，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ，则1tan 2α=B ．若a b ⊥ ，则1tan 2α=C ．若f a b α=⋅（）取得最大值时，则1tan 2α=D ．a b -的最大值为1 【答案】ACD【解析】A 选项，若a b ，则2sin cos 0αα-=，即1tan 2α=，故A 正确． B 选项，若a b ⊥，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，故B 不正确．C 选项，()sin 2cos )f a b ααααϕ==++，其中tan 2ϕ=. 当()f α取得最大值时，sin()1αϕ+=，即22k παϕπ+=+，11tan tan(2)tan()22tan 2k ππαϕπϕϕ=-+=-==，故C 正确.D 选项，222()2152(sin 2cos )6)a b a b a b αααϕ-=+-=+-+=-+，当sin()1αϕ+=-时，2()a b -取得最大值为6+所以a b -的最大值为1，故D 正确. 故答案为：ACD第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．（2019·新疆维吾尔自治区高考模拟（文））某单位有360名职工，现采用系统抽样方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，…，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间[181,288]的人数为__________． 【答案】6【解析】样本间隔为3602018÷=，在区间]181[288，内共有2881811108-+=人，108186÷=， 即在区间]181[288，内的抽取人数为6人，故答案为6. 14．（2020·江西省上高二中高二月考（理））函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】4(2,)ln 21+【解析】()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--，令'0f x 得2ln 0x a x a --=，由于222,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e<<<<<+<， 分离常数a 得21ln xa x=+. 构造函数()21ln x h x x =+，()()'22ln 1ln x h x x =+，所以()h x 在2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln eeh h h e e e e⎛⎫====== ⎪+⎝⎭+. 下证22e e >：构造函数()22xg x x =-，()'2ln 22xg x =-，当2x ≥时，22ln 222ln 22x -≥-①，而1ln 2ln 2e =<=<，即1ln 212<<，所以222ln 24<<，所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时，()g x 单调递增.由于()20g =，所以当2x >时，()()20g x g >=，故()0g e >，也即22022e e e e ->⇒>. 由于()22ln 2ln 2eee e >⇒>，所以()22h h e ⎛⎫<⎪⎝⎭. 所以a 的取值范围是4(2,)ln 21+故答案为：4(2,)ln 21+15．（2020·四川省泸县第四中学高三月考（文））已知过点(10)，的直线与抛物线2x y = 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(0)2，，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += __________．【答案】72【解析】设1122Ax y B x y （，），（，）， 则221122x y x y ==，， 两式作差得：121212121212y y x x x x y y x x x x --+=-∴=+-（）（）， ，即AB 的斜率为 12x x +．设AF BF m += ，则121211,,22y y m y y m ++=∴+=- ，AB ∴的中点坐标为121224x x m +-（，），AB 的垂直平分线的斜率为121x x -+，AB ∴的垂直平分线方程为121211242x x m y x x x +⎛⎫--=-- ⎪+⎝⎭（）， 线段AB 的垂直平分线经过点()02，，解得72m =．|AF|+|BF|的值为72． 故答案为72．四、双空题16．（2020·浙江省高三二模）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4,45,a B ︒==若()()()sin sin sin ,a b A B c b C -+=-则A =________，b =________.【答案】3π【解析】由()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-以及正弦定理得，()()()a b a b c b c -+=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=.由正弦定理得sin sin a b A B ==，解得3b =故答案为：3π. 五、解答题17．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等比数列{}n a 的各项为正数，n S 为其前n 项的和，3=8a ，3=14S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n b a -是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项的和n T ．【答案】（．）2n n a =（．）322n n b n =-+，1232222n n nT n +=+-- 【解析】（．）由题意知，等比数列{}n a 的公比1q ≠，且0q >，所以()23131381141a a q a q S q ⎧==⎪-⎨==⎪-⎩， 解得122a q =⎧⎨=⎩，或11823a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）， 则所求数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（．）由题意得1(1)332n n b a n n -=+-⨯=-，故32322nn n b n a n =-+=-+()23123(14732)2222n n n T b b b b n =+++⋯+=+++⋯+-++++⋯+()212(132)212nn n -+-=+-1232222n nn +=+--18．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满cossin ,2B Ca B a +== （1）求角A 的大小；（2）若点M 为边AC 边上一点，且,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积．【答案】（1）3π （2【解析】（1cossin 2B C a B +=sin sin 2Aa B =sin sin sin 2AB A B =在ABC 中, sin 0B ≠,sin 2cos sin 222A A AA ==在ABC 中, 0A π<<,则022A π<<，所以sin 02A ≠,则有cos 2A =所以26，A π=即3A π=. （2）在MBC △中，,2MC MB BMC π=∠=,则4ACB π∠=则MBC △为等腰直角三角形， 又a =BC =,所以MB MC ==在直角MAB △中,3A π=,2MB =,2tan MB CAB AM AM∠===所以AM =所以AC AM MC =+==所以11322224△ABC S AC BM +=⨯⨯=⨯=19．（2020·四川省阆中中学高三一模（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在1(,](1,2,3,4,5)55n nn -=时，日平均派送量为24x y +=单．若将频率视为概率，回答下列问题：①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由. 【答案】（1）100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①0.44，②见解析【解析】．1）甲．100y n =+．乙：()140,054{1405420,54n y n n <≤=+-⨯>．故为100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数 200.1300.3200.5200.7100.90.44100x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==②甲:EX=0.21520.31540.21560.21580.1160155.4⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙．EX=0.21400.31400.21800.22200.1260176⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙的期望更高，故选择乙方案．20．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考（文））已知过圆1C ：221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析 【解析】（1）直线OE l的方程为y =，则直线AB l的斜率AB k = 所以AB l：33y x =-+，即0,3A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=； （2）．当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --， 因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=，所以PM PN ⊥.．当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.21．（2020·内蒙古自治区北重三中高三其他（理））已知函数()(0)xf x ae a =≠，21()2g x x =. （1）当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程：（2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）22y x =--；（2）3] 【解析】（1）2a =-时，()2x f x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，则切线方程为11122()x xy e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，则切线方程为22221()2y x x x x -=- 由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则1202x x =⎧⎨=-⎩ ， 所以，公切线方程为22y x =--； （2）21()()2xy f x g x ae x =-=-， x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=-，1212x x x x a e e ∴==， 令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1k x k =- 令ln ()(3)1xh x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-， 又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0xt x x -'=<，则()t x 单调递减，2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤ ，易知()0h x >，1ln 3(0,]2x ∴∈ ， 令()x x x e ϕ=，1()x xx e ϕ-'=，则()x ϕ在(,1]-∞上递增，113]x x a e ∴=∈ 22．（2019·北京市第二十二中学高三期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，PB =，，）求证：BC PB ⊥，，，）求二面角P CD A --的余弦值，（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE 平面PCD ，求线段BE 的长，【答案】．．．见解析． ．．．5 【解析】．．．证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ．且平面PAB ⋂平面ABCD AB =． 因为BC ．AB ，且BC ⊂平面ABCD 所以BC ．平面PAB ． 因为PB ⊂平面PAB ． 所以BC ．PB ．．．．解：在．PAB 中，因为2PA =．PB =1AB =．所以222PA AB PB =+，所以PB ．AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以()1,0,0A -．()0,0,0B ．()0,2,0C ．()1,3,0D -．(P ．()1,1,0CD =-．(0,2,PC =．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =． 设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =．则00m CD m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2x yy =⎧⎪⎨=⎪⎩． 令2z =．则)m =．设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角．则cos cos ,5n m n m n m α⋅====⋅． 即二面角P CD A --． （Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ．所以AE AP λ=．[]0,1λ∈．因为=AP （．所以)AE λ=（．()1,0,3BE BA AE λ=+=-． 又因为//BE 平面PCD ．m 为平面PCD 的一个法向量． 所以0BE m ⋅=．)120λλ-+=，所以1=3λ．所以23BE ⎛=- ⎝⎭．所以7BEBE ==。

普通高等学校招生全国统一考试试题文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。

（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i55 （D ）43i55-【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。

（3）已知向量BA →=（12，32），BC →=（32，12），则∠ABC=（A ）30° （B ）45°（C）60°（D）120°【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，可以确定D 是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20C 0只有7、8两个月份，故应选答案D 。

2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。

点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。

3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。