解析函数与调和函数

从而 2u 2u + 2 =0 2 x y 同理 2v 2v + 2 =0 2 x y
都是调和函数。 即 u、v 都是调和函数。
共轭调和函数： 共轭调和函数：
满足C R条件的两个调和函数 u( x , y ) 和v ( x , y )称为互为 共轭调和函数。 共轭调和函数。
解析函数与调和函数的 关系： 关系：
u v = 2 y + ′( x ) = y = 2 y x x
′( x ) = x
1 2 ( x) = x + C 2
1 2 1 2 v ( x , y ) = 2 xy + y x + C 2 2
从而得到 :
1 2 1 2 f ( z ) = x y + xy + i ( 2 xy + y x + C ) 2 2
u( x , y ) = ∫ y u v dy = ∫ dy = ∫ 2 dy 2 x +y y x
1 = ln( x 2 + y 2 ) + g ( x ) 2
由
x u x = 2 + g′( x ) = v = x x + y 2 y x 2 + y 2
知 g′( x ) = 0
所以 g ( x ) = C
例2 已知调和函数 u( x , y ) = x 2 y 2 + xy
求一个满足条件 f ( 0) = 0 的解析函数 f ( z ) = u + iv
u 解: = 2x + y x
由 C R 条件
u = 2 y + x y
v u = = 2x + y y x
于是
1 2 v = ∫ ( 2 x + y )dy = 2 xy + y + ( x ) 2

2
2
又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域 内的调和
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级 数 非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的 敛 散 性 。
分
22
法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
又解 v2xy v2x yy2(x)

2v
x 2
xy , y2
,
yx
因 2v 与 2v 在D内连续，它们必定相等，故在D内有
xy
yx
2例,在D内有
2v 2v x2 y2 0
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
其中 x0, y0 为D内一定点,C为任意实常数.
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例2.8求解析函数f(z)=u+iv,u x2 y2 xy,
f (i) 1 i.
解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件，
先求出v的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
则v(x, y) x,y 2 y x dx 2x y dy C 0,0
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例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的
调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析
原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件
定义2.4 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足
C.-R.条件：
u v u v ,
x y y x
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
§2解析函数与调和函数的关系
2.2.1 调和函数的定义 2.2.2 解析函数与调和函数的关系 2.2.3 由调和函数构造解析函数 2.2.4 小结与思考
2.2.1 调和函数的概念
定义2.3 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数2H,且满2足H 拉0普拉斯方程，即：
x2 y2

一、 解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x