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复变函数与积分变换第二章解析函数PPT课件

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复变函数与积分变换-PPT课件

复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2

x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n


2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2

复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt

复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt

的可导性与解析性．
解由例2.1、例2.2知 在C 上可导， 在 上处处不可导，从而由导数的运
算法则知，函数f(z)=
在z≠0时不可导.当z=0时,可得
即 在z=0处可导．综上所述，函数f(z)= 仅在z=0可导，故在全平面 C上处处不解析． 由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是 ①u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； ②在点(x,y)处有
此时f(z)的导数为
称式(2.3)为柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件．
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似. 如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意z∈D有
②设函数ξ=g(z)在区域D内可导，w=f(ξ)在区域G内可导，且对于D内每一 点z，函数值ξ=g(z)均在区域G内，则对任意z∈D有
出版社 理工分社
2.1解析函数的概念 2.1.1复变函数的导数与微分 (1)复变函数的导数 把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数 的概念. 定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+Δz∈D，若极限
存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
第2章 解析函数
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社

复变函数与积分变换第二章_解析函数

复变函数与积分变换第二章_解析函数

z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0

复变函数与积分变换课件第2章

复变函数与积分变换课件第2章

例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z

2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则

复变函数与积分变换课堂PPT第二章

复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，

复变函数课件第二章

复变函数课件第二章
的导数,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;

复变函数课件02章 解析函数


试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
§2.2 复变函数可导与 解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的 充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯 西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充 要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章 解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
某点可导
该点连续
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方向趋向于 0, 即 x 0 , y0 .
z o
y0 x
x2yi
x
lim
lim 1.
x 0 xyi x 0x
y0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
x0 , y 0 ,
lim x 2yi lim 2yi 2.
x0 x yi
y0
y0 yi
x0 y
所以 f(z)x2yi的导数
再由 lim(z)0, 所以 z0
lim
z0
f
(z0
z)
f (z0),
即 f ( z ) 在 z 0 处连续.
反之, 由例2.2 知, f(z)x2yi不可导.
但是二元实函数 u ( x ,y ) x ,v ( x ,y ) 2 y 连续,
例2.2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处
第二章 解析函数
§2.1 解析函数 §2.2 函数可导的充要条件 §2.3 初等解析函数
§2.1 解析函数
1 复变函数的导数 2 解析函数
2.1.1 复变函数的导数
(1) 导数的定义
定义2.1 设 w f(z)是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
limf(z) f(z0)
zz0
zz0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0点可导, 并把这个极 限值称为 f ( z ) 在 z z0 点的导数，记做 f (z0 ).
定义中的极限式可以写为
limf(z0z)f(z0),
z 0
z
即当 f ( z ) 在 z z0 点可导时,
f(z0)lzi m z0 f(zz) zf0(z0)
定义2.2 设 f z 在区域D有定义.
(1) 设 z0 D , 若存在 z 0 的一个邻域，使得 f ( z ) 在此邻域内处处可导, 则称 f ( z ) 在 z 0 处解析, 也称 z 0 是 f ( z ) 的解析点.
(2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
z
o
不存在.
y0 x
(2) 可导与连续的关系
函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导.
事实上, 由 f (z)在z0点可导, 必有
lizm 0f(z0 zz )f(z0)f(z0)0 ,
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
的孤立奇点.
根据求导法则，易得到下面的结论.
设函数 f(z), g(z)在区域D内解析, 则
f( z ) g ( z ) , f( z ) g ( z )
limf(z0z)f(z0).
z 0
z
注意 z z0( z 0)的方式是任意的.
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z )
在区域 D内可导.
此时，对D内任意一点z, 有
f(z)limf(z z)f(z).
z 0
z
也可用
dw , df (z) dz dz
等表示 f ( z ) 在z点的导数.
例2.1 设 f (z) z2, 则 f ( z ) 在复平面内
处处可导，且 f(z)2z.
解 因为
f(z)lim f(z z)f(z)
z 0
z
lim(zz)2z2
z0
z
lim(2zz). z0
所以 z 2 2 z.
例2.2 证明 f(z)x2yi在复面内处处
连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f(z z)f(z)
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G ,
且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上
解析. 函数 f ( z ) 在 z 0 处解析和在 z 0 处可导意义
不同，前者指的是在 z 0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z 0 处可导.
函数 f ( z ) 在 z 0 处解析和在 z 0 的某一个邻 域内解析意义相同.
复变函数在区域内解析与在该区域 内可导是等价的.
事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导.
反之, 设函数 f ( z ) 在区域D内可导, 则对 任意 z D, 存在z的某一个邻域U, 使得U D, 由 f ( z ) 在D内可导, 可知 f ( z ) 在U内可导, 即 f ( z ) 在z处解析.
求导公式与法则:
(1) (c) 0, 其中c为复常数. (2) (zn) nzn1, 其中n为正整数.
( 3 )f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ). ( 4 ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
于是根据 定理1连.1续知，, 但函处数处不f(可z)导 . x2yi连续.
定理1.1 设 f (z) u( x, y) iv( x,法则
复变函数中导数的定义与一元实函数 导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同.
由例2.1和例2.2知, 函数 f (z) z2是全
平面内的解析函数，但是函数 f(z)x2yi
是处处不解析的连续函数.
若函数
f
(z)在
z
0
处不解析，则称 z
是
0
f
(z)
的奇点. 若 z 0 是 f ( z ) 的奇点, 但在 z 0 的某邻域内, 除 z 0 外, 没有其他的奇点，则称 z 0 是函数 f ( z )
( x x ) 2 ( y y ) i x 2 y i x2yi. 故 lim [f(z z) f(z)] 0 .
z 0
这说明 f(z)x2yi在复面内处处连续.
但是, f(zz) f(z) z
(x x)2(y y)ix2yi x yi
x 2yi .
x yi
y
设 z 沿着平行于x 轴的
(5 ) g f( (z z ) ) f(z)g (z g )2 (z f )(z)g (z), (g (z) 0 ).
(6 )f[g (z)]f(w )g (z), 其中 wg(z).
(7) f(z)(1w), 其中 w f(z)与 z(w) 是两个互为反函数的单值函数, 且(w)0.
2.1.2 解析函数