当前位置：文档之家 › 一章复变函数和解析函数

一章复变函数和解析函数

  • 格式：ppt
  • 大小：2.58 MB
  • 文档页数：73

下载文档原格式

  / 73

合集下载

第一章 复变函数和解析函数解析

第一章 复变函数和解析函数解析
f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式

一章复变函数和解析函数

一章复变函数和解析函数

2020/4/29
2
课程讲授计划
• 第一章 复变函数和解析函数（5） • 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5） • 第六章 点源和瞬时源 函数（2） • 第七章 傅里叶变换和色散关系（6） • 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） • 第九章 数学物理方程的定解问题（6） • 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6） • 第十一章 积分变换法（4） • 第十二章 球坐标下的分离变量法（8） • 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）
(3)复数的指数函数表示
复数的三角函数表示式
z(cosisin)
利用欧拉公式 eicosisin,
复数可以表示成
z ei 复数的指数表示式
2020/4/29
16
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减 z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
注意 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数z 的主值;
2020/4/29
26
例1.4 求 (3)5和 21i 的 值 .
e 解 (3) 5 e 5ln(3)
5(ln3i2ki)
3 5 [c o s5 (2 k 1 ) is in5 (2 k 1 )],
Euler把 1 作为特 殊的数 2020/4/29
2
sin x 1 e 1x e 1x 2 1
9
1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式

复变函数第一章

复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n

第01章_复变函数

第01章_复变函数

a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π

第一章复变函数

第一章复变函数
9
3）积： 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
三角运算
z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = ρ 2 ρ1[(cosθ1 cosθ 2 − i sin θ1 sin θ 2 ) + i (cosθ1 sin θ 2 + cosθ 2 sin θ1 )]
Z 0
y
z0
z0
Z 0
E
x
一点而言。 内点的定义， 内点的定义，不只是对于 Z0 一点而言。 外点
Z0
Z0
及其邻域均不属于点集E 及其邻域均不属于点集E，则称 为点集E的外点。 为点集E的外点。
19
（4）境界点与境界线： 境界点与境界线： 境界点
Z点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 点的每个邻域内，既有属于点集E的点， 0 称为该点集E的境界点 的境界点。 有不属于E的点。 有不属于E的点。点 Z 0称为该点集 的境界点。
A′
x
5、复平面与复数球之关系
A
s
17
§1、2 、
复变函数
一、复变函数的定义与定义域： 复变函数的定义与定义域：
1、复变函数定义： 、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集上E 对于E的每一点（每一个Z 复数平面上存在一个点集上E，对于E的每一点（每一个Z ），按照一定的规律 按照一定的规律， 与之相对应， 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 ω 与之相对应， ω ω 的函数--复变函数,z --复变函数,z称为 的宗量。定义域为E 则称 为Z的函数--复变函数,z称为 的宗量。定义域为E，记 ω = f (z) 作, ω 1 ω 2 y 定义域及相关的概念： 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。

《复变函数》第1章

《复变函数》第1章

实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1

复变函数的基本概念及运算

定义了一个复变函数实际上定义了二个相关联的实二 元函数，因此复函数将具有独特的性质。
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z

lim
0
u(

, )

iv(
,) ( )e i

u(,)

iv( , )

lim
u(

x0

,)

u(,)

复变函数(1.2.1)--复变函数及其极限与连续性


v
x, y
= v0
证明 必要性
lim
zﾮ z0
f
(z)
=
A
�
"e > 0, $d > 0, (u + iv) - (u0 +
当0< (x iv0 ) < e ,
+
iy) -
( x0
+
iy0 )
<
d
时,
(u - u0 ) + i(v - v0 ) < e , u - u0 < e , v - v0 < e ,
定理 1.1 （极限计算定理）
设 函 数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + iy0
( ) ( ) ( ) lim f
z ﾮ z0
z
= A � lim u x, y
xﾮ yﾮ
xy00
=
u0 ,
lim
xﾮ yﾮ
xy00
故
lim
x y
xy00
u(
x,
y)
=
u0
,
lim
x y
xy00
v(
x,
y)
=
v0
.
充分性
.若
lim
x y
xy00
u( x,
y)
=
u0 ,
lim
x y

xy00
v(
x,
y)
=
v0
,
那么当 0 < ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 < d 时,

复变函数论第1章

实轴：x 轴 虚轴：y 轴 实轴上的点表示实数； 虚轴上的点表示纯虚数(除了原点外)
向量表示： Oz (由原点引向点z的向量)
向量表示方式建立了复数集C与平面向量 Oz 所成的集合的一一对应
复数z的模：向量 Oz 的长度，记为 |z| 或r .
2 2 r a b 0 z
Re z z ,
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2 .
复数相乘：模相乘，辐角相加 .
17
z1 w z1 wz2 z2
z1 w z2
z1 z1 | w | z2 z2
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
z0的去心邻域： D(z0, δ)\{z0}={z: 0<|z-z0|<δ}
z0为点集E的内点：存在z0的邻域 D( z0 , ) E E为开集：如果点集E中的点全为内点. z0为E的边界点：z0的任意邻域内，既有 属于E中的点，
10
极坐标：(r, ） a = rcos, b = rsin, r = |z| 复数z的辐角：正实轴与从原点O到z 的射线的夹角，记为 Argz
主辐角（或辐角主值）：满足 π π 的辐角， 记为 = argz， 于是有Argz = argz+2k, k=0,±1,±2,…
2) ( z w) z w,
3) zw z w .
zw z w,
z z ( ) ( w 0). w w
4)
z z . w w

第一章第二节复变函数

b0 b1z b2 z2 ... bm zm
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1743年，发表了Euler公式 cos x 1 e 1x e 1x
Euler把 1 作为特 殊的数 2019/7/26
2
sin x 1 e 1x e 1x 2 1
9
1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式
考虑解方程： x2 1。 显然，此方程在实数集中是无解的。
( 4 ) z z 2 R e ( z ) ,z z 2 i I m ( z ) .
以上各式证明略.
2019/7/26
20
• 例1.2 某化工厂计划修建两个深度相同的方池， 甲池面积为3平方米，乙池为立方池，其容积比甲 池大1立方米。问方池的深度应为多少？
解：设方池的深度为x。按设计要求有
为了求出方程的解 cos x 1 e ix e ix 2
i 1 i2=–1
sin x 1 eix e ix 2i
2019/7/26
10
定义
i-虚数单位 满足：i2=-1
对于" x, y R, 称 z x iy 为复数
18
共轭 共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相 反的两个复数称为共轭复数.
z的 共轭复数记为 z,
若 z x iy , 则 z x iy . 例1.1 计算共轭复数 z x yi 与 z x yi 的积.
解 (xiy)(xiy)x2 (iy)2 x2y2.
1.2 复变函数及其导数 柯西—黎曼条件
1 复变函数及其导数 (1)初等解析函数
指数函数
这里的ex是实 指数函数
定义 设z x iy. 称ez e x (cos y i sin y)为z的指数函数.
实的正、 余弦函数
三角函数
定义 sin z eiz eiz ,称为正弦函数. 2i
利用欧拉公式 eicosisin,
复数可以表示成
z ei 复数的指数表示式
2019/7/26
16
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减 z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
y x
o
那么复数（复矢量）可以表示为

xx
z= x iy= c o s isin . 复数的三角表示式
复矢量的长度称为复数的模或绝对值
z =ρ= x2 +y2 .
显然由复数的复平面表示，有下列各式成立
x z, y z, z x y .
2019/7/26
14
y
y
z
复数z=x+iy可以用平面上的一个点（x,y）或 一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚 轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。
复数的矢量表示法
y
y
P(x,y)
z

o
xx
2019/7/26
13
y
如图：
y
P(x,y)
xcos x2 y2
z
y sin

arctan
对复平面内的所有点 z 都是连续的;
有理分式函数 wRzP(z), Qz0
Q(z)
其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
2019/7/26在复平面内分母不为零的点是连续的.
24
对数函数
对数函数定义为：
ln z ln e i ln i
lni02ki (k0 , 1 ,2 , ).
2019/7/26
1
教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京
大学出版社，2019年7月
二、主要的参考书： 于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2019年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70% 联系方式：
z2 x2iy2
x22y22
x22y22
1exp[i(12)] 2
x2iy2 0
n次幂
znei
n

nein
n次根幂
n z n ei n ein
i02k
n e n ,
k0,1,2,
,n1
逼近
2019/7/26
z z0 x x0,y y0
cos z eiz eiz ,称为余弦函数.
2
2019/7/26
22
tan z sin z 称为正切函数. cos z
余切函 cozt 数 cozs, sizn
正割函 sezc数 1 , cozs
余割函 cszc 数1 . sizn
例1.3 解方程 sin z0
解
2019/7/26
设：z1=x1+i·y1 z2=x2+i·y2
z1= z2 x 1x2,y1y2
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时 等于0.
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说:
复数不能比较大小!!!
2019/7/26
12
（2）复平面表示与复数三角式
2019/7/26
7
2019/7/26
• 莱昂哈德·保罗·欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数 学家和物理学家，近代数学先驱 之一，他一生大部分时间在俄罗 斯帝国和普鲁士度过。
• 欧拉在数学的多个领域，包括 微积分和图论都做出过重大发现。 他引进的许多数学术语和书写格 式，例如函数的记法"f(x)"，一直 沿用至今。此外，他还在力学、 光学和天文学等学科有突出的贡 献。
注意 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数z 的主值;
2019/7/26
26
例1.4 求 (3)5和 21i 的 值 .
e 解 (3) 5 e 5ln(3)
5(ln3i2ki)
3 5 [c o s5 (2 k 1 ) is in5 (2 k 1 )],
(k0,1,2, ,)
27
例1.5 解方 ez 1 程 3 i 0 . 解 因ez为 13 i,
所以zln(1 3i)
ln1 3ii 32k ln2i32k
结论：两个共轭复数的积是实数
即 ： zzz2 x2y2.
注意: 2019/7/26
z2(x2y2)i2xy
19
共轭复数的性质:
(1 )z1 z2 z1 z2; z1z2z1z2;

z1 z2


z1 z2
;
(2)zz;
( 3 )z z R e ( z ) 2 I m ( z ) 2 x 2 y 2 ;
2019/7/26
5
2019/7/26
6
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。
教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；
教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
P(x,y)

在 z 0的情况下, 以正实轴为始边 , 以o 表示 x x
z 的向量oP 为终边的角的弧度数 称为 z 的幅角,
记作 arg z .
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个幅角,
如果 是其中一个幅角, 那么 z 的全部幅角为
arg z 2kπ (k为任意整数).
x3 3x1
令
1
xu3
u13
代入上述方程有： u2u10
其根为
u1 21i 3ei3
从而
2019/7/26
x e i 31 3 e i 3 1 3 e i 9 e i 9 2 c o s 9 1 .8 8 ( m ) 21
Leibniz ：不可能有负数的对数
d(x)dx ln(x)lnx x x
d x d ln x 只对正数成立
x
Euler： 在1747年指出
ln(x), lnx 差一常数
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说： y2cosx 和 ye 1x e 1x 是同一个微分方程的解，因此应该相等
2019/7/26
2
课程讲授计划
• 第一章 复变函数和解析函数（5） • 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5） • 第六章 点源和瞬时源 函数（2） • 第七章 傅里叶变换和色散关系（6） • 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） • 第九章 数学物理方程的定解问题（6） • 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6） • 第十一章 积分变换法（4） • 第十二章 球坐标下的分离变量法（8） • 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）
.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
C {z | z x iy, x, y R}称为为复数集
2019/7/26
11
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分 别相等.
• 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国 数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾 这样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 上，他都是我们的大师” 8