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第一章 复变函数和解析函数

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《复变函数》第1章

《复变函数》第1章

2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(完整版)复变函数知识点梳理解读

(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。

一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。

二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。

主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。

四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。

第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。

一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。

所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。

而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。

二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。

就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。

而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。

而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。

三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。

第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。

但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。

可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。

第一章复变函数

第一章复变函数

z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x

o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
复变函数的可导与解析

复变函数的可导与解析

复数的方根：
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
第一章 复变函数和解析函数解析

第一章 复变函数和解析函数解析

f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
复变函数第一章 1-2

复变函数第一章 1-2


复变函数论的全面发展是在十九世纪， 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直 接扩展统治了十八世纪的数学那样， 接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的 分支统治了十九世纪的数学。 分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函 数论是最丰饶的数学分支， 数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分， 他们都是创建这门学科的先驱。 他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生， 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作 瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 了大量的研究工作， 了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领 为这门学科的发展做出了贡献。 域，为这门学科的发展做出了贡献。
共轭复数的运算性质：
z = x + iy, 称 x − iy 为复数 z 的共轭复数，记为 z
(1)
z=z
z1 ± z 2 = z1 ± z 2
z1 = z ( z 2 ≠ 0) 2
z+z z−z (5) Re z = , Im z = 2 2i
(6) zz = [Re z ] 2 + [Im z ] 2 (7)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
复变函数第一章

复变函数第一章

内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数ppt第一章

复变函数ppt第一章

y
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
复变函数的基本概念及运算

复变函数的基本概念及运算

定义了一个复变函数实际上定义了二个相关联的实二 元函数，因此复函数将具有独特的性质。
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z

lim
0
u(

, )

iv(
,) ( )e i

u(,)

iv( , )

lim
u(

x0

,)

u(,)
复变函数论第1章

复变函数论第1章

实轴：x 轴 虚轴：y 轴 实轴上的点表示实数； 虚轴上的点表示纯虚数(除了原点外)
向量表示： Oz (由原点引向点z的向量)
向量表示方式建立了复数集C与平面向量 Oz 所成的集合的一一对应
复数z的模：向量 Oz 的长度，记为 |z| 或r .
2 2 r a b 0 z
Re z z ,
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2 .
复数相乘：模相乘，辐角相加 .
17
z1 w z1 wz2 z2
z1 w z2
z1 z1 | w | z2 z2
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
z0的去心邻域： D(z0, δ)\{z0}={z: 0<|z-z0|<δ}
z0为点集E的内点：存在z0的邻域 D( z0 , ) E E为开集：如果点集E中的点全为内点. z0为E的边界点：z0的任意邻域内，既有 属于E中的点，
10
极坐标：(r, ） a = rcos, b = rsin, r = |z| 复数z的辐角：正实轴与从原点O到z 的射线的夹角，记为 Argz
主辐角（或辐角主值）：满足 π π 的辐角， 记为 = argz， 于是有Argz = argz+2k, k=0,±1,±2,…
2) ( z w) z w,
3) zw z w .
zw z w,
z z ( ) ( w 0). w w
4)
z z . w w
数学物理方法第一章-复变函数导论

数学物理方法第一章-复变函数导论

24
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：

数学物理方法-复变函数与解析函数

上篇 复变函数论
2
数学物理方法 课程说明
数学物理方法为2013学年第二学期理工学院12级光信息专业所 开设， 72学时。 本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和Fourier级数、 微分方程、线性代数和概率论)和普通物理(力学、热学、电学和 光学)的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当 介绍近年来的新发展，为光信息专业后继的基础课程和专业课 程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作学习中遇到 的数学物理问题的求解提供基础。
R 0 0 0
第一章 复变函数和解析函数
21
y
(z )
z1
z2
o
x
第一章 复变函数和解析函数
22
第一章 复变函数和解析函数
23
例1：用复数方程表示: (1)过两点 z j = x j + i y j (j = 1 , 2 )的直线； (2)中心在点( 0 , - 1 ) 点的表示：z = x + i y <=> 复平面上的点 P ( x , y )
第一章 复变函数和解析函数
19
向量表示法
第一章 复变函数和解析函数
20
计算 arg z (z ≠ 0) 的公式
y arctan x 0, y x π x 0, y argz 2 y arctan π x 0, y x π x 0, y
2
G : w 4, 0 argw π
函数 w = z2(D) 的几何表示
第一章 复变函数和解析函数
34
常见的复变函数
w = z 2 ； u = x 2- y 2， v = 2 x y
第一章 复变函数和解析函数

第一章 复变函数解析


lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.

复变函数


§ 1.1 复数及其运算
2
复数的几何表示 复数的几何表示对于了解复变函数理论中的 一些概念，例如多值函数、解析延拓等，很有帮助，其中一个 重要应用时——保角变换。 复数z=x+iy可以用平面上的点表示。在平上作一个直角坐标系， 取横轴OX为实轴，单位为1，纵轴OY为虚轴，单位为i。复数 全体与平面上的点都是一一对应的关系，这样的平面称为复平 面。 若引入极坐标变量（ρ，φ ）则 x= ρ cosφ y= ρsinφ 于是 z= ρcosφ +i ρsinφ （1） z=ρρeiφ （2） （1）、（2）式分别称为复数z的三角表示式和指数表示式。式中ρ 为复数z的模或绝对值。记作 ∣z∣=ρ=√(x² 实数（x,y）定义 为复数，通常表示为z=x+iy。式中i满足i2=1， 称为虚单位；而x和y都是实数，分别称为复 数z的实部和虚部，常记为： x=Rez;y=Im z。 虚部为零的复数就可以看做是实数，即 x+i0=x.实部为零的复数称为纯虚数。 两个复数相等指的是实部虚部分别相等， 即x1+iy1=x2+iy2必须且只需x1=x2;y1=y2. 复数x+iy和x-iy互称为共轭复数。
• §1.2 复变函数 • 1. 复变函数的概念 设E为复数平面的 一点集（复数的集合），若按一定的规 律，使E内每一个复数z都有一个或者多 个的w=u+iv(u,v为实数)与之对应，则称 w为z的复变函数，定义域为E，记作： w=f(z)，
• • • • • • • • • • • •
而φ为向量oz与x轴的夹角，称为复数z的辅角，记作 Arg z=φ; tanφ =y/x 任一复数z不等于零都有无穷多个辅角。以arg z表示其中在2ππ 范围内 变化的一个特定值，称之为辅角的主值，通常取 -π <arg z≦ π 于是 Arg z=arg z+2kπ(k=0; ±1; ±2…) 3 复数的运算法则 (1)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相加(减),可将他们的实部与实部，虚部 与虚部分别相加（减），即 z1±z2=（x1±x2）+i（y1±y2） (2)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相乘可按多项式乘法法则进行，只需将 结果中的i2换成-1，即 z1.z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1） (3)两复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相除，先写成分式形式，然后分子分母 同乘以分母的共轭复数，化简级 z1÷z2= （x1x2＋y1y2）/(x22+y22)+i(y1x2－x1y2)/(x22+y22)

数学物理方法第一章习题指导(胡嗣柱版)

第一章 复变函数和解析函数1.1 下列各式在复平面z 上表示什么? (1) 2Im 4z =解:()()2222z x iy x iy x y i xy =++=-+ ,2Im 24z xy ∴==,则2xy =, 为双曲线.(2) 1Re 2z=解:2211x iy z x iy x y -==++ ,221Re 2x z x y ∴==+,22102x y x +-=,该方程表示圆心在1(,0)4半径为14的圆，但1z 要求0z ≠，故1Re 2z=为该圆除去点(0,0).(3) Re 1z z +≤解:由题Re 1z z x +=+≤,即1x ≤-,可得212y x ≤-,它表示如图所示的抛物线及内部阴影部分.(4)221z z +=- =()()22222414x y x y ++=-+，整理得22(2)4x y -+=，可见原式表示圆心在（-2, 0）半径为2得圆。

(5) 0arg4z i z i π-<<+ 解:原式为()()10arg14x i y x i y π+-<<++,对()()11x i y x i y +-++化简有：Oi-i复平面()()()()()()22222212111111x y i x x i y x i y x i y x i y x y x y ⎡⎤+--+--+⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦==++++++ 原式即为()2222120arg 41x y i x x y π⎡⎤+--⎣⎦<<++， 满足条件()()222222222222101102020121211x y x y x y x x x y x y x xx y ⎧+->⎪++⎪⎧+->⎪-⎪⎪>⇒->⎨⎨++⎪⎪++>⎩⎪-⎪<+-⎪⎩ 即需满足0x <，并在圆2210x y +-=与222(1)x y ++=之外的区域。

复变函数理论与解析函数的性质

复变函数理论与解析函数的性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复变量的函数。

复变函数与实变函数有着明显的区别，它们的性质和行为也有很大的不同。

本文将探讨复变函数理论的一些基本概念和解析函数的性质。

一、复变函数的定义和基本性质复变函数是指定义在复数域上的函数。

复数可以表示为实部与虚部的和，即z = x + iy，其中x和y分别是实数部分和虚数部分。

一个复变函数可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部的函数。

复变函数的定义域是复平面上的一个开集。

复变函数的基本性质包括解析性、连续性和可微性。

解析性是指函数在其定义域内处处可导，即函数的导数存在。

连续性是指函数在其定义域内连续。

可微性是指函数在某一点处可导。

对于复变函数来说，解析性和可微性是等价的，即函数在某一点处可导当且仅当函数在该点处解析。

二、解析函数的性质解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它具有许多重要的性质。

首先，解析函数是无穷可微的，即它的导数、二阶导数、三阶导数等都存在。

这个性质使得解析函数在数学和物理中有广泛的应用，例如在电磁场的分析和量子力学中的波函数描述等。

其次，解析函数满足柯西-黎曼方程，即它的实部和虚部满足柯西-黎曼方程的偏导数条件。

这个方程表明解析函数的实部和虚部是相互独立的，它们的变化是相互约束的。

柯西-黎曼方程的满足使得解析函数具有一定的几何性质，例如保角性和共形映射等。

此外，解析函数还具有唯一性定理和辐角原理等重要性质。

唯一性定理指出，如果两个解析函数在某个区域内的实部和虚部都相等，那么它们在该区域内是相等的。

辐角原理是指解析函数的辐角的变化是连续的，且在某个区域内的辐角变化总和为零。

三、解析函数的应用解析函数在数学和物理中有广泛的应用。

在数学中，解析函数常用于复积分、级数和变换等问题的求解。

在物理学中，解析函数常用于电磁场的分析、流体力学中的势函数描述等。

复变函数与积分变换第一章 复变函数和解析函数


|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.
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7
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• 莱昂哈德· 保罗· 欧拉（Leonhard Paul Euler，1707年4月15日－ 1783年9月18日）是一位瑞士数学 家和物理学家，近代数学先驱之 一，他一生大部分时间在俄罗斯 帝国和普鲁士度过。 • 欧拉在数学的多个领域，包 括微积分和图论都做出过重大发 现。他引进的许多数学术语和书 写格式，例如函数的记法"f(x)"， 一直沿用至今。此外，他还在力 学、光学和天文学等学科有突出 的贡献。 • 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国数 学家皮埃尔-西蒙· 拉普拉斯曾这 样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 8 上，他都是我们的大师”
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两个复数相乘等于它们的 模相乘，幅角相加
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除法
两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i 2 2 z2 x2 iy2 x 2 y2 x22 y22
x
2
iy2 0
1 exp[i(1 2 )] 2
z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
=(x1± x2) +i(y1± y2 )
乘法
z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ) 1 2 exp[i(1 2 )]
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x2 y2.
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注意:
z 2 ( x 2 y 2 ) i 2 xy
共轭复数的性质:
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
( 2) z z;
(3) z z Re( z ) Im( z ) x 2 y 2 ;
x 3x 1
3
令 x u u
1 3
1 3
代入上述方程有： u 2 u 1 0 其根为 从而
x e
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i 3
1 3
u
i 3 1 3
1 2
1 i 3 e
i 9
i 3
e e e 2cos
y 如图： 复矢量的长度OP称为复数的模 或绝对值
z = ρ= x2 + y2 .
y
P(x,y)
z

o
x
x
显然由复数的复平面表示，有下列各式成立
x z,
y z,
z x y.
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量 oP 为终边的角的弧度数 称为 z 的幅角, 记作 arg z .
e 2 iz 1 e 2 iz e 2ni z n.
(n 0, 1, 2, )
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e e , 称为双曲正弦函数 . 定义 shz 2 z z e e chz , 称为双曲余弦函数 . 2 有理整函数(多项式) w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
n次幂 n次根幂
z e
n
n n
i

i
n
e
n in
z e n eΒιβλιοθήκη i n eni

n
0 2 k
, k 0,1, 2,
, n 1
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逼近
z z0 x x0 , y y0
共轭 共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相 反的两个复数称为共轭复数.
实的正、 余弦函 数
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sin z tan z 称为正切函数 . cos z cos z 余切函数 cot z , sin z 1 正割函数 secz , cos z 1 余割函数 csc z . sin z 例1.3 解方程 sin z 0
解
e iz e iz e 2 iz 1 sin z 0 iz 2i 2ie
1.0问题的提出
负数有对数吗？
d( x) dx ln( x) ln x Bernoulli：负数的对数是实数 x x dx Leibniz ：不可能有负数的对数 x d ln x 只对正数成立
ln(-x)与ln(x)间存在联系吗？
Euler： 在1747年指出
ln( x), ln x 差一特殊的数 y 2 cos x 和
ln x
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z eiargz x xe i i 2 k

ln xe i 2 k
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ln x ln e i i 2 k ln x i 2ik
（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符) 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：
y e
1x
e
1x
是同一个微分方程的解，因此应该相等
1 1x 1x e e 2 1 sin x e 1x e 2 1 cos x
1743年，发表了Euler公式
Euler把 1 作为特 2015-1-19殊的数
答疑教室：钱伟长楼220室
2015-1-19 2
课程讲授计划
• • • • • • • • • • • 第一章 复变函数和解析函数（4） 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（4） 第三章 复变函数级数 泰勒维数和洛朗级数（6） 第五章 定积分的计算（2） 第七章 傅里叶变换（6） 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） 第九章 数学物理方程的定解问题（4） 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（8） 第十一章 积分变换法（4） 第十二章 球坐标下的分离变量法（6） 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（4）


1x


9
1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式 考虑解方程：
x 2 1。
显然，此方程在实数集中是无解的。 为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单位. 欧拉公式 对虚数单位的规定:
i 1 方程的解: x 11 i 1= i 2015-1-19
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y
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个幅角,
y
P(x,y)
z

0
如果0 是其中一个幅角,
o
x
x
那么 z 的全部幅角为
arg z 0 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z 0 时, z 0, 幅角不确定.
幅角主值的定义: 在z(≠0)的幅角中，把位于０< <2π的 称为 arg 0 z的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系
8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
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学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导
必要条件、掌握解析函数的概念、函数
解析的充要条件、复势的概念。 教学重点： 柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件； 教学难点： 柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、 复变函数解析的充要条件
指数函数
ex
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1 复变函数及其导数
(1)初等解析函数： 指数函数 这里的ex是实 指数函数
定义 设z x iy . z x 称e e (cos y i sin y )为z的指数函数 . 三角函数
定义
iz e e sin z , 称为正弦函数 . 2i iz iz e e cos z , 称为余弦函数 . 2 iz
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复变函数论（theory of complex functions）的目的：
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意 义。
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主要内容:
1 复变函数和解析函数
2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式
3 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数等
4 解析函数（自学） 5 定积分的计算 6 δ函数 其余拉普拉斯变换的内容（自学） 7 傅立叶变换和色散
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1
教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京 大学出版社，2002年7月 二、主要的参考书：
于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2007年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70%
联系方式：zyx@
i 9

9
1.88(m)
21
1.2 复变函数及其导数 柯西—黎曼条件
在实数域，我们已熟悉下列初等函数
ix e e , 称为正弦函数 . 三角函数 sin x 2i e ix e ix cos x , 称为余弦函数 . 2 sin x tan x 称为 正切函数 . cos x 双曲函数 x x e e shx , 称为双曲正弦函数 . 2 x x e e chx , 称为双曲余弦函数 . 2015-1-19 2 ix
i2=–1
1 ix ix cos x e e 2 1 ix ix sin x e e 2i