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§5.9复变函数的导数与解析函数

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复变函数第二章

复变函数第二章

2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x

复变函数的解析函数与调和函数

复变函数的解析函数与调和函数

复变函数的解析函数与调和函数复变函数是数学分析中的一个重要概念，它与解析函数和调和函数密切相关。

本文将介绍复变函数的解析函数与调和函数，并讨论它们的性质和应用。

一、复变函数的解析函数与调和函数1. 解析函数：解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它在其定义域内处处可导，并且导数连续。

具体而言，设复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy为复平面上的任意点，则f(z)在其定义域内解析的充分必要条件是它满足柯西—黎曼方程，即满足以下两个偏微分方程：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。

2. 调和函数：调和函数是解析函数的一种特殊情况，即当解析函数的虚部为零时，即v(x, y) ≡ 0，此时其实部u(x, y)就是一个调和函数。

调和函数满足拉普拉斯方程，即在定义域内满足以下二阶偏微分方程：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。

二、解析函数与调和函数的性质比较1. 解析函数的性质：(1) 解析函数的实部和虚部都是调和函数；(2) 解析函数与其共轭函数的乘积是调和函数；(3) 解析函数的实部和虚部满足柯西—黎曼方程，从而具有一些重要的性质，如旋度为零、偏导数的连续性等。

2. 调和函数的性质：(1) 调和函数具有最大值原理和平均值原理；(2) 调和函数的解存在一定的唯一性；(3) 调和函数具有良好的逼近性质，可以用调和函数逼近光滑函数。

三、解析函数与调和函数的应用1. 解析函数的应用：(1) 解析函数常用于描述电磁场、流体力学、热传导等自然科学领域中的问题；(2) 解析函数在工程与技术中的应用广泛，例如电路分析、图像处理、通信系统等。

2. 调和函数的应用：(1) 调和函数在物理学中有广泛的应用，如波动方程的求解、电势场的描述等；(2) 调和函数在几何学和偏微分方程中也具有重要的作用，如调和映射、调和分析等。

总结：本文介绍了复变函数的解析函数与调和函数，讨论了它们的性质和应用。

复变函数第2章解析函数

复变函数第2章解析函数

2019/8/11
20
证 : (1) 若 f (z) 0，即
f (z) u i v 1 u v 0 x x i y y
于是 u v u v 0 x x y y
所以 u、v 为常数, 即 f (z) u iv 为常数。
（7）f (z) 1 , 其中, w f (z) 与 z (w) 是两个 ( w )
互为反函数的单值函数且 (w) 0。
2019/8/11
7
4、解析函数概念
定义. 若函数 w f (z) 在点 z0 及 z0 的某领域内 处处可导, 称 f (z) 在 z0 解析。
点 z0 z D, 若极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在, 则称函数 f (z) 在 z0 点可导或可微。此极限值 称为 f (z) 在 z0 点的导数, 记作 :
f (z0 )
或
dw dz zz0
2019/8/11
2
即
f (z0 )
lim
z0
于是,由定理知 f (z) 在复平面上处处解析。
(2) f (z) x2 iy2
u( x, y) x2 , v( x, y) y2
u 2x, u 0, v 0, v 2 y
x
y x y
在复平面连续且 u v y x
但仅当 y x 时才有 u v x y
有理分式函数 P(z) 在 Q(z) 0的区域内为解析函数。 Q(z)
2019/8/11
12
二、函数解析的充分必要条件
定理 ( 函数解析的充要条件 )
函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义域 D内解析的充要 条件是 :

复变函数的导数与解析性

复变函数的导数与解析性
f ( z) g( z) , f ( z) g( z) , f ( z) ( g ( z ) 0) 在 z0 处解析。 g( z)
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h ( z ) 在 区域D内解析, 且 ( D) G , 则复合函数 w f [ ( z )] 在 区域D内解析, 且
此极限值称为 f ( z ) 在点 z0 处的导数。 记作 f ( z0 ) 或 w z z 0或
dw . dz z z0
即
f ( z0 ) lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) w lim z 0 z z 0 z
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
(3) [ f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) ] g( z) g 2 (z) ( g ( z ) 0) ;
(4) { f [ ( z)]} f (w) ( z) 其中 w ( z) ;
(5) f ( z ) 1 其 中 w f ( z ) 和 z ( w )是 (w)
第八模块
第三节
复变函数
复变函数的导数与解析性
一、复变函数的导数 二、复变函数的解析性
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
当变量 设函 w f ( z)在包含 z0 的某区域 D 内有定义， z 在点 数 z0 处取得增量时，相应地，函数 f ( z ) 取得增量
w f ( z0 z) f ( z0 ) w lim 如果极限 存在。 则称 f ( z ) 在点 z0 处可导。 z 0 z
例1 例2
2 求函数 f ( z) z 的导数。

复变函数-解析函数

复变函数-解析函数

7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2

大学物理-复变函数的导数与解析性

大学物理-复变函数的导数与解析性

又
得微分公式
(微分与导数的关系)
二、柯西——黎曼条件 (C–R 条件)
要解决的问题：给定一函数 w = f (z) = u(x , y) + i v(x, y)，
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
f (z) 在点 z 可导的必要条件是
存在，且
满足 C – R 条件：
证明：由函数导数的定义，z 以任何方式趋于零时,极限
z0 z
故 f (z) 在 z = 0 点不可导。
四、复变函数导数的几何意义 设 w = f (z) 在 z0 可导，即有
复变函数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平面沿曲线 L' 变动。z, w, f ' (z0) 的表示式：
ห้องสมุดไป่ตู้
由导数的定义式可得：
导数的几何意义： 1. 导数的模 f ' (z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z，映射 为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 arg f ' (z0) 表示曲线 L 上点 z0 的切线与曲线 L' 上的点 w0 的切线的夹角，即从 Z 平面到 W 平面映射 前后切线的转动角。
同理 f 'y 存在且等于 B，故
(全微分与偏导数及自变量 微分间的关系)
对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，
偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微
性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：
定理：若 f 'x (x ,y) 及 f 'y (x ,y) 在点 (x ,y) 及某一邻域内存在， 且在该点它们都连续，则函数 u = f (x,y) 在该点可微。

复变函数解析函数求导公式

复变函数解析函数求导公式复变函数解析函数求导公式是复变函数微分的一般公式，用于计算和表达复合函数的导数。

在复变函数中，解析函数是指在一些区域内处处可导的函数，即函数在该区域内处处满足解析性质。

对于解析函数而言，存在一套独立的求导规则，使得我们能够轻松地对解析函数进行求导。

设函数 f(z) 是复变量 z 的解析函数，z = x + yi 是复平面上的复数，其中 x 和 y 是实数。

对于区域内的任意一点 z0 = x0 + y0i，我们可以求出 f(z) 在该点处的导数。

导数的定义是函数的变化率，在复平面上的导数包含两个部分：实部的变化率和虚部的变化率。

实部的导数定义为：f'(z0) = lim (h→0) [Re(f(z0 + h)) - Re(f(z0))] / h虚部的导数定义为：f'(z0) = lim (h→0) [Im(f(z0 + h)) - Im(f(z0))] / h其中h是一个无穷小量，表示趋近于零的实数。

为了将复变函数的导数表达出来，我们可以使用偏导数来计算实部和虚部的导数。

偏导数表示在所有其他变量固定的情况下函数沿一些特定方向的变化率。

设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 是复变函数的实虚分解，其中 u(x, y) 是实部，v(x, y) 是虚部。

我们可以使用偏导数来计算实部和虚部的导数：Re(f'(z))=∂u/∂x+i∂v/∂xIm(f'(z))=∂u/∂y-i∂v/∂y其中i是虚数单位。

通过这个公式，我们可以将实部和虚部的导数表达出来。

这个公式的推导是基于 Cauchy-Riemann 方程，它是解析函数必须满足的一组条件。

Cauchy-Riemann 方程的表达式为：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x这个方程是解析函数存在的必要条件。

由于解析函数的实虚部分是相互关联的，因此实部的导数和虚部的导数之间存在一种推理关系。

《复变函数》第二章 解析函数

函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
28
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
z z
x x
iy iy
1 1
i i
y
x y
1 ik 1 ik
x
18
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim h(z0 z) h(z0 )不存在.
z0
z
因此 h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
0, 0, 使得当 0 | z | 时,
有
f
( z0
z) z
f
(z0 )
f
(z0 )
,
令 (z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
9
则 lim (z) 0, z0
因为 f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
所以
lim
z0
f
( z0
3
例1 求f (z) z2的导数.
解 f (z) lim f (z z) f (z)
ห้องสมุดไป่ตู้
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z

复变函数的导数和解析性

复变函数的导数和解析性复变函数是指输入和输出都是复数的函数。

在复变函数中，导数是一个重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率和切线方向。

导数的计算方法与实变函数的导数有所不同，需要使用复数的共轭以及极限的概念。

一、复变函数的导数设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，其中u(x, y)和v(x, y)分别表示f(z)的实部和虚部，z = x + iy表示复平面上的点。

如果f(z)在点z= z0处存在导数，则导数的定义为：f'(z0) = lim┬(Δz→0)⁡〖(f(z0+Δz)-f(z0))/Δz 〗其中Δz = Δx + iΔy，Δx和Δy分别表示实部和虚部的增量。

根据导数的定义，我们可以推导出复函数导数的性质：1. 导数的唯一性：如果f(z)在某一点存在导数，则该点的导数是唯一的。

2. 复线性：如果f(z)和g(z)在某一点都存在导数，则(f+g)'(z) = f'(z)+ g'(z)。

3. 复合函数导数：如果f(z)和g(z)分别在对应的区域上都存在导数，则复合函数(f∘g)(z)的导数可以通过链式法则计算。

4. 共轭函数导数：如果f(z)在某一点存在导数，则其共轭函数f^*(z)的导数为[f'(z)]^*。

二、复变函数的解析性解析性是指函数在某一区域内可以展开成幂级数的性质。

对于复变函数而言，解析性与导数的存在紧密相关。

如果一个函数f(z)在某一区域D内处处可导，并且在该区域内的导数连续，那么我们称f(z)在区域D内为解析函数。

换句话说，解析函数是指能够通过幂级数展开的函数。

复变函数的解析性具有以下性质：1. 解析函数的实部和虚部都是调和函数，即满足拉普拉斯方程。

2. 解析函数的导数仍然是解析函数，即解析函数具有无穷阶导数。

3. 解析函数的积分与路径无关，即沿着相同路径的积分结果是相等的，这是复积分理论中的柯西定理。

解析函数


【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
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（1） e z e x , Arge z y 2k
(2) (3)
e e z1 z2 e z1 z2 , e z1 e z1 z2 e z2
周期性：e z2ki e z
(4) 处处解析，且有 (e z ) e z
注：(1）y 0 w ex (实指数函数)
x 0 w eiy cos y i sin y (Euler公式)
证：f (z) Re z Im z xy ,
u(x, y) xy , v(x, y) 0
ux (0,0)
lim
x0
u ( x,0)
u(0,0) x
0
vy (0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y)
y
u(0,0)
0
vx (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
解: f z lim f z z f z
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。 解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
如 ln( 1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln( 1) 2ki (2k 1)i
x0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导
求导公式:
c 0
z n nz n1
f z gz f z gz
f zgz f zg(z) f (z)gz
f z g z
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(z)gz f z g 2 z
函数的极限。
设f(z)在 z0 可导，即极限
lim
z0
w z
lim
z0
f z0
z
z
f z0
存在.
意味着z以任何方式趋于零时，上面的极限有确定的极限值。
当z沿实轴趋于零，即 y 0, z x 0时，有
lim f z0 z f z0
z x0
z
lim
ux0 x, y0 ivx0 x, y0 ux0 , y0 ivx0 , y0
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在直线 x 1 上满足C R条件
2 f (z)在直线 x 1 上 可导，在复平面上处处不解析.
2
例5 证明：如果 w u(x, y) iv(x, y)为解析函数，
那么w必与z无关，可以单独用 z来表示。
证明：即证 w 0.将x 1 (z z ), y 1 (z z )
注：（1） Lnz为无穷多值函数。对应于每个固定的k， 可确定的一个单值分支，记为(Lnz) .当Argz 取主值
k
arg z时，相应的对数称为Lnz的主值，记为ln z，即 ln z ln z i arg z Lnz 的主值支 Lnz ln z 2ki (k 0,1,2,)
（2） 正实数的对数主值就是实对数函数 lnx(x 0) (3) “负数无对数”的说法在复变函数中不成立。
lim lim f z f 0
k (x)2
k
z(1ki )x0
z
x0 (1 ki)x 1 ki
lim
z 0
f z
z
f 0
不存在
f (z) 在 z 0 不可导。
例 3 说明C R条件不是复变函数可导的充分条件
定理（ 2 可导的充要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义， 则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导
f z0
z
z
f z0
存在,则称函数 f 在 z 0 处可导,并称此极限值为
f 在点 z 0处的导数,记为 f z0 ,即
f z0 lim z 0
f z0
z
z
f z0
或记为
dw ,
dz z z0
w z z0
若函数 f (z) 在区域 D 内的每一点都可导,则称 f (z) 在 D 内可导.
在复平面上处处连续，且满足C R条件， f (z)在复平面上处处可导，处处 解析，且
f (z) ux ivx e x (cos y i sin y) f (z)
（2） f (z) x y ixy
解 u(x, y) x y, v(x, y) xy，而 ux 1, u y 1, vx y, vy x
v bx ay 2x 1y
而 lim 1x 2y 0, lim 2x 1y 0
x0 y0
(x)2 (y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
u(x, y),v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微 u(x, y),v(x, y)在(x0 , y0 ) 处满足C R条件,前已证得。 (充分性） u(x, y), v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微
z
2
2i
代入w u(x, y) iv(x, y)，则w为z与z的函数。
w w x w y z x z y z
(u x
ivx )
1 2
(u y
ivy )(
1) 2i
1 2
(u x
vy )
i 2
(u y
vx )
C R条件
0
三 初等函数
1. 指数函数 性质：
w ez ex (cos y i sin y)
lim f z z f z lim z z z
z 0
z
z 0
z
lim z lim x iy z0 z (x,y)(0,0) x iy
而 lim x iy lim iy 1 x0 x iy y0 iy
y0
可导必 连续,连 续不一 定可导
lim x iy lim x 1
y0 x iy x0 x
例如：
极限 lim f (z) lim u( x, y) iv( x, y)
zz0
( x, y)( x0 , y0 )
u0 iv0 w0
f (z)在 z0连续
u( x, y)，v( x, y)在( x0 , y0）连续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
5.9 复变函数的导数与解析函数
复变函数 ：
设D C，f是定义在D上的复变函数， f:D C, z x iy w f (z) u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f (z) u(x, y) iv(x, y)
一个复变函数 二个二元实函数
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
（1）二元函数u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处可微； （2）u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处满足C R条件：
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在
(
x0
,
y0
)
处连续
证 (必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在 x 1, y 1时满足C R条件 f (z)在 z 1 i 处可导，在复平面上处处 不解析.
（3） f (z) x 2 iy
解 u(x, y) x2 , v(x, y) y，而 ux 2x,u y 0, vx 0, vy 1
x0
x
u i v x x
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
lim f z0 z f z0
ziy0
z
lim
ux0 , y0 y ivx0 , y0 y ux0 , y0 ivx 0 , y0
y0
iy
v i u y y
u i v x x v i u
y y
f (z0 )
lim
z0
f z0
z
z
f z0
f z0 z
f z0
f
(
z0
)z
z( lim z0
0)
设 f (z0 ) a ib, 1 i2, z x iy，则
f z0 z f z0 u iv
(a ib)(x iy) (1 i2 )(x iy)
ax by 1x 2y i(bx ay 2x 1y) u ax by 1x 2y
u uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) v vxx vyy o( (x)2 (y)2 )
w u iv z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx vyy o( (x)2 (y)2 )] x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
u x
v y
(C R
v
u
方程）
x y
定理（1 可导的必要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义，
且在点z0 x0 iy0 D 处可导，则二元函数u(x, y),
v(x, y)在点
(x0, y0 )
处存在偏导数 u ，u ，v ，v ，且满足 x y x y
(2) ez ex 0, (ez ) ez 0