【关键字】精品数列极限部分书后较难的作业解答:一.( （书）第10题)证明数列有极限证明:(一) 因为故单减.(二) 由不等式得所以有.故有下界.因此根据单调有界原理知,有极限.二.设常数,,证明: 收敛,且求.解:(一)假设收敛,并记由已知得递推关系式:,令,利用,得,即解方程得.又因为,故取.即(二)下面返证收敛.1.由显然.归纳地设,则即单增.2.再证有上界那么如何取呢?既然单增且有极限,那么就应是的一个上界.下面仍然用归纳法证明是的上界.事实上显然;设则故单增且有上界,因此收敛.注意:这里上界的找法似乎依赖于的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了.注意:同理可将上例推广到一般情形:设则数列收敛且其中(1)当即或时,(2)当即或时, 单增,且为上界;(3)当即或时, 单减,且以0或为下界;有趣的是数列的极限与其初值并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.三.(第13题(3))设,数列由下式所确定:证明它们有公共的极限.证明:(一)由可知,因而显然对于，又因为，故对于所以(1)因此, 单调递增.同理:因为, (2)因此单调递减.(二)由于因此有上界,且有下界,根据单调有界原理知, 数列均有极限. (三).设对两边取极限,得 于是,即四.第12题设和已知实数,令(1) 证明数列收敛且 证明:由(1)式, ; (2) (3) (4) 上述—相加,得:故()()1111111113232n n n x x b a b b a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=----=----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦五. (294P 第13题(1))设()()11310,1,2,3n n nx x c x n x ++=>==+,证明数列{}n x 收敛,且lim n n x →∞=证明:(一) 显然()()()1313103,1,2,333n n n n nx x x n x x +++<=<==++(二)由对于任何的2n ≥,()()()()()11111313163333n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--++--=-=++++ (1) (1)式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界3; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.(三) 设lim n n x a →∞=,在()1313n n nx x x ++=+两边取极限,得()313a a a+=+,解之,有lim n n a x →∞==六. (294P 第13题(2))设实数()2110,,1,2,222nn x c c c x x n +≥==+=,讨论数列{}n x 敛、散性.证明: (一)假设{}n x 收敛,并设lim n n x a →∞=,则由2122nn x c x +=+两边取极限,得222c a a =+,即220a a c -+=,解得1a =因此,当1c >时, {}n x 发散; (二)当01c ≤≤时,我们证明{}n x 是收敛的.事实上,(1)显然()01,2,n x n ≤=,且11;2cx =≤下面利用归纳法证明对于任何的2n ≥,有.n x c ≤事实上,若假设1,k x ≤则有2111.222k k x c x +=+≤= 故对于任何的2n ≥,有 1.n x ≤总之, 对于任何的1n ≥,有0 1.n x ≤≤(2)因为()()22111122222n n n n n n n n x x x x x x c c x x ---+-+⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界1; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.且lim 1n n x →∞=七. (291P 第1题(3)、(4)) 求极限()()1.3.521lim2.4.62n n n →∞-解:(一) 因为()()()22221.214142n n n n n -+=-<= (1)故 ()()22221.3.5.721.21n n -+()()()()()()()()1.3.3.5 5.77.922212121n n n n =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(()1)()22222.4.6.2n < (2)所以 ()()()()()2222222221.3.521 1.3.5.721.211.2.4.62212.4.62n n n n n n ⎡⎤--+=⎢⎥+⎣⎦(()2121n <+ (3)故()()1.3.5212.4.62n n -<(4) (二)由(4)式 ()()1.3.5210 2.4.62n n -<<,且0,n =故由夹逼准则知, (4)求()()1.3.5212.4.62n n n -解:取()211,2,n n x n n-==,根据课堂上讲过例26(注意到此题是用夹逼准则证明的):设{}n x 是实数序列,()0n x n >∀, lim 0,n n x a →∞=>则2.n n x a =,有另解:记()()1.3.521,1,2,2.4.62n n x n n -==则352111...242222n n x n n n -=≥⇒≥-(5) 又 由(3), ()()221.3.52112.4.6221n n x n n ⎡⎤-=<⎢⎥+⎣⎦2121n x n⇒<⇒+(6) 综合(5)、(6),得<因为1,n n ==所以,由夹逼准则知, 注: 上述另解中用到了结论，其证明方法lim 1n =如下. 证明:记1,n x =则1,n x ≥我们有 由此,得 ()()210,2,3,2n n n n x x n -≤≤=且0.n =因此由夹逼准则知, )lim lim10,n n n x →∞→∞==故1n =.八. (第292页第2题).证明:若lim n n x →∞=+∞,则也有证明:因为lim n n x →∞=+∞,故对于任给的0M >,存在N ,使当n N >时,有n x M > (1)令12n n s x x x =+++ (2)则12.1n N n N N N N n s s s s s x x x N n n n n n Nn ++-+++⎛⎫=+=+- ⎪-⎝⎭3.1N s N M n n ⎛⎫>+- ⎪⎝⎭ (3) 又因()10,11,2N s N n n n →-→>→∞故可取正整数,N N '>使当n N '>时,恒有1,1.222N N s s M M N n n n <⇒>--> (4)于是,当n N '>时,恒有13.13..22n N s s N M M M M n n n ⎛⎫>+->-+= ⎪⎝⎭ 即证明了, 对于任给的0M >,存在正整数,N N '>使当n N '>时,恒有12.nx x x M n+++>所以, 12lim.nn x x x n→∞+++=+∞九. (第292页第3题).设: lim ,lim ,n n n n x a y b →∞→∞==证明:证明:记1211n n n n x y x y x y z n-+++=,1,2,n =因为lim ,lim ,n n n n x a y b →∞→∞==故我们有,,n n n n x a y b αβ=+=+这里{}{},n n αβ为无穷小序列. 于是,无穷小序列也是有界序列,可设 n M β≤ 对.n ∀ 因为121211.nn n n M nnααααβαβαβ-++++++≤所以12.nM n ααα⎧+++⎫⎨⎬⎩⎭无穷小序列. 又因为1,n b n αα++⎧⎫⎨⎬⎩⎭1na n ββ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭也都是无穷小序列,所以, 十. (第292页第6题).证明著名的施笃兹(Stolz)定理: 若数列{}{},n n x y 满足条件: (1)121,n n y y y y -<<<<<且 ()lim .n y n →∞=+∞→+∞ →()n +∞→∞;(2)有极限11lim;n n n n n x x y y -→∞---则也有极限lim,n n nx y →∞且lim n n n x y →∞=11lim .n n n n n x x y y -→∞---证明: 假定11limn n n n n x x a y y -→∞--=-,由此,并注意到lim .n n y →∞=+∞,知对于任给的0ε>,存在N ,使当n N >时,有112n n n n x x a y y ε----<- (且0n y >) (1)于是,当n N >时11,N N N N x x y y ++--2121121211,,,N N n n n nN N n n n nx x x x x x y y y y y y ++---++--------- (2) 都包括在,22a a εε⎛⎫-+ ⎪⎝⎭之内,因为1n n y y +>,所以(2)式中那些分数的分母都是正数,于是得上述各式相加,得 即.22n N n N x x a a y y εε--<<+-故当n N >时,有2n N n N x x a y y ε--<- (2)另外,我们有,当n N >时1.n N N N n Nn n n n N x x ay y x x a a y y y y y ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(3)故1.n N N N n Nn n n n N x x ay y x x a a y y y y y ⎛⎫---≤+-- ⎪-⎝⎭,注意到 11,.2N n N n n N y x x a y y y ε--<-<-故有 .2n N N n n x x ay a y y ε--≤+ (4) 又注意到,对于上述的N ,因为lim n n y →∞=+∞,所以,有lim0,N Nn nx ay y →∞-=故可取()N N '>,使得当n N '>有0.2N N N N n n x ay x ay y y ε--=-< (5) 于是,当n N '>时,有.222n N N n n x x ay a y y εεεε--≤+<+=因此,依极限定义,知 十一.(293P 页第9题)求()lim sin 2!n n en π→∞⎡⎤⎣⎦解:由(见课本286287P -的推导) ()()()()1111111011!2!!1!1!1n n e n n n n θθ++=++++++<<+++ (1) 故()()()111112!2!11!2!!1!1!1n en n n n n n θππ+⎡⎤=++++++⎢⎥+++⎣⎦注意到sin 20,1,2,k k π==故 ()()122sin 2!sin 11n en n n θππ+⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭于是十二.(292P 页第4题)设()01,2,n y n >=且()1n n y y s n ++=→∞→∞.证明:若有极限lim n n x →∞,则也有极限证明:设lim n n x c →∞=,则,n n x c α=+其中()lim 0.1,2,n n n α→∞==于是1122112.nkkn n k n ny x y x y x y c y y y s α=+++=++++∑ (1)记1nkkk n ny s αβ==∑,为方便起见,又记()1,2,,.knk ny t k n s == , 则1nn k nk k t βα==∑ (2)显然有对于任意给定的()1,lim 0nk n k k n t →∞≤≤=;且11,.nnk k t n ==∀∑ (3)下面证明1nn k nk k t βα==∑为无穷小序列.事实上,对于N m ∈∃>∀,0ε，使得，只要k m >,就有||2k αε< (4) 又因为对于任何给定的(),1,k k m ≤≤有lim 0.nk n t →∞=,所以对这取定的m ,存在k P N ∈,使当k n P >时,就有 ()12,1,2,,.2nk mt k m εααα<=+++,又可取{}1max ,,,m p P P =则当p n >时，有11 2.n nm m t t ααε+< (5)我们记{}p m N ,max =.于是，当N n >时，有 故1nn k nk k t βα==∑为无穷小序列.,所以, 112212limlim .n nn n n nx y x y x y c x y y y →∞→∞+++==+++第一章 函数的极限第二节 函数的极限一．函数的极限的概念(一)当∞→x 时函数的极限1.引例：观察下述几个函数当x 无限增大时（即∞→x ）的取值规律. （1）.()1f x x=； （2）.()11,0,11,0.x xf x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩（3）.();x x f = （4）..)(c x f ≡大家注意到，这四个函数当∞→x 时，都有明显的取值规律：其中（1）x x f 1)(=，无论→x +∞，还是-∞→x ，相应的函数值都无限的接近同一常数0，这时，我们就称)(x f 当∞→x 时有极限0.记为：.01lim=∞→xx （要会背）.但（2）中，因为当→x +∞及-∞→x 时)(x f 虽分别无限接近于常数-1和1，但在“∞→x ”这个总体极限过程中不能稳定在同一常数附近，这时，仍称)(lim x f x ∞→不存在.如果单独考察左、右侧极限，它们却是分别存在的，分别为-1、1.记为：.1)(lim ,1)(lim =-=+∞→-∞→x f x f x x 这里请大家务必区分开来.至于（3），随x 无限增大，|)(|x f 也无限增大，)(x f 的取值永不稳定，这时，)(lim x f x ∞→当然不存在.但为了强调|)(|x f 无限增大这一特点，形式地记∞=∞→)(lim x f x .1．A x f x =∞→)(lim 的定义（1）（描述性定义：设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数) 时有定义，如果随x 无限增大时，相应的)(x f 的值就无限地接近某一常数A ，则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A （或收敛于A ）.记为：()A x f x =∞→lim 或()()∞→→x A x f ,.（2）（精确的数学定义）：设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数)时有定义，如果对0>∀ε,（无论它多小）都0X M ∃>>，使当x X >时，都有： ε<-|)(|A x f ,则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A （或收敛于A ）.记为：()A x f x =∞→lim 或()()f x A x →→∞.注意：（1）.请大家思考一下单侧极限 A x f A x f x x ==-∞→+∞→)(lim ,)(lim 应如何定义？（2）.()A x f x =∞→lim 的几何解释（作图说明）：对0>∀ε，在xoy 平面上分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,，则必存在0X >,使当x X >时，函数)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间. （3）.由引例，显然有定理1. ()()()lim ,lim lim .x x x f x A f x A f x A →-∞→∞→+∞⎧=⎪=⇔⎨=⎪⎩（4）.请记住：例1．证明：11lim=+∞→x xx 证明：对0>∀ε，要使1|()||1|1|1|x f x A x x ε-=-=<++ 由.11||1||1|1|11|||1|+≥⇒<-≤+⇒-≥+εεx x x x x 故取11+=εX ，则当X x >||时，就有()ε<-||A x f . 依定义：11lim=+∞→x xx . （二）当0x x →时函数的极限1.引例：观察下述几个函数当0→x 时的取值规律 （1）x x f =)(；（2）()1,0,1,0.x x f x x x -<⎧=⎨+>⎩（3）()xx f 1=.2．0lim ()x x f x A →=的定义（1）（描述性的定义）设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域内有定义.如果当x 无限地接近于0x 时，相应地)(x f 的值就无限地接近某一个常数A ，这时，就称函数在点0x 处有极限（或收敛于）A.记为：()0lim x x f x A →=或()()0,f x A x x →→.（2）（精确的数学定义）：设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域0U x ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭内有定义，如果对0>∀ε（无论它多小），都0>∃δ，使当00||x x δ<-<时（即0x U x ∧⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时）都有()ε<-||A x f ，这时，就称函数在点0x 处有极限（或收敛于）A.记为：()0lim x x f x A →=或()()0,f x A x x →→.注意：（1）上述定义中为何要强调“去心邻域”？ （2）仿上述精确的数学定义，如何定义单侧极限)(lim ),(lim 00x f x x f x x x +-→→？ （3）()0lim x x f x A →=的几何解释：（作图说明）：对0>∀ε，在xoy 平面上分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,，则必存在点0x 的-δ邻域,使这邻域内的全部点（除0x 所对应的函数|)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间.（4）显然，有：定理2.()()0lim lim ,x x x x f x A f x A -→→=⇔=()0lim x x f x A +→=且. 例2．证明：00lim x x x x →=（其中0x 为常数，此结论要会背）.证明：对0>∀ε，要使 0|()|||f x A x x ε-=-<，只须取εδ=，则当00||x x δ<-<时，0|()|||f x A x x δε-=-<=. 依定义，00lim x x x x →=.例3．证明：22lim 4x x →=（请大家先猜猜极限值是多少？有何想法没有？）证明：不妨设1|2|≤-x （为何能这样假设？）5331≤≤⇒≤≤⇒x x . 对0>∀ε，要使故取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=5,1min εδ，则当δ<-<|2|0x 时，有例1.讨论xx x ||lim0→ 解：因为;10lim ||0lim -=-=--→→x x x x x x 10lim ||0lim ==++→→x xxx x x ,所以，xx x ||lim0→不存在！（此结论要会背）. 二.函数极限的性质注意到函数极限共有六种（哪六种？）形式，本节仅就最为常用的lim ()x x f x A →=为例讲述。
数列的极限与无穷练习题题目一：计算数列极限1. 设数列 {an} 的通项公式为 an = n/(n+1)，求该数列的极限。
解析：要求数列的极限，可以通过递推、分式拆分等方法计算。
给定的数列通项公式为 an = n/(n+1)，将该式进行变形，得到：an = n/(n+1) = 1 - 1/(n+1)当 n 无限增大时，1/(n+1) 的值趋近于 0，因此数列的极限为：lim(n→∞) an = lim(n→∞) (1 - 1/(n+1)) = 1所以，数列 {an} 的极限为 1。
题目二：计算数列极限2. 设数列 {bn} 的通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，将该式进行较高次项分式除法，得到：bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4) = 2/3 + (7/9n) + O(1/n^2)当 n 无限增大时，1/n 的值趋近于 0，O(1/n^2) 可忽略不计。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) bn = lim(n→∞) (2/3 + (7/9n)) = 2/3所以，数列 {bn} 的极限为 2/3。
题目三：计算数列极限3. 设数列 {cn} 的通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，将该式进行较高次项分式除法，得到：cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n) = (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n )当 n 无限增大时，(4/3)^n 的值趋近于无穷大，而 (1/2)^n 和 (5/2)^n的值趋近于 0。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) cn = lim(n→∞) (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n ) = ∞所以，数列 {cn} 的极限为无穷大。
第二章 数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。
数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如1，2，3，4，…，n，… 。
数列极限则是描述当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。
用数学语言来表示，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。
通俗地说，就是当数列的项数变得非常大时，数列的项与某个常数A 的距离可以任意小。
二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列｛an} 有极限，那么极限值是唯一的。
2、有界性：如果数列｛an} 有极限，那么数列｛an} 一定是有界的。
3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0 （或 A ＜ 0 ），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0 （或 an ＜ 0 ）。
三、数列极限的例题例 1：求数列｛1 ／ n} 的极限。
解：对于任意给定的正数ε ，要使｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε ，即 1 ／ n＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。
取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 （其中 x 表示不超过 x 的最大整数），当 n ＞ N 时，｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。
所以lim(n→∞） 1 ／ n ＝ 0 。
例 2：证明数列｛（－1)＾n ／ n} 的极限为 0 。
解：对于任意给定的正数ε ，因为｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＝ 1 ／ n ，要使 1 ／ n ＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。
取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 ，当 n ＞ N 时，｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。
所以lim(n→∞）（－1)＾n ／ n ＝ 0 。
例 3：判断数列｛n ／（n ＋ 1)｝的极限。
解：lim(n→∞） n ／（n ＋ 1) ＝lim(n→∞） 1 ／（1 ＋ 1 ／ n)当n → ∞ 时，1 ／n → 0 ，所以 1 ／（1 ＋ 1 ／n) → 1 。
