上海高中数学数列的极限(完整资料)

7.6 数列的极限之阳早格格创做课标解读：1、明白数列极限的意思；2、掌握数列极限的四则运算规则. 目标领会：1、数列极限的定义：普遍天，如果当项数n 无限删大时，无贫数列{}n a 的项n a 无限天趋近于某个常数a (即||a a n -无限天靠近于0)，那么便道数列{}n a 以a 为极限.注：a 纷歧定是{}n a 中的项.2、几个时常使用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim=∞→n n ；③)1|(|0lim <=∞→q q n n ；3、数列极限的四则运算规则：设数列{}n a 、{}n b ， 当aa n n =∞→lim ，bb n n =∞→lim 时，ba b a n n n ±=±∞→)(lim ；ba b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；)0(lim≠=∞→b b ab a n n n 4、二个要害极限：①⎪⎩⎪⎨⎧<=>=∞→001001lim c c c nc n 不存在②⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→11||111||0lim r r r r r nn 或不存在问题剖析： 一、供极限：例1：供下列极限：(1) 3214lim22+++∞→n n n n(2) 24323lim n n nn n -+∞→(3))(lim 2n n n n -+∞→例2：供下列极限：(1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ；(2)])23()13(11181851521[lim +⨯-++⨯+⨯+⨯∞→n n n例3：供下式的极限： 二、极限中的分数计划： 例4：已知数列{}n a 是由正数形成的数列，31=a ，且谦脚c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数.(1) 供数列{}n a 的通项公式及前n 项战n S ；(2) 供1122lim +-∞→+-n nn n n a a 的值. 三、极限的应用： 例5：已知p、q是二个没有相等的正整数，且2≥q ，供1)11(1)11(lim-+-+∞→q p n n n 的值.知识内化：1、=++++∞→n n n 212lim__________________.2、=+-+++++∞→])1(23)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________. 3、=⋅-⋅---+∞→1113232lim n n nn n n n ___________________.4、下列四个命题中精确的是（ ） A 、若22lim A a n n =∞→，则Aa n n =∞→limB 、若0>n a ，Aa n n =∞→lim ，则0>AC 、若Aa n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→D 、若)(lim =-∞→n n n b a ，则nn n n b a ∞→∞→=lim lim5、已知数列{}n a 、{}n b 皆是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中q p >且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项战，供1lim-∞→n nn S S .本领迁移：1、数列{}n a 、{}n b 皆是无贫等好数列，其中31=a ，21=b ，2b 是2a 与3a 的等好中项，且21lim=∞→n n n b a ，供极限)111(lim 2211n n n b a b a b a +++∞→ 的值.基础训练： 一、挖空题： 1. =-+∞→322lim 22n b nn n ___________________.2.若nn x )12(lim -∞→的极限存留，则真数x的与值范畴__________________. 3.1)11(lim 2=---+∞→b an n n n ，则a=______________，b =____________________.4.数列{}n a 中，31=a ，且对于任性大于1的正整数n ，面)1,(-n n a a 正在直线3=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn __________________.5. 已知n n f +++= 21)(，则=∞→22)]([)(lim n f n f n __________________. 6.数列{}n a 的公好d是2，前n项的战为nS ，则=-∞→nn n S n a 2lim _________________.7.设数列{}n a 、{}n b 皆是公好没有为0的等好数列，且2lim=∞→n nn b a ，则nnn na b b b 3221lim+++∞→ 等于______________________.8、将3133)2(3lim 1=-⋅+-⋅+∞→n n n n n n x n n ，则真数x的与值范畴是__________________.9、已知数列{}n a ：21，3231+，434241++，…，109102101+++ ，…，那么数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的所有项的战为________________.10、已知等比数列{}n a 的尾项1a ，公比q ，且有21)1(lim 1=-+∞→n n q qa ，则尾项1a 的与值范畴是__________________.二、采用题11、已知a 、b 、c 是真常数，且3lim 22=--∞→b cn c bn n ，则acn can n ++∞→22lim 的值是（ ）A 、2B 、3C 、21D 、612、{}n a 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤=1001,210001,1222n n n n n n a n ，则数列{}n a 的极限值（ ）A 、等于0B 、等于1C 、等于0或者1D 、没有存留13、)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ ）A 、0B 、1C 、2D 、314、已知122lim =+-∞→nn nn n a a ，R a ∈，则a 的与值范畴是（ ）A 、0<aB 、2-<a ，2>aC 、22<<-aD 、2<a 且2-≠a三、解问题15、已知等好数列前三项为a 、4、a 3，前n 项战为n S ，2550=k S(1)供a 及k 的值；(2)供)111(lim 21n n S S S +++∞→16、直线)0(1:>=x xy C 与直线x y l =:相接于1A ，做l B A ⊥11接x 辆于1B ，做l A B //21接直线C于2A ……依此类推. (1)供面1A ，2A ，3A 战1B ，2B ，3B 的坐标； (2)预测n A 的坐标，并加以道明；(3)供n n n n n B B B B 11||lim-+∞→17、已知数列}{n a 谦脚)1)(1()1(1-+=-+n n a n a n 且62=a ，设)(*∈+=N n n a b n n (1)供}{n b 的通项公式；(2)供)21212121(lim 432-++-+-+-∞→n n b b b b 的值.18、设n T 为数列}{n a 前n 项的战，))(1(23N n a T n n ∈-=.数列}{n b 的通项公式为)(34N n n b n ∈+= (1)供数列}{n a 的通项公式；(2)若},,,,{},,,,{321321 n n b b b b a a a a c ∈，则c 称为数列}{n a ，}{n b 的公同项，将数列}{n a 与}{n b 的公同项按它们正在本数列中的先后程序排成一个新的数列，道明：数列}{n c 的通项公式为)(312N n c n n ∈=+；(3)设数列}{n c 中的第n 项是数列}{n b 中的第m 项，m B 为数列}{n b 前m 项的战；n D 为数列}{n c 前n 项的战，且n m n D B A -=；供：4)(limn nn a A ∞→.。

上海高中数学数列的极限第一篇：上海高中数学数列的极限7.6数列的极限课标解读：1、理解数列极限的意义；2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：{an}的项an无a(即|ann-a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限。

a不一定是{a}中的项。

1lim=0limC=Cn→∞n2、几个常用的极限：①n→∞(C为常数)；②；③limqn=0(|q|<1)n→∞；3、数列极限的四则运算法则：设数列{an}、{bn}，当liman=an→∞，limbn=bn→∞时，n→∞limlim(an±bn)=a±b；lim(an⋅bn)=a⋅bn→∞ana=(b≠0)n→∞bbn；4、两个重要极限：①c>0⎧01⎪limc=⎨1c=0n→∞n⎪不存在c<0⎩|r|<1⎧0⎪nlimr=1r=1 ②n→∞⎨⎪不存在|r|>1或r=-1⎩问题解析：一、求极限：例1：求下列极限：2(1)lim4n+n+1lim3n3+nn→∞2n2+3(2)n→∞2n4-n(3)nlim→∞(n2+n-n)例2：求下列极限：(1)nlim→∞(1n2+4n2+73n-2n2+Λ+n2)；(2)lim1n→∞[2⨯5+15⨯8+18⨯11+Λ+1(3n-1)⨯(3n+2)]例3：求下式的极限：limcosnθ-sinnθn→∞cosnθ+sinnθ,θ∈(0,π2)二、极限中的分数讨论：例4：已知数列{an}是由正数构成的数列，a1=3，lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；且满足2n-1-an(2)求lim的值。

n→∞2n+an+1三、极限的应用：1(1+)p-1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q≥2，求lim的值。

沪教版高二上数学知识点一、数列与数列极限1. 等差数列与等差数列的常用性质等差数列是指数列中的任意两项之差都相等的数列。

其常用性质有：a) 第n项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差，$n$为项数。

b) 前n项和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$表示前n项和。

2. 等比数列与等比数列的常用性质等比数列是指数列中的任意两项之比都相等的数列。

其常用性质有：a) 第n项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数。

b) 前n项和公式：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$S_n$表示前n项和。

二、函数与导数1. 基本初等函数基本初等函数是指由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数构成的函数。

a) 常数函数：$y = c$，其中$c$为常数。

b) 幂函数：$y = x^a$，其中$a$为常数，$x$为自变量。

c) 指数函数：$y = a^x$，其中$a > 0$且$a \neq 1$，$x$为自变量。

d) 对数函数：$y = \log_a{x}$，其中$a > 0$且$a \neq 1$，$x$为自变量。

e) 三角函数和反三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等以及它们的反函数。

2. 导数与导数的应用a) 导数定义：函数$f(x)$在$x$点的导数为$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。

b) 导数的计算：利用导数的四则运算法则和链式法则等进行计算。

c) 导数的应用：包括函数的极值、最值、曲线的切线方程以及函数图象和导函数之间的关系。

三、平面向量1. 平面向量的表示与运算a) 平面向量的表示：平面向量用带箭头的有序数对表示，如$\vec{AB}$表示从点$A$到点$B$的向量。

第25讲 数列的极限[基础篇]一、数列极限的概念：（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列不一定有极限 （2）数列是否有极限与数列前面的有限项无关（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个确定的常数 二、数列极限的运算：（1）3个常见的数列极限是：lim n c c →∞=；1lim 0n n →∞=；lim 0nn q →∞=，1q <（2）只有当数列极限都存在时才能对数列极限之间进行运算（3）仅限定在有限个极限间的四则运算，不能推广到无限个极限间做运算 三、无穷等比数列的各项和：（1）使用的条件：若公比为q ，则q 的范围是01q << （2）常见的应用：循环小数化分数，几何应用[技能篇]例题1 下列命题正确的是 （ ） A ．若0)(lim =∞→n n n b a ，则0lim =∞→n n a 且0lim =∞→n n b ；B ．无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim +∞→∞→=n n n n a a ；C ．若n n a ∞→lim 存在，n n b ∞→lim 不存在，则)(lim n n n b a ∞→不存在；D. 若两个无穷数列的极限都存在，且n n b a ≠，则≠∞→n n a lim n n b ∞→lim 。

例题2 若()131lim331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围______例题3 求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n n -+2）; （3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ）．例题4 若12122lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+∞→bn n an n n ，则b a 的值为例题5 数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限为例题6 若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是例题7 若nn a a ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→21lim 存在，则a 的取值范围是________例题8 若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =_______，b = _______例题9 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是________例题10 若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 2524例题11 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x=>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞=例题12 设无穷等比数列{}n a 满足135218lim(...)3n n a a a a -→∞++++=，求首项1a 的取值范围．例题13 以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 内用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和（包括正方形ABCD ）A M NEFC B H GS1S 2例题14 如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求： （1）无穷个正方形的周长之和； （2）无穷个正方形的面积之积[竞技篇]一、填空题：1、若lim n n a A →+∞=，数列{}n b 是由{}n a 中123,,,......()k k k a a a k N *+++∈按照原来的顺序排列而成，则lim n n b →+∞=2、数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限 3、32211lim()334n n n n n n →∞-+-=++ 4、1111lim(...)1447710(32)(31)n n n →∞++++=⨯⨯⨯-+ 5、若321lim()03n n an b n n →∞---=+，则a ，b 的值为 6、1lim()1nnn a a →∞-=+ （a ≠－1） 7、若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是8、设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=9、在数列{}n a 中，542n a n =-，2123...n a a a a an bn ++++=+，n ∈N*，其中a ，b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-=+ 10、16248...(2)lim 43927 (3)n n n +→∞-+-++-=+++++ 11、248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++= 12、1111lim(...)123n m n n n n n m→∞-----=++++ （m ∈N*，m 为常数）二、选择题：13、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n a 有极限是数列{}n S 有极限的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件12、若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 252415、一个无穷等比数列公比为q ，满足01q <<，前n 项和为n S ，且它的第四项和第八项之和等于178，第五项与第七项之积等于14，则lim n n S →∞等于 （ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）816、设(),n n n P x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n x ny x →∞-=-A. 1-B. 12-C. 1D. 2三、解答题：17、已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为x （x ＞0），其前n 项和为n S ，求函数1()lim nn n S f x S →∞+=的解析式：18、已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n A ；等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，1q <，前n 项和为n B ，记12...n n S B B B =+++，若lim()1nn n A S n→∞-=，求{}n a 、{}n b 的通项公式19、设{}n a 是首项为a ，公比为q （q ＞0）的等比数列，前n 项和为n S ，若22212...()n n G a a a n N *=+++∈，求lim nn nS G →+∞20、函数2()12f x x =+-n 为正整数），设()f x 在(0,)+∞上取最小值时，自变量x 的取值为n a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）已知数列{}n b ，对任意正整数n ，都有2(45)1n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞（3）在点列112233(1,),(2,),(3,),...,(,),...n n A a A a A a A n a 中是否存在两点,i j A A （,i j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（,i j ）；若不存在，说明理由21、已知数列{}n a 的前n 项和n S 可表示为(3)(2)(1)(2)(1)166n n n n n n nS +++++=-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()f n 为关于n 的多项式，且满足lim ()2n n n S f n a →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，求()f n 的表达式。