下载文档原格式
学科：数学教学内容：数列、极限、数学归纳法(上)【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。
2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
3.数列的极限及其四则运算。
4.数学归纳法及其应用。
二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。
对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。
等比数列可看作自然数n的“指数函数”。
因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。
另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。
（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。
学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。
高中数学中的数列极限求解知识点总结数列极限是高中数学中的重要内容，它是数学分析的基础，也是数学发展的重要方向之一。
掌握数列极限的求解方法和相关知识点，对于高中生提高数学学习水平具有重要的意义。
下面将对高中数学中的数列极限求解知识点进行总结与归纳。
一、数列极限的概念及性质数列极限指的是当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
数列极限的概念基于数列的收敛性，即当数列趋于某个确定的值时，其极限存在。
1.1 数列极限的定义数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞) an = a，当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，对应的数列项an 与极限a之间的差值小于ε，即|an - a| < ε。
1.2 数列极限的性质（1）唯一性：如果数列的极限存在，则极限值唯一。
（2）有界性：如果数列的极限存在，则数列必定有界。
（3）保序性：如果数列{an}的极限为a，且数列{bn}的极限为b，则当n足够大时，对于数列中的任意项an与bn，都有an ≤ bn。
二、常见数列极限求解方法2.1 基本数列的极限（1）常数数列的极限：对于常数数列{an} = a，其中a为常数，则该常数数列的极限为a，即lim(n→∞)a = a。
（2）等差数列的极限：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，则当公差d≠0时，该等差数列的极限为±∞（取决于公差d的正负性），若公差d=0，则该等差数列的极限为a1。
2.2 数列极限的四则运算法则（1）加减法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an ± bn}的极限为a ± b。
（2）乘法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an × bn}的极限为a × b。
（3）除法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b且b≠0，则数列{an ÷ bn}的极限为a ÷ b。
高中数学证明题的八种方法(一)八种高中数学证明题的方法高中数学中，证明题是一种十分重要的题型。
下面，我们将介绍八种常见的证明方法。
一、几何证明法几何证明法是基于几何图形的特性以及几何定理来进行推理的证明方法。
通过画图、连线、标记等操作对几何图形进行分析，利用几何定理进行推理，最终完成证明。
二、极限证明法极限证明法是通过构造某些数列或函数的极限，从而推断所需证明结论的成立。
这种证明法通常需要先对题目进行化简，然后构造极限来进行推导。
三、归纳证明法归纳证明法是通过对数学问题进行归纳分析，在已知某个条件成立的前提下，推出所需证明结论的成立。
这种证明法通常需要先进行基础情况的分析，然后通过归纳假设和证明来完成。
四、逆证法逆证法是通过证明原命题的否定命题成立，进而推出原命题成立的证明方法。
通常，逆证法需要运用基本逻辑规律，如转化为反证法、归谬法等。
五、背反证明法背反证明法是通过推导出目标结果的相反结果，从而推断目标结果的真实性。
这种证明方法通常需要将目标结果假设为不成立，然后推导到与已知条件不符的结论，最终达到证明目标结果成立的目的。
六、反证法反证法是通过假设所需证明的结论不成立，然后推导出与已知条件不符的结论，从而推断所需证明结论的成立。
这种证明方法的关键是在证明暴露出矛盾的同时，需要进行对假设的反证。
七、数学归纳法数学归纳法是通过对数列等问题进行递推来证明所需结论的成立。
这种证明方法需要先确定基础情况的成立，然后通过不断迭代、递推，来证明所需结论的成立。
八、构造法构造法是通过构造满足题目条件的数据或对象，来证明所需结论的成立。
这种证明方法通常需要具备创新性和灵活性，通过对题目的分析和设计，来得出满足条件的构造方法，进而完成证明。
总之，这八种证明方法各有其特点和适用范围，在解决高中数学证明题时，可以根据题目性质和自身能力进行选择和运用。
具体应用下面，我们将通过几个具体的例题来展示这八种证明方法的应用。
例一证明：对于任意正整数n，有n2+n是偶数。
【高中数学】高中数学指导：数列的极限和数学归纳法一. 教学内容：数列的应用问题、数列的极限和归纳法二. 教学要求：1. 了解数列的一般应用问题，理解“复制”的概念及相关的应用问题，能建立较典型问题的数学模型。
2. 了解数列极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限。
3. 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
三. 串讲1. 零存整取和按揭贷款问题（见例题选讲）2. 数列极限的概念3. 常用的极限4. 数列极限的运算法则：5. 无穷递缩等比数列的各项和{an}为等比数列，q＜1则称{an}为无穷递缩等比数列。
6. 求数列极限的常用①求分子、分母都含有关于n的代数式或指数式的数列的极限，可将分子分母同除以分母的最高次幂（即无穷小量分出法），再求极限。
②利用有理化因子变形；③求和式极限时，一般先求和，再求极限；⑤求含有参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，分别确定极限是否存在，若存在求出值。
7. 数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的证明方法。
（1）数学归纳法的步骤：（分三步）①验证n取第一个值n0时命题f(n0)正确。
（是递推基础）；②假设n＝k（k∈N，k≥n0）时命题f(k)正确，证明n＝k＋1时命题f(k＋1)也正确。
（是递推的依据）；③由①、②可知对任意n≥n0命题f(n)都正确。
（结论）。
（2）用数学归纳法证明命题f(n)时，难点在第二步。
即假设n＝k，f(k)成立，推出n＝k＋1时f(k＋1)也成立，在推导中必须用到“归纳假设”，而此步骤证明的是“结构相同”。
如：用数学归纳法证明∴等式成立。
则n＝k＋1时（与k时的结构相同）∴当n＝k＋1时，等式也成立。
解：由递推公式算出前几项再用数学归纳法证明：…【典型例题】例1. 零存整取和按揭贷款问题（1）利息计算：①单利：每期都按初始本金计算利息，当期利息不计入下期本金。
例如：某人存入银行1万元现金，年利率5%，三年后一次性取出，本利和为多少？结论：按单利计算，每期的本利和组成等差数列，按复利计算，每期的本利和组成等比数列。
1、第一轮复习顺序：（1）集合与简易逻辑→不等式→函数→导数（含积分）→数列（含数学归纳法、推理与证明）。
（2）三角函数→向量→立体几何→解析几何。
（3）排列与组合→概率与统计→复数→算法与框图。
2、第一轮复习目标：全面掌握好概念、公式、定理、公理、推论等基础知识，切实落实好课本中典型的例题和课后典型的练习题，落实好每次课的作业，使学生能较熟练地运用基础知识解决简单的数学问题。
同时搞好每个单元的跟踪检测，注重课本习题的改造，单元存在的问题在月考中去强化、落实。
3、第二轮复习顺序：选择题解法→填空题解法→数学方法→数学思想→重要知识点的专题深化。
4、第二轮复习目标：在进一步巩固基础知识的前提下，注重方法、思想、重要知识的专题深化，使学生能熟练地运用基础知识和数学方法、思想解决较为复杂的数学问题。
同时落实好每次测试，每月一次的诊断性综合考试，并对存在的问题作好整理，为第三轮复习作好前期工作。
5、第三轮复习顺序：每周一次模拟考试→查漏补缺训练→规范答题卡训练。
6、第三轮复习目标：对准高考常见题型进行强化落实训练、查漏补缺训练和答题卡作答规范化的训练，同时落实好每次课的作业，每周扎扎实实地完成一套模拟试卷，使学生形成完整的知识体系和较高的适应高考的数学综合能力。
7、复习时间表：周次起止时间内容高二下学期和暑期集合的概念与运算，函数的概念；函数的解析式与定义域；函数的值域，函数的奇偶性与单调性；函数的图象；二次函数，指数、对数和幂函数；综合应用，导数的概念及运算，导数的应用，积分的概念和应用等差数列；等比数列第1周8.8——8.12；数列的通项与求和第2周8.13——8.19三角函数的概念；三角函数的恒等变形；三角函数中的求值问题第3周8.20——8.26三角函数的性质；y=Asin（ωx+φ）的图象及性质；三角形内的三角函数问题；三角函数的最值、综合应用第4周8.27——9.2向量的基本运算；向量的坐标运算；平面向量的数量积第5周9.3——9.9正弦和余弦定理；解三角形；综合应用第6周9.10——9.16不等式和一元二次不等式第7周9.17——9.23二元一次不等式和简单的线性规划；综合应用第8周9.24——9.30简单几何体的三视图和直观图；柱体、椎体和球体的表面积和体积第9周10.1——10.7空间两条直线的位置关系；线面平行和垂直的性质和判定定理第10周10.8——10.14空间中角与距离的解法；空间向量运算及在立体几何中的应用第11周10.15——10.21复习，章节训练第12周10.22——10.28复习，综合训练；期中考试第13周11.3——11.11直线的方程；两条直线的位置关系；圆的方程第14周11.12——11.18直线与圆的位置关系；综合应用第15周11.19——11.25椭圆；第16周11.26——12.2双曲线；抛物线第17周12.3——12.9直线和圆锥曲线；轨迹；综合应用第18周12.10——12.16排列与组合；.二项式定理；第19周12.17——12.23等可能事件的概率；有关互斥事件、相互独立事件的概率；综合应用第20周12.24——12.30离散型随机变量的分布列、期望与方差；统计的应用；独立性检验第21周1.1——1.6算法第22周1.7——1.13综合训练。
数学归纳法、数列极限1、知识点分布：1.用数学归纳法证明命题的步骤为:(1)验证当n 取第一个值0n 时命题成立,这是推理的基础;(2)假设当n=k ),(0*n k N k ≥∈时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n 时命题也成立是推理的依据; (3)结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察⇒归纳⇒猜想⇒推理⇒论证.3.注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意0n 不一定为1; (2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化2、考纲考点分析：理解水平：数列、项、通项、有穷、无穷、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列 探究水平：通项、前N 项和公式，简单递推数列问题，数列四则运算，无穷等比数列求和，数学归纳法证明整除问题，猜想、推理能力1、用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）2、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B3、用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211 ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k kk ，项数为k k k 212121=+--+． 4、等式22222574123 (2)n n n -+++++=（ ）.A. n 为任何正整数时都成立B. 仅n ＝1，2，3时成立C. n ＝4时成立，n ＝5时不成立D. n ＝4时不成立，其他成立. 答案：B5、已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该命题不成立,则( ) A 4=n 时该命题成立 B 6=n 时该命题不成立C 4=n 时该命题不成立D 6=n 时该命题成立答案：C6、用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ; 答案：57、（2015宝山一模理18文18）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n -1)=2n （n ∈*N ）的过程中，第二步假设n =k 时等式成立，则当n =k +1时应得到（ ）A 、1+3+5+…+(2k +1)=2kB 、1+3+5+…+(2k +1)=2(1)k + C 、1+3+5+…+(2k +1)=2(2)k + D 、1+3+5+…+(2k +1)=2(3)k + 【答案】B8、用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 . 答案：21a a ++9、若)(n f 为12+n 所表示的数字的各位数字之和，(n 为正整数)，例如：因为1971142=+，17791=++，所以17)14(=f ，)()(1n f n f =，[])()(2n f f n f =， ，[])()(1n f f n f k k =+(k 为正整数)，则)11(2010f =【参考答案】1110、利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，n n a b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 . 答案：若*2,n k k N =∈，有22k k a b -能被a b +整除，则22n k =+时，有2222k k a b ++-能被a b +整除11、用数学归纳法证明:*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式_________成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .答案：1122+<，k 212、数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 . 答案：11111,212212122k k k k k --+++++++、13、凸n 边形内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和f (k +1)=f (k )+___________. 答案：180°14、观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+47413121222<++,…则可归纳出：___________. 答案：1+112)1(13121222++<++⋅⋅⋅++n n n15、观察以下等式：211=，22343++=，2345675++++=，……，将上述等式推广到一般情形：对n N *∈，有等式： ． 【参考答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-16、设*n N ∈，用()N n 表示n 的最大奇因数，如：()()33,105N N ==，设()()()()()123212n n n S N N N N N =++++-+，则数列{}()12n n S S n --≥的前n 项和的表达式为【参考答案】()()112112S N N =+=+=；()()()()2123411316S N N N N =+++=+++=；()()()312822S N N N =+++=；21324,16S S S S ∴-=-=，由归纳法可得：114n n n S S ---=，∴{}1n n S S --的前n 项和的表达式为：()()414441143n n-=-- 17、设f (n )=（1+)11()111)(1nn n n++⋅⋅⋅++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后，f (k +1)与f (k )的关系是f (k +1)=f (k )·___________. 答案：(1+1)2211)(121+⋅+++k kk k18、若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ 【分析】：分别代入n k =和1n k =+，规律看前面【解答】：令n k =，得111()12331f k k =++++-令1n k =+，得111111(1)1233133132f k k k k k +=+++++++-++111(1)()33132f k f k k k k ∴+-=++++ 答案：11133132k k k ++++ 19、用数学归纳法证明等式“123+++…()()(21)121n n n ++=++（n N *∈）”时，从1n k n k ==+到时，等式左边需要增加的是____________。
数列、极限和数学归纳法一、基础篇一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
对数列的考查，客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.数列推理题是新出现的命题热点.2.数列的极限及其四则运算。
数列极限是高等数学在高考中的应用,高考命题对其要求不高,仅要求会利用四则运算法则求得极限即可.3.数学归纳法及其应用。
数学归纳法作为一种重要的推理方法,是高考重点考查内容.极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.内容与意义分析（1）数列是函数概念的继续和延伸，对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n 项和是自然数n 的“二次函数”。
等比数列可看作自然数n 的“指数函数”。
应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的.（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。
（3）数学归纳法是一种数学论证方法，同时又是一种数学思想。
高考数学极限与数学归纳法怎么考主干知识整合：要求了解数列极限和函数极限的概念。
掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限。
理解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
经典真题感悟1．在等差数列{an}中，a1＝125，第10项开始比1大，记t ＝2lim n nn a S n →∞+，则t的取值范围是 A ．475t >B ．837525t <≤ C ．437550t << D ．437550t <≤1 D2 用数学归纳法证*11111111"1()"234212122n N n n n n n -+-++-=+++∈-++L L 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_____ 2 . 221121+-+k k__________3．设常数0a >，42ax x ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，2lim()nn a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____14.已知()131lim331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围是. 42a ∴-<<5 已知函数()()⎩⎨⎧>≤+=003)(x e x k x x f x，若)(lim 0x f x →存在，则k 的值为______1___，6.有以下四个命题：（1）2n ＞2n+1(n ≥3) (2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f(n)=(n －1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f(n)=2)2(-n n (n ≥4)．其中满足“假设n=k(k ∈N,k ≥n0).时命题成立，则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0（n0是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 10.(2)（3）考点热点探究 例1.1 ( 1）∞→x lim（))((b x a x ++－x ）；(2)lim→x bb x aa x -+-+2222．（a ＞0）2．(2006陕西) n →∞lim 12n(n2+1－n2－1)等于( )A ． 1B ． 12C ． 14D ． 03． 已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim a cn can ++22的值是A ．2B ．3C ．21D ．64．（2006重庆）213(21)lim21n n n n →∞+++-=-+L 。
学科：数学教学内容：数列、极限、数学归纳法一、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式； ②能够运用这些知识解决一些实际问题； ③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前几项；③会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的一种方法； ②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理；并能用数学归纳法证明一些简单问题.二、知识结构(一)数列的一般概念数列可以看作以自然数集(或它的子集)为其定义域的函数；因此可用函数的观点认识数列；用研究函数的方法来研究数列。
数列表示法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。
列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a 3……a n ……或简写成｛a n ｝；其中a n 表示数列第n 项的数值；n 就是它的项数；即a n 是n 的函数。
解析法：如果数列的第n 项能用项数n 的函数式表示为a n =f(n)；这种表示法就是解析法；这个解析式叫做数列的通项公式。
图像法：在直角坐标系中；数列可以用一群分散的孤立的点来表示；其中每一个点(n,a n ) 的横坐标n 表示项数；纵坐标a n 表示该项的值。
用图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表示出来。
递推法：数列可以用两个条件结合起来的方法来表示：①给出数列的一项或几项。
②给出数列中用前面的项来表示后面的项的表达公式；这是数列的又一种解析法表示；称为递推法。
例如：数列2；4；5；529；145941…递推法表示为⎪⎩⎪⎨⎧∈+==+)(4211N n a a a a nn n ；其中a n+1=a n +n a 4又称为该数列的递推公式。
由数列项数的有限和无限来分数列包括穷数列和无穷数列。
由数列项与项之间的大小关系来分数列包括递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。
由数列各项绝对值的取值范围来分数列包括有界数列和无界数列。
数学归纳法及数列的极限知识精要一、数学归纳法数学归纳法的一般步骤是：（1）当n 取第一个值0n 时，命题成立；（2）假设当k n =时，命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
根据（1）和（2）可以断定，命题对任何*N n ∈都成立。
二、数列的极限1.定义：一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列}{n a 中的n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列}{n a 的极限，或叫做数列}{n a 收敛于A 。
记作A a n n =∞→lim ，读作“n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
2.常用数列的极限：（1）当1<q 时，0lim =∞→n n q ；（2）01lim =∞→n n （3）C C n =∞→lim ，（C 为常数） 3.四则运算法则：如果B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim )(lim （2）B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim （3）)0(,lim lim lim ≠==∞→∞→∞→B B A b a b a n n n n n n n 4.无穷等比数列的各项的和： 把1<q 的无穷等比数列的前n 项和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项的和，并用符号S 表示，即)01(,11)1(lim lim 11≠<-=--==∞→∞→q q qa q q a S S n n n n 且热身练习1.欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有32n n >”则所取的第一个n 值，最小应是 。
答案：102.设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ D ） A.若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立B.若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立C.若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立D.若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立3.用数学归纳法证明:)12(5312)()3)(2)(1(-⋯⋅⋅⋅⋅=+⋯+++n n n n n n n , *N n ∈,从“k n =到1+=k n ”时，左边应增添的因式是（ B ）A.12+kB.1)22)(12(+++k k k C.112++k k D.122++k k4.计算前几项：16941,941,41,1-+-+--等各项的值，可以猜想：=-+⋯+-+-+21)1(16941n n解答：11=a ，2)12(2)21(32+-=+-=-=a ，2)13(3)321(63+=++==a 猜想：2)1()1()321()1()1(169411121+-=+⋯+++⋅-=-+⋯+-+-+++n n n n n n n 5.数列}{n a 中，2221,11000,10012n n n a n n n n⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩ ，则数列}{n a 的极限值（ B ） A.等于0B.等于1C.等于0或1D.不存在6.计算：（1）32lim 43n n n →∞-+，（2)23(1)61lim n n n n →∞++，（3）1132lim 32n n n n n ++→∞-+。
专题二-数列-极限-数学归纳法--------------------------------------------------------------------------作者: _____________ --------------------------------------------------------------------------日期: _____________自学专题二 函数 不等式 数列 极限数学归纳法一 能力培养1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨问题1数列{n a }满足112a =,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,(n N *∈). (I)则{n a }的通项公式n a = ; (II)则1100nn a -的最小值为 ; (III)设函数()f n 是1100nn a -与n 的最大者,则()f n 的最小值为 .问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件:1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,⋅⋅⋅),21a a ≠,1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,⋅⋅⋅),其中a 为常数,k 为非零常数.(I)令1n n n b a a +=-(n N *∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞.问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ⋅u u u v u u u u v ,PM PN ⋅u u u u v u u u v ,NM NP ⋅u u u u v u u u v成公差小于零的等差数列.(I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM u u u u v 与PN u u uv 的夹角,求tan θ.三 习题探讨 选择题1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b = A,23 B,2131n n -- C,2131n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是A,B,C,D, 4在等差数列{}n a 中,1125a =,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是 A,475t >B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)上三个点,F 为焦点,若,,AF BF CF 成等差数列,则有 A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213211x x x =+ D,2213x x x =⋅ 6在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = .8223323232323236666n nn nS ++++=+++⋅⋅⋅+,则lim n n S →∞= .9在等比数列{}n a 中,121lim()15n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前2m 项之和2m S = .11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <, ②96S S <,③7a 是各项中最大的一项,④7S 一定是n S 中的最大项,其中正确的是 . 解答题12已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,且123,,n a a a a ⋅⋅⋅组成等差数列(n 为正偶数).又2(1)f n =,(1)f n -=,(I)求数列的通项n a ;(II)试比较1()2f 与3的大小,并说明理由.13已知函数2()31f x x bx =++是偶函数,()5g x x c =+是奇函数,正数数列{}n a 满足11a =,211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=.(I)若{}n a 前n 项的和为n S ,则lim n n S →∞= ;(II)若12()()n n n b f a g a +=-,求n b 中的项的最大值和最小值.14设函数()f x 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有12()()f x f x -12x x <-,且存在0x ,使得00()f x x =,数列{}n a 中,10a x <,1()2()n n n f a a a n N +=-∈, 求证:对于任意的自然数n ,有: (I)0n a x <; (II)1n n a x +<.参考答案:问题1解:(I)212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,得n S =2n n a当2n ≥时,1n n n a S S -=-=2n n a 21(1)n n a ---,有221(1)(1)n n n a n a --=-,即111n n a n a n --=+. 于是3241123112313451n n n a a a a a n a a a a a n --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=2(1)n n +.又112a =,得n a =1(1)n n +. 由于1a 也适合该式,故n a =1(1)n n +.(II)1100nn a -=299n n -=2(49.5)2450.25n -- 所以当49n =或50时,1100nn a -有最小值2450-. (III)因()f n 是1100nn a -与n 的最大者,有(1100)()1100(100)n n n f n n n a ≤≤⎧⎪=⎨-<⎪⎩,有min ()f n =(1)f =1.问题2(I)证明:由1210b a a =-≠,得2322121()()()0b a a f a f a k a a =-=-=-≠.由数学归纳法可证10n n n b a a +=-≠(n N *∈). 而,当2n ≥时,1111111()()()n n n n n n n n n n n n n n b a a f a f a k a a k b a a a a a a +---------====--- 因此,数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. (II)解:由(I)知,11121()()n n n b k b k a a n N --*==-∈当1k ≠时,112211()(2)1n n k b b b a a n k--++⋅⋅⋅+=-≥- 当1k =时,12n b b b ++⋅⋅⋅+=21(1)()n a a --(2n ≥)而12213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n -++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-≥,有当1k ≠时,1n a a -= 1211()(2)1n k a a n k---≥-;当1k =时,1n a a -=21(1)()n a a --(2)n ≥. 以上两式对1n =时也成立,于是当1k ≠时,11211()1n n k a a a a k --=+--= 11(())1n k a f a a k--=+--当1k =时,121(1)()n a a n a a =+--=(1)(())a n f a a +--.(III)解:当1k <时,11()lim lim[(())]11n n n n k f a aa a f a a a k k-→∞→∞--=+-=+--.问题3解:(I)设点P(,x y ),由M (1,0)-,N (1,0)得(1,)PM MP x y =-=---u u u u v u u u v ,(1,)PN NP x y =-=--u u u v u u u v ,(2,0)MN NM =-=u u u u v u u u u v有2(1)MP MN x ⋅=+u u u v u u u u v ,221PM PN x y ⋅=+-u u u u v u u u v ,2(1)NM NP x ⋅=-u u u u v u u u v .于是MP MN ⋅u u u v u u u u v ,PM PN ⋅u u u u v u u u v ,NM NP ⋅u u u u v u u u v成公差小于零的等差数列等价于 2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x ⎧+-=++-⎪⎨⎪--+<⎩,即2230x y x ⎧+=⎨>⎩ 所以点P 的轨迹是以原点为圆心C.(II)设P(00,x y ),则由点P 在半圆C 上知,22001PM PN x y ⋅=+-u u u u v u u u v又PM PN ⋅=u u u u v u u u v=,得cos PM PN PM PN θ⋅==⋅u u u u v u u u v u u u u v u u u v , 又001x <≤,12≤<,有1cos 12θ<≤, 03πθ≤<,sin θ==,由此得0tan y θ==. 习题解答:1由1(21)0n n a a n k +-=++>,n N *∈恒成立,有30k +>,得3k >-,选D.21211212112112121(21)22(21)21223(21)131(21)2n n n n n n n n n n a a n a a a a Sn n b b b b b b T n n n ------+-+--======++-+--,选B. 3设三边长分别为2,,a aq aq ,且0,0a q >> ①当1q ≥时,由2a aq aq +>,得112q +≤<; ②当01q <<时,由2aq aq a +>,得112q <<,于是得1122q +<<,选D. 4由10191a a d =+>,且9181a a d =+≤,而21lim ()2n nn da S t n →∞+==, 又1125a =,于是737550t <≤,选D. 5由椭圆第2定义得222132()()22()a a a AF CF x x BF x c c c+=+++==+,选A.6由条件得31444tan ,9tan 3A B =-+=,有tan 2A =,tan 3B =.得tan tan[()]tan()1C A B A B π=-+=-+=,于是ABC ∆为锐角三角形,选B. 7由12345636a a a a a a +++++=,12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=有12165()()()216n n n a a a a a a --++++⋅⋅⋅++=,即16()n a a +=216,得1n a a +=36,又13242na a n +⨯=,解得18n =.822111111()()333222n n n S =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+,得11332lim 1121132n n S →∞=+=--.9由条件知,公比q 满足01q <<,且11115a q =-,当01q <<时,11015a <<; 当10q -<<时,1121515a <<.于是1a 的取值范围是112(0,)(,)151515U . 10当n 为奇数时,相邻两项为n a 与2n a +,由51n a n =+得25(2)1(51)n n a a n n +-=++-+=10,且16a =.所以{}n a 中的奇数项构成以16a =为首项,公差10d =的等差数列.当n 为偶数时,相邻两项为n a 与2n a +,由n a = 22n,得2222222n n n na a ++==,且22a = 所以{}n a 中的偶数项构成以22a =为首项,公比2q =的等比数列. 由此得212(1)2(12)610522212m m mm m S m m m +--=+⨯+=++--.11由6778,S S S S <>,得780,0a a ><,有0d <;96S S <;7S 是n S 中的最大值,选①②④.12解:(I)由12(1)n f a a a =++⋅⋅⋅+=2n ,再依题意有1a +n a =2n ,即12(1)2a n d n +-=①又121(1)n n f a a a a n --=-+-⋅⋅⋅-+=,(n 为正偶数)得2d =,代入①有21n a n =-.(II)2311111()3()5()(21)()22222n f n =+++⋅⋅⋅+-,2341111111()()3()5()(21)()222222n f n +=+++⋅⋅⋅+- 得2311111111(1)()2()2()2()(21)()2222222n n f n +-=+++⋅⋅⋅+--于是2111()12()(21)3222n f n n-=+---⋅<. 13解: (I)可得2()31f x x =+,()5g x x =,由已知211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=,得11(32)()0n n n n a a a a ++-⋅+=,而10n n a a ++≠,有123n n a a +=,于是1lim 3213n n S →∞==-.(II)215832()()6()1854n n n n b f a g a a +=-=-+, 由12()3n n a -=知n b 的最大值为1143b =,最小值为4374243b =.14证明:用数学归纳法 (I)当1n =时,10a a <命题成立.假设当n k =(k N *∈)时,0k a a <成立,那么当1n k =+时,由1212()()f x f x x x -<-, 得00()()k k f x f a x a -<-,又00()f x x =,有00()k k x f a x a -<-, 而0k a x <,得00()k k x f a x a -<-,于是000()k k k a x x f a x a -<-<-,即0()2()k k k k a f a x f a a +<⎧⎨>⎩,又1()2k k k f a a a +=-,有10(2)2k k k a a a x ++-<,即10k a x +<,于是当1n k =+时,命题也成立. 综上所述,对任意的k N *∈,0n a a <.(II)由1212()()f x f x x x -<-,得00()()n n f x f a x a -<-, 又00()f x x =,得00()n n x f a x a -<-,又0n a a <,得00()n n x f a x a -<-,即000()n n n a x x f a x a -<-<-, 有()n n f a a >,而1()2n n n f a a a +=-,得12n n n a a a +->, 故1n n a a +>.----------THE END, THERE IS NO TXT FOLLOWING.------------。
数列的极限、数学归纳法、知识要点 (一) 数列的极限列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作lim a n A .n2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有lim(a n b n )lim a n lim ；lim( a n b n ) lim a n lim b nnnnnn na lim a nlim —— , (lim b n 0)nb n lim b n nn(a1)3.两种基本类型的极限<1> S= lima nn1(a 1)不存在(a诚a<2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、0 (p q)b p 且 g( n) 0(n N),则 limng(n )(二)数学归纳法①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。
②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o的自然数，命题都成立。
、例题(数学的极限)1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S「q E )无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p- (p q) b q 不存在 (p q)S lim S n (当 lim S n 存在时)nn数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为:(4) lim( J-3Lnn 1 n 1(5) lim G. n 2 2n n)=;n例2 •将无限循环小数 0.12 ； 1.32 12 化为分数.『1例3•已知lim(an b) 1,求实数a, b 的值;nn 1例 4•数列{a n },{b n }满足 lim (2a n +b n )=1,lim (a n — 2tn)=1，试判断数列{a n },{b n }的极限是否nn存在，说明理由并求lim (a n b n )的值.n例5.设首项为a ，公差为d 的等差数列前-项的和为A,又首项为a,公比为r 的等比数列S例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前 -项之和为S n ,又设T n =— (n 1,2,L ),S- 1求 lim T n .n21 例7. ｛a n ｝的相邻两项a n ,a n+1是方程x —c -X +(—)n =0的两根，又a 1=2,求无穷等比C 1 ,c 2, (3)C n ,…的各项和.例8在半径为R 的圆内作内接正方形， 在这个正方形内作内切圆， 又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
2008高考数学二轮复习数列、极限、数学归纳法（1）教学目标：1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.教学重点：理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.教学方法设计：“五步”教学法教学用具：三角板多媒体板书设计一、知识框架二、典型例题三、总结四、检测教学过程一、出示教学目标。
理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n 项.理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.二、组织基础知识结构，构建知识网络。
三、典型例题引路。
【例1】 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式.解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项 又01>a 显然11112na na ≠，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(qq q a S q q a S n n n--==--=偶数项 依题意221211)1(111)1(q q q a q q a n n --⋅=--；解之101=q 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+，依题意4212111)1(q a q q a =+，将101=q 代入得101=a n n n a --=⋅=2110)101(10【例2】 等差数列{a n }中，1233a a ==30，33a =15，求使a n ≤0的最小自然数n 。
解：设公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+3012230211d a d a 或⎩⎨⎧=+-=+3012230211d a d a 或⎩⎨⎧-=+=+3012230211d a d a 或⎩⎨⎧-=+-=+3012230211d a d a解得：⎩⎨⎧==0301d a ⇒ a 33 = 30 与已知矛盾 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21311d a ⇒ a 33 = - 15 与已知矛盾或⎪⎩⎪⎨⎧-==21311d a ⇒a 33 = 15 或⎩⎨⎧=-=0301d a ⇒ a 33 = - 30 与已知矛盾 ∴a n = 31+(n - 1) (21-) ⇒ 31 ≤--21n 0 ⇒ n ≥63 ∴满足条件的最小自然数为63。
【例3】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=44,S 7=35（1）求数列{a n }的通项公式与前n 项和公式； （2）求数列|}{|n a 的前n 项和T n 。
解：（1）设数列的公差为d ，由已知S 4=44,S 7=35可得a 1=17,d=-4 ∴a n =-4n +21 (n ∈N ),S n =-2n 2+19 (n ∈N ).（2）由a n =-4n +21≥0 得n ≤421, 故当n ≤5时，a n ≥0, 当n ≥6时，0<n a 当n ≤5时,T n =S n =-2n 2+19n 当n ≥6时,T n =2S 5-S n =2n 2-19n +90.【例4】 已知等差数列{}a n 的第2项是8，前10项和是185，从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n 项，依次排列一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的通项公式b n 及前n 项和公式S n 。
解：由⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=185291010811012d a S d a a 得 ⎩⎨⎧==351d a ∴23)1(35)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ∴2232+==n n n a b ·62321222321121-+=--+=+++=++n n n n n n b b b S ·……【例5】 已知数列{}a n ：…，…，…，，，1001001002100133323122211++++++ ①求证数列{}a n 为等差数列，并求它的公差 ②设()N n a a b n n n ∈=+11，求……++++n b b b 21的和。
解：①由条件，()212122121+=+=+++=+++=n n n n n n n n n a n …… ∴221+=+n a n ；∴()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n故{}a n 为等差数列，公差21=d ②()()()()214421122211++=++=++=n n n n n n b n ·又知()()()()21121122111++=++--+=+-+n n n n n n n n ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=21114n n b n……………+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++2121421114413143121421n n n b b b n∴221214lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++∞→n b b b n n ……【例6】 已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。
求该数列的前n 项和S n ；解：(1)记数列1，1，2……为{A n }，其中等比数列为{a n }，公比为q ；等差数列为{b n }，公差为d ，则A n =a n +b n (n ∈N ）依题意，b 1 =0，∴A 1 =a 1 +b 1 =a 1 =1 ① A 2=a 2+b 2=a 1q+b 1+d=1 ② A 3=a 3+b 3=a 1q 2 +b 1+2d=2 ③由①②③得d=-1, q=2, ∴n b a n n n -==-1,21∴ 2)1(12)]1()21()11[()221(1212121n n n b b b a a a A A A S n n nn n n -+-=-++-+-++++=+++++++=+++=-……………四、总结升华，提升能力。
.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.四、巩固练习，当堂检测，抓好落实。
1．设()则 (131211112)n n n n n s +++++++=（ D ） A ．()()312122+==s n n n s 时，项，当共有 B ．()()413121221++==+s n n n s 时，项，当共有 C ．()()3121222+==-s n n n n s 时，项，当共有D ．()()4131212212++==+-s n n n n s 时，项，当共有 2．等比数列{}a n 中，56810987654321=++++=++++a a a a a a a a a a ，，那么1514131211a a a a a ++++的值为（ C ）A ．756B ．256C ．392D ．4483．11．等比数列 {a n } 中，a 3=7，前三项之和 S 3=21，则公比q 的值是( C ) （Ａ） 1 （Ｂ） -21 （Ｃ） 1或 -21 （Ｄ） -1或21 4．首项为1，公差不为零的等差数列中的a a a 346，，是一个等比数列的前3项，则这一等比数列的第四项为（ B ）A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定5．已知数列{}a n 的前n 项和s n n n =-232，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是（ B ） A ．()N n n b n ∈-=98 B ．()N n n b n ∈-=18C ．()N n n b n ∈-=54D ． ()N n n b n ∈-=346．数列{a n }的前n 项和S n =3n -2n 2 (n ∈N )，当n >2时，就有（ D ） A ．S n >na 1>na n B ．S n < na n <na 1 C ．na 1<S n <na n D ．na n <S n <na 1 7．有下列命题：①x =)0(≠x ab 是a , x, b 成等比数列的充分但不必要条件 ②某数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数列③已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n n n S a n N -=∈+1()，那么{a n }一定是等比数列 ④设25215245a b c ===，，，则这三个数a , b, c 成等差数列 其中正确的命题序号是：（ D ）A ．②④B ．①②③C ．①③D ．①②④8．若两个等差数列}{}{n n b a 、的前n 项和27417++=n n B A B A n n n n 满足和(n ∈N )，则1111b a 的值等于（ C ） A ．47 B ．23 C ．34 D ．71789．在等差数列{}a n 中，3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24，则此数列前13项之和为（ A ） A ．26 B ．13 C ．52 D ．15610．等差数列{}n a ，1a =－5，它的前11项的算术平均值为5。
若从中抽去一项，余下10项的算术平均值为4，则抽去的是（ D ） A ．8a B ．9a C ．10a D ．11a 二、填空题1．已知数列{}a n 的前n 项和的公式为1322--=n n S n ，则通项公式为。
()()⎩⎨⎧≥-=-=25412n n n a n2．数列{a n }的通项公式为 )32)(12(1+-=n n a n 前n 项和为 S n ，若1lim =∞→n n aS(a 为实常数)，则a 的值等于 。
3 三、解答题1．,log }{),(2}{2n n n n n n a b b R P P S n a =+=满足数列∈项和的前数列.}{是等比数列若n a（1）;n a P 的值及通项求（2）;2)1(lim2211nnn n n b a b a b a ·…求++++∞→课堂小结：1． 对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n 项和. 2． 注意等差（比）数列性质的灵活运用.3． 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n 项和的求和方法.4． 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.课后小记：。
