甘肃省兰州市2012届高三诊断性考试数学(文)试题

2012年甘肃省兰州市高三诊断数学试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1. 集合U ={x ∈N|0<x ≤6}，M ={1, 4, 5}，N ={2, 3, 4}，则M ∩(C U N)=( )A {1, 4, 5, 6}B {1, 5}C {4}D {1, 2, 3, 4, 5}2. 函数f(x)=√x 2−4(x ≤−2)的反函数为（ ）A f −1(x)=√x 2+4(x ≥0)B f −1(x)=√x 2+4(x ∈R)C f −1(x)=−√x 2+4(x ≥0)D f −1(x)−√x 2+4(x ∈R)3. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8S 4=3，则S12S 8=( ) A 2 B 73 C 83 D 3 4. 已知点P(x, y)(x, y ∈R)，则“x ≥2且y ≥2”是“点P(x, y)在圆x 2+y 2=4外”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 212+y 216=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A 2√3B 4√3C 8D 166. 曲线y =12x 2−x −2在点(0, −2)处的切线与直线x =0和y =x +2所围成的区域内（包括边界）有一动点P(x, y)，若z =2x −y ，则z 的取值范围是（ ）A [−2, 2]B [−2, 4]C [−4, −2]D [−4, 2]7. 已知向量a →=(cosθ, sinθ)与b →=(cosθ, −sinθ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f(x)=sin(2x −θ)的图象的一条对称轴是直线（ ）A x =πB x =7π8C x =π4D x =π2 8. 已知函数y =f(x)为偶函数，当x >0时，f(x)=x 2−2x −3，则不等式f(x)>0的解集是（ ）A {x|x <−1}∪{x|x >3}B {x|x <−3}∪{x|x >1}C {x|x <−3}∪{x|x >3}D {x|−3<x <0}∪{x|x >3}9. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是（ ）A 30∘B 45∘C 60∘D 90∘10. 若函数f(x)=sinωx +√3cosωx ，x ∈R ，又f(α)=f(β)=2，且|α−β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（ ）A 13B 23C 43D 3211. 正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线．若一个正n 棱柱有10条对角线那么n =( )A 4B 5C 6D 712. 已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线x =−a 2c 上一点，O 为坐标原点，已知OP →=OF →+OM →，且|OF →|=|OM →|，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 1+√52C √2D 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. cos73∘cos13∘+cos17∘sin13∘=________．14. 三棱锥P −ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积是________．15. (2−√x)8展开式中不含x 4项的系数的和为________．16. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2+e b 的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=−11，a 4+a 6=−6．求：（1）a n ；（2）S n 的最小值．18. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A 2+cos A 2=√62（A 为锐角）． （1）求A 的大小；（2）若a =1且2c −√3b =0，求△ABC 的面积．19. 某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖．现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为35，乙获奖的概率为23，丙获奖而甲没有获奖的概率为15． （1）求三人中恰有一人获奖的概率；（2）记三人中至少有两人获奖的概率．20.如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧面ACC 1A 1是∠A 1AC =π3的菱形，且侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，D 为AC 的中点．（1）求证：平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1；（2）若点E 为AA 1上的一点，当CE ⊥BB 1时，求二面角A −EC −B 的正切值．21. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +1的导数f ′(x)满足f ′（1）=2a −6，f′（2）=−b −18，其中常数a ，b ∈R ．（1）判断函数f(x)的单调性并指出相应的单调区间；（2）若方程f(x)=k 有三个不相等的实根，且函数g(x)=x 2−2kx +1在[−1, 2]上的最小值为−23，求实数k 的值．22. 已知点M 是直线x =−12上的动点，F(12，0)为定点，过点M 且垂直于直线x =−12的直线和线段MF 的垂直平分线相交于点P ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q(a, 0)(a >0)且与x 轴不垂直的直线l 与点P 的轨迹有两个不同交点A 、B ，若在x 轴上存在点C ，使得△ABC 为正三角形，求实数a 的取值范围．2012年甘肃省兰州市高三诊断数学试卷（文科）答案1. B2. C3. B4. A5. D6. D7. B8. C9. C10. B11. B12. A13. 12 14. 50π15. 016. 2√6317. 解：（1）由等差数列的性质可得，a 4+a 6=2a 5=−6∴ a 5=−3d =a 5−a 14=2 ∴ a n =a 1+(n −1)d =−11+2(n −1)=2n −13（2）s n =na 1+n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36∴ 当n =6时，S n 由最小值−36法二：∵ a n =2n −13∴ n ≤6时，a n <0，n ≥7时，a n >0∴ S 6最小=6×(−11)+6×52×2=−36 18. 解：（1）∵ sin A 2+cos A 2=√62，∴ 两边平方可得sinA =12 ∵ A 为三角形的内角，且A 为锐角 ∴ A =π6；（2）∵ A =π6，a =1且2c −√3b =0， ∴ 1=b 2+(√32b)2−2b ×√32b ×cos π6 ∴ b =2，∴ c =√3∴ S △ABC =12ac =12×1×√3=√32． 19. 解：（1）设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B ，丙获奖为事件C ，三人中恰有一人获奖为事件E ，丙获奖的概率为p ，则P(C)p(A ¯)=15，即p(1−35)=15， 解可得，p =12， 三人中恰有一人获奖的概率P(E)=P(A ⋅B ¯⋅C ¯)+P(A ¯⋅B ⋅C ¯)+P(A ¯⋅B ¯⋅C)=310； 答三人中恰有一人获奖的概率为310；（2）记三人中没有一人获奖为事件F ，三人中至少有两人获奖为事件G ，P(F)=P(A ¯⋅B ¯⋅C ¯)=(1−35)(1−23)(1−12)=115，P(G)=1−P(E)−P(F)=1−115−310=1930；答三人中至少有两人获奖的概率为1930． 20. （1）证明：∵ 底面ABC 为正三角形，侧面ACC 1A 1是∠A 1AC =π3的菱形，D 为AC 的中点 ∴ AC ⊥A 1D ，AC ⊥BD∴ A 1D ∩BD =D ∴ AC ⊥平面A 1BD∵ AC ⊂平面ACC 1A 1，∴ 平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1；（2）解：∵ AA 1 // BB 1，CE ⊥BB 1，∴ CE ⊥AA 1，∴ E 为AA 1的中点∵ BD ⊥AC ，∴ BD ⊥平面ACE过点D 作DF ⊥CE ，垂足为F ，连接BF ，则BF ⊥CE ，所以∠BFD 为二面角A −EC −B 的平面角∵ DF ⊥CE ，∴ DF =12AE 设AB =a ，则BD =√32a ，DF =12AE =14AA 1=14a ∴ tan∠BFD =BD DF =2√321. 解：（1）∵ f(x)=x 3+ax 2+bx +1，∴ f′(x)=3x 2+2ax +b ，依题意，有{f ′(1)=3+2a +b =2a −6f ′(2)=12+4a +b =−b −18， 解得{a =−3b =−9， ∴ f(x)=x 3−3x 2−9x +1，f′(x)=3x 2−6x −9．∵ 由f′(x)>0，得x <−1，或x >3，由f′(x)<0，得−1<x <3，∴ f(x)在(−∞, −1)、(3, +∞)上单调递增，在(−1, 3)上单调递减．（2）由（1）知，函数f(x)当x =−1时取得极大值f(−1)=−1−3+9+1=6， 当x =3时取得极小值f(3)=27−27−27+1=−26．∴ 当方程f(x)=k 有三个不相等的实根时，−26<k <6．∵ g(x)=x 2−2kx +1=(x −k)2+1−k 2，∴ 当k ≥2时，g(x)min =g(2)=4−4k +1=−23，解得k =7，与−26<k <6矛盾．当−1<k <2时，g(x)min =1−k 2=−23，解得k =±2√6，与−1<k <2矛盾．当k ≤−1时，g(x)min =g(−1)=1+2k +1=−23，解得k =−252>−26，∴ k =−252． 22. 解：（1）∵ 过点M 且垂直于直线x =−12的直线和线段MF 的垂直平分线相交于点P ，∴ |PF|=|PM|，∴ 由抛物线的定义可得点P 的轨迹C 是以F 为焦点，以直线x =−12为准线的抛物线， ∴ 点P 的轨迹方程为y 2=2x ．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 的中点为N(x 0, y 0)，C(t, 0)，直线l 的方程为x =my +a(m≠0)与抛物线方程联立，消去x可得：y2−2my−2a=0∴ △=4m2+8a>0，y1+y2=2m，y1y2=−2a ∴ y0=m，x0=m2+a∵ △ABC为正三角形，∴ NC⊥AB，NC=√32AB∴ y0x0−t ×1m=−1，√(x0−t)2+y02=√32√(x1−x2)2+(y1−y2)2∴ t=m2+a+1，√(m2+a−t)2+m2=√32√(m2+1)×4(m2+2a)∴ 1+m2=3(m2+1)(m2+2a)∴ a=16−m22∵ m≠0，a>0∴ 0<a<16∴ 实数a的取值范围为(0, 16)．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题（1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（A ）A B ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆【答案】B【解析】根据四边形的定义和分类可知选B.（2）函数1)y x =≥-的反函数为（A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y 【答案】A【解析1】因为1-≥x 所以01≥+=x y .由1+=x y 得，21y x =+，所以12-=y x ，所以反函数为)0(12≥-=x x y ，选A. 【解析２】特例法因为点(1,0)-在原函数1)y x =≥-的图像上，所以点(0,1)-必在反函数的图像上，验证选项，可知正确选项应为A 。

（3）若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析1】函数)33sin(3sin)(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C. 【解析2】直接法因为函数()sin3x f x ϕ+=([0,2])ϕπ∈是偶函数，所以()()f x f x -=恒成立，即 sin sin 33x x ϕϕ-++=，sin cos cos sin sin cos cos sin 33333333x x x x ϕϕϕϕ-=+，cos sin 033xϕ=，因为sin 3x 不恒等于0，所以cos 03ϕ=，又因为[0,2]ϕπ∈，所以32πϕ=。

甘肃省兰州一中 2012年高三第三次诊断 数学（文）试题 和，则的集合为 （ ） A．[-1，0]B．C． D．（0，1） 2．等差数列中，若，则 ( ) A． B． C． D． 3．函数的图象可由的图像经过怎样的变换得到 ( ) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4. 已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面，有下列命题 ① 若； ② 若； ③ 若； ④ 若； 其中正确的命题个数是 ( ) A．1B．2C．3D．4 5．下列四个条件中，是的必要不充分条件的是 ( ) A．， B．， Ｃ．为双曲线， Ｄ．， 6．定义在R上的奇函数满足：对任意，且， 都有，则 ( ) A．B． C．D． 7. 已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为( ) A． B. C． D． 8．将编号为A 、B 、C 、D 、的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号， B必需放在与A相邻的盒子中，则不同的放法有( ) 41235 A． 42 B. 34 C． 30 D．28 9. 数列中，,且，则 ( ) A． B． C D． 10. 已知函数的图象如图，则 ( ) A. B. C. D. 11. 斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，该椭圆的离心率为 ( ) A． B. C． D． 12． 在直角梯形中，,,,动点在内运动(含边界)，设，则的最大值是 ( ) A． B. C．1 D． 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)和所在平面互相垂直， ，，，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 14. 在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时， 等于 . 15. 若直线被圆所截的弦长不小于2，则在下列曲线中： ① ② ③ ④ 与直线一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 16. 对于连续函数和，函数在闭区间上的最大值称为 与在闭区间上的“绝对差”，记为. 则 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（本题满分10分） 已知函数为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式； (Ⅱ)若 的值． 18．（本题满分12分）点,甲盒中放一球;若掷出点或点, 乙盒中放一球,若掷出点或点或点,丙盒中放一球,前后共掷次,设, ?分别表示甲, 乙,丙个盒中的球数. (Ⅰ) 求, ,依次成公差大于的等差数列的概率； (Ⅱ) 求的概率． 19.（本题满分1分）如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，为的中点．（Ⅰ）； （Ⅱ）求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值； （） 在上是否存在点，使平面？如果存在，求出；若不存在，说明理由． 的前n项和为Sn，且． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）在数列中，，，求数列的通项公式． 21.（本题满分12分） 已知函数. (Ⅰ) 若在上是增函数，是方程的一个实根，求(Ⅱ) 若的图象上任意不同两点的连线斜率小于，求实数的取值范围. 与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点 (Ⅰ) 证明：； (Ⅱ) 若的面积取得最大值时的椭圆方程. 参考答案 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的) 题号123456789101112选项C CDBDCC CBAAB 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题(本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上) 13. 14. 15. ① ③ 16 . 三、解答题：本大题共6小题，共7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解： ______________5分 ______________10分 18解: (Ⅰ), ,依次成公差大于的等差数列的概率,即甲, 乙,丙个盒中的球数.分别为,,,此时的……………6分 (Ⅱ) ………12分 19解：如图，以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，，，，（Ⅰ），，所以，即（Ⅱ）平面的法向量为设平面的法向量为，由得所以取，得所以，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为（Ⅲ）假设在存在一点， 设，因为，故所以，所以因为平面，所以与平面的法向量共线，所以 ，解得，所以，即，所以(Ⅰ)当n=1时，， ∴ a1=2．时，… ∵ ① ② ①-②得：， 即， ……………………3分 ∴ 数列是首项为2，公比为3的等比数列． ……4分 ∴． ………………6分 （II）∵， ∴当时， …… …8分 相加得 ． 当n=1时，， ∴ ． ………12分 21解： (Ⅰ) 由题可知在[0，2]上恒成立. 当时此式显然成立，； 当时有恒成立，易见应当有， 可见在[0，2]上恒成立，须有 又 ………………6分 (Ⅱ) 设是图象上的两个不同点，则 此式对于恒成立，从而 此式对于也恒成立，从而 注：用导数方法求解略，按相应步骤给分. 将，得 ① ………………………… 3分 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得 ， 即 …………………………………………………… 5分 （II）解：设由①，得 因为，代入上式，得 ……………8分 于是，△OAB的面积 ………………10分 其中，上式取等号的条件是 ………………11分 由 将这两组值分别代入①，均可解出 所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 …………12分 第10题图。

2012年高三诊断考试 数学（文科）参考答案和评分参考一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D （7）D （8）C （9）C （10）B （11）B （12）A 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）（13）12（14）50π （15）0 （16）263三、解答题(6小题，共70分)（17）解：（Ⅰ）设该数列的公差为d ∵ 461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-∴ 2d = ……………………4分 ∴ 1(1)11(1)2213n a a n d n n =+-=-+-⨯=- ……………………5分 （Ⅱ）221(1)(1)11212(6)3622n n n n n S na d n n n n --=+=-+⨯=-=-- ∴当6n =时，n S 取得最小值36- ……………………10分（18）解：（Ⅰ）∵6sincos 222A A += ∴1sin 2A = ∴6A π=……………………6分 （Ⅱ）∵6A π=，1a =且230c b -=∴222331()2cos 226b b b b π=+-⋅⋅ 解得：2b =，所以3c =故1113sin 232222ABC S bc A ∆==⨯⨯⋅= ……………………12分解法二：因为6A π=，1a =且230c b -=由余弦定理，得：222331()2cos 226b b b b π=+-⋅⋅ 解得：2b =，所以3c =∴2B π∠=∴11313222ABC S ac ∆==⨯⨯= ……………………12分 （19）解：设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B ，丙获奖为事件C ，丙获奖的概率为p ，则即31(1)55p ⋅-= 解得12p = ………3分（Ⅰ）三人中恰有一人获奖的概率：3213213213(1)(1)(1)(1)(1)(1)53253253210=--+-⨯⨯-+--⨯= ………6分 （Ⅱ）三人中至少有2人获奖的概率为：1930=………12分（20）解法一： (Ⅰ)证明： ∵ 13A AC π∠=1AA AC = D 为AC 的中点 ABC ∆为正三角形∴ 1AC A D ⊥ AC BD ⊥ ∴ AC ⊥平面1A BD 而AC ⊂平面11ACC A∴平面1A BD ⊥平面11ACC A ………………6分 (Ⅱ)∵1AA ∥1BB CE ⊥1BB ∴ CE ⊥1AA∴点E 为1AA 的中点∵BD AC ⊥ ∴BD ⊥平面ACE ………………7分过点D 做DF CE ⊥，垂足为F ，连接BF 则BF CE ⊥，所以BFD ∠为二面角A EC B--DABCA 1B1C 1EF的一个平面角 ………………9分∵DF CE ⊥ ∴12DF AE = 设AB a =，则32BD a = 1111244DF AE AA a === ∴ tan 23BDBFD DF∠== ………………12分 解法二：依题意有AC ，BD ，1A D 两两垂直且相交于点D ，故建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2AB a =则：(0,,0)A a -，(3,0,0)B a ，(0,,0)C a ，(0,0,0)D（Ⅰ）∵(0,2,0)AC a =u u u r ，(3,0,0)DB a =u u u r∴0320000AC DB a a ⋅=⨯+⨯+⨯=uuu r uu u r，∴ AC DB ⊥uuu r uu u r 1AC DA ⊥uu u r uuu r∴ AC BD ⊥ 1AC A D ⊥ ∴ AC ⊥平面1A BD 而AC ⊂平面11ACC A∴平面1A BD ⊥平面11ACC A ………………6分 (Ⅱ)∵1AA ∥1BB CE ⊥1BB ∴ CE ⊥1AA∴点E 为1AA 的中点∴3(0,,)22a aE - ∵BD AC ⊥ ∴BD ⊥平面ACE ∴(3,0,0)DB a =u u u r为平面ACE 的一个法向量设(,,)n x y z =r为平面BEC 的一个法向量，则有0n CB ⋅=r uu r ，0n CE ⋅=r uur 即DAB CA 1B 1C 1Exyz3033022ax ay ay az ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 令x a =则3y a =，3z a = ∴(,3,3)n a a a =r∴23n DB a ⋅=r uu u r 而||3DB a =u u u r ||13n a =r∴231cos ,31313||||n DB a n DB a a n DB ⋅<>===r uu u rr uu u r r uu u r ∴ 二面角A EC B --的正切值23 ………………12分 （21）解：（Ⅰ）因32()1f x x ax bx =+++，故2()32f x x ax b '=++，依题意有(1)3226(2)12418f a b a f a b b '=++=-⎧⎨'=++=--⎩ 解得 39a b =-⎧⎨=-⎩ ………3分 所以32()391f x x x x =--+，2()369f x x x '=-- ∵由()0f x '>得1x <-或3x >，由()0f x '<得13x -<<∴所以函数()f x 在(,1]-∞-与[3,)+∞上单调递增，在[1,3]-上单调递减……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()f x 当1x =-时取得极大值(1)13916f -=--++=，当3x =时取得极小值(3)272727126f =--+=-所以当方程()f x k =有三个不相等的实根时，266k -<< ………8分 ∵222()21()1g x x kx x k k =-+=-+- ∴当2k ≥时，min ()(2)44123g x g k ==-+=-，解得 7k =，与266k -<<矛盾；当12k -<<时，2min ()123g x k =-=-，解得26k =±，与12k -<<矛盾；当1k ≤-时min ()(1)12123g x g k =-=++=-解得25262k =->- ………11分 ∴252k =-………12分（22）解：（Ⅰ）由条件可得||||PF PM =，所以点P 轨迹为以直线12x =-为准线，1(,0)2F 为焦点的抛物线，所以点P 的轨迹方程为22y x = …………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)N x y ，(,0)C t ，直线l 的方程为(0)x m y a m =+≠由22x my ay x=+⎧⎨=⎩，得2220y my a --= ∴2480m a ∆=+> 122y y m += 122y y a =- ……………6分 所以1202y y y m +==，从而20x m a =+ ∵ABC ∆为正三角形，∴NC AB ⊥且3||||2NC AB =……………8分 由NC AB ⊥，得0011y x t m⋅=--，所以21t m a =++ 由3||||2NC AB =，得22220012123()()()2x t y x x y y -+=-+- 即222223()(1)4(2)2m a t m m m a +-+=+⋅+， ∵ 21t m a =++∴22213(1)(2)m m m a +=++，从而2162m a =- ……………10分∵0m ≠ 0a > ∴106a <<∴a 的取值范围1(0,)6．……………………12分。

甘肃省兰州一中 2012年高三第三次诊断数学（文）试题第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知合集U=R ，集合{|sin(1),}A y y x x R ==+∈和2{|0}B x x x =-≤，则()R A C B ⋂的集合为 （ ）A ．[-1，0]B ．[)1,1-C ．[)1,0-D ．（0，1）2．等差数列{}n a 中，若75913a a =，则139SS =( )A ．913B ．139C ．1D ．23．函数sin(2)3y x π=+的图象可由cos 2y x =的图像经过怎样的变换得到 ( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位4. 已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题① 若αα//,,//m n n m 则⊂； ② 若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③ 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④ 若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是 ( ) A ．:p a b >，22:q a b > B ．:p a b >，:22abq >Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x++> 6．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠， 都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-7. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为 ( ) A．10 B. 15 C ．10 D ． 358．将编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号， B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有 ( ) A ． 42 B. 34 C ． 30 D ．289. 数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a ( )A ．181B ．8081- C 127 D ．2627-10. 已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图，则 ( )A. (,0)b ∈-∞B. (0,1)b ∈ C . (1,2)b ∈ D. (2,)b ∈+∞11. 斜率为22的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，该椭圆的离心率为 ( )A ． 22 B. 21 C ． 33 D ． 3112． 在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在ABCD 内运动(含边界)，设AP AD AB αβ=⋅+⋅，则αβ+的最大值是 ( )A ．14 B. 43 C ．1 D ．13第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．13．已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直， 090=∠=∠BCD ABC ，a AB =b BC =，c CD =，且1222=++c b a ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 .14.在2012(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =S 等于 .15. 若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）16. 对于连续函数()f x 和()g x ，函数()()f x g x -在闭区间[,]a b 上的最大值称为()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上的“绝对差”，记为((),())a x bf xg x ≤≤∆.则322311(, 2)32x x x x -≤≤+=∆ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．17．（本题满分10分） 已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图像上相邻的一个最高(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)若 ())124sin ,31tan f παααα-++=+ 的值． 18．（本题满分12分）在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点, 乙盒中放一球,若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次,设x , y z 分别表示甲, 乙,丙3个盒中的球数.(Ⅰ) 求x , y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率； (Ⅱ) 求2x y +=的概率．19.（本题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，1=BD ，2=AF ，3=CE ，O 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：OC DF ⊥；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值；（Ⅲ） 在DE 上是否存在一点P ，使CP ⊥平面DEF ？如果存在，求出DP 的长；若不存在，说明理由．20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．21.（本题满分12分）已知函数()32(,)f x x a x b a b R =-++∈. (Ⅰ) 若()f x 在[0,2]上是增函数，2x =是方程()0f x =的一个实根，求(1)f 的最大值； (Ⅱ) 若()f x 的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数的取值范围.22．（本题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点F E D PCBO A(Ⅰ) 证明：222313k k a +>；(Ⅱ) 若OAB ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程.参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上)13. π 14. 30172- 15. ① ③ 16 .103三、解答题：本大题共6小题，共7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：()()()()(1)sin sin ,2sin cos 0cos 00,.22,,21,cos 2f x x x x TT T f x x ωϕωϕωϕϕππϕϕππω∴-+=+⇒=∴=≤≤∴===∴=∴=∴=为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则______________5分()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1cos 2455sin cos ,12sin cos ,2sin cos ,3999αααααααααααααααα-++===+++=∴+=∴=-∴=-原式又原式 ______________10分18解:(Ⅰ)x , y ,z 依次成公差大于2的等差数列的概率,即甲, 乙,丙3个盒中的球数.分别为0,1,2,此时的 41)21(31213=⨯⨯=C p ……………6分(Ⅱ) 8321)61(21)31(213161)2(22322333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯==C C A p ξ ………12分 19解：如图，以O 为原点，OB ，OC ，Oz 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，)0,3,0(C ，)1,0,1(D ，)3,3,0(E ，)2,0,1(-F ． ……2分（Ⅰ）），，（030=OC ，)1,0,2(-=DF ，所以0=⋅OC DF ，即DF OC ⊥． ……4分（Ⅱ）平面ABC 的法向量为)1,0,0(=1n ．设平面DEF 的法向量为),,(z y x =2n ，)2,3,1(-=DE ．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0DF DE 22n n 得⎩⎨⎧=+-=++-,02,023z x z y x 所以⎩⎨⎧-==.3,2x y x z 取1=x ，得)2,3,1(-=2n ． 所以222212,cos =⨯=⋅>=<212121n n n n n n ，所以平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为22． ……8分（Ⅲ）假设在DE 存在一点P ， 设),,(z y x P ， 因为DE DP λ=，故)2,3,1()1,,1(-=--λz y x ，所以)12,3,1(++-λλλP ，所以)12,33,1(+-+-=λλλCP ． 因为CP ⊥平面DEF ，所以CP 与平面DEF 的法向量2n 共线， 所以21233311+=--=+-λλλ ，解得41=λ，所以DE DP 41==，所以22=DP ．……12分20解：(Ⅰ)当n =1时，11312a a =-， ∴ a 1=2． …………………2分当2n ≥时，…∵312n n S a =- ① 1131(2)2n n S a n --=-≥ ②①-②得：133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=， ……………………3分 ∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列． ……4分∴123n n a -=⋅． ………………6分（II ）∵1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅……13223b b =+⋅02123b b =+⋅ …8分相加得 12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+-．当n =1时，111345b -+==，∴ 134n n b -=+． ………12分21解：(Ⅰ)2'()32f x x a x=-+ 由题可知2'()320f x x a x =-+≥在[0，2]上恒成立. 2232023x a x a x x -+≥⇒≥ 当0x =时此式显然成立，a R ∈；当(0,2]x ∈时有23a x ≥恒成立，易见应当有263a a ≥⇒≥，可见2'()320f x x a x =-+≥在[0，2]上恒成立，须有3a ≥又(2)084f b a =⇒=-(1)1732f a b a ⇒=+-=-≤-所以 max (1)2f =- ………………6分(Ⅱ) 设()()(,),(,)P x fx Q y fy 是()f x 图象上的两个不同点，则()()1f x f y x y -<-3232()()1x a x b y a y b xy -++--++⇒<-22()()1xyx y a x y ⇒-++++< 22()(1)0x y a x y a y ⇒+-+-+>此式对于x R ∈恒成立， 从而2203240y a y a ∆<⇒--+>此式对于y R ∈也恒成立，从而 2'03a a ∆<⇒<………………12分 注：用导数方法求解略，按相应步骤给分. 22解：（I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=，得 .012)31(222=-+-+a y k y k ① ………………………… 3分由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得， 即.313222k k a +>…………………………………………………… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312kky y +=+ 因为212,2y y CB AC -==得，代入上式，得.31222k ky +-=……………8分 于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=.23||32||331||32=<+=k k k k ………………10分 其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即 ………………11分 由.33,312222±=+-=y k k y 可得 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x …………12分。

高三实战数学答案 第1页2012年高三实战考试 数学参考答案与评分参考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.理科（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 文科（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）（理、文）2 （14）42 （15）R 3π（16）22525(2)()24x y +++=三、解答题：本大题共6小题，共70分. （17）理科解：(Ⅰ)∵24cos cos 9sin b A B a B =∴4cos cos 9sin sin A B A B = ……………………3分 显然cos cos 0A B ≠ ∴4tan tan 9A B ⋅=……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，4tan tan 09A B ⋅=>，故有tan 0A >，tan 0B >∴4tan tan 3A B +≥= ……………………6分∵tan tan 9tan tan[()]tan()(tan tan )1tan tan 5A B C A B A B A B A Bπ+=-+=-+=-=-+-91255≤-⨯=-……………………8分当且仅当tan tan A B =，即A B =时，tan C 取得最大值125-，此时A B C ∆为等腰三角高三实战数学答案 第2页形． ……………………10分 文科解：设数列{}n a 的公差为d ，首项为1a∵60S = ∴1250a d += ① ……………………3分 又∵77S = ∴131a d += ② ……………………6分 由①②解得15a =-，2d = ……………………8分 所以数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-…………………10分（18）理科解：（Ⅰ）事件A 、B 、C 中至少有两件发生的概率为()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+211522⨯⨯+3111152220⨯⨯= ………………6分（Ⅱ）ξ取的可能结果为0,1,2,3,则(0)()()()P P A P B P C ξ===211215222010⨯⨯==(1)()()()()()()()()()P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ξ==++311522=⨯⨯+211522⨯⨯+211752220⨯⨯=(2)()()()()()()()()()P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ξ==++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+21182522205⨯⨯==3113(3)()()()52220P P A P B P C ξ===⨯⨯= ……………………10分数学期望E ξ=1010⨯+7120⨯+225⨯+383205⨯=……………………12分文科解：(Ⅰ)∵24cos cos 9sin b A B a B =高三实战数学答案 第3页∴4cos cos 9sin sin A B A B = ……………………3分 显然cos cos 0A B ≠ ∴4tan tan 9A B ⋅=……………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，4tan tan 09A B ⋅=>，故有tan 0A >，tan 0B >∴4tan tan 3A B +≥= ………………8分∵tan tan 9tan tan[()]tan()(tan tan )1tan tan 5A B C A B A B A B A Bπ+=-+=-+=-=-+-91255≤-⨯=-……………………10分当且仅当tan tan A B =，即A B =时，tan C 取得最大值125-，此时A B C ∆为等腰三角形． ……………………12分（19）理科解法一 （Ⅰ）证明：∵A E ⊥平面ABC ，B D ⊥平面ABC∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D∴A E ∥平面BC D ………………5分 （Ⅱ）∵B D ⊥平面ABC∴平面BC D ⊥平面ABC在平面BC D 中过点M 做M N B C ⊥，垂足为N ，则有M N ⊥平面ABC ， M N ∥B D ，∴2E M N π∠=且M N ∥A E过N 做N G A B ⊥于G ，连接M G 则M G AB ⊥，所以M G N ∠为二面角M A B C--的一个平面角 ………………7分在四边形A E M N 中CAEDBMNG高三实战数学答案 第4页∵ 2E A N A N M N M E π∠=∠=∠=∴四边形A E M N 为矩形 ∴M N =1A E =∴M 为C D 的中点，N 为B C 的中点 ………………10分 在Rt M N G ∆中，1M N =，sin 2N G BN ABC =⋅∠=∴tan 32M N M G N N G∠===………………12分解法二依题意建立如图所示空间直角坐标系，则(,0,0,0)A，(1,0)B ，(2,0,0)C，(1,2)D (0,0,1)E（Ⅰ）∵(0,0,1)AE =uuu r(11,20)BD =---=uuu r∴2BD AE =uuu r uuu r∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC ∴A E ∥平面BC D （Ⅱ）∵M 在D C 上∴C M C D λ=uuu r uuu r设(,,)M x y z ，则有2x λ=-，y =，2z λ=∴(2,21)EM λλ=--uuu r∵EM BD ⊥∴(2)00(21)20EM BD λλ⋅=-⨯+⨯+-⨯=uuu r uuu r解得：12λ=高三实战数学答案 第5页∴3(22M依题意(0,0,1)AE =uuu r 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z '''=r为平面M A B 的一个法向量，则有n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuur r即03022x x y z ⎧''+=⎪⎨'''++=⎪⎩令x '=1y =-，z '=∴1,n =-r∴cos ,||||n AE n AE n AE ⋅<>===-⋅uuu r r uuu r r uuu r r显然，二面角M A B C --为锐二面角，所以二面角M A B C --∴二面角M A B C --3文科解：（Ⅰ）事件A 、B 、C 中至少有两件发生的概率为()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+211522⨯⨯+3111152220⨯⨯= ……………………6分（Ⅱ）依题意有2()()()()()()()()()5P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++≥……………………9分 即3131(1)5252p p ⨯⨯-+⨯⨯+212525p ⨯⨯≥解得12p ≥………………11分所以p 的取值范围是1[,1]2…………………12分（20）理科高三实战数学答案 第6页解：(Ⅰ)由12121nna a a n =++++ 得：12(21)n a a a n n +++=+ ，即22n S n n =+ ……………………3分 ∴当2n ≥时，1(21)(1)(21)41n n n a S S n n n n n -=-=+---=-又1n =时，113a S ==∴41n a n =-()n N *∈ ……………………6分(Ⅱ)假设存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切n N *∈都有()0f x ≤成立，即有1102ni i x b =+-≤∑成立∴当x λ≤时，对一切n N *∈都有112nii x b=+≤∑成立…………8分∵161616(1)(5)(411)(415)4(44)n n n b a a n n n n ===++-+-++111(1)1n n nn ==-++∴111111111()()()112231112ni i n b nn n n ==-+-++-=-=≥+++∑ ………10分∴当x λ≤时，对一切n N *∈都有1122x +≤成立，解得0x ≤∴可取0λ=，当x λ≤时，对一切n N *∈都有()0f x ≤成立…………12分文科解法一 （Ⅰ）证明：∵A E ⊥平面ABC ，B D ⊥平面ABC∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D∴A E ∥平面BC D ………………5分高三实战数学答案 第7页（Ⅱ）∵B D ⊥平面ABC∴平面BC D ⊥平面ABC在平面BC D 中过点M 做M N B C ⊥，垂足为N ，则有M N ⊥平面ABC ， M N ∥B D ，∴2E M N π∠=且M N ∥A E过N 做N G A B ⊥于G ，连接M G 则M G AB ⊥，所以M G N ∠为二面角M A B C--的一个平面角 ………………7分在四边形A E M N 中∵ 2E A N A N M N M E π∠=∠=∠=∴四边形A E M N 为矩形 ∴M N =1A E =∴M 为C D 的中点，N 为B C 的中点 ………………10分在Rt M N G ∆中，1M N =，sin 2N G BN ABC =⋅∠=∴tan 32M N M G N N G∠===………………12分解法二依题意建立如图所示空间直角坐标系，则(,0,0,0)A，(1,0)B ，(2,0,0)C，(1,2)D (0,0,1)E（Ⅰ）∵(0,0,1)AE =uuu r(11,20)BD =---=uuu r∴2BD AE =uuu r uuu r∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D ∴A E ∥平面BC D （Ⅱ）∵M 在D C 上CAEDBMNG D高三实战数学答案 第8页∴C M C D λ=uuu r uuu r设(,,)M x y z ，则有2x λ=-，y =，2z λ=∴(2,21)EM λλ=--uuu r∵EM BD ⊥∴(2)00(21)20EM BD λλ⋅=-⨯+⨯+-⨯=uuu r uuu r解得：12λ=∴3(22M依题意(0,0,1)AE =uuu r 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z '''=r为平面M A B 的一个法向量，则有n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuur r即03022x x y z ⎧''+=⎪⎨'''++=⎪⎩令x '=1y =-，z '=∴1,n =-r∴00(1)1(AE n ⋅=⨯+⨯-+⨯=uuu r r∴cos ,||||n AE n AE n AE ⋅<>===-⋅uuu r r uuu r r uuu r r显然，二面角M A B C --为锐二面角，所以二面角M A B C --∴二面角M A B C --3（21）理科高三实战数学答案 第9页解：（Ⅰ）依题意有：2c a=，22231ab-=且222c a b =+所以21a =，23b =双曲线C 的方程为2213yx -= ………4分（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线l 不存在．②若直线l 的斜率为0，则线段A B 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在． ③若直线l的斜率为，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线l 不存在．④若直线l 的斜率存在，且不为0不为时设为k ，则直线l 的方程为1y kx =- ………6分设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22113y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2(3)240k x kx -+-=22416(3)0k k ∆=+->22k ⇒-<< ………7分2)3k x k --若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以2222133k k k k =⋅---解得21k =-，这矛盾． ………11分 综上，不存在满足条件的直线 ………12分高三实战数学答案 第10页文科解：（Ⅰ）∵22224()343()33a a f x x axb x b '=++=+-+∴2433a -=24133a b -+=-解得2a =- 5b = ………3分∴32()452f x x x x =-+- 2()385(35)(1)f x x x x x '=-+=-- ∴当1x <或53x >时，()0f x '>，故函数()y f x =在(,1]-∞或5[,)3+∞上单调递增当513x <<时，()0f x '<，故函数()y f x =在5[1,]3上单调递减∴1x =时，函数()y f x =取得极大值(1)14520f =-+-=53x =时，函数()y f x =取得极小值3255554()()4()52333327f =-+⨯-=-……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-∴ 32()()392f x g x x x x m +=--+-令()()()h x f x g x =+，则2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-∴函数()h x 在(,1]-∞-上单调递增，在[1,3]-上单调递减，在[3,)+∞上单调递增 ∴()(1)3h x h m =-=+极大值，()(3)-29h x h m ==极小值 ………9分 ∵方程()()0f x g x +=只有一个实根∴30290m m +>⎧⎨->⎩ 或30290m m +<⎧⎨-<⎩ 解得3m <-或29m >∴m 的取值范围是(,3)(29,)-∞-⋃+∞ ………12分（22）理科解：（Ⅰ）依题意()21f x x '=-∴232()ln ()()ln ()(21)23ln g x x f x f x x x x x x x x x '=-=---=-+-+高三实战数学答案 第11页∴221(1)(61)()661x x g x x x xx-+'=-+-=………3分∵()g x 的定义域为(0,)+∞ ∴0162>+xx∴当01x <<时，()0g x '>；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '<． ∴()g x 在(0,1]上是增函数，在[1,)+∞上是减函数．∴当1x =时，()g x 取得最大值(1)0g = ………6分(Ⅱ)∵ )1(2)1(11)1()(222xx xx xxx x xf x f +--+=-+-=+∴不等式11()()()ln f x f x m xx+≥+⋅可化为2111()2()()ln x x x m xx x+--+≥+⋅∵0x > ∴21≥+xx (当且仅当1x =时取“=”)设t xx =+1(2t ≥)则可得22ln t t t m --≥∴ 2ln 1m t t≤--(2t ≥) ………10分∵12--t t 在[2,)+∞上是增函数 ∴12--tt 的最小值为01222=--∴ln 0m ≤∴01m <≤ ………12分 文科解：（Ⅰ）依题意有：2c a =，22231ab-=且222c a b =+所以21a =，23b =双曲线C 的方程为2213yx -= ………4分（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线l 不存在．高三实战数学答案 第12页②若直线l 的斜率为0，则线段A B 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在． ③若直线l的斜率为，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线l 不存在．④若直线l 的斜率存在，且不为0不为时设为k ，则直线l 的方程为1y kx =- ………6分设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22113y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2(3)240k x kx -+-=22416(3)0k k ∆=+->22k ⇒-<< ………7分2)3kx k -- 若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以2222133k k k k =⋅---解得21k =-，这矛盾． ………11分综上，不存在满足条件的直线 ………12分。

2012年高三诊断考试卷数 学（理科）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，题号后标注“理科”的试题为理科考生解答，标注“文科”的试题为文科考生解答，未作标注的试题文、理科考生均解答．2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.（理科）已知复数z 满足(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），则z =（ ）2.函数()2)f x x =-…的反函数为（ ）1111() ()0) (B) ())(C) ()0) (D) ())A f x x f x x R f x x f x x R ----==∈==∈……3．设等比数列n a {}的前n 项和为n S ，若843S S =，则128S S =（ ） 4．已知点(,)P x y （,x y R ∈），则“2x …且2y …”是“点(,)P x y 在圆224x y +=”外的（ ）5．（理科）已知向量(cos ,sin )a θθ=与(cos ,sin )b θθ=-互相垂直，且θ为锐角，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是 （ ）6．曲线2122y x x =-- 在点(0,2)-处的切线与直线0x =和2y x =+所围成的区域内（包括边界）有一动点(,)P x y ，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）() [-2,2] (B) [-2,4] (C) [-4,-2] (D) [-4,2]A 7．（理科）已知函数()y f x =是奇函数，当0x ＞时，2()23f x x x =--，则不等式()0f x ＞ 的解集是 （ ）8．（理科）在三棱柱111ABC A B C -中，各侧面均为正方形，侧面11AAC C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面11AAC C 所成的角的大小是 （ ）9．（理科）若函数()sin ,,()()2f x x x x R f f ωωαβ=+==∈又，且αβ-的最小值等于3π，则正数ω的值为 （ ）10．（理科）过点(2,0)M -的直线l 与椭圆2222x y +=交于12P P 、，线段12P P 的中点为P ．设直线l 的斜率为1k （1(0)k ≠，直线OP （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k 等于 （ ）11．正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线．若一个正n 棱柱有10条对角线，那么n =（ ）12．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线2a x c=-上一点，O 为坐标原点，已知OP OF OM =+且OF OM =，则双曲线C 的离心率为 （ ）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．cos73cos13cos17sin13+= 。

甘肃省2012届高三第一次高考诊断试卷数 学 试 题考生注意：本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，其中，选择题用2B 铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( （k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（理科）设复数1213,1z i z i =-=+，则12z z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （文科）设全集{2,1,0,1,2},U =--集合{1,2},{2,1,2}A B ==-，则()U A C B U =（ ） A ．U B ．{-2，1，2} C ．{1，2} D ．{-1，0，1，2}2．已知向量(1,2),(1,)a b λ==-，若a b b +与垂直，则实数λ的值为（ ） A ．-2或0 B ．-2或12 C ．2- D ．123．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且满足：对任意的[)12,0,x x ∈+∞（12x x ≠）都有2121()()f x f x x x --0<，则下列选项中正确的是（ ） A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-4．（理科）已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．14(,)23- B ．φ C ．14[,]23- D ．13,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U（文科）已知a ，b ，c ，d 成等比数列，曲线223y x x =-+的顶点是（b ，c ），则ad 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-2 5．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中假．命题．．是（ ）A ．若//,//a b αβ则B ．若,αβ⊥⊥则a bC ．若a ，b 相交，则α，β相交D ．若α，β相交，则a ，b 相交 6．（理科）函数||2x y =的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，那么当a 变动时，方程()b g a =表示的图形可以是（ ）（文科）将函数()2cos 2f x x =的图象按向量(,2)4a π=-平移，则平移后得到图象的解析式是（ ） A ．2sin 22y x =- B ．2cos 22y x =- C ．2cos 22y x =+ D ．2sin 22y x =+7．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=8．（理科）若数列{}n a 满足*111(,)n nd n N d a a +-=∈为常数，则称数列{}n a 为“调和数列”。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目；2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）已知集合{|}A x x =是平行四边形，B {|}x x =是矩形，C {|}x x =是正方形，D {|}x x =是菱形，则：（A ）B A ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆（2）函数1)y x =≥-的反函数为（A ）21(0)y x x =-≥ （B ）21(1)y x x =-≥（C ）21(0)y x x =+≥ （D ）21(1)y x x =+≥ （3）若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ= （A ）2π （B ）23π （C ）32π （D ）53π （4）已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （A ）2425- （B ）1225- （C ） 1225（D ）2425 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （6）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，n S =12n a +，则n S =（A ）12n - （B ）13()2n - （C ）12()3n - （D ）112n -（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（A ）240种 （B ）360种 （C ）480种 （D ）720种（8） 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB=2, 1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B （C （D ）1（9）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB =a ，CA =b ，a ·b =0，|a|=1，|b |=2，则AD =（A ）13a -13b （B ）23a -23b （C ）35a -35b （D ）45a -45b（10）已知12,F F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（11）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在AB 上，点F 在BC 上，AE=BF=13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）32012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。