2020届河南省大联考高三阶段性测试(七)数学(理)试题解析

2020年高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．143．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．165．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2b 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2√23 D ．2√336．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6 8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2] 9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．1210．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．1−π4B．π4C．1−2πD．2π11．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当x∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣312．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝（x﹣2）lnx，则函数f（x）在x＝1处的切线方程为．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是（填写字母）．16．设F1，F2是椭圆C：x2+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，4若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB＝3．（1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．19．已知O 为坐标原点，点F （0，1），M 为坐标平面内的动点，且2，|FM →|，2OM →⋅OF →成等差数列．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线T ，过点N （0，2）作直线l 交曲线T 于C ，D 两点，试问在y 轴上是否存在定点Q ，使得QC →⋅QD →为定值？若存在，求出定点Q 的坐标，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）＝axe x +（x +1）sin x +cos x ．（1）若a ＝1，x ≥−π2，求函数f （x ）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosx x ，x ∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g （x ）的导函数g '（x ）存在零点，求实数a 的取值范围．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p （0＜p ＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若E ξ1＝E ξ2，试运用概率与统计的知识，求p 关于k 的函数关系p ＝f （k ）； （ⅱ）若p =1−1√e 4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k 的最大值．（ln 4＝1.386，ln 5＝1.609，ln 6＝1.792，ln 7＝1.946，ln 8＝2.079，ln 9＝2.197）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|．（1）求函数f （x ）的最大值M ；（2）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝M ，求a a+2+2b 2b+1的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），则A∩B＝（1，+∞），故选：B．【点评】本题考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．14【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z=1(i−1)2=1−2i=i−2i⋅i=12i，则|z|=12．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元【分析】根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D错误．解：对于选项A：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误；对于选项B：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误；对于选项C：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D 错误，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．16【分析】求出展开式的通项，然后分别求出x2，x4项的系数相加即可．解：（x+1）5＝（1+x）5，所以展开式的通项可写为：T k+1=C5k x k，k＝0，1， (5)所以a2+a4=C52+C54=15．故选：C．【点评】本题考查二项展开式通项的应用．注意系数与二项式系数的区别．属于基础题．5．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，过F作x轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A，B两点，若△AOB的面积为2b2，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2√23D．2√33【分析】写出双曲线的渐近线方程，求得|AB|，代入三角形面积公式，整理可得双曲线C 的离心率．解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，则|AB|=2bca，则S△AOB=12×2bc a×c=2b2，即c4﹣4a2c2+4a4＝0，则（c2﹣2a2）2＝0．∴c2＝2a2，得e=ca=√2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．22【分析】直接利用数列的通项公式的应用求出结果．解：数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数， 所以：a 2＝1，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝16．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：根据三视图中的数据，所以AE ＝2，BE ＝CE ＝1，DE ＝2，所以AD =√22+22=2√2，AB ＝AD ＝AC ＝CD =√12+22=√5．则S △ABD =S △ACD =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6．S △ABC =S △BCD =12×2×2=2．故几何体的表面积S ＝2×2+2×√6=4+2√6． 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换．几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2]【分析】求出函数的单调递增区间为，结合单调性之间的关系建立不等式组进行求解即可．解：由2k π−π2≤ωx +π3≤2k π+π2，k ∈Z ， 得2k π−5π6≤ωx ≤2k π+π6，k ∈Z ， 即2kπ−5π6ω≤x ≤2kπ+π6ω，k ∈Z∵f （x ）在区间(−π6，π3)上单调递增， ∴此时函数单调递增区间经过原点，则当k ＝0时，增区间为[−5π6ω，π6ω]． 此时满足{−5π6ω≤−π6π6ω≥π3，得{ω≤5ω≤12，解得0＜ω≤12， 即ω的取值范围是（0，12]，故选：A ．【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，结合三角函数的单调性求出递增区间，建立不等式关系是解决本题的关键．难度不大．9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．12【分析】根据条件建立坐标系，求出各点坐标，以及对应向量的坐标，代入数量积，结合二次函数的性质即可求解．解：因为平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°， 对角线AC 与BD 相交于点O ， 故ABCD 为菱形，建立如图坐标系；则A （−√3，0），B （0，﹣1），C （√3，0），D （0，1）；故直线BC 的方程为：y =√33x ﹣1；∵点M 是线段BC 上一点；故M （x ，√33x ﹣1）；且 0≤x ≤√3； ∴OM →=（x ，√33x ﹣1）；CM →=（x −√3，√33x ﹣1）； 故OM →•CM →=x （x −√3）+（√33x ﹣1）2=43x 2−5√33x +1；对称轴x =5√38∈[0，√3]∴当x =5√38时，OM →•CM →取最小值为：43×（5√38）2−5√33×5√38+1=−916；故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于基础题．10．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则P （B |A ）＝（ ）A ．1−π4B ．π4C ．1−2πD ．2π【分析】由题意，计算正方形EFGH 与圆I 的面积比，利用对立事件的概率求出P （B |A ）的值．解：由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ， 则圆I 的半径为r ＝a ，面积为πa 2； 正方形EFGH 的边长为√2a ，面积为2a 2； ∴所求的概率为P （B |A ）＝1−2a 22=1−2π．故选：C ．【点评】本题考查条件概率与几何概率的计算问题，是基础题．11．已知定义在R 上的奇函数f （x ），对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），且当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）＝（ ） A ．6 B ．3 C ．0 D ．﹣3【分析】根据题意，分析可得f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性求出f （0）、f （1）、f （2）、f （3）、f （4）、f （5）的值，即可得f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）的值，结合周期性分析可得答案．解：根据题意，对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），则有f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，又由f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f （3）＝﹣f （0）＝0， 又由当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （1）＝3，f （2）＝f （﹣1+3）＝﹣f （﹣1）＝f （1）＝3，f （4）＝f （1+3）＝﹣f （1）＝﹣3，f（5）＝f（2+3）＝﹣f（2）＝﹣3，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]×336+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝f（2）＝3；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39【分析】V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，由此能求出四棱锥P﹣AMEN体积的最小值．解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，∴V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，M ，O ，V 三点共线，且PN →=λPD →，PM →=μPB →，|PD →||PN →|=1λ，|PB →||PM →|=1μ，PV →=23PO →=13(PD →+PB →)=13λPN →+13μPM →，13λ+13μ=1，∴2|PN →|+2|PM →|=3，∵3=2|PN →|+2|PM →|≥2√2|PN →|⋅2|PM →|，∴|PN →|•|PM →|≥169，当且仅当2|PN →|=2|PM →|时，取“＝”， ∴V P ﹣AMNE =12S △PMN =12×12×|PN →|×|PM →|×sinπ3≥12×12×169×√32=29√3． ∴四棱锥P ﹣AMEN 体积的最小值为2√39．故选：D ．【点评】本题考查四棱锥体积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝（x ﹣2）lnx ，则函数f （x ）在x ＝1处的切线方程为 x +y ﹣1＝0 ． 【分析】先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．解：∵f′(x)=lnx +x−2x，∴f′（1）＝﹣1，f（1）＝0，故切线方程为：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝4．【分析】运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，可得首项和公差的方程组，解得首项和公差，再由等差数列的通项公式，计算可得所求值．解：数列{a n}为公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，由a1，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，化为a1＝d，由S5＝15，可得5a1+10d＝15，即a1+2d＝3，解得a1＝d＝1，则a4＝a1+3d＝4．故答案为：4．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是K（填写字母）．【分析】根据剩余的白色数字：1，3，4，5，6，8；灰色数字：1，2，4，5，6，7．结合从左到右小到大，同数白靠右，先确定最小数字与最大数字的位置，则剩余的数字即可确定，由此找到灰4的位置．解：由题意，剩余的白色数字为：1，3，4，5，6，8；灰色数字为：1，2，4，5，6，7．易知E→灰1；L→白8．然后7必在H，G中选一个位置，但还有一个白6，只能在G位置，故灰7→H．剩下的灰6最大，只能在Q位置．剩下的还有白1，3，4，5，灰2，4，5；白5只能在F，N位置选一个，若放在N位置，则P位置无数可选，故白5→F．剩下的灰5最大，只能在K，P选一位置，但若在K位置，则白4、灰4无法放置，所以灰5→P．则灰4只能在K位置，白3→M，白4→N，白1→I，灰2→J．故选：C．【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力，一般采用反证法的思路去推矛盾，确定结论．属于中档题．16．设F1，F2是椭圆C：x24+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为4．【分析】由题意四边形为平行四边形，设平行线间的距离为d，所以四边形的面积为S= 12|AB|•d，分两条直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在且不为0时，设直线l1的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，再求平行线间的距离d的值，求出面积S的表达式，换元再由均值不等式求出面积的取值范围，进而求出面积的最大值．解：由题意可得椭圆的焦点F1，F2的坐标分别为（−√3，0），（√3，0），因为l1∥l2，设平行线间的距离为d，所以四边形ABCD面积为S=12|AB|•d，①当直线的斜率不存在时，可得四边形ABCD为矩形，设直线AB的方程：x＝±√3，代入椭圆的方程可得y＝±b2a=±12，所以|AB|＝|CD|＝2×12=1，d＝|F1F2|，这时S ABCD＝|F1F2|•|AB|＝2√3×1＝2√3，②当直线的斜率存在且不为0时，且m≠0，由椭圆的对称性可得ABCD为平行四边形，设l1的方程为：x＝my−√3，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程{x=my−√3x24+y2=1，整理可得（4+m2）y2﹣2√3my﹣1＝0，x1+x2=2√3m4+m2，x1x2=−14+m2，所以|AB|=√1+m2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+m2√12m2(4+m2)2−4×(−1)4+m2=4(1+m2)4+m2，可得两条平行线间的距离d=√3√1+m，所以S ABCD＝|AB|•d=4(1+m2)2⋅√3√1+m=8√3√1+m22=8√3√1+m2(1+m2)2+6(1+m2)+9=8√3•√1(1+m2)+91+m2+6令t＝1+m2＞1，则t+9t+6≥2√9+6＝12，所以0＜1t+9t+6≤112，所以S≤8√3⋅√112=4，故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，及换元法的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．【分析】（1）证明A1A⊥AC，AA1⊥A1C1，结合A1P⊥AA1，证明AA1⊥平面A1C1P，推出AA1⊥C1P．（2）以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面A1CP的一个法向量，求出直线BC1对应的向量，然后利用向量的数量积求解直线BC1与平面A1CP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由A1C=2√2，AC＝AA1＝2，所以A1C2=A1A2+AC2，所以A1A ⊥AC，因为A1C1∥AC，所以AA1⊥A1C1，又A1P⊥AA1，A1P∩A1C1＝A1．所以AA1⊥平面A1C1P，所以AA1⊥C1P．（2）解：由（1）知AA1⊥AC，又AA1∥CC1，所以AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，AC⊂平面ABC，所以平面BCC1B1⊥平面ABC．取BC中点O，由△BCC1为正三角形知C1O⊥BC，C1O⊂平面B1BCC1，又平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，所以C1O⊥平面ABC，以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0），C （0，﹣1，0），B （0，1，0），C 1(0，0，√3)，A 1(2，0，√3)，P(0，32，√32)，A 1P →=(−2，32，−√32)，CP →=(0，52，√32)，BC 1→=(0，−1，√3)，设平面A 1CP 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则n →⋅A 1P →=0且n →⋅CP →=0， 所以{−4x +3y −√3z =05y +√3z =0，取z ＝5，则x =−2√3，y =−√3，n →=(−2√3，−√3，5)．所以cos〈BC 1→，n →〉=BC 1→⋅n→|BC 1→||n →|=√32×40=3√3020， 所以直线BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：sin〈BC 1→，n →〉=cos〈BC 1→，n →〉=3√3020，BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：3√3020．【点评】本题考查直线与平面所成角的三角函数值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3． （1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．【分析】（1）利用三角函数化简已知条件，然后通过余弦定理求出BC ，再根据三角形的面积公式即可求出；（2）通过同角的三角函数的关系，正弦定理求出AD ，利用余弦定理求出．解：（1）由tan∠ABC =−√5知，cos∠ABC =√66，sin∠ABC =√306，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝CD ＝3由余弦定理，知AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos ∠ABC ，所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍），所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12×1×√6×√306=√52．（2）在△ADC 中，因为cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，所以sin∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin∠ACD =√74，由正弦定理CDsin∠DAC=AD sin∠ACD，所以AD =3×√74√144=3√22，又cos ∠BAD ＝cos （∠DAC +∠ACD ）＝cos ∠DAC cos ∠ACD ﹣sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， 在△ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7， 所以BD =√7．【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力．19．已知O为坐标原点，点F（0，1），M为坐标平面内的动点，且2，|FM→|，2OM→⋅OF→成等差数列．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线T，过点N（0，2）作直线l交曲线T于C，D两点，试问在y轴上是否存在定点Q，使得QC→⋅QD→为定值？若存在，求出定点Q的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出点的坐标，根据条件整理即可求得结论；（2）设出直线方程，与曲线的方程联立，再代入数量积求解即可．解：（1）设M（x，y），由条件知|FM→|=1+OM→⋅OF→，所以√x2+(y−1)2=1+y(y≥−1)，两边平方得，x2+y2﹣2y+1＝y2+2y+1，所以x2＝4y满足（y≥﹣1），所以点M的轨迹方程为x2＝4y．（2）由题意知直线l的斜率存在．设l的方程为y＝kx+2，与x2＝4y联立得，x2﹣4kx ﹣8＝0，所以△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，又设C（x1，y1），D（x2，y2），Q（0，y0），则QC→⋅QD→=(x1，y1−y0)⋅(x2，y2−y0)=x1x2+(y1−y0)(y2−y0)＝x1x2+（kx1+2﹣y0）（kx2+2﹣y0）=(k2+1)x1x2+k(2−y0)(x1+x2)+(2−y0)2=−8(k2+1)+4k2(2−y0)+(2−y0)2=(2−y0)2−8−4y0k2为定值，从而得y0＝0，所以存在定点Q（0，0），使得QC→⋅QD→为定值﹣4．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了考生综合分析问题的能力和基本的计算能力．20．已知函数f（x）＝axe x+（x+1）sin x+cos x．（1）若a＝1，x≥−π2，求函数f（x）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosxx，x∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g（x）的导函数g'（x）存在零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），通过对x分类讨论：x∈[−π2，π2]，x＞π2，可得：e x+cos x＞0，进而得出单调性．（2）由题意得，g（x）＝ae x+sin x，x∈[−π4，0)∪(0，7π4]，函数g'（x）有零点，即g'（x）＝ae x+cos x＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，可得a=−cosxe x，利用导数研究其调调性即可得出．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），当x∈[−π2，π2]时，e x＞0，cos x≥0，所以e x+cos x＞0，当x ＞π2时，e x ＞1，|cos x |≤1，所以e x +cos x ＞0， 所以当x ≥−π2时，e x +cos x ＞0．故由f '（x ）≥0，得x ≥﹣1；由f '（x ）＜0，得−π2≤x ＜−1， 所以f （x ）的减区间为[−π2，−1)，单调递增区间为[﹣1，+∞）， 所以f （x ）的最小值为f(−1)=−1e+cos1．（2）由题意得，g （x ）＝ae x +sin x ，x ∈[−π4，0)∪(0，7π4]， 函数g '（x ）有零点，即g '（x ）＝ae x +cos x ＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，所以a =−cosxe x ，设m(x)=−cosxe x ，则m′(x)=sinx+cosxe x， 若m '（x ）≥0，则sin x +cos x ≥0，即√2sin(x +π4)≥0，解得−π4≤x ≤3π4，且x ≠0； 若m '（x ）＜0，则sin x +cos x ＜0，即√2sin(x +π4)＜0，解得3π4＜x ＜7π4，所以m （x ）在[−π4，0)，(0，3π4]上是增函数，在(3π4，7π4]上是减函数． 而m(−π4)=−√22e π4，m （0）＝﹣1，m(3π4)=√23e −3π4，m(7π4)=−√22e −7π4，又−√22e −7π4＞−1，所以−√22e π4≤a ＜−1，或−1＜a ≤√22e −3π4．所以实数a 的取值范围是[−√22e π4，−1)∪(−1，√22e −3π4]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数的单调性、分类讨论方法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n∈一、选择题*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）若p=1−1√e4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）【分析】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（2）（ⅰ）由题意知Eξ1＝k，ξ2取值的可能有1，k+1，求出概率，即可求解期望，列出关系式，推出p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）由题意知，Eξ1＞Eξ2，得到k（1﹣p）k＞1．结合p=1−e−14，推出(e−14)k＞1k，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化求解k的最大值．解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则P(A)=A22A44 A66=1 15，即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为115．（2）（ⅰ）由题意知E ξ1＝k ，ξ2取值的可能有1，k +1，p(ξ2=1)=(1−p)k ，p(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ，所以Eξ2=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k ， 由E ξ1＝E ξ2，得k ＝k +1﹣k （1﹣p ）k ，即(1−p)k =1k ，所以p =1−(1k )1k ，所以p 关于k 的函数关系p =1−(1k)1k (k ∈N ∗，2≤k ≤n)．（ⅱ）由题意知，E ξ1＞E ξ2，所以k ＞1+k ﹣k （1﹣p ）k ，即k （1﹣p ）k ＞1． 所以1k ＜(1−p)k ，又p =1−e −14，所以(e −14)k ＞1k，两边同时取对数，得−k 4＞−lnk ，即lnk −k 4＞0，设f(x)=lnx −x4，则f′(x)=1x −14，易知函数f （x ）在（4，+∞）上单调递减， f （8）＝ln 8﹣2＝2.079﹣2＝0.079＞0，f(9)=ln9−94=2.197−2.25＜0， 所以k 的最大值为8．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，古典概型概率的求法，构造法的应用，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 28+y 22=1．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．转换为直角坐标方程为√22x +√22y =8√2，整理得x +y ﹣16＝0．（2）曲线C 的直角坐标方程转换为极坐标方程为(ρcosθ)28+(ρsinθ)22=1，直线l 的直角坐标方程转换为极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）＝16， 设A （ρA ，θ），B （ρB ，θ），M （ρ，θ）， 由于M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，所以ρA2=ρ⋅ρB ，整理得ρA 2=1cos θ8+sin 2θ2=16⋅ρcosθ+sinθ，所以cosθ+sinθ=16ρ(cos 2θ8+sin 2θ2)，转换为直角坐标方程为x +y ＝2x 2+8y 2， 即2x 2+8y 2﹣x ﹣y ＝0．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|． （1）求函数f （x ）的最大值M ；。

2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学（理)试题1．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．13．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元B ．5000元C ．5500元D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．27B ．37C ．17D ．3145．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（ ）A B C D7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5BCD8．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.52c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a Ba Ab B+的最大值为（ ）AB．2CD12．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．332log 2-C ．2D ．33log 212-13．已知向量(2,a =r ，(1,b =r ，则b r 在a r方向上的投影等于__________．14．在ABC V 中，2π3B ∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且12BC AB =，则E 的离心率为__________． 15．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD ==，AB AD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， AF =，45DFE CEF ∠=∠=o ．（1）证明//DC EF ；（2）求二面角D BE C --的平面角的余弦值．19．已知点P 在圆:O 229x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ =u u u r u u u r.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？ 21．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4． （1）求实数a 的值； （2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．22．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为,22ρθππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围． 23．设函数()121f x x x =-++，x ∈R .（1）求不等式()5f x <的解集； （2）若关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围．参考答案1．C 【解析】 【分析】解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】由{}{}{}2230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元素，因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题． 2．D 【解析】 【分析】 计算出11ii i+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 【详解】()()()21121112i ii i i i i ++===--+Q ，又41i =，()202050520204111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()ni n N *∈的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，可得结果. 【详解】刚退休时就医费用为：400015%600⨯=元，现在为就医费用占退休金的10%， 设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得400015%10%100x ⨯-=，解得 5000x = 故选：B ． 【点睛】本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属于简单题 4．B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C =种方法．所以满足条件的概率为2548337C C =，故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题． 5．C 【解析】 【分析】求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM的值.【详解】抛物线的焦点为()1,0F，所以31FM k ==-由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213x =，2121113214323px FN MN x x p ++∴===++++，故选：C ． 【点睛】本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．C 【解析】 【分析】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则点()1,0,0A -、()B、()1,0,1D 、()0,0,0E、()12B ，()1,0,1ED =u u u r，()1EB =u u u r，()AB =u u u r ，设平面1B DE 的法向量为(),,n x y z =r，由100n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得020x z z +=⎧⎪+=，取z =则x =2y =，2,n ∴=r ，设直线AB 与平面1B DE 所成角为θ，则sin cos ,AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r，则cos θ==故选：C. 【点睛】本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题． 7．C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值. 【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离，所以AB =故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题． 8．D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=， 该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =， 所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题． 9．A【解析】 【分析】由题意得出1m >，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】log 30log 1m m >=Q ，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m >，0.54331log 2log log 2122==<<<Q ， 又指数函数xy m =为R 上的增函数，故0.534log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ． 【点睛】本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题． 10．B 【解析】 【分析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 【详解】共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题． 11．B【解析】 【分析】利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.【详解】cos cos 3ca Bb A -=Q ，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin 2cos sin A BB A====+， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题． 12．B 【解析】 【分析】根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30gx f x t --≥得出()33231log3x xt +≤，换元30xp =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值.【详解】Q 函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31x f x g x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，②①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2x f x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-， 由()()30gx f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3xx xt g x f x x +-=+-=≤，令30xp =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题． 13．83- 【解析】 【分析】设a r 与b r 的夹角θ，利用向量的数量积的坐标运算可求得b r 在a r方向上的投影为cos a b b aθ⋅=r rr r .【详解】设a r 与b r 的夹角θ，则b r 在a r方向上的投影为2108cos 33a b b aθ⋅-===-r rr r ．故答案为：83-. 【点睛】本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题．14 【解析】 【分析】利用余弦定理求出AC ，利用双曲线的定义建立a 与c 的等量关系，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，2AB c =，BC c =，ABC V 中，2π3B ∠=，AC ∴===．2c a -=，得：13c e a ==．.. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题． 15．2 【解析】 【分析】先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 【详解】Q 函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤Q ，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. Q 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题． 16．92π 【解析】 【分析】作出图形，求BD 的中点为E ，连接AE ，确定外接球球心在线段AE 上，设外接球的半径为R ，可得出2OE R =-，然后在Rt ODE △中利用勾股定理可求得R 的值，最后利用球体体积公式可求得结果. 【详解】Q 平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，取BD 的中点为E ，连接AE ，BCD V 的外接圆圆心为点E ，则外接球的球心O 在AE 上，且BD =，ED =2AE ==，设外接球半径为R ，则2OE R =-，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()2222R R =+-，得32R =， 因此，三棱锥A BCD -的外接球的体积为3344393322V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：92π. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 17．（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析 【解析】 【分析】（1）令1n =求得1a 的值，令2n ≥，由112n n n S na a =+-得出()1111112n n n S n a a ---=-+-，两式相减得出11n n a a n n -=+，由此可得出数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用放缩法得出()()2222211221n a n n n n n =<=-+++，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立. 【详解】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++L .【点睛】本题第（1）问通过给出数列的项n a 与其前n 项和n S 的关系，求n a 的递推关系式，进一步求数列{}n a 的前n 项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．18．（1）见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）证明出//AB 平面EFDC ，然后利用线面平行的性质定理可证明出//DC AB ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；（2）证明出平面ABEF ⊥平面EFDC ，然后作DG EF ⊥，垂足为G ，可得出DG ⊥平面ABEF ，由此以点G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，GD u u u r的方向为z 轴正方向，GF u u u r为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D BE C --的平面角的余弦值.【详解】（1）Q 四边形ABEF 为正方形，//AB FE ∴，AB ⊄Q 平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，//AB ∴平面EFDC ，AB ⊂Q 平面ABCD ，平面ABCD I 平面EFDC DC =，//DC AB ∴，因此，//DC EF ；（2）AFEF ⊥Q ，AF DF ⊥，EF DF F =I ，AF ∴⊥平面EFDC ，AF ⊂Q 平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG EF ⊥，垂足为G ，DG ⊂Q 平面EFDC ，平面ABEF I 平面EFDC EF =，DG ∴⊥平面ABEF ，以点G 为坐标原点，GF uuu r 方向为x 轴正方向，GD u u u r为z 轴正方向，GF u u u r 为单位长，如图建立空间直角坐标系，则45DFG CEF ∠=∠=o ，()0,0,1D ∴，()3,0,0E -，()2,0,1C -，()3,4,0B -． ()3,4,1BD ∴=-u u u r ，()3,0,1ED =u u u r， 设平面DBE 的法向量为()111,,m x y z =u r，则00m BD m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111134030x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，取13z =，则11x =-，10y =，所以， ()1,0,3m =-u r ，又()1,4,1BC =-u u u r ，()1,0,1EC =u u u r，设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =r，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222400x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，令21z =，则21x =-，20y =，()1,0,1n ∴=-r ，设二面角D BE C --的平面角为θ，cos m n m nθ⋅∴===⋅u r r u r r即二面角D BE C --． 【点睛】本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．19．(1) 22198x y +=;(2)是定值为12.【解析】 【分析】(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据4PQ =u u u r u u u r ,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 【详解】(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--u u u r u u u u r. 4PQ =u u u r u u u r Q)0004x x y ⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y Q 在229x y +=上,229x ∴+=⎝⎭,整理得22198x y +=故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=.(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+. 20．（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解.【详解】（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3， 则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元． 【点睛】本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 21．（1）2a =；（2）m 的最大值为3． 【解析】 【分析】（1）由题意得出()24f e'=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值. 【详解】（1）()()1ln f x a x x x =-+Q ，()ln f x x a ∴'=+，Q 函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =； （2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<Q 对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'， 令()ln 3u x x x =--，则()11u x x'=-， 1x >Q ，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，()41ln 40u =-<Q ，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---， 故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈Q ，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．【点睛】本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题． 22．（1）点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭；（2）{}44122⎛-+ ⎝⎦U . 【解析】【分析】（1）求出曲线C 的普通方程，根据题意求出直线OA 的方程，再将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，即可求得点A 的坐标；（2）设直线l 的方程为()24y k x =-+（其中k 为直线l 的斜率），求出直线l 与半圆C 相切时直线l 的斜率k 的值，设点(B，(0,D ，()2,4P --，求出直线PB 、PD 的斜率，利用数形结合思想可求得直线l 的斜率的取值范围.【详解】（1）由,22ππρθ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，所以，曲线C 的直角坐标方程为：()2220x y x +=≥， Q 点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，∴直线OA 与直线：210x y ++=平行，∴直线OA 的斜率12-，即OA 的方程为12y x =-， 由222120x y y x x ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪≥⎪⎩，得：5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点A的坐标为,55⎛- ⎝⎭； （2）将直线l 化为普通方程：()24y k x =-+（k 为直线l 的斜率），当直线l 与半圆()2220x y x +=≥=2870k k ∴-+=，1k ∴=或7k =，设点(B，(0,D ，()2,4P --，则PB k =，PC k =． 由图象知，当直线l 与半圆C 相切时，则PD k k <，此时1k =.因此，当直线l 与半圆C 有且只有一个公共点时，直线l的斜率的取值范围是{}44122⎛-+⋃ ⎝⎦．【点睛】本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题．23．（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数的形式，然后分1x <-、11x -≤≤、1x >三段解不等式()5f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由题意可知关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，进而得出()min 212f x t ≥--，求出函数()y f x =的最小值，然后解不等式()min 212f x t ≥--即可求得实数t 的取值范围.【详解】 （1）函数()y f x =可化为()31,13,1131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩．当1x <-时，由()5f x <，可得315x --<，解得2x >-，此时21x -<<-；当11x -≤≤时，由()5f x <，可得35x +<，解得2x <，此时11x -≤≤；当1x >时，由()5f x <，得315x +<，解得43x <，此时413x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，则关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，所以，()min 212f x t ≥--.当1x <-时，()31f x x =--，此时，函数()y f x =单调递减，则()()12f x f >-=； 当11x -≤≤时，()3f x x =+，此时，函数()y f x =单调递增，则()()()11f f x f -≤≤，即()24f x ≤≤；当1x >时，()31f x x =+，此时函数()y f x =单调递增，则()()14f x f >=. 综上所述，()()min 12f x f =-=.2122t ∴--≤，即4214t -≤-≤，解得3522t -≤≤. 因此，实数t 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．。

绝密★启用前2020届河南省高三适应性测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}0A x x =≥，(){}2lg B x y x x ==-，则A B =I（ ）A ．[)0,+∞B ．()1,+∞C ．{}[)01,+∞U D ．(](),01,-∞+∞U答案：B先化简集合B ,再求A B I 得解. 解析：由题得(){}2lg {1B x y x x x x ==-=或0}x <，所以A B =I ()1,+∞. 故选：B. 点评：本题主要考查集合的化简和交集运算，考查对数复合函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．已知复数()211z i =-（i 为复数单位），则z =（ ）A ．2iB C ．12D ．14答案：C利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解析： 解：复数2111(1)222i z i i i i i ====---g ，则1||2z =． 故选：C ． 点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（ ）A ．月工资增长率最高的为8月份B ．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C ．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D ．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元 答案：C根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A 错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B 错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D 错误． 解析：解：对于选项A ：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A 错误； 对于选项B ：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B 错误；对于选项C ：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D ：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D 错误， 故选：C ． 点评：本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．4．已知p ：()523450123451x a a x a x a x a x a x +=+++++，则24a a +的值为（ ） A ．7B ．8C ．15D ．16答案：C利用二项式展开式的通项求出24,a a 即得解. 解析：由题得5(1)x +的展开式的通项为515r r r T C x -+=，令32552,3,10r r a C -=∴=∴==；令14554,4,5r r a C -=∴=∴==, 所以2410515a a +=+=. 故选：C. 点评：本题主要考查二项式展开式的通项求系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若AOB V 的面积为22b ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC．3D．3答案：A不妨设(c,0)F ，求出||AB ,得2122,2bc c b a⨯⨯=化简即得解. 解析：不妨设(c,0)F ，联立,,x cbc x c y b a y x a =⎧⎪∴==⎨=⎪⎩.所以2||bcAB a=， 所以2222122,2,20,2bcc b c ab a ab b a b a⨯⨯=∴=∴-+=∴=.所以222,c c a e a=∴==故选：A. 点评：本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用n a表示解下()9,n n n*≤∈N个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a满足11a=，且1121,,22,,nnna naa n---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数则解下5个环所需的最少移动次数为（）A．7 B．10 C．16 D．22答案：C根据题意，由5a逐项地推到1a，再利用1a的值即可算出结果．解析：()()112122nnna naa n--⎧-⎪=⎨+⎪⎩Q为偶数为奇数，54332211 222(21)244(22)888(21)81616a a a a a a a a∴=+=-+==+=+=-+==，故选：C点评：本题主要考查数列的递推关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（）A．6 B．846+C．426+D．46+答案：C由已知中几何体的三视图，我们可以判断出该几何体是底面是一个底和高均为2的等腰三角形，侧面由一个底和高均为222215+=底面长为22解析：由三视图得几何体原图如图所示，该几何体是一个在俯视图为底面的三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，高为2，一个侧面由一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为22215AC AB ==+，底边AD 长为2的等腰三角形，其22523-，故其表面积为21122222342622S =⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：C ． 点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中判断出几何体各面的形状是解答本题的关键．8．已知函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A根据正弦函数的单调性，结合在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，建立不等式关系，即可求解． 解析：函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当63x ππ-<<时，63333x πωπππωπω-+<+<+，Q 当0x =时，33x ππω+=，由于函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以，632332πωπππωππ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得12ω≤，0ω>Q ，所以，102ω<≤，因此，ω的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：A ． 点评：本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中等题．9．己知平行四边形ABCD 中，2AB AD ==，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM CM ⋅u u u u r u u u u r的最小值为（ ）A ．916-B ．916C ．12-D ．12答案：A以BD 的中点为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，以CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线BC的方程为y =-(,M x ，(10)x -≤≤，求出OM CM ⋅u u u u r u u u u r的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.解析：如图所示，以BD 的中点为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，以CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(0,B C -，所以直线BC 的方程为33y x =-设点(,33)M x x ，(10)x -≤≤，所以(,33),(,3)OM x x CM x x ==u u u u r u u u u r， 所以2223343OM CM x x x x x ⋅=++=+u u u u r u u u u r，当38x =-时，OM CM ⋅u u u u r u u u u r取到最小值916-. 故选：A. 点评：本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.10．已知正方形ABCD ，其内切圆I 与各边分别切于点E ，F ，G 、H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =（ ） A ．2πB ．21π-C ．12D ．π142- 答案：B由题意，计算正方形EFGH 与圆I 的面积比，利用条件概率公式求出(|)P B A 的值． 解析：由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ，则圆I 的半径为r a =，面积为2a π； 正方形EFGH 2a ，面积为22a ；∴所求的概率为22222(|)1a a P B A a πππ-==-．故选：B ． 点评：本题考查条件概率和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-答案：B先求出函数的周期为6，求出(0),(1),(2),(3),(4),(5)f f f f f f 的值即得解. 解析：由题得()()6[(3)3]3[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以函数的周期为6.由题得(0)0,(1)1683,f f ==-+=(2)(2)(23)(1)3f f f f =--=-+==， (3)(3)(33)(0)f f f f =--=-+=，(4)(4)(43)(1)(1)3f f f f f =--=-+=-=-=-， (5)(5)(53)(2)(2)3f f f f f =--=-+=-=-=-所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f f +++++=， 所以()()()()0122020f f f f+++⋅⋅⋅+=336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f f f f++++++++++=.故选：B.点评：本题主要考查函数的周期的判断和应用，考查函数的奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．如图，在四棱锥P ABCD-中，2PA PB PC PD====，底面ABCD是边长为2的正方形，点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD 交于M，N两点，则四棱锥P AMEN-体积的最小值为（）A．223B23C．229D23答案：D如图所示，设PHNα∠=,则180PHMα∠=-o,设三棱锥M PAE-的高为1h，三棱锥N PAE-的高为2h，先求出123)P AMENV h h-=+，再求出12h h+21=114sinα-，求出12h h+的最大值即得解.解析：如图所示，设PHNα∠=,则180PHMα∠=-o,设三棱锥M PAE-的高为1h，三棱锥N PAE-的高为2h，由题得222AC =+=,2,1,3,PA PE AE ==∴=所以131322PAE S =⨯=V 由题得)1212133)3P AMEN M PAE N PAE V V V h h h h ---=+=+=+， 因为2,1,PB PD OB OD PO ====⊥平面ABCD , 所以30DPO BPO ∠=∠=o ,所以1211,22h PM h PN ==,所以121()2h h PM PN +=+.在△PHN 中，由正弦定理得sin sin(150)PHPN αα⨯=-o ,在△PHM 中，由正弦定理得sin sin(30)PHPM αα⨯=-o ,所以1212h h +=sin (sin(150)PH αα⨯-o sin )sin(30)PH αα⨯+-o 1=2PH sin (sin(150)αα-o sin )sin(30)αα+-o在△PHE 中，132sin 6033PE PH PH PH ===∴=o所以12h h+=3sin (sin(150)αα-o sin )sin(30)αα+-o 2211sin 144sin αα=--， 当90α=o 时，12h h +取最小值43，所以P AMEN V -43故选：D. 点评：本题主要考查空间几何体体积的计算和最值的求法，考查正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．已知函数()()2ln f x x x =-．则函数()f x 在1x =处的切线方程为___________． 答案：10x y +-=先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可． 解析：解：Q ()()2ln f x x x =- 2()x f x lnx x-'∴=+， ()11f '∴=-，()10f =故切线方程为：(1)y x =--，即10x y +-=． 故答案为：10x y +-=． 点评：本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14．已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，且1a ，2a ，4a 成等比数列，5=15S ，则4a =__________． 答案：4设等差数列的公差为d ，解方程2111()(3)a d a a d +=+g 和1541552a d ⨯=+即得1,a d ，即得解.解析：设等差数列的公差为d ，由题得2111()(3)a d a a d +=+g 和1541552a d ⨯=+. 11a d ∴==，所以41314a =+⨯=. 故答案为：4. 点评：本题主要考查等差数列的前n 项和的基本量的计算，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15．现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是__________．（填写字母）答案：K由题得1,2,L 8E J ===,假设4H =,再推出矛盾，得到假设不成立，再假设4,K =得到答案. 解析：由题得1,2,L 8E J ===,假设4H =,则3,4F G ==,此时白色的“4”在灰色的“4”的左边，不符合题意，所以假设不成立.假设4,K =则由题得： 白2，灰3，白7，灰8； 灰1，白5，白6，灰7； 白1，灰2，灰4，白8； 白3，白4，灰5，灰6. 故答案为：K . 点评：本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．设1F，2F是椭圆22:14xC y+=的两个焦点，过1F的直线1l与椭圆C交于A，B两点，过2F与1l平行的直线2l与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为___________.答案：4四边形ABCD为平行四边形4ABCD OABS S=Y V，设直线AB的方程3x my=-，()()1122,,,A x yB x y，联立22314x myxy⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，12122223,414my y y ym m∴+==-++()() 11221121212122231423221324 OAB OF A OF Bm S S OF y y y yy y y ymS∆=+ +=-=-=+-=+ V V‖再用换元法求其最大值即可.解析：22:14xC y+=222224,1,3a b c a b===-=3c=，()13,0F-四边形ABCD为平行四边形4ABCD OABS S∴=Y V设直线AB的方程3x my=-()()1122,,,A x yB x y22314x myxy⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()2242310m y my+--=12122223,414my y y ym m∴+==-++111121221OAB OF A OF BS S OF y y yS∆=+=-=-==V V‖令211m t+=≥OABS==V令()+6, [,)91g t t tt=+∈+∞2()1, [91,)g t tt'=-∈+∞令29()1>0,g tt'=-，则(3,)t∈+∞9()+6g t tt=+在[1,3)t∈上为减函数，9()+6g t tt=+在()3,t∈+∞上为增函数，()()312g t g≥=，即9()+612g t tt=+≥6≤1OABS==≤=V44ABCD OABS S∴≤=Y V四边形ABCD面积的最大值为4故答案为：4点评：考查圆锥曲线的综合应用，结合导数求最值，是难题.三、解答题17．如图，在三棱柱111—ABC A B C中，1BCCV为正三角形，AC BC⊥，12AC AA==，1AC=，点P在线段1BB上，且11A P AA⊥.（1）证明：11AA C P ⊥；（2）求1BC 和平面1A CP 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2330(1)要证明11AA C P ⊥,只需证明1AA ⊥平面11AC P ,只需证明111AAAC ⊥,由122AC =，12AC AA ==，所以22211A C A A AC =+，所以1A A AC ⊥,因为11AC AC ∥，所以111AA AC ⊥，又11A P AA ⊥,则易证.(2) 取BC 中点O ，证明1C O ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，1BC 和平面1A CP 所成角的正弦值就是(10,3BC =-u u u u r 和设平面1A CP 的一个法向量(),,n x y z =r所成角的余弦值解析：（1）证明：由122AC =，12AC AA ==，所以22211A C A A AC =+，所以1A A AC ⊥， 因为11AC AC ∥，所以111AA AC ⊥， 又11A P AA ⊥，1111A P A C A =I . 所以1AA ⊥平面11AC P ，所以11AAC P ⊥. （2）解：由（1）知1AA AC ⊥，又11AA CC P ，所以1AC CC ⊥， 又AC BC ⊥，1BC CC C =I ，所以AC ⊥平面11BCC B ，AC ⊂平面ABC ，所以平面11BCC B ⊥平面ABC .取BC 中点O ，由1BCC V 为正三角形知1C O BC ⊥，1C O ⊂平面11B BCC ， 又平面11BCC B I 平面ABC BC =，所以1C O ⊥平面ABC ，以O 为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则()2,1,0A -，()0,1,0C -，()0,1,0B ，()10,0,3C ，()12,0,3A ，330,,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1332,,22A P ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，530,,22CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u ur ，()10,1,3BC =-u u u u r，设平面1A CP 的一个法向量(),,n x y z =r ，则10n A P ⋅=r u u u r 且0n CP ⋅=r u u u r， 所以4330530x y z y z ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，取5z =，则23x =-，3y =-，()23,3,5n =--r.所以11163330cos ,20240BC n BC n BC n ⋅===⨯u u u u r ru u u u r r u u u u r r ， 所以直线1BC 和平面1A CP 所成角的正弦值为33020. 点评：考查证明线线垂直的方法以及线面角的向量坐标求法，中档题. 18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan 5ABC ∠=-ABC V 的面积S ；（2）若2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．答案：（1）5（2）7BD =（1）先利用余弦定理求出6=BC ，再利用1sin 2SAB BC ABC =⋅⋅∠即可求解；（2）先求出14sin 4DAC∠=，7sin ACD ∠=，再利用正弦定理求出322AD =，求出cos BAD ∠=24-，再利用余弦定理求出7BD =. 解析：（1）由tan 5ABC ∠=-6cos ABC ∠=，30sin ABC ∠=， 在ABC V 中，1AB =，3AC CD ==，由余弦定理，知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠， 所以26913BC BC =++，即236240BC BC +-=， 解得6=BC 63BC =-（舍）， 所以ABC V 的面积11305sin 162262S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=． （2）在ADC V 中，因为2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，所以214sin 1cos DAC DAC ∠=-∠=7sin ACD ∠=， 由正弦定理sin sin CD ADDAC ACD=∠∠，所以733242144AD ==，又()cos cos cos cos sin sin BAD DAC ACD DAC ACD DAC ACD∠=∠+∠=∠∠-∠∠16164=-=-， 在ABD △中，由余弦定理，知22292cos 127224BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=++⨯=所以BD =点评：本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．已知O 为坐标原点，点()0,1F ，M 为坐标平面内的动点，且2，FM ，2OM OF⋅u u u u r u u u r成等差数列．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线T ，过点()0,2N 作直线l 交曲线l '于C ，D 两点，试问在y 轴上是否存在定点Q ，使得QC QD ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）24x y =（2）存在，定点()0,0Q（1）设(),M x y ()11y y =+≥-，化简即得解；（2）设l 的方程为2y kx =+，与24x y =联立得到韦达定理，再把韦达定理代入QC QD ⋅u u u r u u u r即得解.解析：（1）设(),M x y ，由条件知1FM OM OF =+⋅u u u u r u u u u r u u u r，()11y y =+≥-． 两边平方得，2222121x y y y y +-+=++， 所以24x y =（满足1y ≥-），所以点M 的轨迹方程为24x y =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设l 的方程为2y kx =+，与24x y =联立得，2480x kx --=，所以216320k ∆=+>，124x x k +=，128x x =-． 又设()11,C x y ，()22,D x y ，()00,Q y ，则()()()()110220121020,,QC QD x y y x y y x x y y y y ⋅=-⋅-=+--u u u r u u u r()()12102022x x kx y kx y =++-+-()()()()()()()222221201200012281422k x x k y x x y k k y y =++-++-=-++-+-()2200284y y k =---为定值，从而得00y =，所以存在定点()0,0Q ，使得QC QD ⋅u u u r u u u r为定值4-．点评：本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 20．已知函数()()1sin cos xf x axe x x x =+++．（1）当1a =，π2x ≥-时，求()f x 的最小值； （2）若函数()()sin cos f x x g x xx --=，π7π,00,44x ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ，若函数()g x 的导函数()g x '存在零点，求实数a 的取值范围．答案：（1）1cos1e -+．（2）3π44π1122,,e e -⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦U （1）利用导数求出()f x 的减区间为π,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为[)1,-+∞，即得()f x 的最小值；（2）等价于cos x x a e =-在7π,00,4π4⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 上有解，设()cos x xm x e =-，利用导数求出函数的单调性即得解.解析：（1）当1a =时，()()e 1sin cos xf x x x x x =+++，()()()()()1e sin 1cos sin 1e cos x x f x x x x x x x x '=++++-=++当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0x e >，cos 0x ≥，所以cos 0x e x +>． 当π2x >时，e 1x >，cos 1x ≤，所以cos 0x e x +>， 所以当π2x ≥时，cos 0x e x +>．故由()0f x '≥，得1x ≥-；由()0f x '<，得1π2x -≤<-，所以()f x 的减区间为π,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为[)1,-+∞， 所以()f x 的最小值为()11cos1f e-=-+．（2）由题意得，()sin xg x ae x =+，π7π,00,44x ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U ， 函数()g x '有零点，即()cos 0xg x ae x '=+=在7π,00,4π4⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 上有解， 所以cos xxa e =-， 设()cos x x m x e =-，则()sin cos xx xm x e+'=．若()0m x '≥，则sin cos 0x x +≥04πx ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，解得3ππ44x -≤≤，且0x ≠；若()0m x '<，则sin cos 0x x +<04πx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得3π7π44x <<， 所以()m x 在π,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在3π7π,44⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数．而4ππ42m e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()01m =-，3π43π42m e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π47π42m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又7π412e -->-，所以4π12e a -≤<-，或3π412a --<≤，所以实数a 的取值范围是3π44π1122,,e e -⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦U ． 点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性和有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有()N n n *∈份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中()2k k k n *∈≤≤N ，份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为()01p p <<．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取遂份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中的()2k k k n *∈≤≤N ，份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为1ξ；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为2ξ；（ⅰ）若12E E ξξ=，试运用概率与统计的知识，求p 关于k 的函数关系()p f k =， （ⅱ）若1p =，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k 的最大值（ln 41386=．，ln51609=．，ln61792=．，ln71946=．，ln8 2.079=，ln9 2.197=）答案：（1）115（2）（ⅰ）()1*11,2k p k k n k ⎛⎫=-∈≤≤ ⎪⎝⎭N ．（ⅱ）8（1）利用古典概型的概率求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（ⅰ）先求出12,E E ξξ，再化简12E E ξξ=即得解；（ⅱ）由12E E ξξ>，得到ln 04kk ->，再利用导数解不等式得解. 解析：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A ，则()242466115A A P A A ==，即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为115． （2）（ⅰ）由题意知1E k ξ=，2ξ取值的可能有1，1k +，()()211kp p ξ==-， ()()2111kp k p ξ=+=--，所以()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由12E E ξξ=，得()11kk k k p =+--，即()11kp k -=，所以111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以p 关于k 的函数关系()1*11,2kp k k n k ⎛⎫=-∈≤≤ ⎪⎝⎭N ．（ⅱ）由题意知，12E E ξξ>，所以()11k k k k p >+--，即()11kk p ->，所以()11k p k <-，又141e p -=-，所以141e kk -⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边同时取对数，得ln 4k k ->-，即ln 04kk ->， 设()ln 4x f x x =-，则()114f x x '=-，易知函数()f x 在()4,+∞上单调递减，()8ln82 2.07920.0790f =-=-=>，()99ln 9 2.197 2.2504f =-=-<，所以k 的最大值为8． 点评：本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立重复试验的概率的计算，考查随机变量的期望的计算，考查利用导数解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为2cos 2sin cos sin x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足2OA OM OB =⋅，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．答案：（1）22182x y +=，160x y +-=；（2）22280x y x y +--=（除去原点()0,0）． （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程． 解析：解：（1）由曲线C 的参数方程得：()()2222cos sin cos sin 24x y θθθθ+=+++=，所以曲线C 的直角坐标方程为22182x y +=．又由cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 16ρθρθ+=， 将极坐标与直角坐标的转化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得 直线l 的直角坐标方程为160x y +-=．（2）在极坐标系内，设(),0M ρ，()1,A ρθ，()2,B ρθ，则222211cos sin 182ρθρθ+=，22cos sin 16ρθρθ+=，由22OA OM OB =⋅得，212ρρρ=，即21211ρρρ=，所以22cos sin cos sin 8216θθθθρ++=， 从而得()2222cos sin cos sin 8216ρθθρθρθ++=，且0ρ≠，转化为直角坐标方程为228216x y x y ++=， 所以点M 的轨迹方程为22280x y x y +--=（除去原点()0,0）．点评：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．已知函数()2231f x x x =+--． （1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0a >，0b >，4a b M +=，求2221a ba b +++的最大值． 答案：（1）6；（2）65． （1）化简函数的解析式，画出函数图象，然后求解函数的最大值即可． （2）化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可． 解析：解：（1）因为()2231f x x x =+--所以()7,2,51,21,7, 1.x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪-+≥⎩函数图象如下所示：所以()()max 16M f x f ===． （2）2212122221221221a b a b a b a b ⎛⎫+=--=-+ ⎪++++++⎝⎭， 令2x a =+，21y b =+，由条件知210x y +=，2x >，1y >，所以(212121414441010105x y y x x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 等号成立条件为25x y ==，即3a =，34b =． 所以2221a b a b +++的最大值为46255-=．点评：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

高三年级上期第七次模拟考试理数试卷考试时间：11月11日一、选择题（共12题，60分）1. 设集合{|A x y ==,集合{}2|20B x x x =->,则()R C A B ⋂等于（ ） A ．()0,2B ．[)1,2C ．()0,1D ．()2,+∞2. 下列命题正确的是（ ）A ．向量,a b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b a λ=B ．在ABC △中，0AB BC CA ++=uu u r uu u r uu rC ．不等式a b a b a b -≤+≤+中两个等式不可能同时成立D ．向量,a b 不共线，则向量a b +与向量a b -必不共线3．已知x ＝20．6，y ＝log l ．22．4，z=log l ．83．6，则（ ）A ．x ＜y ＜zB ．x ＜z ＜yC ．z ＜x ＜yD ．y ＜x ＜z4.若sin π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则in 2πs 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D ．135．记n S 为等比数列{n a }的前n 项和，若23a a ＝89，5a ＝163，则（） A ．23n n a ＝ B ．13n n a －＝ C ．312n n S －＝ D ．312-=n n S6.已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（）7．已知△ABC 的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，若AC ·CB ＝－8，则｜AB ｜ ＝（）A ．1B ．2C ．3D ．48.锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若220a b ac -+=，则s i n s i n A B的取值范围是（）A．0,2⎛ ⎝⎭B．22⎛ ⎝⎭C．D．,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭9．已知各项均不为0的数列{n a }满足a 1＝199－，1n a ＋（2n a ＋1）＝n a ，若n b ＝2121n n a a －－2211n n a a ＋，则当数列{n b }的前n 项和取得最大值时，n 的值是（）A ．24B ．25C ．32D ．33 10.将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（）.A 函数)(x g 的图象关于点)03(，π-对称；.B 函数)(x g 的最小正周期为2π；.C 函数)(x g 的图象关于直线6π=x 对称；.D 函数)(x g 在区间]32,6[ππ上单调递增11.已知函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，若函数)(x f 满足：0)]()()[1(<-'-x f x f x ，xex f x f 22)()2(-=-，则下列判断一定正确的是（）.A )0()1(ef f < .B )2()1(f ef < .C )3()0(3f f e >.D )4()1(5f f e <-12．已知函数()()()411,ln 22x f x e g x x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A .2ln213-B . 12ln23+C .4ln21+D . 1ln24- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数32ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是．14．已知平面向量a ，b 满足a ·b ＝2，｜b ｜＝1，｜a －2b ｜＝2，则｜a ｜＝__________．15．已知数列{n a }的通项公式为631317n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．16．若函数f （x ）＝x ae x＋－x 2＋2x 在（0，＋∞）上仅有一个零点，则a ＝_________．三、解答题 （共6小题，共70分.）17．（本小题满分10分）已知p ：m ＜a ＋1＜m 2＋2；q ：函数f （x ）＝log 2x －a 在区间（14，4）上有零点． （1）若m ＝l ，求使()p q ⌝∧为真命题时实数a 的取值范围； （2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.（本题满分12分）.如图，四边形ABCD 中90BAC ∠=，30ABC ∠=，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.（1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ； （2）若6ADB π∠=，求tan θ.19.（本题满分12分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1) 写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2) 试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？20.（本题满分12分）设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .21.（本题满分12分）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥.22.（本小题满分12分）已知函数)(21)cos (sin )(R a x x x x a x f ∈--=，)()(x f x g '=（)(x f '是)(x f 的导函数），)(x g 在]2,0[π上的最大值为21-π.（I ）求实数a 的值；（II ）判断函数)(x f 在),0(π内的极值点个数，并加以证明.高三年级上期第七次模拟考试理数答案1.【答案】C【解析】集合{|{|10}{|1}A x y x x x x ===-≥=≥,集合{}()20{|20}{02}|2|B x x x x x x x x ->==-<=<<,则{|1}R C A x x =<,()(){|01}0,1R C A B x x ∴⋂=<<=．故选C ．2.【答案】D 【解析】A 不正确，当0a b ==时，有无数个实数λ满足b a λ=. B 不正确，在ABC △中，0AB BC CA ++=.C 不正确，当0b =时，不等式化为a a a ≤≤，不等式中的等号显然成立.D 正确，∵向量a 与b 不共线，∴,a b ，a b +与a b -均不为零向量.若a b +与a b -平行，则存在实数λ，使()a b a b λ=+-，即()()11a b λλ-=+，∴1010λλ-=⎧⎨+=⎩，，λ无解，故假设不成立，即a b +与a b -不平行，故选D. 3.B4【答案】D 【解析】由题意，根据诱导公式可得sin 2cos 2cos 2626ππ3ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又由余弦的倍角公式，可得221cos 212sin 12π6π33αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ．6. D7. B8.【答案】D 【解析】220a b ac -+=Q ，即()2222cos 0a a c ac B ac -+-+=，化简得2cos 0a B c a -+=.由正弦定理边角互化思想得2sin cos sin sin 0A B C A -+=，即()2sin cos sin sin 0A B A B A -++=，所以，sin cos cos sin sin 0A B A B A -+=，()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ∴=-=-，02A π<<Q ，02B π<<，22B A ππ∴-<-<，B A A ∴-=，2B A ∴=，ABC ∆是锐角三角形，且3C A B A ππ=--=-，所以02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩， 解得64A ππ<<，则cos 22A <<，所以，sin sin 1sin sin 22cos 32A A B A A ⎛==∈ ⎝⎭， 因此，sin sin AB的取值范围是,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D.9.10.D11.C12.【答案】C13． 057=--y x14.22 15.11 16.42ln 5- 17.18.【答案】（1）sin 2θ=（2）tan θ=【解析】（1）设AC a =，则AB =，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意4ABC ACD S S ∆∆=，则114cos sin 22a a a θθ=⋅⋅，所以sin 2θ=. （2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，即()sin sin 6BD πθ=-①BCD ∆中，sin sin BD BCBCD CDB =∠∠，即2sin sin 33BD aππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭② ①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，化简得2sin θθ=，所以tan θ=. 19.【解析】： (1) 因为扇形AOC 的半径为40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC＝x ·OA 22＝800x,0＜x ＜π.(2分)在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12OC ·OD ·sin∠COD ＝1 600sin(π－x )＝1 600sin x ，(4分)从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π.(6分)20.【解】 (1)(6分)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2) (6分)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.21.解：（1）22121(2)()()a x a x a f x x x a ax +-'=-+=………………2分 当0a >时，()0f x x a '>⇒>，()00f x x a '<⇒<< 当0a <时，()002f x x a '>⇒<<-，()02f x x a '<⇒>- ∴0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞递增0a <时，()f x 在(0,2)a -上递增，在(2,)a -+∞递减………………6分（2）设1()()()ln 2a F x f x g x x x a=-=++- 则221()(0)a x aF x x x x x-'=-=> 0a >(0,)x a ∴∈时，()0F x '<，()F x 递减(,)x a ∈+∞，()0,F x '>()F x 递增 1()()l n 1F x F a a a∴≥=+-……………8分设1()ln 1h x x x =+-，(0)x >,则22111()(0)x h x x x x x-'=-=>1x >时()0,h x '>时，()h x 递增， 01x <<()0h x '<，∴()h x 递减()(1)0h x h ∴≥=()()0F a h a ∴=≥()0F x ∴≥，即()()f x g x ≥………………12分22．解:（Ⅰ）21sin )()(-='=x ax x f x g ， )cos (sin )(x x x a x g +='. ----------1分 当0=a 时21)(-=x g ，不合题意，舍去. 当0<a 时0)(<'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递减，2121)0()(max -≠-==∴πg x g ，不合题意，舍去.当0>a 时0)(>'x g ∴)(x g 在]2,0[π上单调递增，21212)2()(max -=-==∴πππa g x g ，解得1=a∴综上：1=a ---------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21sin )(-=x x x g ，x x x x g cos sin )(+='当]2,0(π∈x 时，)(x g 在]2,0(π上单调递增，021)0(<-=g ，0212)2(>-=ππg ， )(x g ∴在]2,0(π上有且仅有一个变号零点； --------------------------------------7分当),2(ππ∈x 时，0s i n c o s 2)(<-=''x x xx g ，∴)(x g '在),2(ππ上单调递减. -------------8分又0)(,01)2(<-='>='πππg g),2(0ππ∈∃∴x 使0)(0='x g 且当),2(0x x π∈时0)(>'x g ，当),(0πx x ∈时0)(<'x g ， ∴)(x g 在),2(0x π上单调递增，在),(0πx 上单调递减. -----------------------10分 又0212)2(>-=ππg ，0)2()(0>>πg x g ，021)(<-=πg ，)(x g ∴在),2(ππ上有且仅有一个变号零点.)(x g ∴在]2,0(π和),2(ππ上各有一个变号零点，)(x f ∴在),0(π上共有两个极值点.-------------12分。

2020届高三11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】 根据题意，31211211212i i i i i i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r ，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ） A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】 根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43-B ．23-C ．32-D ．34- 【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ，所以113E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 11)3=1=，所以几何体的体积为2. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =-- 代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x '+-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩解得1b <，而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案. 【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C =所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 即2357sin 3ABπ=，所以19AB =. 所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 252222ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ， 所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，所以11242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭，所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭， 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln1mxf x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。

河南省天一大联考2020届高三阶段性测试（全国卷）数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：本题选择A选项.2. ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B3.）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得4. 下列说法中，错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】选项C，平面由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. ）D.【答案】D，结合本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. ，且函数）B. C.【答案】A7. ）【答案】C，，据此可得：本题选择C选项.8. 250，则判断框中可以填（）C.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. ，第一周的比赛中，踢了3场，4场，2队未踢过，队与）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】DCD D队参加的比赛为：已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，中进行的比赛中，，2场，即余下的比赛为：综上可得，第一周的比赛共11本题选择D选项.10. 的左焦点，过点轴的直线分别在第二、三象限交双曲线的渐近线方程为（）D.【答案】A可得：，则：，据此有：整理可得：，则双曲线的渐近线方程为............................本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）D.【答案】D两三棱柱相交部分的面积为：，本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. ）B. C. D.【答案】B所以在得令，，在，所以点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。

试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（ ）A.5B.554C.5D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则Bb A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 . 14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D -BE -C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ u u u r u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a的值；（2）若m∈Z，且m（x-1）<f（x）+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x -1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围。

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．某地自2021年起，新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着物理、历史二选一的问题．该地A ，B ，C 三个学校高一的人数及高一学生选择物理的情况分别如图（1）和图（2）所示．为了解该地这三个学校学生选课的原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取20%的学生进行调查，则C 学校抽取的选择物理的学生人数为（）A ．40B ．30C ．20D ．10答案：C由题知抽取的C 学校人数为20020%⨯，其中选择物理的学生占比50%，即可求解. 解：由题意得，抽取的C 学校人数为20020%⨯，其中选择物理的学生占比50%，故C 学校抽取的选择物理的学生人数为20050%20%20⨯⨯=人． 故选：C . 点评：本题考查分层抽样，是基础题. 2．若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（） A ．23B ．2C ．22D ．3答案：D 直接计算tan 6R r h π-=即可. 解：设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ， 由题可知：tan 6R r h π-=，即233h =， 所以23h =． 故选：D 点评：本题考查圆台的几何特征，属基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．128答案：B列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 解：第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 点评：本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 4．函数())2cos ln1f x x x x =⋅+在[1,1]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：B由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 解：因为()()2cos()ln()1f x x x x =-=-⋅-+)2cos ln1x x x ⋅+22cos cos ln(1)()1x x x x f x x x=⋅=-+=-+-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos1ln(21)0f =⋅-<，排除A. 故选：B. 点评：本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.5．若角0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0,4πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2cos sin 22ααβ=-，3sin 5α=，则cos β=（） A ．25B ．45C ．155D ．22答案：A逆用两角差的正弦公式化简所给等式可推出αβ、之间的关系，再利用二倍角的余弦公式可求得2cos β，根据β的范围即可确定cos β的值.解：由题意可得sin sin 42παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵0,424παπ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，0,4πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴42παβ-=，则22πβα=-， ∴3cos2cos sin 25πβαα⎛⎫=-==⎪⎝⎭，又23cos22cos 15ββ=-=，解得24cos 5β=，又0,4πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 5β=． 故选：A 点评：本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，属于中档题. 6．已知m ，n 是函数()()32103f x x x ax a =-+>的两个极值点，则41m n +的最小值为（） A ．92B ．9C ．5D ．52答案：A计算()22f x x x a '=-+，可得2m n +=，且0m >，0n >，然后结合基本不等式计算可得结果. 解：由题可知()()220f x x x a a '=-+>．因m ，n 为函数()f x 的两个极值点，所以2m n +=，0=>mn a ，故0m >，0n >， 又440∆=->a ，则且01a <<所以()411411495222m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4m n n m =，即43m =，23n =时取得最小值92．此时89a mn ==，符合条件． 故选：A 点评：本题考查函数的极值点的性质以及利用基本不等式求最值，属基础题.7．已知函数()()()2ln 122f x x x ax e =-+-，若()0,x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（） A ．22e B ．e C ．22e -D ．222e e -答案：C根据题意画出()g x 和()h x 的大致图象，观察可知，若()0,x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，则函数()g x 和()h x 在()0,∞+上有共同的零点，求解即可. 解：令()()ln 10g x x x =->，()()2220h x x ax e x =+->，画出()g x 和()h x 的大致图象，如图所示．观察可知，若()0,x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，则函数()g x 和()h x 在()0,∞+上有共同的零点，因为函数()g x 的零点为e ，所以当函数()g x 和()h x 有共同的零点e 时，()0f x ≥恒成立，于是2220e ae e +-=，解得22a e =-． 故选：C.点评：本题考查不等式恒成立问题，是中档题. 二、未知8．已知集合20x A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =<，则A B =（） A ．{}0x x < B ．{}3x x <C ．{}23x x << D ．{}230x x x <<<或答案：D 解：【命题意图】本题考查不等式的解法以及集合运算．因为{}02A x x x =或，{}3B x x =<，所以{}230A B x x x ⋂=<<<或． 9．若复数()1ni +为实数，则正整数n 的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案：B 解：【命题意图】本题考查复数的运算．因为()212i i +=，()()42124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4．10．已知双曲线()2221016x y b b-=>的渐近线方程为34yx ，则该双曲线的焦距为（） A ．4 B ．5C ．8D ．10答案：D 解：【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质．设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线222116x yb-=的渐近线方程为34yx ，可得344b =，所以3b =，5c =．所以双曲线的焦距为10． 11．若x ，y 满足约束条件25,22,7,x y y x x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．21B ．16C ．13D ．11答案：B 解：【命题意图】本题考查线性规划．作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,x y x -=⎧⎨=⎩解得()7,9A ．观察可知，当直线y x z =-+过点()7,9A 时，z 有最大值16．12．已知函数())23sin cos 12sin 2f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 3答案：B 解：【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质． 由题可知()13sin 2sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得126x k ππ=-．当6x π=时，2233x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线6x π=对称，故A ，C 错误．函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确．函数()f x 的最大值为1，故D 错误． 三、填空题13．已知向量()3,2a =-，()1,1b =-．若()a b a μ+⊥，则实数μ的值为__________． 答案：135先计算出a b μ+，再根据向量垂直时数量积为零求解即可. 解：由题意知()3,2a b μμμ+=-+-．若()a b a μ+⊥，则()()()33220a b a μμμ+⋅=--++-=，解得135μ=．故答案为：135. 点评：本题考查向量的数量积以及向量的坐标表示，是中档题.14．设n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，则{}n a 的公比q =_________．答案：1将422n n n S S S +++=变形为422n n n n S S S S +++-=-，再利用等比数列性质求解即可. 解：由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即3412n n n n a a a a +++++=+，所以()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+，因为{}n a 是正项等比数列，所以120n n a a +++≠，0q >，所以1q =．故答案为：1. 点评：本题考查等比数列前n 项和公式以及等比数列的性质，是基础题.15．在ABC 中，6AB =，4AC =，BC 边上的中线AD =，则ABC 的面积为_________．答案：利用cos cos ADB ADC ∠=-∠，直接根据余弦定理以及面积公式计算即可. 解：设BD CD x ==，利用cos cos ADB ADC ∠=-∠，2222=，解得x =x =所以BC =，cosADC ∠=，sin ADC ∠=．所以12ADC S ==△所以2ABC ADC S S ==△△故答案为：点评：本题考查余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系，着重考查计算，属基础题. 16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，AA l '⊥，BB l '⊥，垂足分别为A '，B '，若23A F '=，2B F '=，则p =________． 答案：3根据抛物线的性质可知AA F AFA ''∠=∠，FB B B FD ''∠=∠，进一步可知90A FB ''∠=︒，然后使用勾股定理可得''A B ，最后利用等面积法可求得p解：如图，设C 的准线l 与x 轴的交点为D ．由抛物线的性质知，AA AF '=，BF BB ='， 因为AA BB x ''∥∥轴，所以AA FA FD ''∠=∠，FB B B FD ''∠=∠，所以90A FB AA F BB F ''''∠=∠+∠=︒． 在Rt A FB ''△中，由勾股定理得224A B A F B F''''=+=，所以A F B F FD A B ''''⋅=⋅，所以3p FD ==． 3点评：本题考查拋物线的性质和直线与抛物线的位置关系，本题关键得到90A FB ''∠=︒，属中档题. 四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且56a =，3914a a +=． （Ⅰ）求n a 、n S ；（Ⅱ）设1n nS n b =-，{}n b 的前n 项和为n T ，若n T m <恒成立，求实数m 的取值范围．答案：（Ⅰ）1n a n =+．()32n n n S +=；（Ⅱ）[)2,+∞. （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，即可得出n a 和n S ； （Ⅱ）求得1121n b n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求得n T ，可得出2n T <，由此可求得实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由题意可得513914621014a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a a n d n =+-=+，()()1322n n n a a n n S ++==； （Ⅱ）由1n n S n b =-，得()1211211n n b S n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭． 所以1211111221222311n n T b b b n n n ⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪++⎝⎭． 因为*n ∈N ，所以2n T <，若n T m <恒成立，需2m ≥． 故m 的取值范围为[)2,+∞． 点评：本题考查等差数列通项公式以及求和公式的求解，同时也考查了利用数列不等式恒成立求参数，考查裂项相消法的应用，考查计算能力，属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求点B 到平面PEM 的距离． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）707. （1）先证明AC ⊥平面PBD ，再证明平面PAC ⊥平面PBD ； （2）利用几何关系和等体积法求解即可. 解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．因为PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PO ⊥． 因为OP ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=， 所以AC ⊥平面PBD ． 所以平面PAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OP 为点P 到平面BME 的高． 所以13B PEM P BEM BEM V V S OP --==⨯△． 连接OE ．因为PO ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，所以PO OE ⊥． 因为2OE =，3PE =，所以5OP =又因OA OB OC OD ===，所以PA PB PC PD ===． 在PEM △中，3PE PM ==，1222ME AC ==， 所以()2212232142PEMS =⨯-=△设点B 到平面PEM 的距离为h ， 由11112522533323B PEM PEM P BEM BEM V S h V S OP --=⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯=△△，得33h =，所以h =所以点B 到平面PEM． 点评：本题考查空间几何体的线面关系以及等体积法求点到平面的距离，是中档题.19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关):（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式:()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑答案：（Ⅰ）523y x =+，63亿元；（Ⅱ）815P =.（I ）按照公式()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑计算即可；（II ）被评为A 级利润年的有2年，分别记为12,A A ，评为B 级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B ，采用枚举法列出从2015至2020年中随机抽取2年的总的情况以及恰有一年为A 级利润年的情况，再利用古典概型的概率计算公式计算即可. 解：()I 根据表中数据，计算可得()()714,43,140i i i x y x x y y ===--=∑又()27128ii x x =-=∑()()()712715iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑a y bx =-435423a ∴=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将代8x =入，582363y ∴=⨯+=(亿元).∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.()II 由()I 可知2015年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元)，其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6年中，被评为A 级利润年的有2年，分别记为12,A A ； 评为B 级利润年的有4年，分别记为1234,,,B B B B 从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为:121112131421222324121314,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B 232434,,B B B B B B ，共计15种情况.其中恰有一年为A 级利润年的情况分别为:1112131421,,,,A B A B A B A B A B ，222324,,A B A B A B 共有8种情况.记“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A 级利润年”的概率为P ，故所求概率815P = 点评：本题考查线性回归方程的应用及古典概型的概率计算问题，考查学生运算求解能力，是一道容易题.20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点.已知当4k =时，212MF F F ⊥，且12MF F ∆的面积为(1)求椭圆C 的方程；(2)当1k =时，求过点,M N 且圆心在x 轴上的圆的方程.答案：(1)22184x y +=；(2)22240()39x y ++=.(1)由当4k =时，212MF F F ⊥，且12MF F ∆的面积为，得到22121212MF MF F F F F ==22,b c a==，求解即可得到a ，b ，从而可得椭圆方程；(2)当1k =时，:2l y x =+，代入椭圆方程，求出点,M N 坐标，进而可得线段MN 的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程. 解：(1)由已知得：当k =221212142MF MF F F F F ==此时1224,F F MF ==所以222,4b c a a a==⇒-=⇒=2b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.(2)当1k =时，:2l y x =+，代入椭圆C 的方程得：2380x x +=，所以10x =，283x =-， 所以()820,2,,33M N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，线段MN 的中点坐标42,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，线段MN 的中垂线方程为2433y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，令203y x =⇒=-，即圆心坐标为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以半径r == 因此所求圆的方程为：2224039x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.点评：本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考题型. 21．已知函数()21ln 12f x x x =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()21ln 2g x x ax x =-+，证明：曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线. 答案：（1）在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；（2）证明见解析 （1）先求得导函数,根据导函数的符号即可判断单调区间.（2）先讨论过原点的切线斜率是否存在.当斜率不存在时,切线为y 轴,分析可知不成立.当斜率存在时,可设出切线方程和切点坐标.建立方程组,判断方程组无解,即可证明不存在这样的切线. 解：（1）()f x 定义域为()0,∞+,()()()111'x x f x x x x+-=-=. 当01x <<时,()'0f x <, 当1x >时,()'0f x >.所以()f x 在()0,1单调递减,在()1,+∞单调递增.（2）因为()g x 定义域为()0,∞+,所以y 轴不是曲线()y g x =的切线.当经过坐标原点的直线不是y 轴时,设y kx =是曲线()y g x =的切线,切点是()00,x y .因为()21'g x x a x =-+,所以20000001ln 21x ax x kx x a k x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩. 消去k 得2001ln 102x x -+=,即()00f x =.由（1）知()f x 在1x =处取得最小值,则()()0132f x f ≥=>, 所以()00f x =无解.因此曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线. 点评：本题考查根据导函数判断函数的单调区间,利用导数研究曲线的切线方程,利用导数研究不等式成立问题,属于中档题.22．在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.答案：（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析.（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；（2）求得3MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论.解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=， 所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由（1）得3MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，易知AB 的垂直平分线EF的参数方程为23132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C的普通方程得2340233t --=，483392ME MF -∴⋅==， 因此，MA MB ME MF ⋅=⋅. 点评：本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.答案：（1）[1,)+∞；（2）49． （1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值． 解：（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1,)+∞． （2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，∴+a b 的最小值是49． 点评：本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

河南省名校联考2020届高三联考数学（理）试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）A. 先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律作出判断.【详解】函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,所以选A.【点睛】本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.【详解】因为满足，所以在双曲线右支，因此,又为等腰三角形，所以,因为,所以，选B.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.【详解】由，得，则故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.9.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.12.已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.【详解】因为，所以由题意得在上不单调，因为，所以,当时, ,, 当时, ,,因此，选A.【点睛】本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）【答案】35【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.【详解】,即含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，计算即可.【详解】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，，，，则，，，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（Ⅰ）求得分在上的频率；（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故.构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值.【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知..因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。

河南省部分重点中学2020届高考质量监测理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合{|ln(1)}M x y x ==+.{}|xN y y e ==，则MN =（ ）A.(1,0)-B.(1,)-+∞C.(0,)+∞D.R2.已知复数552iz i i-=-，则z =（ ）B. C. D.3.已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c b a << B.b a c << C.c a b <<D.b c a <<4.已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.若过抛物线214y x =焦点的直线与抛物线交于A B 、两点（不重合），则OA OB ⋅ (O 为坐标原点）的值是（ ） A.34 B. 34- C. 3 D. 3- 6.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===则按照以上规律，若=“穿墙术”，则m ，n 满足的关系式为（ ） A.n =2m -1B.n =2(m -1)C.n =(m -1)2D.n =m 2 -17.已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A. B.C. D.8.执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（ ）A.1=+n n ，S S n =+B.2=+n n ，S S n =+C.S S n =+，1=+n nD.S S n =+，2=+n n9.已知函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+-+（0>ω，2πϕ<）的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的最小正周期为π，3x π=为函数()g x 的一条对称轴，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A.06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U的近似值为（ ）A.2123kcq x x RB.2123kcq x x R -C.21232kcq x x RD.21232kcq x x R -11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P 、Q 两点，且90OPQ ∠=，O 为坐标原点，若OPQ △内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为（ ）12.设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C.1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.己知()1,2a =，()2,b x =，且这两个向量的夹角的余弦值为45，则x = ________. 14.若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是______.15.()6312x x⎛++ ⎝的展开式中3x 项的系数是____________.(用数字作答)16.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且AD BC ∥，AD DC ⊥，224===AD DC CB，AP PD ⊥，PA PD =，=PC AD 的中点为E ，则四棱锥-P BCDE 外接球的表面积为________.三、解答题（题型注释）,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.18.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点1F 、2F 的距离之和是4. （1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.19.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）20.已知函数()2ln 1af x x x=+-，a ∈R . （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在()1,+∞上的极值；（3）设函数()()2ln g x x a x =-，若2a ≥-，且对任意的实数[]1,x e ∈，不等式()24g x e ≤恒成立（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =t,y =m −t（t 为参数，m ∈R ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ（ρ>0,θ∈[0,π]）.（1）求曲线C 1、C 2的直角坐标方程.（2）若P 、Q 分别为C 1、C 2上的动点，且P 、Q 间距离的最小值为2√2，求实数m 的值. 22.已知实数正数x ， y 满足1x y +=. （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.参考答案1.C【解析】1.根据函数ln(1)y x =+的定义域和函数xy e =的值域，化简集合,M N ，按照交集定义，即可求解.{|ln(1)}(1,)M x y x ==+=-+∞，{}|(0,)x N y y e ===+∞， (0,)MN ∴=+∞.故选：C. 2.B【解析】2.先求z ，并根据复数除法法则以及模的定义求结果.552i z i i -=∴-()525551725i i iz i i i i +=+=+=-+-，故z ==故选：B 3.A【解析】3.由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解.由对数函数的单调性可知21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tan tan 033c ππ===<， 故01c b a <<<<. 故选：A. 4.D【解析】4.若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形；若2A π=，则sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D . 5.D【解析】5.抛物线为24x y =，焦点为()0,1F ，设:1AB y kx =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，由21{4y kx x y =+=有2440x kx --=，所以124x x =-， ()212121116y y x x ==，故1212·3OAOB x x y y =+=-，选D.6.D【解析】6.根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.由题可知：==，====则可归纳：== 所以21n m =- 故选：D 7.A【解析】7.先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A 8.D【解析】8.根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可.A ：若空白处是1=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，2,022,24n S i ==+==≤成立，所以3,235,34n S i ==+==≤成立，所以4,459,44n S i ==+==≤成立，所以5,5914,54n S i ==+==≤不成立，故14S =，不符合题意；B ：若空白处是2=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，3,033,24n S i ==+==≤成立，所以5,538,34n S i ==+==≤成立，所以7,8715,44n S i ==+==≤成立，所以9,15924,54n S i ==+==≤不成立，故24S =，不符合题意；C ：若空白处是S S n =+，1=+n n 时，14i =≤成立，1,2,24S n i ===≤成立，所以3,3,34S n i ===≤成立，所以6,4,44S n i ===≤成立，所以10,5,54S n i ===≤不成立，故10S =，不符合题意；D ：若空白处是S S n =+，2=+n n 时，14i =≤成立，1,3,24S n i ===≤成立，所以4,5,34S n i ===≤成立，所以9,7,44S n i ===≤成立，所以16,9,54S n i ===≤不成立，故16S =，符合题意. 故选：D 9.C【解析】9.先利用辅助角公式化简函数为()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()34g x x ωππωϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，然后根据()g x 的最小正周期为π，3x π=为()g x的一条对称轴，求得()726g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.由题意知，()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()334g x f x x πωππωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=， 所以()2234g x x ππϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为3x π=为()g x 的一条对称轴，则42k ππϕπ-=+（k ∈Z ），即34k πϕπ=+（k ∈Z ）， 因为2πϕ<，可得4πϕ=-，所以函数()726g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令7222262k x k πππππ-+≤-≤+（k ∈Z ）， 解得536k x k ππππ+≤≤+，（k ∈Z ）， 当0k =时，536x ππ≤≤. 故选：C 10.D【解析】10.将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 11.B【解析】11.作出图形，设OPQ △的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T ，可知四边形MTPN 为正方形，可求得MN 、ON ，进而求得b a，然后利用公式e =可求得该双曲线的离心率e 的值. 如图，设OPQ △的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T ， 由2F P OP ⊥得四边形MTPN 为正方形，双曲线的右焦点()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为2F P b ==，又2OF c =，所以OP a ===，由13NP MN a ==，得23a ON OP NP =-=， 所以，1tan 2MN bMON a ON =∠==，故c e a =====. 故选：B. 12.C【解析】12.()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 13.1【解析】13.直接根据向量夹角公式计算得到答案. 两个向量的夹角的余弦值为45，故45a b a b⋅=⋅，即22x +=， 解得1x =或11x =-，验证11x =-不成立. 故答案为：1. 14.35【解析】14.利用函数2x a y x+=在区间[)2,+∞内单调递增，得出不等式0y '≥对任意的[)2,x ∈+∞恒成立，可求得实数a 的取值范围，再由几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.函数2x a yx +=在区间[)2,+∞单调递增，22210a x ay x x -'∴=-=≥在[)2,+∞恒成立，2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立，4a ∴≤，又因为[]1,6a ∈，[]1,4a ∴∈，所以函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-. 故答案为：35. 15.300【解析】15.求出62x⎛+ ⎝展开式中的常数项和含3x 的项，分别与3x 和1相乘，即可求解.62x⎛ ⎝展开式的通项为36662166(2)2k k k k k k k T C x C x---+==⋅， 0,1,6k =，令360,42k k -==，363,22k k -==，62x⎛ ⎝展开式中，常数项为4256260T C =⋅=，含3x 项为2433362240T C x x =⋅=，()6312x x⎛++ ⎝的展开式中3x 项系数为60240300+=.故答案为：300. 16.283π【解析】16.由已知得，ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=，2DC CB ==，那么DEBC 是正方形，由AD ⊥平面PBE ，可知BC ⊥平面PBE ，可解得PB ，可知PBE △是等边三角形，-P BCDE 外接球的球心O 到,,,B C D E 四点距离相等，设O 在平面BCDE 的投影为H ，根据勾股定理可知点H 是对角线的交点，在ROB 中可得222222R OB HB h h ==+=+，过P 作PF EB ⊥于F ，再根据())222221R OP PF h HF h==-+=+，可求出2R ，由外接球面积公式即得。

某某省大联考2020届高三数学阶段性测试试题（七）理（含解析）1. 已知集合20x A xx -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =<，则A B =（ ） A. {}0x x < B. {}3x x <C. {}23x x <<D. {23x x <<或}0x < 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式得{0A x x =<或}2x >，再根据集合运算即可.【详解】因为{0A x x =<或}2x > ，{}3B x x =<，所以{23A B x x ⋂=<<或}0x <． 故选：D.【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合运算，是基础题. 2. 若复数()1ni +为实数，则正整数n 的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知n 只能为偶数，分别计算()()241,1++i i 比较即可.【详解】因为()212i i +=，()()42124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4． 故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属基础题.3. 已知双曲线()2221016x y b b -=>的渐近线方程为34yx ，则该双曲线的焦距为（ ） A. 4B. 5C. 8D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的方程和双曲线的渐近线方程得3,44b a a ==，再根据222c a b =+计算即可解决. 【详解】设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线222116x yb-=的渐近线方程为34yx ，可得344b =，所以3b =，5c =．所以双曲线的焦距为10． 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程及性质，是基础题.4. 下图是某市2014年到2020年贫困户的户数y （单位：万户）与时间t 的条形图（时间t 的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y 关于t 的线性回归方程为0.5y t a =-+，则a =（ ）A. 2.2B. 4.2C. 6.2D. 6.4【解析】 【分析】根据条形图，可求出,x y ，由回归直线经过样本点的中心(),x y ，可求出a . 【详解】本题考查线性回归方程. 依题意，得12747t +++==， 5.6 5.2 4.8 4.4 3.4 3.3 2.74.27y ++++++==，所以4.20.54a =-⨯+，所以 6.2a =. 故选：C.【点睛】本题考查回归直线，注意回归直线一定经过样本点的中心(),x y ，属于基础题. 5. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 16B. 48C. 96D. 128【解析】 【分析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环.【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 6. 函数()()2cos ln1f x x x x =⋅+-在[1,1]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 【详解】因为()()2cos()ln()1f x x x x =-=-⋅-+()2cos ln1x x x ⋅++22cos cos ln(1)()1x x x x f x x x=⋅=-+=-+-，故()f x 为奇函数，排除C、D；又(1)cos1ln(21)0f=⋅-<，排除A.故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.7. 若x，y满足约束条件25,22,7,x yy xx-≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y=+的最大值为（）A. 21B. 16C. 13D. 11【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，确定最优点，并求最大值.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,x yx-=⎧⎨=⎩解得()7,9A．观察可知，当直线y x z=-+过点()7,9A时，z有最大值16．故选：B【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.8. 《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（ ）A. 第10日B. 第11日C. 第12日D. 第60日 【答案】A 【解析】 【分析】先求出良马和驽马日行程的通项公式，列出式子()()1130002n n a a n b b n +++=，即可求解.【详解】依题意，可知良马第()*n n ∈N 日行程为()155********n a n n =+-=+， 同理，可得驽马第()*n n ∈N 日行程为1022n b n =-，令()()1130002n n a a n b b n +++=，整理可得2506000n n +-=，所以10n =. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质以及数学文化.，关键点是对题意的翻译，属于简单题目.9. 已知函数())2sin cos 12sin f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（ ） A. ()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 的图象关于直线6x π=对称D. ()f x 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简函数得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数性质求解即可.【详解】由题可知()1sin2sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得126x k ππ=-．当6x π=时，2233x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线6x π=对称，故A ，C 错误；函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确； 函数()f x 的最大值为1，故D 错误； 故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，是中档题.10. 已知ABC 内接于半径为3的圆，2BC =，A 为圆上的动点，则BC BA ⋅的取值X 围是（ ）A. []4,4- B. []8,9- C. []4,8- D. []0,12 【答案】C 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设(),A x y ，则[]3,3x ∈-， 求出()21BC BA x ⋅=+，即得BC BA ⋅的取值X 围.【详解】以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C . 设(),A x y ，则[]3,3x ∈-，所以()2,0BC =，()1,BA x y =+， 所以()[]214,8BC BA x ⋅=+∈-. 故选：C.【点睛】本题主要考查坐标法研究平面向量的问题，考查平面向量的坐标运算和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 已知点P 为抛物线()2:20C y px p =>上异于原点O 的动点，F 为C 的焦点.若2PM MF =，则直线OM 的斜率的取值X 围是（ ）A. 30,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦B.22⎡-⎢⎣⎦ C.⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦D. ⎫+⎪⎪⎣⎭∞ 【答案】C 【解析】 【分析】设200,2y P y p ⎛⎫⎪⎝⎭，以OP 、OF 为基底表示向量OM 即可求得点M 的坐标，代入直线斜率公式求出直线OM 的斜率表达式，再利用基本不等式即可求得X 围.【详解】设200,2y P y p ⎛⎫⎪⎝⎭，显然00y ≠，由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2001112,3333633y p y OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，可得0200023263OM y k yp y p p yp ==++. 当00y >时，02OM k <≤=，当且仅当2202y p=时取等号； 当00y <时，002022OM k y p p y >=-≥=---，当且仅当2202y p =时取等号.故22OM k ⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题、向量的线性运算及坐标表示、基本不等式求和的最小值，属于较难题.12. 若函数()ln 2xf x x x ae =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则实数a 的取值X 围是（ ）A. 20,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 21,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 42,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,2e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，()0f x '=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2x x a e +=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln xx y e +=的图像在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,内有两个交点，所以只需利用导数研究函数()1ln x x g x e +=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上的极值、最值和单调性，再结合函数图像可得结果.【详解】解：由题意()1ln 2xf x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2xxa e+=. 函数()f x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根，等价于1ln 2xx a e +=在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有两个不同的实数根， 也等价于直线2y a =与1ln x x y e +=的图像在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,内有两个交点. 令()1ln xx g x e +=，则()11ln xxx g x e --'=.令()11ln h x x x =--，可得()h x 在区间1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数，且()10h =. 所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数， 当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在(1,)e 上减函数，所以()()max 11g x g e ==.又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2()e g e e =，所以212e a e e <<，所以112e a ee <<. 故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数极值、单调性，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________. 【答案】23【解析】 【分析】若设圆台的上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，则由题意可得，tan 6R r h π-=，从而可求出圆台的高.【详解】设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 6R r h π-=，即23h =， 所以h =故答案为：【点睛】本题考查圆台的几何特征，圆台中的上、下底面半径与高的关系，属于基础题.14. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________. 【答案】1172【解析】 【分析】事件“甲恰好比乙多击中目标1次”可拆成三个互斥事件：甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次，然后可计算概率．【详解】甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率23223212123333111112112111223223323372P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⋅⎝. 故答案为：1172． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查互斥事件的概率公式，解题关键是把事件拆成三个互斥事件的和．这样可通过概率公式计算概率．15. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，且12S =，则20192020a a +=_________.【答案】4或0 【解析】【分析】由422n n n S S S +++=，得3412n n n n a a a a +++++=+，从而得()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+，然后得120n n a a +++=或210q -=，进而求出公比和通项，即可得结果.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由12S =，得12a =，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即3412n n n n a a a a +++++=+， 所以()21212n n n n a a q a a +++++⋅=+.若120n n a a +++=，则1q =-，此时()121n n a -=⨯-；若120n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =.所以20192020224a a +=+=或20192020220a a +=-=. 故答案为：4或0【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质，考查了分类思想和计算能力，属于基础题.16. 已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R ，r ，则Rr的值为________.【答案】2【解析】 【分析】设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O ，取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE ，先作1O G AB ⊥，易知1R O G =，再作2O H AB ⊥，则2r O H =，可得出1AO =，2AO =，又1212AO AO O O =+，进而得出R 和r 的关系，最后求出R r的值即可.【详解】如图所示，设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O ，取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE ，可知1O ，2O 都在正四面体的高AE 上， 因为大球与三条侧棱都相切，作1O G AB ⊥，易知1R O G =，又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2O H AB ⊥，则2r O H =， 因为2333a a BE =⋅=，ABa ，所以3sin BAE∠=，所以13AO R =，23AO r =，又1212AO AO O O =+，所以33r r R R ++=， 所以3142323231R r ++===+-.【点睛】本题考查空间几何体与球的相切问题，考查逻辑思维能力和计算能力，考查空间想象能力，属于常考题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若23a =，2c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2）23【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化得sin sin cos B A C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合内角和定理与正弦的和角公式化简得tan A =.（2）结合（1）与余弦定理得4b =，再用面积公式求解即可.【详解】（1）由cos 3b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，及正弦定理得sin sin cos B A C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又()sin sin B A C =+，所以sin cos cos sin sin cos sin 3A C A CA C A C +=+，即cos sin sin 3A C A C =. 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠.所以tan A =因为()0,A π∈，所以3A π=. （2）由（1）知，3A π=. 由余弦定理得22221412cos 224b c a b A bc b+-+-===. 所以2280b b --=.所以4b =.所以ABC的面积11sin 42222S bc A ==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查利用正余弦定理解解三角形，考查运算能力，是基础题. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，36AB DC ==，2BM MP =.（1）求证：//CM 平面PAD ；（2）若AD DC ⊥，PD PC ⊥且PD PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，1AD =，求直线CM 与平面PAB 所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒. 【解析】 【分析】（1）取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM ，则12PN PM NA MB ==，所以MNAB 且13MN AB =，再结合已知可证得四边形MNDC 为平行四边形，从而有DN CM ∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OEAD 交AB 于E ，可证得直线OP ，OC ，OE 两两垂直，所以以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，然后利用空间向量求直线CM 与平面PAB 所成的角.【详解】（1）如图，取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM . 则12PN PM NA MB ==， 所以MNAB 且13MN AB =. 又DC AB ∥且13DC AB =,所以四边形MNDC 为平行四边形. 所以DN CM ∥.又DN ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .（2）如图，取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OE AD 交AB 于E .因为平面PCD ⊥平面ABCD ，OP DC ⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP ⊥平面ABCD . 所以直线OP ，OC ，OE 两两垂直，以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,1,0A -，()1,5,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C .所以2122,,3333CM CB BM CB BP ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()0,6,0AB =，()1,1,1AP =-. 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则60,0,0.0y m AB x y z m AP ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩ 取1x =，得()1,0,1m =. 所以2cos ,2CM m CM m CM m⋅〈〉==， 所以直线CM 与平面PAB 所成的角为45°.【点睛】此题考查了线面平行的证明，求直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.19. 某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小X 每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格． （1）假设某一天小X 抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ； （2）小X 某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小X 是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．【答案】（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】 【分析】（1）由零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ； （2）由题可得不合格率为250,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为250,若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-； 若检查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2()102005E Y n n -=->,所以为了使损失尽量小,小X 需要检查其余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20. 已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且13AF O π∠=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点. 【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标.【详解】（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==，1AF a ==，13AF O π∠=，16OAF π∠=，1122a AF OF ∴===，b ∴，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+， 1211k k k =-，1212k kk k ∴=+，12121212y y y y x x x x ∴⨯=+，∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()()(()2212122130kk x x k m x x m -+-++-+=，化简得((23m m =，3m ≠，(3m∴=，m ∴=直线:MN y kx =+MN过定点⎛ ⎝. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点； （2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】 【分析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x e x a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+(0,)+∞上单调递增.∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x e x a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所某某数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22. 在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy .（1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标；（2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.【答案】（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；（2）求得3MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=， 将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=，所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=. 将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=， 联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）由（1）得MA MB ==，89MA MB ∴⋅=， 易知AB 的垂直平分线EF 的参数方程为23213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入C的普通方程得234023t -=，483392ME MF -∴⋅==， 因此，MA MB ME MF ⋅=⋅.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.23. 已知函数()|1||2|f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）49． 【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B .【详解】 依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-.故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ）A ．BC ．2D【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =，()3,0n =-，()()q m q n -⊥-，则q 为（ ） A ．7 B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，可得出()()0q m q m -⋅+=，由此可得出q m =，进而得解.【详解】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，()()0q m q m ∴-⋅+=，即22q m =，因此，22303q m ==+=.故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误； 使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8114S a =+，则（ ） A ．282a a += B ．284a a +=C ．272a a +=D ．274a a +=【答案】B【解析】由8114S a =+可得出234567814a a a a a a a ++++++=，再利用等差数列的基本性质可得出结果. 【详解】依题意，81234567814S a a a a a a a a -=++++++=，故()287142a a +=，即284a a +=.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知实数a 、b 、c 满足134a =，1610b =，5log 50c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】A【解析】利用幂函数的单调性得出a 、b 、2三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出c 与2的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】幂函数16y x =在()0,∞+上为增函数，且1111636610416642<=<=，即2b a <<；对数函数5log y x =在()0,∞+上为增函数，55log 50log 252c ∴=>=. 因此，c a b >>. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x =【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x xx xx xx x e e e e f x f x e ee e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数， 当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数，所以，函数()1 lg1xf xx+⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减；对于C选项，作出函数()224,04,0x x xf xx x x⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增；对于D选项，函数()(2ln11f x x=-的定义域为(][),11,-∞-+∞，()()((()22ln11ln11f x x x f x-=+--=-=，该函数为偶函数.内层函数211u x=-()2,+∞上单调递增，外层函数lny u=也为增函数，所以，函数()(2ln11f x x=-()2,+∞上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．已知长方体1111ABCD A B C D-的表面积为208，118AB BC AA++=，则该长方体的外接球的表面积为（）A．116πB．106πC．56πD．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AAAB BC BC AA AB AA++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果. 【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=， 所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.9．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的渐近线l 上，点P 、P '关于x 轴对称.若12P F PF '⊥，12214PF PF k k k =⋅，其中1PF k 、2PF k 、1k 分别表示直线1PF 、2PF 、l 的斜率，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】设直线2PF 的斜率为k ，根据12P F PF '⊥以及1P F '与1PF 关于x 轴对称，可得出11PF k k =，由此可得出2241b a=，由此可计算出双曲线C 的离心率. 【详解】不妨设直线2PF 的斜率为k ，由题易知0k ≠，且直线1P F '与1PF 关于x 轴对称，11P F PF k k '∴=-， 因为12P F PF '⊥，所以直线1P F '的斜率为1k -，即111P F PF k k k '=-=-，11PF k k∴=， 由12214PF PF k k k =⋅可得241b a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即2214b a =，所以，双曲线C 的离心率为e ==.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58 B ．34C ．54D ．52【答案】C【解析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数()()22sin cos cos 2cos 1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）. 故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B【解析】先求出p 的值，得出抛物线C 的方程为24x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出2MF NF MN +=，然后在MNF ∆中利用余弦定理可求出cos MFN ∠的最小值，由等号成立的条件可知MNF∆为等边三角形，可设直线2l的方程为1y =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP . 【详解】依题意，可知2p =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ， 由抛物线定义可得122y y MF NF ++=+. 因为2R py MN =-，即1212y y MN +=-，所以2MF NF MN +=. 由余弦定理可得()2222236111cos 284842MF NF MF NF MNMF NF MFN MF NFMF NFMF NF++-⋅∠==-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为3π，此时MFN ∆为等边三角形，不妨直线MP 的方程为1y =+，联立241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得240x --=，故13x x+=)1313214y y x x +=++=，故16MP =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.二、填空题13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 【答案】80【解析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.【详解】5212x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=. 故答案为：173. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为32，24AB BC ==，E ∈平面11ABB A ，若点E 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则1D E 的最小值为______. 【答案】4【解析】根据长方体的体积得出14AA =，然后以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()2,,E y z ，根据已知条件得出24y z =+，然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出1D E 的最小值.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为111132ABCD A B C D V -=，24AB BC ==，所以14AA =.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()2,,E y z ，则点E 到直线1AA 的距离为y ，点E 到直线CD 的距离为24z +，故24y z =+.而()10,0,4D ，故()22214428244D E y z z z =++-=-+≥，故1D E 的最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查空间中两点间距离最值的计算，涉及到空间直角坐标系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x <≤⎧⎪==⎨>⎪⎩， 则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点， 当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点， 则ln m em e m<<，如下图所示，显然m ee m<成立，下面解不等式lnmme<，即ln1mm e<，构造函数()ln xF xx=，0x>，()1ln xF xx-'=，令()0F x'=，得x e=.当0x e<<时，()0F x'>，当x e=时，()0F x'<.所以，函数()y F x=在x e=处取得最大值，即()()max1F x F ee==，所以，当0m>且m e≠时，不等式ln1mm e<恒成立，此时，0m e<<.当m e>时，1me>，若函数()y h x=的图象与直线mye=有1个交点，则有lnmme≤，即ln1mm e≥，由上可知，m e=（舍去）.综上所述，0m e<≤.故答案为：(]0,e.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m与e的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，()sin2A B A+=，5b=，3AC MC=，2ABM CBM∠=∠.（1）求ABC∠的大小；（2）求ABC∆的面积.【答案】（1）34π；（2）52.【解析】（1）设CBMθ∠=，由3AC MC=可得出12BMCBMAS CMS AM∆∆==，再由()sin A B A +=，结合正弦定理得出AB =，代入12BMC BMA S CM S AM ∆∆==可求出cos θ的值，进而可求得ABC ∠的值；（2）在ABC ∆中，利用余弦定理可求出a 的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积. 【详解】（1）因为3AC MC =，所以点M 在线段AC 上，且2AM CM =，故12BMC BMA S CM S AM ∆∆==，① 记CBM θ∠=，则1sin 2BMC S BC BM θ∆=⋅⋅，1sin 22BMA S AB BM θ∆=⋅⋅. 因为()sin A B A +=，即sin C A =，即AB =，结合①式，得12BMCBMAS S ∆∆===，可得cos 2θ=.因为()0,θπ∈，所以4πθ=，所以334ABC πθ∠==； （2）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos b a c ac ABC =+-∠，即))222522a a =++⋅⋅，解得a =故1135sin sin 2242ABC S ac ABC a π∆=∠=⋅⋅=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.【答案】（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. 【解析】（1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知34,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=； （2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）； （3）依题意，34,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029*********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为X1234P240110000102925001323500018925008110000故()364105E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 19．如图，五面体ABCDEF 中，2AE EF =，平面DAE ⊥平面ABFE ，平面CBF ⊥平面ABFE .45DAE DEA CFB EAB FBA ∠=∠=∠=∠=∠=︒，AB EF ，点P是线段AB 上靠近A 的三等分点.（Ⅰ）求证：DP 平面CBF ；（Ⅱ）求直线DP 与平面ACF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）33819【解析】（Ⅰ）根据题意，分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MP ，MN . 由题可知AD DE =，90ADE ∠=︒.设1AD DE ==，则2AM =由平面DAE ⊥平面ABFE ，得DM ⊥平面ABFE ，同理CN ⊥平面ABFE .，从而//DM CN .，则//DM 平面CBF ；由cos45AM AP =︒，所以90AMP ∠=︒，所以AMP ∆是以AP为斜边的等腰直角三角形，再由45MPA ∠=︒，45FBA ∠=︒，得到//MP FB .则//MP 平面CBF .，再由面面平行的判断定理得到平面//DMP 平面CBF ，从而得证。

河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则。

故答案为D。

2. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角的终边经过点,根据三角函数的定义得到，故答案选B。

3. 已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若，则（）A. 24B. 22C. 20D. 18【答案】C【解析】已知是公差为2的等差数列，，即故答案为：C。

4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点在幂函数的图象上，将点代入得到故函数为，，，故大小关系是。

故答案为A。

5. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据积分的应用得到故答案为：B。

6. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】B...............∴f（x）为奇函数，排除A，f（0）=0，排除D，f（）=0，排除C，故选B．7. 已知实数满足，且的最大值为6，则实数的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6，即x+y=6．即A（3，3），同时A也在直线y=k上，∴k=3，故答案为D。

8. 《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比S7=700，解得：，故结果为C。