高三阶段性考试数学试卷

山东名校考试联盟2023年12月高三年级阶段性检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．35； 14．3281； 15．6−； 16．2a ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解析】（1）方法一：因为等差数列{}n a 中，2616a a +=，所以48a =， …………………………………2分 又因为15355()5(2)3022a a a S +===，所以36a =， …………………………………4分 所以122a d ==，，2n a n =. …………………………………5分 方法二：由，，得 …………………………………2分 解得 …………………………………4分 所以 ………………………………5分 （2）由（1）得2n S n n =+， ………………………………7分所以ABC △. ……………………… 12分 【评分说明】 1.方法一中没有标注t 的取值范围，不扣分；2.方法二中没有指出等号成立的条件扣一分.20．【解析】（1）连接1AB ，设11A B AB M =，则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥，………………1分 因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC平面111ABB A A B =，AM ⊂平面11ABB A ，所以AM ⊥平面1A BC ，因为BC ⊂平面1A BC ，AM BC ⊥，…………………2分又在直三棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BC ⊥， …………………………………3分因为11AM BB B =，AM ，1BB ⊂平面11ABB A ， 所以BC ⊥平面11ABB A ，………………………………4分又因为AB ⊂平面11ABB A ，所以AB BC ⊥； …………………………………5分（2）由（1）得AM ⊥平面1A BC ，则直线AC 与平面1A BC 所成的角为6ACM π∠=，在正方形11ABB A 中，2,2AB AM AC BC =====，…………… 7分建立以B 为原点的空间直角坐标系B xyz −，如图所示：(0,2,0)A ，(2,0,0)C ，(0,1,1)M ， ………………………8分 设11(2,2,2)A E A C λλλλ==−−，[0,1]λ∈，则11(2,22,22)BE BA A E λλλ=+=−−，又(0,2,0)BA =设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =，则20(1)(1)0n BA y n BE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+−+−=⎪⎩，取1x =，则0y =，1z λλ=−，故曲线()n y f x =在2x =−处的切线斜率为12n −．………………………………………2分（2）因为()22e −x f x k 对任意x ∈R 恒成立，则()22122e e −−+−=x x x x f x k对任意x ∈R 恒成立． ……………………………………3分 令212()e −−+=x x x g x ，则()()42e −'=xx x g x ， 故()g x 在(,0]−∞上单调递减，在(0,4)上单调递增，在[4,)+∞上单调递减 …………4分 又(0)1g =−，且当4x >时， ()0g x >， ………………………………………5分 故()g x 的最小值为(0)1g =−，故1k −，即k 的取值范围是(,1]−∞−． ………………………………………6分(3) ()1111n f n '−=−−−−=−．当1x ≠−时，()()()()()211111.11n n n n n x x f x x x x x x −−−−−'=−+−++−=−=−−+………………7分因此当n 为奇数时，()2311231n n n x x x x f x x n n −=−+−++−−．此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧+−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩ 则()0n f x '<，所以()n f x 单调递减． 此时(0)10n f =>．1()1f x x =− 显然有唯一零点，无最小值．当2n 时，()2312222212231−=−+−++−−n nn f n n()2123212220.321−⎛⎫⎛⎫=−+−++−< ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭n n n n 且当2x >时，()()()231211231311,321n n n n x x x x f x x n n x x n x x x x n n −−⎛⎫⎛⎫=−+−++− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=−+−++−<− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭由此可知此时()n f x 不存在最小值．从而当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值．………………………………… 8分当2()n k k *=∈N 为偶数时，()2311231n nn x x x x f x x n n−=−+−+−+−， 此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩则()n f x 在(,1]−∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()n f x 的最小值为()()111111110,2321n f n n n⎛⎫⎛⎫=−+−++−+> ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ 即()(1)0n n f x f >，当n 为偶数时，()n f x 没有零点．………………………………… 9分在不等式()ln 1(0)1x x x x +>>+中令1x n =可得11ln 1n n n +>+， 分别取,1,,21n k k k =+−可知 ()2111111112342121111111223224211111112322111122−=−+−++−−⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++k f k kk k k k k k k……………………………10分 1222ln ln ln ln ln 2,121++<+++==+−k k k k k k k k…………………………11分 即()211ln 2k m f =>−．从而当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−． ……………… 12分综上所述，当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值；当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−．。

河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =-<<，则A B = （）A ．()2,2-B ．()0,2C ．()0,4D ．(]0,42．“1x >”是“2x x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2x y -=-与2x y =的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y=x 对称4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为341,2n S S a a =-，且2415a a +=，则35a a +=（）A ．3B ．5C ．30D ．455．如图，平行四边形ABCD 中，2,AE EB DF FC ==，若,CB a CE b == ，则AF =（）A ．1322a b+ B ．3122a b-C ．1322a b- D ．1322a b -+ 6．关于x 的方程(1)(4)x x a --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（）A ．当0a =时，121,4x x ==B ．当0a >时，1214x x <<C ．当0a >时，121,4x x <>D ．当904a -<<时，122544x x <<7．已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（）A ．13B ．17C ．16D ．28．在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且CD a =，AB b =，EF 和GH 为平行于底的两条割线，其中EF 为中位线，GH 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()20,0112a ba b a b+≤>>+C．)0,02a b a b +≤>>D．)220,0a b a b +≥>>二、多选题9．在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为1lg A T=，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料3T0.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为123,,A A A ，则下列结论正确的是（）A ．12A A >B ．233A A >C ．1322A A A +>D ．231A A A +>10．已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A ．若a c b c ⋅=⋅ ，则a b=B ．若()0a b c ⋅= ，则b c⊥C ．若()()a b a b +⊥-，则||||a b = D ．向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直11．已知函数()cos sin f x x x x =-在区间(0,3π)内有两个零点12,x x ，则下列结论正确的是（）A ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x>B ．12πx x ->C ．12sin 02x x +⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．1221sin sin 0x x x x +<三、填空题12．在ABC V 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =13．已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =．14．已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为．四、解答题15．设函数()e xf x =，x ∈R .(1)求方程()()()22f x f x =+的实数解；(2)若不等式()22x b b f x +-≤对于一切x ∈R 都成立，求实数b 的取值范围.16．已知函数2()2sin cos f x x x x =+-R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(02ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；(3)若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，3π4C =，求a b的值；(2)求证：()222sin sin A B a b c C--=.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*N n ∈.(1)求n S ；(2)令()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .19．若函数()f x 对其定义域内任意()1212,x x x x ≠满足：当()()12f x f x =时，恒有12x x m =，其中常数m ，则称函数()f x 具有性质()V m .(1)函数1()2=+g x x x具有性质()V m ，求m .(2)设函数()()()1221()ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>，（ⅰ）判断函数()h x 是否具有性质()V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明：2122x x <.。

江西省5市重点中学2023届高三下学期阶段性联考数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合{}{}23041x A x x B x x =+->=->，，则A B = （ ）A. {}13x x << B. {}31x x -<< C. {}3x x >- D. {}1x x >2. 若复数z 满足2i 2iz=-，则1z +=（ ）A.B.C. 5D. 173. 函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（ ）A. －2B. －1C. 1D. 24. 8x ⎛- ⎝的展开式中含5x 项的系数是（ ）A. －112B. 112C. －28D. 285. 已知非零向量a 与b 满足|a |＝2|b |，且|a + 2b2b ，则向量a 与b的夹角是A.6πB.3πC.23π D.56π 6. 在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，D ，E ，F 分别是棱11B C ，1CC ，1AA 的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是（ ）AB.C.D.7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x ，y .已知这5名参赛选手的得分的平..均数为9，方差为0.1，则x y -=（ ） A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.88. 设函数()f x 导函数为()f x '，若()f x 在其定义域内存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称()f x 为“有源”函数.已知()ln 2f x x x a =--是“有源”函数，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. ()1,-+∞ C.(],ln 21-∞--D. ()ln 21,--+∞9. 已知函数()π2cos 2sin 23f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ） A. ()f x 最小正周期是π B. ()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C. ()f x 的图象关于点()ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称D. ()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡-⎢⎣10. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（ ）A.27B.37C.47D.5711. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是（ ） A 32B. 64C. 128D. 25612. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=，则22sin B A +的取值范围是（ ）A. ()1B. ()1+C. (]1,3D. (]2,3第Ⅱ卷的的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C 的焦距是______.14.已知πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 15. 已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______.16. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在平面1BC D 上运动，则11A P D P +的最小值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11221n nn nS S a a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A ，B ，C 三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是12）. （1）求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率； （2）记进入决赛第二轮的选手中来自B 部门的人数为X ，求X 的数学期望.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点(M 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P （点P 不与原点重合），使得直线PA ，PB 与x 轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P 的坐标；若不存在，请说明理由. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，AB CD ∥，PD =，22PB CD AB AD ===，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD .（2）若()01AF AB λλ=<≤，求平面DEF 与平面PAB 夹角的余弦值的最大值.21. 已知函数()ln f x x ax x=-+12. （1）当0a ≥时，讨论()f x 的单调性.（2）证明：①当0x >时，1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭；②ln(1)n +<+ ，*N n ∈.（二）选考题；共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作苦.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 10ρθρθ--=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,1P -，求11PA PB +的值. [选修4-5；不等式选讲]23. 已知函数()23f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）若[]3,2x ∈-，不等式()f x x a ≥+恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}23041x A x x B x x =+->=->，，则A B = （ ）A. {}13x x << B. {}31x x -<< C. {}3x x >- D. {}1x x >【答案】A 【解析】【分析】构造函数()23xf x x =+-，利用其单调性可化简集合A ，后化简集合B ，后由交集定义可得答案.【详解】构造函数()23xf x x =+-，因函数2x y =，3y x =-均在R 上单调递增，则()f x 在R 上单调递增，又()10f =，则2301x x x +->⇔>， 故{}1A x x =>.因{}3B x x =<，则{}13A B x x ⋂=<<. 故选：A 2. 若复数z 满足2i 2iz=-，则1z +=（ ）A.B.C. 5D. 17【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】∵2i 2iz=-， ∴()2i 2i 24i z =-=+，∴134i 5z +=+==.故选：C .3. 函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（ ）A. －2B. －1C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式，从里到外计算即可.【详解】由2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，得()11212f =--=-， 则()()()12112ff f =-=+=.故选：D.4. 8x ⎛- ⎝的展开式中含5x 项的系数是（ ）A. －112B. 112C. －28D. 28【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，其通项公式为()3882188C 2C ,08,rr r r r r r T x x r r --+⎛==-≤≤∈ ⎝N ，令3852r -=，可得2r =， 所以含5x 项的系数是()2282C 112-= 故选:B5. 已知非零向量a 与b 满足|a |＝2|b |，且|a + 2b2b ，则向量a 与b的夹角是A.6πB.3πC.23π D.56π 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，对|a + 2b2b 平方，结合|a |＝2|b |，求出向量a 、b 的夹角的余弦值，即得a 、b的夹角．【详解】因为|a +2b2b ，所以()222244344a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即221628a b a b ⋅=+ ，所以2228cos 16||||a b a b a b +〈〉=⨯ ，，因为|a |＝2|b |，所以2161cos 2162||||b a b b b 〈〉==⨯ ，，所以a 与b 的夹角为3π 故选B.【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求向量的模长与夹角的问题，是基础题目．6. 在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，D ，E ，F 分别是棱11B C ，1CC ，1AA 的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】取等边△ABC 的AC 边的中点O ，以O 为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果.【详解】取等边△ABC 的AC 边的中点O ，连接OB ，则OB AC ⊥，过O 作1AA 的平行线，则以O 为原点，分别以OB 、OC 、Oz 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设等边△ABC 的边长为2，则B ，(0,1,2)E，1,4)2D ，(0,1,2)F -，∴(2)BE =，3(,2)2DF =-- ，∴|||cos ,|||||BE DF BE DF BE DF ⋅<===. 所以异面直线BE 与DF7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x ，y .已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则x y -=（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8【答案】D 【解析】【分析】先由平均数和方差分别得到x y +和22x y +的值，再整体代入计算x y -的值即可.【详解】因为平均数为98.79.395x y++++=，所以18x y +=.因为方差为22222(99)(8.79)(9.39)(9)(9)0.15x y -+-+-+-+-=所以2222(9)(9)18181620.32x y x y x y -+-=+--+=， 所以22162.32x y +=，又因为222()2324x y x y xy +=++=， 所以2161.68xy =，所以222()20.64x y x y xy -=+-=，所以0.8x y -==.故选：D.8. 设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 在其定义域内存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称()f x 为“有源”函数.已知()ln 2f x x x a =--是“有源”函数，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. ()1,-+∞ C.(],ln 21-∞--D. ()ln 21,--+∞【答案】A 【解析】【分析】根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a 的范围 【详解】∵()ln 2f x x x a =--，∴1()2f x x'=-， 由是“有源”函数定义知，存在0x ，使得0001ln 22x x a x --=-，即0001ln 22a x x x =--+有解， 记()000001ln 22,(0)g x x x x x =--+>，所以a 的取值范围是就是函数()0g x 的值域， 则()200000222000021(21)(1)112x x x x g x x x x x -++-+-=-+=='， 当001x <<时，()00gx '>，此时()0g x 单调递增，当01x >时，()00g x '<，此时()0g x 单调递减， 所以()()01ln12121g x g ≤=--+=-，所以1a ≤-，即a 的取值范围是(],1-∞-. 故选：A9. 已知函数()π2cos 2sin 23f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ） A. ()f x 的最小正周期是π B. ()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C. ()f x 的图象关于点()ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称D. ()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡-⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()πsin 43f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数最小正周期、单调性、对称中心和值域的求法依次判断各个选项即可.【详解】()212cos 22sin 22sin 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭1π4sin 4sin 423x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭； 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ42T ==，A 错误； 对于B ，当ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，π4π4π,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x \在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 正确；对于C ，令()π4π3x k k +=∈Z ，解得：()ππ412k x k =-∈Z ，此时()0f x =， ()f x \的图象关于点()ππ,0412k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 对称，C 错误；对于D ，当π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ4,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πsin 43x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，()f x \在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 错误. 故选：B.10. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（ ）A.27B.37C.47D.57【答案】C 【解析】【分析】先求用5种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率即可.【详解】若按要求用5种颜色任意涂色：先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择； 若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择. 则共有54(133322)420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法. 若恰只用其中4种颜色涂色：先在5种颜色中任选4种颜色，有45C 种选择. 先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择. 再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择， 为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择. 则共有45C 43(121211)240⋅⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法， 故恰用4种颜色的概率是24044207=. 故选：C .11. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是（ ）A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】C 【解析】【分析】两条直线的斜率都存在且不为0，因此先设一条直线斜率为k ，写出直线方程，与抛物线方程联立求出相交弦长，同理再得另一弦长，相乘除以2即得四边形面积，再由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意抛物线的焦点为(2,0)F ，显然12,l l 斜率存在且不为0，设直线1l 方程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，得()22224840k x k x k -++= 则12284x x k +=+，即122848AB x x k =++=+， 设直线2l 的方程为()12y x k=--，设()()3344,,,C D x y y x 由21(2)8y x ky x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得222214480x x k k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 则23448x x k +=+，即234488CD x x k =++=+，∴()2211888822S AB CD k k ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭22132(2)32(2128k k =++≥+=，当且仅当221k k=，即1k =±时等号成立． 故选：C ．12. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=，则22sin B A +的取值范围是（ ）A. ()1B. ()1+C. (]1,3D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理边化角可得2B A =，由△ABC 为锐角三角形可得ππ64A <<，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数π2sin(216y A =-+在ππ(,64上的值域. 【详解】∵cos cos 1b A B -=，即：cos cos 1b A B =+，1a =， ∴cos (cos 1)b A B a =+，∴由正弦定理得：sin cos (cos 1)sin B A B A =+，即：sin cos sin cos sin B A A B A =+，∴sin()sin B A A -=，∴B A A -=或πB A A -+=，解得：2B A =或B π=（舍）， 又∵△ABC 为锐角三角形，则ππ3C A B A =--=-，∴ππ0022ππ00222ππ00π322A A B A C A ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，解得：ππ64A <<，2π2sin 21cos 22sin(216B A A A A +=+-=-+，又∵ππ64A <<， ∴πππ2663A <-<，∴1πsin(2)26A <-<，∴π22sin(2)116A <-+<+22sin B A +的取值范围1)+.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C 的焦距是______.【答案】4 【解析】【分析】根据题意求出,a c 即可得解.【详解】因为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率是2，实轴长为2，所以2,22ca a==， 所以1,2a c ==，所以双曲线C 的焦距是4. 故答案为：4.14.已知πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】13-【解析】【分析】首先将πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭化简为ππsin 262α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【详解】2πππππ1sin 2sin 2cos 212cos 662663αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：13-.15. 已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______.【答案】(1,2] 【解析】【分析】观察结合原不等式，以及函数()f x 的性质，构造新函数()()1g x f x x =+-，为[]4,4-上的增函数和奇函数，再利用其奇函数和增函数的性质求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 的图象关于点()0,1对称， 所以函数()1f x -的图象关于原点对称， 令()()1g x f x x =+-，则()g x 为奇函数. 又()f x 是在[]4,4-上的增函数， 所以()g x 也是在[]4,4-上的增函数. 此时原不等式等价于(2)(3)0g x g x +->， 因为()g x 为奇函数，所以(2)(3)g x g x >-， 又因为()g x 是在[]4,4-上的增函数，所以有23424434x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得12x <≤. 即原不等式的解集为(1,2]. 故答案为：(1,2].16. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在平面1BC D 上运动，则11A P D P +的最小值为______.【解析】【分析】根据正方形体对角线1AC 与平面1BC D 垂直，找到点1A 关于平面1BC D 的对称点F ，将1A P 转化为FP ，再根据三角形三边关系得11A P D P +的最小值为1D F ，最后通过建系利用坐标计算得1D F 的长度即可.【详解】如下图所示设1AC 与平面1BC D 交于点E ，易知AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，由BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，1,AC AA ⊂面1AA C ，所以BD ⊥平面1AA C ，1AC ⊂面1AA C ，所以1BD A C ⊥，同理可证11BC A C ^， 由1BD BC B = ，1,BD BC ⊂面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D .因1111133C BCD BCD BC DV S CC S CE -=⋅=⋅，所以113BCD BC D S CE CC S =⋅== ，又因为1AC ==所以113CE A C =. 倍长EC 至F ，则11223EF CE A C A E ===， 故点F 是点1A 关于平面1BC D 的对称点. 那么有，1A P FP =.所以1111A P D P FP D P D F +=+≥.如下图，以C 为原点，1,,CD CB CC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建系，为则1(3,0,3)D ，1(3,3,3)A ，11(1,1,1)3CF CA =-=---，即(1,1,1)F ---.所以1D F ==，即11A P D P +的最小值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11221n nn nS S a a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =（2）1n nT n =+ 【解析】【分析】（1）先根据11221n n n nS S a a ++=+，可得数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而可得数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，再根据n a 与n S 的关系结合构造法即可得解； （2）先求出数列{}n b 的通项，再利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】因为11221n nn nS S a a ++=+， 所以1112n n n n S S a a ++-=，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111S a =为首项，12为公差的等差数列，所以12n n S n a +=，则12n n n S a +=， 当2n ≥时，112n n nS a --=， 两式相减得1122n n n n na a a -+-=，即11n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，且121n a a n ==， 所以2n a n =； 【小问2详解】 由（1）得()112n n n S n n a +==+， 所以()111111n n b S n n n n ===-++， 所以111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++ . 18. 某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A ，B ，C 三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是12）. （1）求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率； （2）记进入决赛第二轮选手中来自B 部门的人数为X ，求X 的数学期望. 【答案】（1）3655（2）1211【解析】【分析】（1）进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门分为来自A ，B ，C 三个部门，分别求出其概率，由分类加法计数原理即可得出答案.（2）求出X 的可能取值及每个变量X 对应的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出EX . 【小问1详解】设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件A ，的则()212121384747311C C +C C +C C 24424236=C 16555P A ++==. 故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为3655. 【小问2详解】X 的可能取值为0,1,2,3，()37311C 3570C 16533P X ====，()1247311C C 84281C 16555P X ====，()2147311C C 42142C 16555P X ====，()3047311C C 43C 165P X ===，则X 的分布列为：X0 1 2 3P733 2855 1455 4165所以72814412012333555516511EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点(M 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P （点P 不与原点重合），使得直线PA ，PB 与x 轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22184x y +=（2）存在，()0,2P ± 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）设()()()110,0,,P t t A x y ≠，则()11,B x y --，联立方程，利用韦达定理求出12x ，再分别求出直线PA ，PB 方程，从而可得两直线与x 轴交点的横坐标，再相乘整理结合其积为定值，即可得出结论.的【小问1详解】由题意可得22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,4a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；【小问2详解】 假设存在，设()()()110,0,,P t t A x y ≠，则()11,B x y --，联立22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()222180k x +-=，则()22218k x +=，即122821x k =+，1111,PA PB y t y tk k x x -+==， 则直线PA 的方程为11y ty x t x -=+， 令0y =，则11tx x y t=--， 直线PB 的方程为11y ty x t x +=+， 令0y =，则11tx x y t=-+， 则2222221111222222211112821821t tx tx t x t x k k y t y t y t k x t t k ⎛⎫+-⋅-===⎪-+--⎝⎭-+222222222288888822121t k k k t t k k t t ===--⎛⎫---- ⎪⎝⎭， 则要使直线PA ，PB 与x 轴交点的横坐标之积的绝对值为定值，则2820t -=，解得2t =±， 所以存在，且()0,2P ±.【点睛】本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了点的存在性问题及定值问题，有一定的难度.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，AB CD ∥，PD =，22PB CD AB AD ===，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD .（2）若()01AF AB λλ=<≤，求平面DEF 与平面PAB 夹角的余弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）由线线垂直证DE ⊥平面PBC ，并依次证DE BC ⊥、BC⊥平面PBD 、BC PD ⊥、PD ⊥平面ABCD ；（2）由向量法求面面角建立面面角余弦值的函数，进而讨论最大值. 【小问1详解】取CD 中点M ，连接BD 、BM ，设222PB CD AB AD a ====，∴DM CM AB AD a ====. ∵AD AB ⊥，AB CD ∥，∴四边形ABMD 为矩形，∴BD BC ==，∴222BD BC CD +=，∴BD BC ⊥.PD BD ===，E 是棱PB 的中点，∴DE PB ⊥.∵PC DE ⊥，,PC PB P PC PB =Ì 、平面PBC ，∴DE ⊥平面PBC ， 又BC ⊂平面PBC ，∴DE BC ⊥.∵,BD DE D BD DE =Ì 、平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，∵又PD ⊂平面PBD ，∴BC PD ⊥. ∵222PB PD BD =+，∴PD BD ⊥，,BC BD B BC BD =Ì 、平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】由（1）得DA DC DP 、、两两垂直，则可建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()()()()()0,0,0,,0,0,,,0,0,2,0,,,,22a a D A a B a a C a P E ⎛ ⎝∵()01AF AB λλ=<≤ ，()0,,0AB a =，即()(),,0,,0F F F x a y z a λ-=，∴(),,0F a λa .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =，(),,0,,22a a DF a a DE λ⎛== ⎝ ，则0220a a n DE x y z n DF ax ay λ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令x λ=，得,n λæç=-çè ， 设平面PAB 的法向量为(),,m u v w =，(),0,PA a =- ，则00m PA au m AB av ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1w =得)m = ，故平面DEF 与平面PAB 夹角的余弦值为cos ,m n m n m n×==令11,112t λéö÷=Îê÷ê+ëø，则cos ,m n =，则当12t =，即1λ=时，cos ,mn取得最大值，为.故平面DEF 与平面PAB 夹角余弦值的最大值为. 21. 已知函数()ln f x x ax x=-+12. （1）当0a ≥时，讨论()f x 的单调性.（2）证明：①当0x >时，1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭；②ln(1)n +<+ ，*N n ∈.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，分类讨论a 的不同取值范围时()f x 的单调性即可；（2）①展开1ln 1x ⎛⎫+<⎪⎝⎭为1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭解不等式恒成立即可；()ln 1ln n n >+-，再求和即可.【小问1详解】由题可知()2222121ax x f x a x x x-+-'=--= 当0a =时，()221x f x x -'=，令()0f x ¢>，得12x > ()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a >时，44a ∆=-（i ）当01a <<时，()f x '零点为11x =，21x =+令()0f x ¢>解得11x -<<+，故()f x在(1-单调递增，在(0,1-，()1++∞单调递减 （ii ）当1a ≥时，0∆≤，()0f x '≤，()f x 在()0,∞+单调递减；综上所述：当0a =时，()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；的当01a <<时，()f x在(1+单调递增，在(0,1，()1+∞单调递减； 当1a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减． 【小问2详解】==11ln 1ln 1x x ⎛⎫⎛⎫+<⇔+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t =，其中()1,t ∈+∞ 则不等式21ln t t t <-成立，即函数()12ln f t t t t=-+在()1,t ∈+∞恒小于零 由（1）可知，()f t 在定义域内单调递减，()()10f t f <=，因此当0x >时，1ln 1x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭；()11ln 1ln ln 1ln n n n n n +⎛⎫⎛⎫>+==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n ++>-+-+⋅⋅⋅++-解得ln(1)n +<+++，*N n ∈.证毕.（二）选考题；共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作苦.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 10ρθρθ--=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,1P -，求11PA PB+的值. 【答案】（1）()222+9x y -=；210x y --=（2【解析】【分析】（1）曲线C 的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l 的直角坐标方程；（2）由题可知点P 过直线l ，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算. 【小问1详解】23cos 23cos ,3sin 3sin ,x x y y αααα=+-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩①②，22+①②得()222+9x y -=， 根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l 的直角坐标方程为：210x y --=. 【小问2详解】由（1）可知点()0,1P -过直线l ，故直线l的参数方程可写为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的普通方程得240t --=，由韦达定理可知：12t t +=1240t t ⋅=-<， 所以12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅.[选修4-5；不等式选讲]23. 已知函数()23f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）若[]3,2x ∈-，不等式()f x x a ≥+恒成立，求a 取值范围. 【答案】（1）5（2）23a -≤≤ 【解析】【分析】（1）根据x 的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出()f x 的最小值； （2）根据（1）中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可. 【小问1详解】当3x <-时，()()()2321f x x x x =---+=-- 当32x -≤≤时，()()()235f x x x =--++=的当2x >时，()()()2321f x x x x =-++=+综上()()()()21 35 3221 2x x f x x x x ⎧--<-⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，由此可知()min 5f x =【小问2详解】由（1）可知()5f x x a x a ≥+⇒≥+解得55x a x a +≥-⎧⎨+≤⎩，当[]3,2x ∈-时，欲使不等式()f x x a ≥+恒成立，则()()min max 55x a x a ⎧+≥-⎪⎨+≤⎪⎩，解得23a -≤≤。

山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。

项城2023-2024学年度上期第三次考试高三数学试卷（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，{}2,3,5B =，则()UB A = ð（）A.{}3 B.{}1 C.{}1,4 D.{}1,3,42.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i- B.iC.0D.13.命题“()21,2,23xx x ∀∈+>”的否定是（）A.()21,2,23xx x ∃∈+> B.()21,2,23xx x ∉+≤∃C.()21,2,23x x x ∈+≤∃ D.()21,2,23xx x ∈+≤∀4.不等式23208kx kx +-≤对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是（）A.30k -<≤B.30k -≤<C.30k -≤≤ D.30k -<<5.已知0a >，0b >，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（）A.2B.4C.3+D.96.设()()121,1x f x x x <<=->⎪⎩，若()()1f a f a =+，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.4C.6D.87.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A.3231x xy x -+=+ B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1x y x =+8.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5πC.310π D.25π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等差数列{}n a 中，113a =，45163a a +=，33k a =，则下列结论中正确的是（）A.49k = B.50k = C.213n n a -= D.213n n a +=10.有下列几个命题，其中正确的是（）A.函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数B.函数y ＝11x +在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数C.函数y 254x x +-[－2，＋∞)D.已知函数g (x )＝23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋311.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=⋯，k 、b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是120小时，在20C ︒的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（）A.0k <B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是20小时12.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，现将()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到()y g x =的图象，下列说法错误．．的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y g x =的图象关于直线6x π=对称C.函数()y g x =的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.函数()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则=a ________.15.若函数2,0,()0xb x f x x ⎧-<⎪=≥有且仅有两个零点，则实数b 的一个取值为______.16.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f (x )＝sin26x π+（）（1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间[0,]2π上的最大值和最小值．18.求下列函数的导数．（1）()3224f x x x=-+（2）()e xf x x =（3）()sin cos f x x x x =+（4）1()1x f x x +=-19.已知函数()log (31)xa f x =-（0a >且1a ≠），(2)3f =．（1）若[1,2]x ∈，求()f x 的取值范围；（2）求不等式()3f x ≤的解集．20.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．21.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．22.已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．项城2023-2024学年度上期第三次考试高三数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，{}2,3,5B =，则()UB A = ð（）A.{}3 B.{}1 C.{}1,4 D.{}1,3,4【答案】D 【解析】【分析】先根据题意求U B ð，再结合并集的概念求答案.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,5B =，所以{}U =1,4B ð，又因为集合{}1,3A =，所以(){}U 1,3,4B A = ð，故选：D.2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.命题“()21,2,23xx x ∀∈+>”的否定是（）A.()21,2,23x x x ∃∈+> B.()21,2,23xx x ∉+≤∃C.()21,2,23x x x ∈+≤∃ D.()21,2,23xx x ∈+≤∀【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“()21,2,23xx x ∀∈+>”的否定是：()21,2,23xx x ∈+≤∃.故选：C4.不等式23208kx kx +-≤对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是（）A.30k -<≤B.30k -≤<C.30k -≤≤D.30k -<<【答案】C 【解析】【分析】分0k =和0k ≠两种情况讨论即可.【详解】当0k =时，038-≤恒成立，当0k ≠时，则203Δ4208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫=-⨯⨯-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30k -≤<，综上所述，30k -≤≤.故选：C.5.已知0a >，0b >，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（）A.2B.4C.3+D.9【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式结合乘“1”法可得答案.【详解】由2a b ab +=可得121a b+=，()122222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==等号成立，故选：D.6.设()()121,1x f x x x <<=->⎪⎩，若()()1f a f a =+，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2 B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】分01a <<、1a >两种情况解方程()()1f a f a =+，求出a 的值，然后代值计算可得出1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()()121,1x f x x x <<=->⎪⎩，且()()1f a f a =+.当01a <<时，则112a <+<，由()()1f a f a =+2a =，解得14a =，合乎题意.当1a >时，由()()1f a f a =+可得()212a a -=，无解.所以，14a =，则()()142416f f a ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A.3231x xy x -+=+ B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1x y x =+【答案】A 【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x xh x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.8.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等差数列{}n a 中，113a =，45163a a +=，33k a =，则下列结论中正确的是（）A.49k = B.50k = C.213n n a -= D.213n n a +=【答案】BC 【解析】【分析】由113a =，45163a a +=得出通项公式，进而由33k a =得出k .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45116273a a a d +=+=，113a =，则23d =，1221(1)333n n a n -=+-⨯=，故21333k k a -==，解得50k =.故选：BC.10.有下列几个命题，其中正确的是（）A.函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数B.函数y ＝11x +在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数C.函数y [－2，＋∞)D.已知函数g (x )＝23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋3【答案】AD 【解析】【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.【详解】由y ＝2x 2＋x ＋1＝2217()48x ++在1[,)4-+∞上递增知，函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确；y ＝11x +在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，如－2<0，但112101<-++故B 错误；y 在[),(5,)2,1--+∞上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C 错误；设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3，因为g (x )为奇函数，所以f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，故D 正确．故选：AD .【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题.11.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=⋯，k 、b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是120小时，在20C ︒的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（）A.0k <B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是20小时【答案】AC 【解析】【分析】根据指数的运算律以及指数复合型函数的单调性即可求解.【详解】因为在0C ︒的保鲜时间是120小时，在20C ︒的保鲜时间是30小时，所以易知e kx b y +=是减函数，结合复合函数的单调性可知0k <，A 正确，则储存温度越高保鲜时间越短，B 错误；由题可知120e b =，202030e e e k b k b +==⨯，则201e 4k=，故101e 2k=，故11001ee e 12060C 2b k bk +=⨯=⨯=︒，C 正确，330301e e e 12015C 2k k bb +⎛⎫=⨯=⨯=︒ ⎪⎝⎭，D 错误，故选：AC.12.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，现将()y f x =的图象向左平移4π个单位，得到()y g x =的图象，下列说法错误．．的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y g x =的图象关于直线6x π=对称C.函数()y g x =的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D.函数()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BD【解析】【分析】根据图象可知2A =，4312T ππ=-，212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求出()f x ，再利用三角函数的平移变换求出()g x ，结合三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由图象可知2A =，4312T ππ=-，即T π=，所以22T πω==，又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin φ16骣琪+=琪桫，又因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；将()y f x =的图象向左平移4π个单位，可得()2sin 22cos 2433y g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当6x π=时，2223633x ππππ+=⨯+=，126g π⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，故B 错误；当12x π=时，2231232x ππππ+=⨯+=，012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则[]20,3x ππ+∈，函数()g x 单调递减，故D 错误.故选：BD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得sin 5θ=或sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则=a ________.【答案】1【解析】【详解】试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+•(21)1a -⇒=.15.若函数2,0,()0x b x f x x ⎧-<⎪=≥有且仅有两个零点，则实数b 的一个取值为______.【答案】12（答案不唯一）【解析】【分析】由零点的概念求解【详解】令()0f x =，当0x ≥0=得0x =，即0x =为函数()f x 的一个零点，故当0x <时，20x b -=有一解，得(0,1)b ∈故答案为：12（答案不唯一）16.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】255-；【解析】【详解】f(x)＝sin x －2cos x sin cos 55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭sin(x －φ)，其中sin φ＝5，cos φ＝5，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f (x )＝sin26x π+（）（1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间[0,]2π上的最大值和最小值．【答案】（1）π（2）最大值1，最小值－12【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质即可求解；（2）将26x π+看作整体，根据正弦函数的图像即可求解.【小问1详解】f (x )＝sin (26x π+，所以f (x )的最小正周期为T ＝22π＝π；【小问2详解】因为x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2x ＋6π∈7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数sin y x =的图像可知：当2x ＋6π＝2π，即x ＝6π时，f (x )取得最大值1，当2x ＋6π＝76π，即x ＝2π时，f (x )取得最小值－12；综上，最小正周期为π，最大值为1，最小值为12-.18.求下列函数的导数．（1）()3224f x x x =-+（2）()e xf x x =（3）()sin cos f x x x x=+（4）1()1x f x x +=-【答案】（1）()268f x x x'=-+（2）()()1ex f x x '=+（3）()cos f x x x'=（4）()22(1)f x x '=--【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.【小问1详解】由()3224f x x x =-+可得()268f x x x'=-+【小问2详解】由()e x f x x =可得()()e e 1e x x xf x x x =+=+'【小问3详解】由()sin cos f x x x x =+得()sin cos sin cos f x x x x x x x'=+-=【小问4详解】由1()1x f x x +=-得()()()()2211211x x f x x x --+-'=--=19.已知函数()log (31)x a f x =-（0a >且1a ≠），(2)3f =．（1）若[1,2]x ∈，求()f x 的取值范围；（2）求不等式()3f x ≤的解集．【答案】（1）[]1,3；（2）(]0,2．【解析】【分析】（1）根据(2)3f =求出a 的值，由[1,2]x ∈得出31x -的范围，由对数函数的性质可得结果；（2）由对数的性质可得0318x <-≤，进而可得x 的范围.【详解】（1） 函数()log (31)x a f x =-（0a >且1a ≠），(2)log 83a f ==，2a ∴=，函数2()log (31)x f x =-．若[]1,2x ∈，[]312,8x -∈，故()f x 的取值范围为[]1,3．（2）不等式()3f x ≤，即2log (31)3x -≤，0318x <-≤，解得02x <≤，故不等式的解集为(]0,2．20.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于1a 和d 的方程组，求得1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有50a =，根据10a >，可知0d <，根据n n S a >，得到关于n 的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+；（2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-，由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-，因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n *≤≤∈N 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.21.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）10（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ，根据等面积法求解即可.【小问1详解】3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin 10A ∴==.【小问2详解】由（1）知，cos 10A ==，由sin sin()B AC =+23101025sin cos cos sin )210105A C A C =+==，由正弦定理，sin sin c b C B =，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.22.已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）1-（2）()0,+∞【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-；【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=，当0a ≤时，10ax -<，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；又()110f a =-<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥-，所以ln ,ln x x x <<<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =--+>--+>-+，则存在2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a<，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；此时()110f a =->，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx >-，ln 1>ln 21x ⎛> ⎝，此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=--+<--+-< ⎝存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,∞+.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.。

高三数学阶段性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝( B)A.{x｜x＝15k－7，k∈N*}B.{x｜x＝15k－8，k∈N*}C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}D.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}(2)已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( A)A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a2(3)等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B)A.66B.99C.144D.297(4)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是( C )A.(－∞，－4) (1，∞)B.[－4，1]C.(－∞，－4] [1，∞)D.(－4，1)(5)设函数f(x)＝1－x2＋log12(x－1)，则下列说法正确的是( D)A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k2)，若a⊥b，则实数k为( B)A.－1B.0C.－1或0D.－1或4(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域y( C)A B C D(8)在直角坐标系中，函数y ＝－21－(x －1)2的图像关于直线y ＝x 的对称曲线为 ( D )(9)已知定义在实数集上的函数)(x f 满足f(x ＋1)＝x 2＋2，则f －1(x ＋1)的表达式是 ( B )A.2x －2B.2x －1C.2x ＋2D.2x ＋1(10)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且对任意实数x 都有f (x )＝f (－m －x )，其中m ∈(0，2)，那么( B ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C.f (0)＜f (2)＜f (－2) D.f (2)＜f (0)＜f (－2) (11) 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π6]时的值域是 ( D )A. [0，62] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] (12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )A.7个B.8个C.9个D.10个 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13)已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q中有且仅有一个为真命题，则实数a 的取值范围是 [1，2） ． (14)计算：2cos10o －sin20o cos20o＝(15)已知f (x )＝2x ＋3x －1，若函数y ＝g (x )的图象与y ＝f －1(x )＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则g (3)＝__7_．(16)给出四个命题①函数y ＝a |x |与y ＝log a |x |的图象关于直线y ＝x 对称(a ＞0，a ≠1)；②函数y ＝a |x |与yB CD＝(1a )|x |的图象关于y 轴对称(a ＞0，a ≠1)；③函数y ＝log a |x |与log 1a |x |的图象关于x 轴对称(a ＞0，a ≠1)；④函数y ＝f (x )与y ＝f－1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x ＋1对称，其中正确的命题是 ③ ．三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝12(sin ωx ＋a cos ωx )(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f (x )＝f (π3－x )，f (x －π)＝f (x ＋π)． （I ）求f (x )的解析式；（II ）若m 2－4n ＞0，m ，n ∈R ，求证：“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f （x ）]2＋mf (x )＋n ＝0在区间(－5π6，π6)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．解：（I ）由f (x －π)＝f (x ＋π)知f (x )＝f (x ＋2π)，即函数f (x )的周期为2π．∵ f （x ）＝12（sin ωx ＋a cos ωx ）＝a 2＋12sin （ωx ＋ϕ），其中sin ϕ＝a a 2＋1，cos ϕ＝1a 2＋1，∴2π|ω|≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1． 又∵ f （x ）＝f （π3－x ），∴ f （0）＝f （π3），即 12（sin0＋a cos0）＝12（sin π3＋a cos π3），解得 a ＝3，∴ f （x ）＝sin （x ＋π3）． (II)显然，x ∈（－5π6，π6）等价于x ＋π3∈（－π2，π2）．令u ＝x ＋π3，f (x )＝t ，g (t )＝t 2＋mt ＋n ，则f (x )＝sin u ，由｜m ｜＋｜n ｜＜1得｜m ＋n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴ m ＋n ＞－1． 同理由｜m －n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1得m －n ＜1． ∴ g (1)＝m ＋n ＋1＞0，g (－1)＝1－m ＋n ＞0． 又∵｜m ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴－m2∈（－1，1）．又∵Δ＝m 2－4n ＞0，∴ 一元二次方程t 2＋mt ＋n ＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根． ∵ 函数y ＝sin u （u ∈（－π2，π2））与u ＝x ＋π3（x ∈（－5π6，π6））都是增函数， ∴ [f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根．∴ “｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分条件．令m ＝56，n ＝16，由于方程t 2＋56t ＋16＝0有两个不等的实根－13，－12，且－13，－12∈(－1，1)，∴ 方程sin 2（x ＋π3）＋56sin （x ＋π3）＋16＝0在（－5π6，π6）内有两个不等的实根，但 ｜m ｜＋｜n ｜＝56＋16＝1，故“｜m ｜＋｜n ｜＜1”不是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的必要条件．综上，“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分不必要条件．(18)（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a ＞0，a ≠1).(I)求函数f (x )的定义域、值域；(II)是否存在实数a ，使得函数f (x )满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0.(I)解：由4－a x ≥0,得a x ≤4．当a ＞1时，x ≤log a 4；当0＜a ＜1时，x ≥log a 4．即当a ＞1时，f (x )的定义域为(－∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为[log a 4，＋∞)． 令t ＝4－a x ，则0≤t ＜2，且a x ＝4－t 2，∴ f (x )＝4－t 2－2t －1＝－(t ＋1)2＋4， 当t ≥0时，f (x )是t 的单调减函数，∴f (2)＜f (x )≤f (0)，即－5＜f (x )≤3， ∴ 函数f (x )的值域是(－5，3]．(II)若存在实数a 使得对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(I)知，a ＞1不满足条件；若0＜a ＜1，则log a 4＜2，且f (x )是x 的减函数．当x ＞2时，a x ＜a 2．由于0＜a 2＜1，∴t ＝4－a x ＞3，∴f (x )＜0，即f (x )≥0不成立． 综上，满足条件的a 的取值范围是 ．(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ． (Ⅰ)求证：直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小．DBACP(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA 中，AD ＝a ，PD ＝a ，P A ＝2a ，)∴ AD 2＋PD 2＝P A 2，即 PD ⊥AD ．同理，PD ⊥CD ． (第19题) 又AD 、CD ⊂平面ABCD ，AD CD ＝D ，∴ 直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)解：如图，连接AC 和BD ，设AC BD ＝O ．由(I)知AC ⊥PD ．又 AC ⊥BD ，且PD 、BD ⊂平面PBD ，PD BD ＝D ，∴ 直线AC ⊥平面PBD ．过点O 作OE ⊥PB ，E 为垂足，连接AE ．由三垂线定理知 AE ⊥PB ，∴ ∠AEO 为二面角A －PB －D 的平面角． ∵ AB ⊥AD ，由三垂线定理知 AB ⊥P A ，∴ 在ΔPAB 中，AE ＝P A ·AB PB ＝23a ，在ΔABD 中，OA ＝22a ，在ΔAOE 中，sin ∠AEO ＝AEOA＝22a 23a ＝32，即 ∠AEO ＝60o ，∴ 二面角A －PB －D 为60o ．(20)（本小题满分12分）以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． (I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？ 解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b （k ＜0）， 则旺季的最高价格为－bk元/件，利润函L （x ）＝（x －100）·（kx ＋b ）＝kx 2－（100k －b ）－100b ，x ∈[100，－bk]，D BACP OE当x ＝100k －b 2k ＝50－ b 2k 时，L （x ）最大，由题意知，50－ b 2k ＝140，解得 － b k ＝180，即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×23＝120（元/件）．现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n （m ＜0）， 则淡季的最高价格为－nm＝120（元/件），即n ＝－120m ，利润函数L （t ）＝（t －100）·（mt ＋n ）＝（t －100）·（mt －120m ） ＝－m （t －100）·（120－t ），t ∈[100，120]． ∴ t －100＝120－t ，即t ＝110时，L （t ）为最大，∴ 在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．(21)（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n +1＞50成立的正整数n 的最小值．解：（I ）设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，其中a 1≠0，q ≠0．由题知⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ①a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)， ②由②×7－①得 6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0， 即 2q 2－5q ＋2＝0， 解得 q ＝2或q ＝12．∵ 等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴ a n ＝2·2n -1＝2n ． （II ）由（I ）得 b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－（1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ）． 设 T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ③ 则 2T n ＝ 1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④由③－④得 －T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝－（n －1）2n ＋1－2，∴ S n ＝－（n －1）·2n ＋1－2．要使S n ＋n ·2n +1＞30成立，即要 －（n －1）·2n ＋1－2＋n ·2n +1＞50，即要 2n ＞26． ⑤ ∵ 函数y ＝2x 是单调增函数，且24＝16＜26，35＝32＞26， 由⑤得n 的最小值是5．(22)（本小题满分14分）已知F 1(－2，0)，F 2(2，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 的两个交点为M ，N ，且|MN |的最小值为6． (I)求椭圆C 的方程；(II)设A ，B 为椭圆C 的长轴顶点．当|MN |取最小值时，求∠AMB 的大小． 解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其中c ＝2，a 2－b 2＝4．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN ⊥x 轴，则MN 的方程为x ＝－2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2(1－4a 2)＝b 4a 2，∴ |y 1－y 2|＝b 2a ，即|AB |＝2b 2a．若直线MN 不与x 轴垂直，则设MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得 x 2a 2＋k 2(x 2＋4x ＋4)b 2＝1，即 (a 2k 2＋b 2)x 2＋4a 2k 2x ＋a 2(4k 2－b 2)＝0．△＝(4a 2k 2)2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(4k 2－b 2)＝4a 2b 2[(a 2－4)k 2＋b 2]＝4a 2b 4(1＋k 2)， ∴ |x 1－x 2|＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b2，∴ |MN |＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b 2·1＋k 2＝2ab 2(1＋k 2)a 2k 2＋b2＝2b 2a ·1＋k 2k 2＋b 2a2＞2b 2a ．综上，|MN |的最小值为2b 2a ．由题知 2b 2a＝6，即 b 2＝3a ．代入a 2－b 2＝4，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1(舍)，或a ＝4．∴ b 2＝12． ∴ 椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A (－4，0)，B (4，0)．当|MN |取得最小值时，MN ⊥x 轴． 根据椭圆的对称性，不妨取M (－2，3)，∠AMB 即直线AM 到直线MB 的角．∵ AM 的斜率k 1＝3－0－2＋4＝32，BM 的斜率k 2＝3－0－2－4＝－12，∴ tan ∠AMB ＝k 2－k 11＋k 1k 2＝－12－321－12×32＝－8．∵ ∠AMB ∈(0，π)，∴ ∠AMB ＝π－arctan8．。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，则$f(x)$的对称中心为（）。

A. $(1, 1)$B. $(1, 0)$C. $(0, 1)$D. $(0, 0)$2. 若$\sin \alpha = \frac{1}{2}$，且$\alpha$在第二象限，则$\tan\alpha$的值为（）。

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$C. $\sqrt{3}$D. $-\sqrt{3}$3. 下列各式中，能表示集合$A = \{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$的是（）。

A. $\{1, 3\}$B. $\{x | x = 1 \text{或} x = 3\}$C. $\{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$D. $\{x | x^2 = 4x - 3\}$4. 设$a, b$是方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个实数根，则$(a+b)^2 + 4ab$的值为（）。

A. 16B. 12C. 8D. 45. 已知函数$y = a(x-1)^2 + b$（$a \neq 0$）的图像与$x$轴交于点$(2, 0)$，则$y$的取值范围是（）。

A. $y \geq 0$B. $y \leq 0$C. $y > 0$D. $y < 0$6. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_4 = 9$，则该数列的公差$d$为（）。

A. 3B. 6C. 2D. 47. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z-1| = |z+1|$，则实数$a$和$b$的关系是（）。

A. $a = b$B. $a = -b$C. $a^2 + b^2 = 1$D. $a^2 + b^2 = 4$8. 已知平面直角坐标系中，点$A(2, 3)$，$B(4, 5)$，则线段$AB$的中点坐标为（）。

河南省部分名校阶段性测试2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=-，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,4,52．已知复数0z ≠，若|3||3i |z z -=-，则z 的实部与虚部的比值为（）A ．3B ．2C ．1D ．123．已知{}n a 是正项等比数列，若2436,,a a a 成等差数列，则{}n a 的公比为（）A ．13B ．12C ．2D ．34．函数2,2lg (),lg ,2lg x x xxf x x x---⎧≤=⎨>⎩在区间(0,)+∞上（）A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．先增后减5．放射性物质的衰变规律为：012t TM M ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中0M 指初始质量，t 为衰变时间，T 为半衰期，M 为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为12,T T （单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则2111T T -=（）A ．31024B ．1512C ．11024D ．35126．若函数2e ()1xf x x bx =++在2x =时取得极小值，则()f x 的极大值为（）A ．1eB ．1C ．3e 8D ．e7．若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上有唯一极值点，则ω的取值范围是（）A ．(0,2]B ．(1,2]C ．72,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22228a b c --=，点O 在ABC V 所在的平面内，满足1110OA OB OC a c b++= ，且1cos 3OAC ∠=，则a （）A ．有最大值10B ．有最小值10C ．有最大值8D ．有最小值8二、多选题9．已知函数()()π2sin ,2sin 232x x f x g x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴D ．将()f x 的图象绕点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭旋转180︒可得到()g x 的图象10．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，13BD BC =，点P 在以CD 为直径的半圆上（含端点），设AP xAB yAC =+，则（）A ．y 的值不可能大于1B ．1233AD AC AB=+ C ．AP AB ⋅ 的最小值为13D ．AP AB ⋅的最大值为111．已知数列{}n a 满足1,042ππn a a =<<，且()()11(21)sin sin ,n n n n n a a a a +++-=+则（）A ．2sin 5a =B ．1tan 2n n a -=C ．当2n ≥时，1n a >D ．2πn a <-三、填空题12．若[0,1]x ∃∈，使得230x x a +-≤，则实数a 的取值范围为.13．如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为α，则cos cos 2cos 4ααα=.14．已知函数3()1f x x x =++，若关于x 的不等式(1)(ln )2f ax f x x -+->的解集中有且仅有2个整数，则实数a 的最大值为.四、解答题15．已知数列{}12n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，且11a =.(1)证明：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .16．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11tan tan B C +=(1)求B ；(2)若ABC V 的外接圆半径为R ，周长为R ，且a b >，求A .17．已知函数()2()2sin cos ().f x x x x a x a a =++-∈R(1)求()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，求a 的取值范围.18．已知函数()e 2()x f x ax a =--∈R .(1)当2a =时，求()f x 的零点个数；(2)设2a ≥，函数2e ()()e 12xx g x f x a =-+-.（i ）判断()g x 的单调性；（ii ）若()()()g m g n m n ''=<，求()()g m g n +的最小值.19．设有穷数列{}n b 的项数为m ，若1i m i b b a +-=（a 为常数，且0,1,2,3,,a i m ≠= ），则称该数列为等积数列，a 叫做该数列的公共积.(1)若231,,,2,4b b 是公共积为a 的等积数列，求该数列的公共积a 及23,b b ；(2)若{}n b 是公共积为a 的等积数列，且212k k b b c -=（*k ∈N 且,2mk c 为常数），证明：当()*42m r r =+∈N 时，对任意给定的,a c ，数列{}n b 中一定存在相等的两项；(3)若{}n b 是公共积为1的等积数列，且10(1,2,3,,1),i i b b i m m +<<=- 是奇数，对任意的1,,,,2i j m b b i j m ⎛⎫+⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都存在正整数[]1,u m ∈，使得j i u b b b =，求证：{}n b 是等比数列.。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心是：A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(1, 0)$D. $(0, 0)$2. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$的取值为：A. $0$B. $1$C. $-1$D. 无解3. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{3}{4}$4. 下列命题中，正确的是：A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$B. 若$a > b$，则$\log_a b < 1$C. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. 若$a > b$，则$a^3 > b^3$5. 已知函数$y = \log_2(x + 1)$的图象上一点$P(x, y)$，若点$P$到直线$y = x$的距离为1，则$x$的值为：A. $1$B. $\sqrt{3} - 1$C. $\sqrt{3} + 1$D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_8 = 56$，则公差$d$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，若点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点为$B$，则$B$的坐标为：A. $(2, -1)$B. $(1, -2)$C. $(-2, 1)$D. $(-1, 2)$8. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 = 1$，$S_3 = 7$，则公比$q$的值为：A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 3D. $\frac{1}{3}$9. 若函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(h, k)$，则下列不等式中正确的是：A. $a > 0$B. $b > 0$C. $c > 0$D. $ah^2 + bh + c > 0$10. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$，则$f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试（二）数学试题考生注意：（答案在最后）1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(2)30},(,2)(4,)A xx x B =-+>=-∞⋃+∞∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[2,3)B.(1,2)-C.(,3)(4,)-∞⋃+∞D.(1,4]-【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据交，并，补的运算，即可求解.【详解】()2230230x x x x -+>⇔--<，即()()130x x +-<，得13x -<<，即()13A ,=-,[]R 2,4B =ð，所以()[)R 2,3A B ⋂=ð.故选：A2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.-1B.32-C.12-D.32【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的定义求cos α和sin α，再代入两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由终边点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭可知，cos 2α=-，1sin 2α=-，所以πππ111cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫+=-=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C3.已知函数e ,1()ln 2,1(4),1x x f x x f x x -⎧<⎪==⎨⎪->⎩，则()(9)f f =（）A.2eB.1C.ln 2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.【详解】由题意，()()()1lnln 221(9)(5)(1)(ln 2)ee2f f f f f f f -======.故选：D.4.已知π6cos 46α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.56-B.23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 1212463αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π2sin 2cos 223αα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故选：C5.函数2e ()e 1xx x f x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为R ，且()()22e e e 1e 1x xx x x x f x f x ---⋅-⋅-===-++，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，且当0x >时，()0f x >，故排除C ，()1e e x xx f x =+，当x →+∞时，0y →，故排除D ，满足条件的只有B.故选：B6.若命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.(,-∞B.(∞-C.(),-∞⋃+∞D.)⎡+∞⎣【答案】A 【解析】【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.【详解】由题意，命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，等价于其否定“21,e e 10x x x k +∀∈-+≥R ”是真命题，令()e0xt t =>，则2e 10t kt -+≥对0t ∀>恒成立，即1e k t t ≤+，需满足min 1e k t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而0t >，1e t t +≥=，当且仅当1e t t =，即e et =时取等号.所以min1e t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭k ≤故选：A.7.将函数π()cos (06)6f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则()f x 在区间(0,π)内的极值点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由平移关系与奇函数性质可得()f x 的对称性，求得()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.【详解】若()g x 是奇函数，则()g x 图象关于(0,0)对称，由题意得()g x 的图象向左移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，故()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos 066ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则,662k k πππωπ-+=+∈Z ，解得62,k k ω=--∈Z ，又因为06ω<<，则当1k =-时，4ω=.()cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π()0,x ∈，令ππ25π4,666t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭极值点的个数与()f x 在区间(0,π)内的极值点个数相同.而函数()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭内的所有极值点为π,2π,3π,4π，共4个.故()f x 在区间(0,π)内的极值点个数也为4个.故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()2f x +为偶函数，则()()()1216f f f =+++L （）A.0B.16C.22D.32【答案】B 【解析】【分析】由()1f x -为奇函数得对称中心为 벘ࢿ，结合(2)f x +为偶函数，求周期为8，从而求出()()()128f f f +++ ，即可得到()()()1216f f f +++ 的值.【详解】因为()1f x -为奇函数，则()01f =，且函数()f x 的图象关于 벘ࢿ中心对称，即()()2f x f x +-=，因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x +=-，则()()4f x f x +=-，所以()()42f x f x ++=，()()482f x f x +++=，所以()()8f x f x =+，故()f x 的周期为8，因为()()()()()()()()152,262,372,482f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()1216212816f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦ ，故选：B .【点睛】关键点点睛：由()1f x -为奇函数，()2f x +为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数()f x 的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知110a b<<，则（）A.22a b >B.ln()ln()b a ->-C.()2222()a ba b +>+ D.2a ab<【答案】BCD 【解析】【分析】首先判断0b a <<，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.【详解】由110a b<<，可知，0b a <<，所以22a b <，故A 错误；0b a ->->，对数函数ln y x =单调递增，所以()()ln ln b a ->-，故B 正确；()()()222220a b a b a b +-+=->，即()()2222a b a b +>+，故C 正确；()2a ab a a b -=-，由0b a <<，可知()20a ab a a b -=-<，即2a ab <，故D 正确.故选：BCD10.已知函数1()sin 2sin cos f x x x x=+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的值域为(,)-∞-⋃+∞C.()f x 的图象关于直线3π4x =对称D.()f x 以π为周期【答案】ACD 【解析】【分析】首先化简函数()2sin 2sin 2f x x x=+，再根据奇函数的定义，判断A ，通过换元分析函数2y t t =+的单调性，即可求函数的值域，判断B ，证明()3π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断C ，根据()()πf x f x +=，即可判断D.【详解】()2sin 2sin 2f x x x=+，sin 20x ≠，则π2π2k x k x ≠⇒≠，Z k ∈，则函数的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，函数的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故A 正确；设[)(]sin 21,00,1t x =∈- ，2y t t=+在区间(]0,1单调递减，[)3,y ∈+∞，因为函数是奇函数，所以函数的值域是(][),33,∞∞--⋃+，故B 错误；()()()3π22sin 3π2sin 22sin 3π2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=+= ⎪-⎝⎭，所以函数()f x 关于3π4x =对称，故C 正确；()()()()22πsin 22πsin 2sin 22πsin 2f x x x f x x x+=++=+=+，所以函数()f x 的周期为π，故D 正确.故选：ACD11.已知对任意0x >，不等式32e 2ln 0x ax ax x -+≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A.1B.e 2C.eD.2e 【答案】ABC 【解析】【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得a 的范围.【详解】由0x >，32e 2ln 0xax ax x -+≥可化为2e 2ln 0xax a x x-+≥，则又可化为()2222e e e ln 0ln 0x x x a x x a x x x--≥⇔-≥，令2()x e x xϕ=，则3e (2)()x x x x ϕ-'=，令()0x ϕ'=，得2x =，当02x <<时，()0x ϕ'<，则()ϕx 在(0,2)单调递减；当2x >时，()0x ϕ'>，则()ϕx 在(2,)+∞单调递增；故2mine ()(2)4x ϕϕ==，且当x →+∞，()x ϕ→+∞.再令2e xt x =，则2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则关于t 的不等式ln 0t a t -≥在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即ln ta t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令()ln t h t t =，2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2ln 1()(ln )t h t t -'=，由()0h t '=解得e t =，当2e e 4t ≤<时，()0h t '<，则()h t 在2e ,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减；当t e >时，()0h t '>，则()h t 在(e,)+∞单调递增；所以min ()(e)e h t h ==，要使ln t a t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则e a ≤.故选：ABC.【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：()ln ln ln e e e ee e ln l ,n e ,ln ln e ,,x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x+--===+=-=.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){,12},{ln 20}P yy x a x Q x x ==+-<≤=-<∣∣，若x P ∈是x ∈Q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】[]0,2【解析】【分析】化简集合,P Q ，再结合P 是Q 的必要不充分条件列不等式族求解.【详解】由y x a =+，12x -<≤，则12a y a -<≤+，所以{}12P y a y a =-<≤+，由()ln 20x -<，即()ln 2ln1x -<，解得12x <<，所以{}12Q x x =<<，因为P 是Q 的必要不充分条件，所以1122a a -<⎧⎨+>⎩，且11a -=，22a +=也符合题意，解得02a ≤≤.所以实数a 的取值范围为 벘h .故答案为： 벘h .13.已知,a b 均为正实数，且23a b ab +=，则1332a b +--的最小值为_____________.【解析】【分析】由已知条件等式配凑积为定值(3)(2)6a b --=的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.【详解】由23a b ab +=，得230ab a b --=，则236(3)(2)6ab a b a b --+=--=，由已知0,0a b >>，则23(3)0a ab b b a =-=->，所以3a >，且32(2)0b ab a a b =-=->，所以2b >.所以30,20a b ->->，故1332a b +≥--当且仅当1332a b =--，即32a b ==+所以1332a b +--.14.已知曲线e x y =上有不同的两点P 和Q ，若点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，则实数k 的取值范围为_____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，将问题转化为曲线ln y x =与2y kx x =-有2个交点，即方程ln 1x kx x=-有2个不同的实根，进而转化为()ln xh x x =和1y kx =-有两个交点，利用导数求函数()ln xh x x=的大致图象，结合图象即可求解.【详解】 曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，又点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，∴曲线()ln 0y x x =>与2y kx x =-有2个交点，即2ln x kx x =-有2个不同的实根，即方程ln 1xkx x=-有2个不同的实根，设函数()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当0e x <<时， ， 在()0,e 上单调递增，当e x >时， ， 在()e,+∞上单调递增，()()max 1e eh x h ∴==，再根据当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，作出的大致图象，如图，由于直线1y kx =-过定点()0,1-，当直线1y kx =-与 的图象相切时，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时00200ln 11ln x x x k x x +-==，即002ln 10x x +-=，可得01x =，此时切线的斜率为1，由图可知，01k <<时，直线1y kx =-与 的图象有2个交点，∴实数k 的取值范围为 벘ࢿ，故答案为： 벘ࢿ.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数32()2g x x mx mx n =+-+的图象在点(1,(1))g --处的切线与直线820x y +-=垂直.（1）求m 的值;（2）已知()g x 在区间[1,2]-上的最小值为5-，求()g x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）1m =-（2）1.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断()g x 的单调性，结合()g x 的最小值为5-，求出n ，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得2()34g x x mx m '=+-，由题知(1)348g m m '-=--=，解得1m =-.【小问2详解】由（1）可知，32()2g x x x x n =-++，21()3413(1)3g x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，,(),()x g x g x '的变化情况如表所示：x 1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,2)2()g x '+0-0+()g x 4n - 极大值427n + 极小值n 2n +4n n -< ，min ()45g x n ∴=-=-，1n ∴=-，max 42,()2 1.27n n g x n +<+∴=+= 即()g x 在区间[1,2]-上的最大值为1.16.已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅ .（1）求()g x 的最小正周期;（2）若函数()()f x g x a =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π（2）[1,2).【解析】【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+，cos 222sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()g x ∴的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y a =恰有两个交点，令72,0,,,6266u x x u ππππ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，作出72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知57cos 14C =，4a =，且ABC V 的面积为（1）求c ；（2）延长CB 至点D ，使得ABD △是等腰三角形，求sin DAC ∠.【答案】（1）2（2）32114【解析】【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出sin C ，然后根据三角形的面积公式求出b 的值，再利用余弦定理求解即可；（2）首先利用余弦定理的推论求出1cos 2ABC ∠=-，进而得到3ABD π∠=，根据ABD △是等腰三角形得到ABD △是边长为2的等边三角形，再利用ADC ABD ABC S S S =+ 求解即可.【小问1详解】cos 14C = ，(0,π)C ∈，sin 14C ∴===，1121sin 42214ABC S ab C b ==⨯⨯⨯= ，b ∴=∴由余弦定理得222222cos 424414c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，2c ∴=；【小问2详解】如图，由（1）及余弦定理可得，222222421cos 22422a cb ABC ac +-+-∠===-⨯⨯，2π3ABC ∴∠=，π3ABD ∴∠=， ABD △是等腰三角形，∴ABD △是边长为2的等边三角形，2AD AB ==，224ADC ABD ABC S S S =+=⨯+=又1sin 2ADC S AD b DAC DAC =⨯∠=∠= 321sin14DAC ∴∠=.18.已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y ++-=-.（1）求(1),(1)f f -;（2）判断()f x 的奇偶性;（3）若当1x >时，()0f x >，且(2)1f =，求不等式(2)(1)2f x f x +--<的解集.【答案】（1）0；0（2）偶函数（3）2(,2)2,(2,)5⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，即可得到()()()f a f b f ab +=，再令1b =-，即可得解；（3）首先说明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再得到(4)2f =，则不等式转化为(2)(44)f x f x +<-，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y++-=-，令1,0x y ==，得(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f ∴=，令1,0x y =-=，得(1)(1)(1)0f f f -+-==，(1)0f ∴-=.【小问2详解】对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，可得()()()f a f b f ab +=.在上式中，令1b =-，得()(1)()f a f f a +-=-，即对任意非零实数a ，都有()()f a f a =-，()f x ∴是偶函数.【小问3详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，有22111,0x x f x x ⎛⎫>∴> ⎪⎝⎭，由（2）知()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增.(2)1,211(2)(2)(4)f f f f =∴=+=+= ，(2)(1)2f x f x +--< ，(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x ∴+<-+=-+=-()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，∴原不等式转化为0|2||44|x x <+<-，解得2x <-或225x -<<或2x >，∴原不等式的解集为2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭.19.已知函数()(2)e (2)1x f x x ax x =---+.（1）若()f x 仅有一个极值点且()2f x >-恒成立，求实数a 的取值范围;（2）当a 变化时，求()f x 的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数tan()y A x ωϕ=+，使其图象经过上述所有定点;（3）证明：21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦.【答案】（1）(]e 3,0-（2）ππtan 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()(1)e 2x f x x a =--'分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；（2）令a 的系数为0求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.【小问1详解】由题知()()(1)e 22(1)e 2x x f x x ax a x a '=--+=--，①当0a ≤时，20x e a ->恒成立，∴当1x <时，()0,()'<f x f x 在(,1)-∞单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 在(1,)+∞单调递增，则()f x 仅有一个极值点，且min ()(1)e 1f x f a ==-++.要使()2f x >-恒成立，得(1)e 12f a =-++>-，解得e 3a >-.所以e 30a -<≤；②当0a >时，由()0f x '=，得11x =或()2ln 2x a =.当ln(2)1a =，即e 2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增，即函数()f x 无极值点，不满足题意；当ln(2)1a >时，即2e a >时，1ln(2)a <当1x <时，()0f x '>，()f x 在(,1)-∞单调递增；当1ln(2)x a <<时，()0f x '>，()f x 在()1,ln(2)a 单调递减；当ln(2)x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln(2),a +∞单调递增；则()f x 在1x =与ln(2)x a =处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；同理，当ln(2)1a <时，即0e 2a <<时，()f x 也有两个极值点，故不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(]e 3,0-.【小问2详解】令(2)0x x -=，可得0x =或2x =，(0)1,(2)1f f =-= ，()f x ∴的图象经过的所有定点的坐标为(0,1)-和(2,1).函数tan()y A x ωϕ=+图象过(0,1)-和(2,1)，则tan 1A ϕ=-，且()tan 21A ωϕ+=.当ππ1,,44A ωϕ===-时，函数ππ()tan 44x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π14(0)tan ϕ⎛⎫-⎝==-⎪⎭，且1(2)ta 4n πϕ==满足题意.图象经过点(0,1)-和(2,1)的函数tan()y A x ωϕ=+可以是ππtan 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.(函数解析式不唯一)【小问3详解】要证21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦，即证21(21)e e 2ln 304x x x x ---+>.设21()(21)e e 2ln 34x x g x x x =---+，则()222()e e e 1e x x x x g x x x x x '⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭0,e 10,x x x >∴+> 设2()e (0)x h x x x=->，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，232(1)e 20,e 303h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭故存在唯一的02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002e 0x h x x =-=，即002e x x =，即00ln ln 2x x =-+.∴当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，()min 0()()g x g x g x ∴≥=()00200121e e 2ln 34x x x x =---+()20000122212ln 2234x x x x ⎛⎫=-⨯--++ ⎪⎝⎭0201232ln 2.x x =-+-设21()232ln 2t x x x =-+-，则()t x 在区间2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2491()32ln 22(1ln 2)033412t x t ⎛⎫>=-+-=+-> ⎪⎝⎭，21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤∴++-->+-⎣⎦.【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下：（1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的取值范围．（2）以零点为分界点，说明导函数()f x '的正负，进而得到()f x 的最值表达式．（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小．。

重庆市南川三校联盟2024届高三下学期阶段性考试（期末考）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-2．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．33．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．25．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆6．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-7．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种8．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥11．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．012．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省保定市长城高级中学2024年高三下学期第一次阶段性评估检测试题数学试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 2．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+3．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元4．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A ．24(4)h 2π+πB ．216(2h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+ 5．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．y x = B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+D ．1y x =+ 6．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．28．函数()()241x f x x x e =-+⋅的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202110．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则UA B =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 11．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知0x >，a x =，22x b x =-，ln(1)c x =+，则（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届高三数学天一大联考阶段性测试试题（四）文考生留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M ＝{x|log 2x<0}，N ＝{x|x ≥－1}，则M ∪N ＝A.{x|－1≤x<1}B.{x|x ≥－1}C.{x|x<1}D.{x|0≤x<1}2.若复数z 满意i ·z ＝1－i ，则|z|＝23.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A.y ＝±2x C.y ＝±3x D.y x5.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何?”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子(大小忽视不计)，则豆子落在其内切圆外的概率是 A.310π B.320π C.3110π- D.3120π- 6.函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移6π个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的一个可能取值是 A.12 B.32C.3D.67.若向量a ，b 满意|a|＝1，|b|＝2，|2a ＋b|＝23，则a 与b 的夹角为 A.4π B.2π C.6π D.3π 8.已知正实数a ，b ，c 满意(12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b9.函数f(x)＝333x xx --+的图象大致是10.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝(1＋a n )2(n ∈N *)，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝A.24B.48C.64D.72 11.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2相切，若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|＝2312.已知正数x ，y 满意(x －2y)(x －y)≤0，则P ＝222x y xy+的取值范围是 2，＋∞) B.(0，32] C.[1，322，32] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年秋季普通高中11月份高三年级阶段性联考数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，则的值为（ ）A.B. C.D.3.已知，且，则与的夹角为（ ）A.B. C. D.4.已知曲线在点处的切线在轴上的截距为，则的值为（ ）A.1B.0C.D.5.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为（ ）A.40B.90C.80D.16011i+π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1313-(),2a b == ()2a a b ⊥+ a bπ32π33π45π6ln ay x x=+()1,a y 3-a 1-2-6.已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（ ）A.B. C. D.7英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）A.B. C. D.8.是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列结论中正确的有（ ）A.已知，若，则；B.某学生8次考试的数学成绩分别为：101､108､109､120､132､135､141､141，则这8次数学成绩的第75百分位数为135；C.已知的平均值为8，则的平均值为7；D.已知为两个随机事件，若，则.()()cos 0f x x x ωωω=->π()f x ϕ()g x ()g x ϕπ12π6π32π3881168124813281()f x [],a b ()f x '()f x ()()f x f x ='[],a b ()f x [],a b []4,3-()3228f x x x mx =+++m 5675m -<- (56)45m -<- (56)45m -< (74)m -<-…()24,X N σ~()50.1P X =…()340.4P X =……128,,,,11,13x x x 128,,,x x x A B ､()()()0.4,0.3,0.2P A P B P AB ===∣()0.15P B A =∣10.已知正实数满足，下列结论中正确的是（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最小值是3D.的最小值为11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知的角的对边分别为，且，若，则__________.14.已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知，函数.（1）求的单调递减区间；（2）在中，若，求和长.16.（本题满分15分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列满足：，且.,a b 23a b ab +=ab 982a b +832a b +1b a-3-()[]f x x =[]x x {}n a n n S 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21n n n b S S +=+()*n a n n =∈N)*n S n =∈N []12636b b b +++= 1210011118S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ ()()2222ln f x x f x x -'=+()2f '=ABC A B C ､､a b c ､､sin a C =π6A =22b c bc+=()()()()13e 0xf x a x b a =-++≠[]1,3-3b a+()π,cos ,cos ,sin 2m x x n x x ⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎭()32f x m n =-⋅()f x ABC ()0,ABC f A BC S ===AC AB {}n a 421a =125,,a a a {}n b 143n n b b +=-1121b a =-（1）求和的通项公式；（2）若为数列的前项和，求.17.（本题满分15分）东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调査300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调査的学生是男生”.若.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂喜欢去乙食堂合计（1）完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性別分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算.附0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.（本题满分17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3.19.（本题满分17分）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅{}n a{}n b n T1n n a b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n n T M N ()()()457|,|,7815P M N P N M P N ===22⨯0.001α=X X ()E X ()()()()22():ad bc na b c d a c b d χ-⋅=++++αax ()1ln f x x a x x=--()f x 1x …()0f x …a ()ln 1n ++>+与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.（1）求的值；（2）求；（3）证明：为定值.x n n X ()1518P X ==x ()1n P X =()n E X2024年秋季普通高中11月份阶段性联考高三数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.B4.C5.C6.B7.A8.D8.【解析】，显然不满足上式，所以，令，则，在，且，画出的图像，可知：.二､选择题（多选）【有错选得0分，全对得6分，部分对得部分分.两解题，每答对一个得3分，三解题，每答对一个得2分】9.ACD 10.BCD11.BCD10.解析：（1）（当时取等号）；（2）（当时取等号）；()()()32481f x f x x x x m x '=⇒--+=-1x =32481,1x x x x m x--+≠=-()32481x x x g x x --+=-()()()22221(1)x x g x x '-+=--()g x ∴[)(4,1,1,2,2,3⎤⎤⎡-↑↑↓⎦⎣⎦()()()564,24,375g g g -=-=-=-[)7,4m ∈--8329ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥24,33a b ==8233a b ab +=≥24,33a b ==（3）（当时取等号）；（4）（当时取等号）.11.解析：（1）当时，，又A 错，B 对；（2），.故C 对；（3），当时，，，；故D对；三､填空题：12.13.14.14.【解析】，令，在，在，()()212122233,3225923a b a b ab a b a b a b b a b a b a ⎛⎫+=⇒+=∴+=++=++≥⇒+≥ ⎪⎝⎭1a b ==132233b b b b a b b --=-=+-≥-b =11,2n n nS a a ⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭2n ≥2211112,1n n n n n n n S S S S S S S ---=-+⇒-=-11111,02n S a a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭211;n n n a S n S a ⇒=∴=⇒==∴()1263211176,722n n n b b b b S S +===-∴+++=+-∈+ []12636b b b ∴+++= 12n S =>=]1210011122118;S S S ⎡⎤∴+++>+++=->⎣⎦2n ≥12n S =<=-]121001111212119S S S ⎡⎤∴+++<++++=+-=⎣⎦1210011118S S S ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 3-21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()03e 1;x f x b a x =⇔+=-310,e x b x a a +-≠∴= ()()12,e ex x x x g x g x --=='()g x ∴()1,2-↓()2,3↑作出的图像，可知：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（1）由减区间为（2），或.16.（本题满分15分）解：（1）设的公差为，又（2），两式相减，得：17.（本题满分15分）()g x 2132e e b a+-≤≤()23π3cos cos sin sin 222f x x x x x x x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭()311π1cos21cos2sin 21,2226x x x x x ⎫⎛⎫=--=--=--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭πππππ2π22πππ,26263k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x ∴()*πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦N ()ππ0sin 21,,63f A A A ⎛⎫=⇒-== ⎪⎝⎭6,ABC S AB AC =⇒⋅= 227,BC AB AC AB AC =⇒+-⋅=2,3AB AC ∴==3,2,AB AC ==⋅{}n a ()()()221520,,21321(212)6d d a a a d d d d ≠=∴-+=-⇒= ()14133,16 3.n a a d a a n d n ∴=-==+-=-()1143141,n n n n b b b b ++=-⇒-=-111215,14,b a b =-=-=()*1441n n n n b b n ∴-=⇒=+∈N 6314n nn a n b -=-2323411633915631391563;;4444444444nn n n n n k n n n T T +=---==++++∴=++++∑2341336666635165;4444444334n n n n n n n T T +-+=+++++-⇒=-⋅解：（1）被调查的学生中男生有140人，女生有160人.男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人..被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂60100160喜欢去乙食堂8060140合计140160300零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关.此推断犯错误的概率不大0.001.（2）根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人.，，X 的分布列为：X 0123p，18.（本题满分17分）解（1）定义域为；..当时，恒成立，；()77,300140,1515P N =⨯=∴44(),14080,77P M N =⨯=∴∣533()(),60160,888P N M P N M =⇒=÷=∴∣∣0H 220.001(606010080)30011.5810.828160140160140χχ⨯-⨯⨯=≈>=⨯⨯⨯0.001α=0H 0,1,2,3X =()()()()615243712312312312777715151515C C C C C C C 8282450,1,2,3C 65C 65C 65C 65P X P X P X P X ============86528652465113()82824570123656565655E X =⨯+⨯+⨯+⨯=()0,∞+()()22211,Δ4,f x x ax a x=-+=-⋅'0122a -≤≤2Δ0,10x ax ≤-+≥()()0,f x f x ≥↑'.当时，有两根，但两根均为负数，当时，.当时，有两正根，当时，；当时，；当时；综上所述：.当时，增区间为；.当时，增区间为和；减区间为.（2），令，则在，若，则，与题意相符；若，则，所以必存在，使得当时，，从而使得当时，，与题意相矛盾；综上：.（3）证明：由（2）知，当时，（仅当时取等号），，令；，得证.19.（本题满分17分）解：（1）（2）022a<-2Δ0,10x ax >-+=()0,x ∞∈+()()0,;f x f x '≥↑32a >2Δ0,10x ax>-+=1x =2x =()10,x x ∈()()0,f x f x >↑'()12,x x x ∈()()0,f x f x <↓'()2,x x ∞∈+()(),0,f x f x >'↑012a ≤()f x ()0,∞+022a >()f x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()11f x x a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'()1g x x a x =+-()()()22110,g x x g x x =-≥∴'[)()1,,12g a ∞+↑=-2a ≤()()()()()()10,0,,10g x g f x f x f x f ≥≥≥↑≥='2a >()120g a =-<01x >()01,x x ∈()()()0,0,g x f x f x <'<↓()01,x x ∈()()10f x f <=2a ≤1x ≥()12ln 0f x x x x=--≥1x =12ln x x x∴-≥x =11ln ln n n n n ++>=⇒>()2341ln ln ln ln ln 1123n n n +>+++=+ ()111513;11118x x P x x x x x x ==⋅+⋅=⇒=++++()()()()()()()11111010111212n n n n n n n n n n P x P x P x x P x P x x P x P x x ++++===⋅==+=⋅==+=⋅==∣∣∣，又，.（3），令，则而，..得证.()()()()()()11331111510120122244442282n n n n n n P x P x P x P x P x P x ⎛⎫==⋅+=⋅⨯+⨯+=⋅==+=+= ⎪⎝⎭()()()0121n n n P x P x P x =+=+==()()()()()()11151141411111,11,2882787n n n n n n P x P x P x P x P x P x ++⎡⎤⎡⎤∴==-=+===+⇒=-==-⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()114543431314311,11;78756756878778n n nn n P x P x P x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=∴=-=⨯=⨯⇒==+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()()1112020121n n n n n n n P x P x P x x P x P x x +++===⋅==+=⋅==∣∣()()1222n n n P x P x x ++=⋅==∣()()()1311913122162214828n n n n P x P x P x +⎛⎫==+===++ ⎪⎝⎭()()()()111131391339228248214214148141414n n n n n n n P x P x P x P x ++++⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⇒=-==-+⇒=-=⨯=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦()38214n n n a P x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦1193344,141414n n n n a a a a ++⎛⎫=+⇒+=+ ⎪⎝⎭()113333338280141414161414a P x ⎡⎤⎡⎤+==-+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()3333310820214141414148n n n n n a P x P x ⎡⎤∴+=⇒=-+=⇒==-⨯⎢⎥⎣⎦()()()()43133100112212177814148n n n n n n E X P x P x P x ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =-<<，则A B = （）A. ()2,2-B. ()0,2C. ()0,4 D. (]0,4【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数性质，化简集合A ，然后根据集合的交集运算即可【详解】根据题意，易得：{}04A x x =<≤又{}24B x x =-<<则有：{}04A B x x ⋂=<<故选：C2. “1x >”是“2x x >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；【详解】因为2x x >，所以0x <或1x >，则1x >可以推出2x x >，但2x x >不能推出1x >．故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故选：A ．3. 函数2x y -=-与2x y =的图象（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】【分析】令()2xf x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2xf x =，则()2xf x ---=-()y f x = 与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为341,2n S S a a =-，且2415a a +=，则35a a +=（ ）A. 3 B. 5C. 30D. 45【答案】D 【解析】【分析】首先确定1q ≠，再利用等比数列的前n 和公式代入即可求出答案.【详解】若公比1q =，则1152a =，315264S a ==，右边410a a -=，等式不成立，故1q ≠，则()()31311211a q aq q-⨯=--，显然310q -≠，所以211q=--，解得3q =，又因为()2242115a a a q +=+=，代入得232a=，所以()()33352333452a a a q q +=+=⨯+=，故选：D.5. 如图，平行四边形ABCD 中，2,AE EB DF FC ==，若,CB a CE b == ，则AF =（ ）A. 1322a b+ B. 3122a b-C. 1322a b -D. 1322a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，且2AE EB =，DF FC =，所以12AF AD DF AD DC =+=+ ，即22AF AD DC =+①，又13CE CB BE CB BA =+=+ ，即33CE CB BA =+ ②，由①+②得到23AF CE CB += ，又CB a = ，CE b =，所以1322A b F a =- .故选：C.6. 关于x 的方程(1)(4)x x a --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（ ）A. 当0a =时，121,4x x == B. 当0a >时，1214x x <<C. 当0a >时，121,4x x <> D. 当904a -<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x --=的二实根为121,4x x ==，A 正确；对于B ，方程(1)(4)x x a --=，即2540x x a -+-=，254(4)0a ∆=-->，解得94a >-，当0a >时，1244x x a =-<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =--，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确；对于D ，当904a -<<时，12254(4,)4x x a =-∈，D 正确.故选：B7. 已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（ ）A13B.17C.16D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan αβα+=，故3tan()tan 32αβα+==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7β=.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+，2sin cos()sin βαβα=+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin αβααβααβα+-+=+，即2sin()cos 3cos()sin αβααβα+=+，则2tan()3tan αβα+=，因为tan 2α=，所以3tan()tan 32αβα+==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan αββαβαββ+++===--，故2tan 36tan ββ+=-，解得1tan 7β=.故选：B.8. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且CD a =，AB b =，EF 和GH 为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，.GH 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）A.)0,02a ba b +≥>>B. ()20,0112a ba b a b+≤>>+C. )0,02a b a b +≤>>D. )220,0a b a b +≥>>【答案】B 【解析】【分析】首先设AC 交BD 于O 点，根据三角形相似性质得到211GH a b=+，即可得到答案.【详解】设AC 交BD 于O 点，如图所示：因为////AB GH CD ，所以OG AO BO OHDC AC BD DC===，即OG OH =.又因为1OG OH OG OH AO OCDC AB a b AC AC+=+=+=，即11221GH GHa b +=，解得2211ab GH a b a b==++.又因为2a b EF +=，GH EF ≤，所以2112a ba b+≤+.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为1lgA T=，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料3T0.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为123,,A A A ，则下列结论正确的是（ ）A. 12A A > B. 233A A >C. 1322A A A +> D. 231A A A +>【答案】AC 【解析】【分析】根据对数运算法则和单调性求解即可.【详解】由换算公式和图表可知，11110lglg 7A T ==，22110lg lg 8A T ==，33110lg lg 9A T ==，又因为函数lg y x =在(0,+∞)上单调递增，所以对于A ：121010lglg 78A A =>=，说法正确；对于B ：332101010001033lg lg lg lg 997298A A ⎛⎫===>= ⎪⎝⎭，说法错误；对于C ：131010100lg lg lg 7963A A +==+，22101010022lg lg lg 8864A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1322A A A +>，说法正确；对于D ：231101010010lg lg lg lg 89727A A A +=+=<=，说法错误；故选：AC10. 已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（ ）A. 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b=B. 若()0a b c ⋅=，则b c⊥C. 若()()a b a b +⊥-，则||||a b = D. 向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】BCD的【解析】【分析】A 选项，举出反例即可；B 选项，由向量数乘运算和数量积公式得到b c ⊥；C 选项，根据向量数量积公式得到220a b -= ，故||||a b = ；D 选项，计算出()()0a b c a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⎣⎦，得到垂直关系.【详解】A 选项，不妨设()()()1,0,2,0,0,1a b c === ，满足0a c b c ⋅=⋅=，但a b ≠ ，A 错误；B 选项，()0a b c ⋅= ，故0b c ⋅=，则b c ⊥ ，B 正确；C 选项，()()a b a b +⊥- ，故22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，故||||a b = ，C 正确；D 选项，()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ ，故向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直，D 正确.故选：BCD11. 已知函数()cos sin f x x x x =-在区间(0,3π)内有两个零点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x > B.12πx x ->C. 12sin 02x x +⎛⎫>⎪⎝⎭D. 1221sin sin 0x x x x +<【答案】ABD 【解析】【分析】由()0f x =得()tan cos 0x x x =≠，从而得1122tan ,tan x x x x ==，作出单位圆以及5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，结合图象逐一判断即可得解.【详解】()0f x =即cos sin 0x x x -=，即sin cos x x x =，当cos 0x =时，上式显然不成立，故()0f x =等价于()tan cos 0x x x =≠，所以1122tan ,tan x x x x ==.对于A ，设π0,2AOB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，作出单位圆，则由三角函数定义可知 tan ,ABAC l αα==，设扇形OAB 的面积为1S ，则1OAC S S > ，即1111tan 2222ABOA AC l OA αα⋅=>=⋅，故tan αα>，故A 正确；对于B ，画出5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，因为tan y x =的最小正周期为π，所以由图象可知1x 与2x 之间的距离大于π，即12πx x ->，故B 正确；对于C ，由图得123π5ππ,,2π,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23πx <+14πx <，故123π2π22x x +<<，所以12sin 02x x +<，故C 错误；对于D ，因为1122tan ,tan x x x x ==，所以12122112212112sin sin sin sin tan sin tan sin sin sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x ++=+=()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +==⋅+1212121212tan tan cos cos 2222x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212tan tan 2coscos 22x x x x x x +-=⋅⋅，由图可知，12tan tan x x 、均大于0，由C 项知123π2π22x x +<<，故12cos 02x x +>，又由B 项知12π3π224x x -<<，所以12cos 02x x -<，所以121212tan tan 2cos cos 022x x x xx x +-⋅⋅<即1221sin sin 0x x x x +<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于选项D 判断1221sin sin 0x x x x +<，关键点1是根据已知条件1122tan ,tan x x x x ==结合问题的结构特征将1221sin sin x x x x +转化成1221tan sin tan sin x x x x +，接着将其弦切互化得到()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +=⋅+；关键点2是利用选项B和C 中的12x x +和12x x -结合12121212122222x x x x x x x xx x +-+-+-==、以及两角和与差的余弦公式，将()1212tan tan cos cos x x x x ⋅+转化成121212tan tan 2cos cos 22x x x xx x +-⋅⋅，进而结合图象且借助选项B 和C 中的结论即可判断得解.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在ABC V 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =______【答案】19【解析】【分析】根据角C 的余弦定理形式求解出c 的值，再根据余弦定理求解出cos B 的值.【详解】因为22222cos 16924393c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3c =，所以22299161cos 22339a cb B ac +-+-===⨯⨯，故答案为：19.13. 已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =_______．【答案】22x x -（答案不唯一）【解析】【分析】设f (x )=ax 2+bx +c ，利用平均变化率的定义计算即可.【详解】设f (x )=ax 2+bx +c ，则()()()()()21Δ11Δ1ΔΔ21Δ1Δf x f a x b x c a b c a x a b x x+-++++-++==+++-，由题意知223a a b =⎧⎨+=⎩，解之得21a b =⎧⎨=-⎩，显然c 的取值不改变结果，不妨取0c =，则()22f x x x =-.故答案为：22x x-14. 已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 通项公式为__________．【答案】21n a n =-【解析】【分析】先证明函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，故()()22g x g x +-=，由此将n a 的表达式两两组合求它们的和，然后求得n a 的表达式.【详解】由于()()1111x xx xe ef x f x e e-----===-++，所以函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，由此得到()()22g x g x +-=，所以()121222111n n n n n a g g g g g g g n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()211210121n g n f n =-+=-++=-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数()e xf x =，x ∈R .的（1）求方程()()()22f x f x =+的实数解；（2）若不等式()22x b b f x +-≤对于一切x ∈R 都成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）ln 2x = （2）112b -≤≤【解析】【分析】（1）转化为关于e x 的一元二次方程进行求解.（2）分离参数，构造函数()g x ，求导得到()g x 的最小值即可求解.【小问1详解】由()e xf x =，代入方程()()()22f x f x =+得：()2e e 2x x =+，即()()e 2e 10xx-+=，解得e 2x =，即ln 2x =.【小问2详解】不等式()22x b b f x +-≤即22e x x b b +-≤，原不等式可化为22e x b b x -≤-对x ∀∈R 都成立，令()e xg x x =-，则()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故当0x =时，()()min 0=1g x g =，所以221b b -≤，即2210b b --≤，解得：112b -≤≤.16. 已知函数2()2sin cos f x x x x =+-，R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(02ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；（3）若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）πT =，π5ππ-,π+,Z 1212k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）π6ϕ=（3）π()12f θ+=【解析】【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用2πT ω=求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可；（2）先根据平移变换求出()g x 表达式，在根据题意列出等式求解即可；（3）当x θ=时函数()g x 取得最大值，由此可得5ππ12k θϕ=-+，代入π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简；又1cos 3ϕ=，因此可求出sin ϕ，再求出sin 2,cos 2ϕϕ，再根据两角和的正弦公式求解即可.【小问1详解】由题意得()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则其最小正周期2π=π2T =，令πππ2π22π,Z 232k x k k -≤-≤+∈，解得π5πππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，则其单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】将()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度得到()g x 的图象，则()π2sin 223g x x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若函数()g x 是奇函数，则π20π,Z 3k k ϕ-=+∈,即ππ,Z 62k k ϕ=+∈因为π02ϕ<<，所以0k =时，π6ϕ=．【小问3详解】由题知πsin(22)13θϕ+-=，则22232k θϕππ+-=+π，从而512k θϕπ=-+π，Z k ∈，因此πππππ2sin π22π2sin 212233f f k k θϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1cos 3ϕ=，且π02ϕ<<，所以sin ϕ=，的因此1sin 223ϕ==，17cos 22199ϕ=⨯-=-，所以π17sin(2)()329ϕ+=-=，所以π()12f θ+=17. ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（1）若sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，3π4C =，求a b的值；（2）求证：()222sin sin A B a b c C--=.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明.【小问1详解】因为sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，所以2sin sin sin sin 1cos 22sin A B B C B B +=-=，由正弦定理可得22ab bc b +=，即2a c b +=，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以()222322cos4b a a b ab π-=+-，整理可得(34b a =，所以a b==.【小问2详解】证明：()sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B CC--=，由正弦定理可得sin cos cos sin cos cos sin A B A B a B b AC c--=，由余弦定理可得222222222222cos cos 22222a c b b c a a b a B b A a b a b ac bc c c c c +-+-⋅-⋅---===，所以()222sin sin A B a b c C--=.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*N n ∈.（1）求n S ；（2）令()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .【答案】（1）2n S n = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意n a 与n S 之间的关系将1n a +用1n n S S +-表示，得到111n n S S n n +-=+，得到n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而得到n S ；（2）化简n b ，利用裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】因为11n n n a S S ++=-，11nn S a n n+=--，所以()()()1111n n n n S n a n n S S n n ++=--=--+， 故()()111n n S n nS n n ++=-+，及111n nS S n n+-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==，公差为1的等差数列， 故()11nS n n n=+-=，则2n S n =.【小问2详解】因为2n S n =，1n n n a S S -=-（2n ≥，*N n ∈），所以()22121n a n n n =--=-（2n ≥，*N n ∈）.又11a =符合上式，所以21n a n =-()*N n ∈.因为()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，所以()()()()()()221212112123n n n b n n n n n n +=--++++()()()()121212123nn n n n n +=--+++()()()()()4114421212123n nn n n n ⎡⎤+=-⎢⎥-+++⎣⎦11111421212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦11142123n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， 所以123nb b b b ++++L 1111111111111453759252123212123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111411114321234321233n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.19. 若函数()f x 对其定义域内任意()1212,x x x x ≠满足：当()()12f x f x =时，恒有12x x m =，其中常数m ，则称函数()f x 具有性质()V m .（1）函数1()2=+g x x x具有性质()V m ，求m .（2）设函数()()()1221()ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>，（ⅰ）判断函数()h x 是否具有性质()V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明：2122x x <.【答案】（1）12m =（2）（ⅰ）()h x 不具有性质()V m ，理由见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，由12121221x x x x ++=变形得到()1212012x x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到1212x x =，求出12m =；（2）（ⅰ）求导，得到()ln h x x x =-的单调性，得到1201x x <<<，假设()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x m x =，根据1122ln ln x x x x -=-，得到1112ln ln 0x mx m x --+=，显然不能恒成立，故假设不成立，()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）先得到21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得到121x x <，分212x <≤和22x >两种情况进行求解，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，构造差函数，进行求解，得到结论.【小问1详解】1()2=+g x x x定义域为()(),00,-∞+∞ ，对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，有12121221x x x x ++=，即()()2112121212121211201222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---+-+-==-= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，所以120x x -≠，故1212x x =，故1212x x =，故12m =；小问2详解】()h x 不具有性质()V m ，理由如下：()ln h x x x =-的定义域为()0,∞+，11()1x h x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又21x x >，故1201x x <<<，假设函数()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x mx =，【因为1122ln ln x x x x -=-，所以111111ln ln ln ln x x m x x x x m mm -=-=-+，故1112ln ln 0x mx m x --+=对于任意的()10,1x ∈恒成立，即1112ln ln mm x x x --+恒为0，显然不可能，故假设不成立，故()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）因为1122ln ln x x x x -=-，所以2121ln ln x x x x -=-，21211ln ln x x x x -=-，下面证明2121ln ln x x x x ->-2211ln ln xxx x >>⇒，1t =>2101ln 2l ln 1n 2t t x x t tt t >-⇒⇒->->，令()12ln t tp t t --=，1t >，则()()222221121210t t t t t tp t t --+-===+>'，故()12ln t tp t t --=在()1,t ∈+∞上单调递增，故()()10p t p >=，12ln 0t t t-->，所以2121ln ln x x x x ->-1>，所以121x x <，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，令()111112222222222222ln ln ln ln 22ln h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=--+-⎪⎝⎭22222222222ln ln 22ln 3ln ln 2x x x x x x x =--+-=--+，令()223ln ln 2q x x x x=--+，2x >，()()()23233321343410x x x x q x x x x x-+-+'=-+==>，故()223ln ln 2q x x x x=--+在()2,+∞上单调递增，又()32322ln 2ln e ln 42q =-=-，其中3e 160->，故32e 4>，所以()20q >，故()1222222223ln ln 20h x h x x x x ⎛⎫-=--+> ⎪⎝⎭，()1222h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，其中()()12220,1,0,1x x ∈∈，而()h x 在()0,1上单调递减，故1222x x <，2122x x <，综上，2122x x <.121212ln ln 2x x x xx x -+<<-，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合1122ln ln ln x x x x -=，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明。

【山西专版】考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,0A =-，{}0,1,2B =，则()U A B ð数学试题=A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}0,1,22．832x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中常数项为A ．112B ．56C ．28D ．163．已知函数()()()()32321f x a x a x a x a =-+-+-+若对任意0x R ∈，，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和()()0,x f x --处的切线互相平行或重合，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．34．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为A ．丁辰年B ．癸未年C ．甲午年D ．甲申年5．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m ，若该圆台的体积为3，则m =A ．4B ．3C ．2D ．16．设非零复数1z 和2z 在复平面内对应的向量分别为OP uu u r 和OQ uuu r ，其中O 为原点，若12zw z =为纯虚数，则A ．OP OQ∥u u u r u u u r B ．OP OQ=u u u r u u u r C ．()()OP OQ OP OQ+⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r D ．OP OQ OP OQ+=-u u u r u u u r u u u r u u u r 7．已知α，β，γ均是锐角，设sin cos sin cos sin cos αββγγα++的最大值为tan θ，则()sin sin cos θθθ+=AB ．1513C ．1D ．5138．已知实数a ，b ，c 满足ln 15a =，73log 2b =，67c=，则A ．c a b>>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在C 上，若∠MOF =45°（O 为坐标原点），则A ．04x =B ．04y =C ．5MF =D ．3cos 5OFM =∠10．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则A ．2A =B ．0ωϕ+=C ．()f x 的图象关于点()23,0对称D ．不等式()41f x >的解集为()513221212,k k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎭+⎝+11．在四棱锥P ABCD -中，已知2222AD PD AB BC CD =====，AP =，且BAD ADC ∠=∠，则A ．四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是0,3⎛ ⎝⎦B ．2PB 的取值范围是(7-+C ．四棱锥P ABCD -的外接球的表面积的最小值为8πD ．PB 与平面PAD 所成角的正弦值可能为7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆C 经过点()8,6M ，且有一条直径的两个端点分别在x ，y 轴上，则圆C 的面积的最小值为______．13．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为34，乙每次射门射进的概率均为23，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______．14．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），若12AF F △的面积是12BF F △的面积的3倍，则C 的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的2×2列联表：更喜欢正装更喜欢运动装家长12080学生16040（Ⅰ）根据以上数据，判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；（Ⅱ）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.82816．（15分）如图，A 是以BC 为直径的圆O 上的点，PA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是线段PA ，PB 上的点，且满足()01PD PEPA PBλλ==<<，2PA AB AC ==．（Ⅰ）求证：DE CD ⊥；（Ⅱ）若二面角B CE D --的正弦值为12，求λ的值．17．（15分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆222x y a +=的一个交点为(A ．（Ⅰ）求C 的方程．（Ⅱ）过点A 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，且1l 与C 的左、右支分别交于B ，D 两点，2l 与C 的左、右支分别交于E ，F 两点，判断AB AF AD AE +=+能否成立．若能，求该式成立时直线1l 的方程；若不能，说明理由．18．（17分）已知函数()()cos sin ax b xf x e a b x -=-，0a >，0b >．（Ⅰ）若12a =，1b =，讨论()f x 在区间()0,2π上的单调性；（Ⅱ）设t 为常数，若a b t =+”’是“()f x 在R 上具有单调性”的充分条件，求t 的最小值．19．（17分）对于数列{}n a ，若存在0M >，使得对任意*n N ∈，总有11nk k k aa M +=-<∑，则称{}n a 为“有界变差数列”．（Ⅰ）若各项均为正数的等比数列{}n a 为有界变差数列，求其公比q 的取值范围；（Ⅱ）若数列{}n b 满足112n nb b ++=，且12b =，证明：{}n b 是有界变差数列；（Ⅲ）若{}n x ，{}n y 均为有界变差数列，且10n y y ≥>，证明：n n x y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是有界变差数列．天一大联考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案数学（山西专版）答案C命题意图本题考查集合的表示与运算．解析由已知易得{}U 2,1,2A =-ð，所以(){1,2}U A B =I ð．2．答案A 命题意图本题考查二项式定理的应用．解析常数项为226288324112C x C x ⎛⎫= ⎪⎭=⎝⋅-．3．答案C命题意图本题考查导数的几何意义和函数的奇偶性．解析由题意知()()()233221f x a x a x a '=-+-+-为偶函数，则2a =．4．答案D命题意图本题考查等差数列的应用．解析天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于221242024100-=，故100年后天干为甲，由于1001284÷=L L ，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所以2124年为甲申年．5．答案B命题意图本题考查圆台的有关计算．解析易知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为m ．设圆台的高为h ，根据题意可知该圆台的体积为()()2222112852244333V r rR R h h ππ=++=+⨯+=，解得h =，则3m ===．6．答案D命题意图本题考查复数的几何意义以及平面向量的运算．解析设1z a bi =+，2z c di =+，w ki =，其中a ，b ，c ，d ，k R ∈，且a ，b 不同时为0，c ，d 不同时为，k ≠，由题意()a bi ki c di kd cki+=+=-+，所以(,)(,)0OP OQ a b c d ac bd kdc kcd ⋅=⋅=+=-+=uu u r uuu r，所以OP OQ OP OQ +=-uu u r uuu r uu u r uuu r ．7．答案B命题意图本题考查三角恒等变换及基本不等式的应用．解析由基本不等式可得22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，三式相加，可得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，当且仅当α，β，γ均为4π时等号成立，所以3tan 2θ=，则2222sin (sin cos )tan tan 15sin (sin cos )sin cos tan 113θθθθθθθθθθθ+++===++．8．答案C命题意图本题考查指数函数和对数函数的综合性质．解析由已知得15a e=，7log 8b =，6log 7c =．令()ln(1)ln (1)xx f x x +=>，则()2(1)ln(1)ln ln (1)()x x x f x x x x x -++'=+，显然()0f x '<，即()f x 单调递减，所以()()67f f >，即ln 7ln8ln 6ln 7>，亦即67log 7log 8>，c b >．由1xe x ≥+，可得1516155e >+=，而5666log 7log 66<=，所以66log 75<，所以a c >．综上可知a c b >>．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案AC 命题意图本题考查抛物线的方程与性质．解析若∠MOF =45°，则00tan 1MO y F x ==∠，又2004y x =，解得0044y x =⎧⎨=⎩或0044y x =⎧⎨=-⎩，故A 正确，B 错误；由抛物线的定义，得()415MF =--=，故C 正确；由余弦定理得(222153cos 2155OFM +-==-⨯⨯∠，故D 错误．10．答案ABD 命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析设()f x 的最小正周期为T ，由图象可知2A =，()35164T =--=1-解得8T =，故284ππω==，则()2sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()1,2--代入解析式，得2sin 24πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+=-，所以4πϕ=-，所以()2sin 44f x x ππ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭，故A ，B 正确；()11232sin 2sin 222f ππ⎛⎫ ⎝=-⎪⎭==-，故C 错误；()41f x >即为2sin 14x ππ⎛⎫ -⎪⎭>⎝，得1sin 42x ππ⎛⎫ ⎪⎭>⎝-，得()522646k k x Z k ππππππ+<<+∈-，得()513221212Z k x k k +<+∈<，故D 正确．11．答案BCD命题意图本题考查棱锥的结构以及棱锥与球的综合问题．解析由已知可得，四边形ABCD 是上底为1，下底为2，底角为60°的等腰梯形，所以232444ABCD S =⨯⨯=梯形，PD AD ⊥．对于A ，当PD ⊥底面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，最大体积为12342⨯⨯=，故A 错误；对于B ，在PBD △中，2PD =，BD =，60120PDB <∠<︒︒，用余弦定理可知2PB 的取值范围是(77-+，故B 正确；对于C ，当PD ⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的外接球的半径等于PAD △的外接圆的半径，此时外接球的半径最小，为2PA=248ππ=，故C 正确；对于D ，设PB 与平面PAD 所成角为θ，当PD ⊥平面ABCD 时，计算可得sin 14147θ=>=，当P 靠近平面ABCD 时，θ趋向于0，所以存在某个P 点，使得sin 7θ=，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案25π命题意图本题考查圆的方程与性质．解析因为圆C 的一条直径的两个端点分别在x ，y 轴上，所以该圆一定过原点O ．又圆C 经过点()8,6M ，所以当OM 为圆C 的直径时，圆C 的面积最小，又10OM ==．所以圆C 的面积最小值为210252ππ⎛⎫⎪⎭= ⎝⨯．13．答案109216命题意图本题考查概率的乘法公式．解析若乙射进1次，则他赢的概率为221322311133472C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⨯⨯-=；若乙射进2次，则他赢的概率为222322371133436C ⎡⎤⨯-⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；若乙射进3次，则他赢的概率为328327⎛⎫ ⎪⎝⎭=．故乙赢的概率为178109723627216++=．14．答案4命题意图本题考查椭圆与直线的位置关系．解析因为12AF F △的面积是12BF F △的面积的3倍，所以3AB y y =-．设C 的半焦距为()0c c >，则直线l ：2x y c =-，联立方程可得2222222x y c x a y b b a =-⎧⎨+=⎩消去x 得()22224440b a y b cy b +--=，则22244A B b cy y a b +=+，4224A B b y y a b =-+，又()22A B A B A BB Ay y y y y y y y +=++，即2222422441423334b c a b b a b +=-+-=--+⎛⎫⎪⎝⎭，化简可得2224143c a b =+，得2222244154543c e a c e ==--，解得4e =．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查独立性检验的应用以及超几何分布．解析（Ⅰ）由题可知()22400160801204040019.04820020028012021χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为19.048 6.635>，所以有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．（Ⅱ）座谈的家长中更喜欢正装的人数为12053200⨯=，更喜欢运动装的人数为8052200⨯=．由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，则()22251010C P X C ===，()112325315C C P X C ===，()23523210C P X C ===，故X 的分布列为X 012P11035310所以X 的数学期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．16．命题意图本题考查空间位置关系的推理与证明、二面角的计算．解析（Ⅰ）因为A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的点，所以AB AC ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥．又AC PA A =，所以AB ⊥平面PAC ，因为PD PEPA PB=，所以DE AB ∥，所以DE ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面PAC ，所以DE CD ⊥．（Ⅱ）分别以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2PA AB ==，1AC =，则点()0,2,0B ，()1,0,0C ，()0,0,2P ，()()0,0,21D λ-，()()0,2,21E λλ-，则()1,2,0BC =-u u u r ，(1,0,2)CP =-u u u r，()()1,0,21CD λ=--u u u r ，()()1,2,21CE λλ=--u u u r 设平面CDE 的法向量为(),,nx y z =，则()()2102210n CD x z n CE y x z λλλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 取()()21,0,1n λ=- ．设平面BCE 的法向量为(),,m p q r =，则2020m BC p q m CP p r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取()2,1,1m =．因为二面角B CE D --的正弦值为12，所以cos,2mnn mnm===⋅，解得12λ=或52λ=-（舍去）．17．命题意图本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）由题可知2 a==，1ba=，b=，故C的方程为221412x y-=．（Ⅱ）不能成立．显然直线1l，2l的斜率均存在，设直线1l的方程为(1)y k x=-+，直线2l的方程为1(1)y xk=--+，()11,B x y，()22,D x y．（6分）联立1l与C的方程可得()221312y k xx y⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩222(3)2(150k x k k x k-+--+-=，因为1l与C的左、右支分别相交，所以k<<同理1k<-<3k<<-或3k<<（*）因为12x x+=，所以1212(1)(1AB AD x x x x-=---=+-=，同理可得AE AF-==．若AB AF AD AE+=+，则AB ADAE AF-=-，=即可，解得12k=-，22k=+，显然1k ，2k 都不符合（*）．所以AB AF AD AE +=+不能成立．18．命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性．解析由题可知()()cos 222sin cos ax b x f x ea b x b -'=--，即()()cos 2222cos cos ax b x f x e b x b x a b -'=-+-．（I ）12a =，1b =，则()c 12os 312c os 2os c x x x x x f e -⎛⎫'=⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭-．由()0f x '<得0os 2c 1x +>，即203x π<<或423x ππ<<；由()0f x '>得0os 2c 1x +<，即2433x ππ<<．因此()f x 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）若()f x 具有单调性，则2222cos cos b x b x a b -+-不变号．设cos u x =，则11u -≤≤，即()2222g u b u bu a b =-+-不变号，由于0b >，因此()g u 是二次函数．若()0g u ≤在[]1,1-恒成立，则()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即2200a b a b ⎧+≤⎨-≤⎩由于0a >，0b >，所以该情形不成立．若()0g u ≥在[]1,1-恒成立，则1021012g b b ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩或()10112g b ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩即12a b ⎫≥>⎪⎭或a 102ab ⎫≥<≤⎪⎭．由于t a b =-，因此()10212,,b b t h b b b ⎧-<≤⎪⎪≥=>恒成立当102b <≤时，()2111244h b ⎫=-+≤⎪⎭（当14b =时等号成立），当12b >时，()1144h b =<<，因此()max 14h b =，故t 的最小值为14．19．命题意图本题考查数列的综合问题．解析（Ⅰ）因为{}n a 的各项均为正数，所以10a >，0q >，11k k k k k a a a q a a q +-=-=-，当1q =时，10k k a a +-=，110n k k k a a +=-=∑，任取0M >即可，所以{}n a 为有界变差数列．当1q ≠时，11121(1),||()|1||1|1n n k k n k a q a a a a a q q q +=--=+++-=--∑L ，若01q <<，则()()1111|1|11nn a q q aq a q --=-<-，令1M a =即可，所以{}n a 为有界变差数列，若1q >，则()()111|1|11nn a q q aq q --=--，当n →+∞时，()11n a q -→+∞，显然不存在符合条件的M ，故{}n a 不是有界变差数列．综上，q 的取值范围是(]0,1．（Ⅱ）由112n n b b ++=，可得111n n nb b b +--=，易知1n b ≠，所以1111111n n n n b b b b +==+---，因此11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1111b =-，公差为1的等差数列，所以11n n b =-，即11n b n=+．所以1111111k k b b k k k k +-=-=-++，1111111111n n k k k k b b k k n +==⎛⎫-=-=-< ⎪++⎝⎭∑∑，所以{}n b 是有界变差数列．（Ⅲ）由有界变差数列的定义可知，1112111n k k n n n n k xx x x x x x x M ++-=-=-+-++-<∑L ，1112121nk k n n n n k y y y y y y y y M ++-=-=-+-++-<∑L ．因为1111112111211n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x M +++-+--≤-=-+-++-≤-+-++-<L L ，所以111n x M x +≤+．111111111111||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x y x y x y x y x y x y y y y y y y ++++++++++++--+--==111111111|()()|||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x y y x x x y y y y y y y +++++++++-----=+ ()1111211n n n n M x y y x x y y +++--≤+因此()()1111112111122111111n n k k k k nk k k k k k k x x M x y y M x M x x M y y y y y y +++===+-+-+-≤+<+∑∑∑∣，所以n n x y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是有界变差数列．。

2024-2025学年山东省菏泽市高三上学期第三次阶段性考试数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）{}2340A x x x =--≥()(){}250B x x x =-->()RA B ⋂=ðA. B. C. D. (1,2)-(2,4)(4,1)-(4,2)-2. 若复数满足，则（ ）z (12i)3i z +=+z =A. B. C. D. 1i+1i-2i+2i-3. “直线与圆有公共点”是“”的（ ）10ax by +-=222x y +=221a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，t 为衰变时间，T 为半衰期，012tTM M ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭0M M 为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种1T 2T 物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）2111T T -=A. B. C. D. 3102415121102435125. 已知，，，则（ ）5log 3a =4log 3b = 1.10.4c =A. B. C. D. a b c<<a c b<<b c a<<c a b<<6. 函数（e 为自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）2()e 11x f x x =+-+A. B. C. D.7. 设是边长为1的正三角形，M 是所在平面上的一点，且满足ABC V ABC V ，则当取最小值时，的值为（ ）2MA MB MC λ++= CA MA MC ⋅λA.B. 3C. D. 212138. 已知函数的定义域为R ，，且当时，()f x 22()()()()f x y f x y f x f y +-=-0x >，则下列正确的是（ ）()0f x >A. 是偶函数B. 是周期函数()f x ()f xC. 当时，D. 当时，10x -<<(2)(2)f x f x -<+01x <<()21(2)f x f x +>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数，则下列结论正确的是（）2()22cos f x x x =-A. 是周期为的奇函数B. 的图象关于点对称()f x π()f x π,112⎛⎫⎪⎝⎭C. 在上单调递增D. 的值域是()f x 5π4π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x [3,1]-10. 如图，在棱长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，P 是正1111ABCD A B C D -11B C 11C D 方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B A A. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEF B. 若平面，则三棱锥的体积为定值//DP CEF P DEF -C. 若P 的轨迹长度为AP =2πD. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π11. 已知点P 满足，点，，，则（ ）||||PA PB =(1,0)A-(1,0)B (C A .当最小时， B.当最大时，PCA ∠||PC=PCA ∠||PC =C. 当面积最大时， D.最大时，面积PAB ||PA=|||PC PA -PAB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，则__________.π1πsin ,0432θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos θ=13. 已知，直线与互相垂直，则的最小值为0b >210b x y ++=()2230ax b y -++=ab __________.14. 若函数的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，则正实数a 的取值范围()2ln ,0,0x x f x ax x x >⎧=⎨+<⎩为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.ABC V 2cos 2a B b c +=（1）求A 的大小；（2）若，，求BC 边上高的长.3b =2c =16. 已知数列满足，.{}n a 12a =132n n a a +=+（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a +{}n a （2）设，求数列的前n 项和.()1n n b n a =+{}n b n S 17. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ACDE 是正方形，四边形FDCB 是梯形，DF 与BC为梯形上底与下底.是等腰直角三角形，直线平面ABC ，ABC V AE ⊥.2AB AC ====（1）求证：平面平面BEF ；BFD ⊥（2）求平面ABF 与平面EBF 夹角的余弦值.18. 已知函数.2)()(e x f x x ax =-（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.()y f x ==1x -y ()y f x =（2）若在只有一个零点，求.()f x (0,)+∞a 19. 设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称{}n a n n S n m n m S a =是“数列”.{}n a H （1）已知数列是等差数列，且，求证：数列是“数列”；{}n a 10a ={}n a H （2）若数列的前n 项和，证明：数列不是“数列”；{}n a ()*21n n S a n =-∈N {}n a H （3）设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求d 的值.{}n a 11a =0d <{}n a H。