高一数学必修五学案：34数列复习学案(1)

4．已知数列 中， ，
（1）求 的通项 ；（2）求 ．
【课堂研讨】
例1已知数列 中，（1） ，求 ；
（2） ，求 ；
（3） ，求 ．
例2.已知数列 中， ，求 的通项 ．
例3.已知数列 中， ，（1）求 的通项公式；
（2）求 的通项பைடு நூலகம்式；（3）求 的前 项和．
例4.已知数列 满足 ，
求 的通项 和前 项和 ．
【学后反思】
课题:数列复习（3）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个数列求其通相公式，这叫做构造法．
例如：在数列 中， ，如何求通项公式？
4．已知数列的前 项和求通项时，常用公式 ，用此公式时应注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和 合为一个表达式。
课题:数列复习专题（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】初步了解通过数列递推公式求通项的方法；初步了解通过数列前 项和 求通项 以及相关内容的方法
【课前预习】
1．如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得 ， （或 ），然后直接套用公式．
2．对于形如 型或形如 型的数列，其中 又是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出 取 到 时的所有递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式．
【课堂检测】
1．已知数列 满足 ，求 的通项 ．
2．根据下列条件求 的通项 ：
（1） ；
（2） ．
【课外作业】
1．已知数列 中， ，求：（1） 的通项 ；
（2）令 ， 的通项 ；（3） 的前 项和

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(2015 湖南)已知 a>0，函数 f(x)＝aexcos x(x∈[0， ＋∞)).记 xn 为 f(x)的从小到大的第 n(n∈N*)个极值点.
(1)证明：数列{f(xn)}是等比数列； (2)若对一切 n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，求 a 的取 值范围.
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(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)求证：数列an·l1n
bn＋1的前
n
项和
1 Tn<2ln
2.
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【解析】(1)依题 y′＝12x2＋12x＋5，x＝－12时，
k1＝2，y＝1，则直线 l 的方程为：y＝2x＋2，依题 an
＝2n＋2.n＝1 时，b1＝S1＝1；n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1
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3.在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)， P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若 1，x1，x2，4 依 次成等差数列，而 1，y1，y2，8 依次成等比数列，则 △OP1P2 的面积是( A )
A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】根据等差、等比数列的性质，可知 x1 ＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4. ∴P1(2，2)，P2(3，4).∴S△OP1P2＝1.
0，得 t＝1.
当 0<t<1 时，g′(t)<0，所以 g(t)在区间(0，1)
上单调递减；
当 t>1 时，g′(t)>0，所以 g(t)在区间(1，＋∞)
上单调递增.
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因为 x1∈(0，1)，且当 n≥2 时，xn∈(1，＋∞)，
xn<xn＋1，所以
[g(xn)]min＝min{g(x1)，g(x2)}＝min{gπ4 ，g5π4 }

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

5.1.1 数列的概念知识点归纳知识点一、数列1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，a n称为第n项．知识点二、数列的通项公式数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．知识点三、数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n . (2)数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n . (3)数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1. (4)数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n . (5)数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1. (6)数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n2. (7)数列1，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n.典例分析一、观察法求数列的通项公式例1 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．(1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解析 (1)a 1＝－3＋0×3，a 2＝－3＋1×3，a 3＝－3＋2×3，a 4＝－3＋3×3，…， ∴a n ＝－3＋(n －1)×3＝3n －6(n ∈N *)．(2)a 1＝2＋1，a 2＝4＋1＝22＋1，a 3＝8＋1＝23＋1，a 4＝16＋1＝24＋1，…， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…， ∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N *)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，…，∴a n ＝(－1)n2n －32n(n ∈N *).答案 见解析归纳总结：根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．二、数列通项公式的简单应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．解析 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，解得n ＝7，或n ＝73(舍)．则－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，解得n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项.答案 见解析自我训练1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列； ③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③D ．①②解析 ①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cos n π等；④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项．故选C.答案 C2．若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A ．110B ．－110C ．190D ．1990解析 依题意知，a 5－a 4＝(15＋1＋15＋2＋…＋12×5)－(14＋1＋14＋2…＋12×4)＝19＋110－15＝190.故选C ．答案 C3．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 答案 A4．已知数列{a n }的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{a n }的通项公式的有( ) ①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；②a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；③a n＝sin 2n π2；④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n 为偶数)，0(n 为奇数). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析 当n ＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n ＝3时不符合，对于⑤显然n ＝1时就不符合，故可作为{a n }通项公式的有3个．故选C.答案 C5．已知下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)，(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋13n －1；③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }为递增数列． 其中命题正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ①a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则a n ＝(－1)n ＋1·3n －1，故②正确； 对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29，故③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 答案 A6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3的值是( )A ．70B ．28C ．20D ．16解析 a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3－1＝8，a 2a 3＝16.故选D ． 答案 D7．若数列{a n }的通项满足a nn ＝n －2，那么15是这个数列的第_____________项．解析 由a nn ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5或n ＝－3(舍去)． 答案 58．已知在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，函数y ＝f (x )的对应关系如下表，则a 2017＝________.解析 由已知条件得a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝2，a 3＝f (a 2)＝f (2)＝4. ∴数列{a n }是周期数列，a n ＋2＝a n ，∴a 2017＝a 1＋1008×2＝a 1＝4. 答案 49．323是数列{n (n ＋2)}的第 项．解析 由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}中的第17项．答案 1710．写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解析 (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)．11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋110.(1)20是不是{a n }中的一项？(2)当n 取何值时，a n ＝0.解析 (1)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝20，即n 2－n －90＝0，∴(n ＋9)(n －10)＝0， ∴n ＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n }中的一项，且为数列{a n }中的第10项． (2)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝0，即n 2－n －110＝0，∴(n －11)(n ＋10)＝0， ∴n ＝11或n ＝－10(舍)，∴当n ＝11时，a n ＝0.12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．解析 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0，1)内．。