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各章知识点整理和复习第一章 热力学的基本定律知识点1、热力学第一定律dU dQ dW =+2、热力学第二定律3、热力学基本方程dU TdS pdV =-4、热力学第二定律的数学表述dU TdS pdV ≤-5、克劳修斯熵BRB A Ad Q S S T-=⎰，玻尔兹曼熵ln S k =Ω 6、熵增加原理。
复习题1、简述热力学第二定律及其统计解释。
参考：热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。
热力学第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。
或第二类永动机不可能。
热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱度）增大的方向进行,系统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵ln S k =Ω，因此系统的熵值增加，即熵增加原理。
2、简述熵增加原理及其统计解释。
参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。
根据玻尔兹曼熵公式ln S k =Ω，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状态数（或混乱度）增大的方向进行。
第二章 均匀物质的热力学性质知识点1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。
dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp=-=+=--=-+ ()()()()()()()()S V S pT V T p T p V ST Vp SS pV T S V p T∂∂=-∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=-∂∂2、麦氏关系的应用。
2、气体的节流过程。
3、特性函数的应用。
4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。
复习题1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致冷效应、致温效应和零效应的原理。
（P57）2、证明能态方程T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
参考：选T 、V 作为状态参量时，有V TU U dU dT dV TdS pdV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭V TS S dS dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 得： V T S S dU T dT T p dV T V ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦比较得： T TU S T p V V ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将麦氏关系T V S p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭代入，即得T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭3、证明焓态方程p TH V V T p T ⎛⎫∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
准费米能级定义准费米能级定义概述：准费米能级是指在费米气体中，由于外界作用下，导致粒子的能量分布出现变化，使得费米面上方存在一些粒子具有较高的能量，这些粒子所处的能量区域就被称为准费米能级。
背景：在固体物理学中，准粒子模型是研究固体电子结构和物性的重要方法。
在这个模型中，将自由电子看作是相互作用较弱的“准粒子”，其运动受到晶格势场和电场势场的影响。
而在费米气体中，也存在类似于准粒子模型的思想。
定义：对于一个费米气体，在绝对零度下，所有粒子都处于基态。
此时费米面上方没有任何粒子存在。
但是当温度升高或者外界施加压力等因素改变了系统状态时，会出现一些高能态的粒子穿过费米面而进入到费米面上方。
这些高能态粒子所处的能量区域被称为准费米能级。
特点：1. 准费米能级属于非平衡态物理过程，在实验中比较难以观测和测量。
2. 准费米能级的存在会影响费米气体的物理性质，例如电导率、热导率等。
3. 准费米能级的位置和形状与粒子数密度、温度、压力等因素都有关系。
因此，在不同条件下，准费米能级的位置和形状也会发生变化。
应用：1. 准费米能级是研究固体材料电子结构和物性的重要方法之一。
2. 准费米能级的存在对于半导体器件中载流子输运过程有着重要影响。
3. 准费米能级还可以用于解释一些物理现象，例如光致发光、光致变色等。
总结：准费米能级是指在外界作用下，粒子的能量分布出现变化，使得费米面上方存在一些粒子具有较高的能量，这些粒子所处的能量区域就被称为准费米能级。
它是固体材料电子结构和物性研究中重要的概念之一。
在实验中比较难以观测和测量，但是其存在对于半导体器件中载流子输运过程有着重要影响。
费米函数是描述费米子统计行为的重要函数之一，在物理学和统计力学中有着广泛的应用。
它通常用于描述费米子的激发态分布和热力学性质。
在弱简并情形下，费米函数的形式具有一定的特点和规律，本文将对这一问题进行探讨。
1. 弱简并情形下费米函数的定义在弱简并情形下，费米能级与费米温度之间的关系可以用费米函数来描述。
费米函数通常用符号 f(E) 表示，它表示在温度为T时，能级E处的费米子的分布概率。
在经典统计力学中，费米函数可以由费米-狄拉克分布导出，其形式为：f(E) = 1 / (exp((E-μ)/(kT))+1)其中，E为能级，μ为化学势，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
2. 弱简并情形下费米函数的近似表达式在弱简并情形下，即费米能级与费米温度之间的差异相对较小的情况下，费米函数可以近似为：f(E) ≈ 1 / (exp((E-μ)/(kT))+1)这一近似表达式在实际物理系统中有着广泛的应用。
在一些热力学性质的计算中，可以通过这一近似表达式来简化问题的复杂度，从而快速获得结果。
3. 弱简并情形下费米函数的物理意义在弱简并情形下，费米函数描述了费米子在低温下的激发态分布规律。
它体现了费米子在外加能级作用下的反应，以及其对温度的敏感程度。
通过对费米函数的分析和计算，可以更深入地理解费米子在低温下的行为特点，对实际物理系统的研究具有重要意义。
4. 实际物理系统中的应用费米函数在实际物理系统中有着广泛的应用。
在凝聚态物理学中，费米函数常被用于描述晶格中的电子状态，以及导体、半导体等材料的电子输运行为。
在核物理学和天体物理学中，费米函数也被用于描述原子核和中子星等系统中费米子的统计行为。
5. 弱简并情形下费米函数的计算方法对于给定的能级E、化学势μ和温度T，可以通过对费米函数的近似表达式进行数值计算来获得费米子在相应能级处的分布概率。
在实际研究中，科学家们通过计算费米函数，可以获得系统的热力学性质，进而对系统的行为特点进行分析和预测。
姓名：学号：班级：费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。
在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。
在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。
由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。
2. 从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。
以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。
N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1ε，2ε，…，l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。
为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。
显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：N all=∑， E a ll l =∑ε才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数B ..M Ω：（1）则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）ωlB M allll N a ∏∏=!!..Ω∏-=ll l l a )!1(!!F.D.ωωΩ3.费米系统的最概然分布：对（2）式取对数，得（其中∑l对粒子的所有量子状态求和）（3）假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为（4）根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。
（5）式给出费米系统在最概然分布下处在能级l ε的粒子数。
能级l ε有l ω个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。
因此在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为（7）4.费米系统的热力学量的统计表达式：如果把βα,和y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：∑∑+==+llll lea N 1βεαω （8）引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：l lell lωβεα]1[--+∏=Ξ∏=Ξ （9）取对数得：∑--+=Ξllle )1ln(ln βεαω（10） 系统的平均总粒子数N 可通过Ξln 表示：Ξ∂∂=ln αN （1） 内能是系统中粒子无规则运动总能量统计平均值：∑∑+==+lll l ll lea U 1βεαωεε （12）类似地可将U 通过Ξln 表为：Ξ∂∂-=ln βU （13） ∑---=Ωll l l l l a a ])!ln(!ln ln ![ln ωωω∑----=Ωll l l l l l l l a a a a )]ln()(ln ln [ln ωωωω1+=+l e a llβεαωN e ll l=+∑+1βεαωEe lll l=+∑+1βεαωε11+=+se f s βεα外界对系统的广义作用力Y 是y εl ∂∂的统计平均值：y εeωa y εY ll βεαl l l l l∂∂-=∂∂=∑∑+1可将Y 过Ξln 表为： Ξ∂∂-=ln 1VY β （14）上式的有一个重要特例是：Ξ∂∂=ln 1VβP （15） 由式④-⑦得：)ln (ln )ln ()(αd αdy y βd βN d βαYdy dU β∂Ξ∂-∂Ξ∂+∂Ξ∂-=+- 注意上面引入Ξln 的是y βα、、函数，其全微分为：dy y βd βαd αd ∂Ξ∂+∂Ξ∂+∂Ξ∂=Ξln ln ln ln 故有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ξ∂∂-Ξ∂∂-Ξ=+-ln ln ln )(ββααd N d βαYdy dU β 上式指出β是N d βαYdy dU +-的积分因子。
在热力学部分讲过，N d Ydy dU βα+-有积分因子T 1，使dS N d βαYdy dU T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1 比较可知kT β1=，kTμα-= 所以：)ln ln (ln Ξ∂∂-Ξ∂∂-Ξ=ββααkd dS 积分得：Ω=++Ξ=Ξ∂∂-Ξ∂∂-Ξ=ln )(ln )ln ln (ln k U βN αk ββααk S 上式就是熟知的玻耳兹曼关系。
它给出熵与微观状态数的关系。
二、理想费米气体的性质：1.弱简并理想费米气体性质弱简并即气体的α-e 或3λn 虽小但不可忽略的情形。
为简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平均自由度。
分子的能量为（16）在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内，分子可能的微观状态数为 （17）其中g 是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。
系统的总分子数满足 （18） 式（18）确定拉氏乘子α。
系统的内能为 （19） 引入变量βε=x ，将上述两式改写为（'18） （'19） 两式被积函数的分母可表为在α-e小的情形下，xe--α是一个小量，可将 展开，只取头两项得（20） 保留展开的第一项相当于将费米气体分布近似为玻尔兹曼分布。
在弱简并的情形，我们将保留两项。
将（20）式带入（'18）式和（'19）式，将积分求出，得（21）（22）两式相除，得 )(21222z y x p p p m++=εεεπεεd m h Vgd D 2/12/33)2(2)(=⎰∞++=02/32/331)2(2βεαεεπe d m h V g U ⎰∞++=02/12/331)2(2x e dx x mkT h V g N απ⎰∞++=02/32/331)2(2x e dx x kT mkT h V g U απ)1(11x x x e e e ----+-=+ααα)1(111x x x e e e --+++=+ααα)211()2(2/32/32ααπ---=e Ve H mkT g N )211()2(2/52/32ααπ---=e Vke H mkTg U x e--+α11⎰∞++=02/12/331)2(2βεαεεπe d m h V g N )2411(23α--=e NkT U由于α-e小，可将上式第二项中的α-e用0级近似，即用玻尔兹曼分布的结果带入而得(23) 或 （'23） 上式第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。
在弱简并情形下附加内能的数值是小的。
费米气体的附加内能为正，量子统计关联使费米粒子之间出现等效的排斥作用。
2.强简并费米气体性质：当气体满足非简并条件1>>αe 或13<<λn 时，不论由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。
弱简并的情形能初步显示二者的差异。
下面再以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并1<<αe 或13>>λn 情形下费米气体的性质。
原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成共有电子。
失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。
在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。
金属的高电导率和高热导率说明金属中自由电子的存在。
但如果将经典统计的能量均分定理应用于自由电子，一个自由电子对金属的热容量将有3K/2的贡献，这与实际不符。
另外，实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。
这是经典统计理论遇到的另一个困难。
而以上问题可以根据费米分布解决。
首先说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体：以铜为例，铜的密度为33109.8-∙⨯m kg ，原子量为63，如果一个铜原子贡献一个自由电子，则:电子的质量为kg 31101.9-⨯，故在T=300K 时，34003=λn ,这数值很大，说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体。
根据费米分布，温度为T 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为：11+=-kTe f με（24）考虑到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V 内，能量ε到εεd +的])2(12411[232/32mkTh V N g NkT U π+=)2411(233λn NkT U +=gmkT h N V e1)2(2/32πα=-2/372/3231054.3)2(n T mkT h V N ⨯==πλ328105.8639.8n -⨯=⨯=m N A范围内，电子的量子态数为：()()εεπεεd m hVd D 2123324=所以在体积V 内，能量ε到εεd +的范围内，平均电子数为：在给定电子数N ，温度T 和体积V 时，化学势μ由下式确定：由上式可知，μ是温度T 和电子密度V N /的函数。
现在讨论K T 0=时电子的分布。
以()0μ表示K 0时电子气体的化学势，由（24）式知，K 0时，()0,1με<=f()0,0μεf >=上式的物理意义是，在K T 0=时，在()0με<的每一量子态上平均电子数为1，在()0με>的每一量子态上平均电子数为0。
这分布可以这样理解：在K 0时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从0=ε的状态起依次填充至()0μ为止。
()0μ是电子K 0时的最大能量，由下式确定：将上式积分，可解得()0μ为：()0μ也常称为费米能级，以F ε表示。
令 ，可得： () 3/123n πp F =F p 是K 0电子气体的最大动量，称为费米动量。
相应速率称为费米速率。
现在对()0μ的数值作一估计。
除质量m 外，()0μ取决于电子气体的数密度n 。
根据前面给出的数据，可以算得铜的()J μ181012.10-⨯=或eV 0.7。
定义费米温度：()0μkT F =得到铜的F T 为K 4102.8⨯，远高于通常考虑的温度，说明()0μ的数值是很大的。
