第5章多自由度系统的数值计算方法

静平衡位置：
k11 m1 g k2 2
则：
,
k2 2 m2 g k3 3
1 2 1 1 2 2 V k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 2 2 2
第5章 两个自由度系统的振动 拉格朗日方程
21
d T d x (m1 x1 ) m11 dt x1 dt d T d x (m2 x2 ) m2 2 dt x2 dt
57两自由度系统的强迫振动第5章两个自由度系统的振动68例在两自由度标准mk系统中设m57两自由度系统的强迫振动第5章两个自由度系统的振动6957两自由度系统的强迫振动第5章两个自由度系统的振动70t545图示系统已知x57两自由度系统的强迫振动第5章两个自由度系统的振动71代入数据求得固有频率为28297机车振动频率为0707070718041276利用前面的方法求得振幅为作业
整理写成矩阵形式即可。
第5章 两个自由度系统的振动
拉格朗日方程
24
【T5-30】 用 拉 格 郎 日 方 程
建立系统微振动微分方程。
解：取静平衡位置为坐
x1
标原点和零势能位置
D1
1 2 T (mx12 mx2 ) 2
1 2 1 1 2 2 V kx1 k D1 k D 2 2 2 2
第5章 两个自由度系统的振动 拉格朗日方程
23
代入拉格朗日方程
得
d T T V Qi dt xi xi xi
m1 1 0 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 (c1 c2 ) x1 c2 x2 x m2 2 0 k2 x1 (k3 k2 ) x2 F2 (c3 c2 ) x2 c2 x1 x

x A sin( t )
( D vE ) A 0
代入动力学方程,得标准特征值问题 2 其中 v 1/
A的非零解条件要求方程的系数行列式为零 D vE 0
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
设
D (d ij ) d11 d12
d n1
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
T
若取 1 1.8 2 相应得到
1 0.3749 k / m
1.720k R( ) 0.1405k / m 12.24m
与精确解 1 0.3730 k / m 的相对误差为0.5% 如何假设模态呢? 一般地,可以系统的静变形作为假设模态 比如右图,可假设在三个 质点处分别作用有mg, mg, 2mg的力,此时三个 质点的位移分别为 4mg/k, 7mg/k, 8mg/k 因此,可假设模态为 4 7 8
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
§ 5.1 邓克利法(Dunkerly) 邓克利法计算基频的近似值为实际基频的下限,它 是由邓克利在用实验确定多圆盘的横向振动固有频 率时提出的. Mx Kx 0 自由振动动力学方程为
左乘柔度矩阵F得
令 D FM 自由振动时
FMx x 0 Dx x 0
trD tr(FM ) f ii mi
i 1 n
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
而特征方程又可以写为
系数
n
(v v1 )(v v2 )
(v vn ) 0
a1 vi
i 1
n
导出

C1
第一主振型
m1
第二主振型
振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。 由此可见： （1）多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时， 多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动(一个坐标即可表示所有质点 位置）。 （2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应； 实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。
k21
22
1
y1(t)
y1(t)
S1
k11
1
k12
Si Si
m11 S1 0 y m2 2 S2 0 y

S k11 y1 k12 y2
' 1
m1 1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 y m2 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 y
2 1 2
X1( 2) X1(1)
X 2( 2) X 2 (1)


12 m1 k 11
k 12
2 2 m1 k 11
1 1 10 C1 n 1 2 4
k 12
C2
1 1 9 n 1 2 4
若 n=90 则第一振型和第二振型分别为： 可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。
l /3
EI l /3 1
l /3
依据公式
**
5 ml3 1 可求： 162 EI 1 ml3 2 486 EI
11
21 1 22
12
则有：
1 2
1 EI 5.692 ml3 1 1 EI 22.045 ml3 2

被指定/计算得到
指定计算热曲线的方式
Individual Heat Curve
参数 区间数（Intervals） 描述 区间的数量
露点/泡点(Dew/Bubble 为相变添加一个露点或泡点到热曲线上（温度为Y Point) 轴，Heat Flow为X 轴) (有相变体系必须选定） 步长类型（Step Type） ������ ������ ������ 独立热曲线 （Individual Heat Curve Details） 等焓（Equal Enthalpy） 等温（Equal Temperature） 自动间隔（Auto Interval.）
逆流换热器 • 当下列假设满足时，可用最简单的表达式确定： 1)两种流体均为定态流动； 2)两种流体以逆流或并流方式流动； 3)在整个换热器内传热总系数保持为常数； 4)每种流体都只有显焓的变化，具有恒定的比热容； 5)热损失可忽略不计。
传热计算方程
Q U A Tm Tm FT f ( R, S ) TLM
四、管程与壳程的确定
第二节 Hysys传热单元模型
• 换热器（Heat Exchanger） – 常规的一股热流与一股冷流的热量交换 • LNG Heat Exchanger – 多股冷流与热流的集中热量交换 • 冷却器/加热器（Cooler/Heater） – 以加热或者冷却工艺物流为目的的热量交换，仅计算 所需热负荷 • 空气冷却器（Air Cooler） – 以空气为冷却介质的热量交换，可计算所需空气量 • 火焰加热炉（加热炉）（Fired Heater (Furnace)） – 可用于计算物料加热或焚烧所需空气量、尾气质量等
二、管壳式换热器的结构
◆管壳式换热器流体的流程
一种流体走管内、称为管程，另一种流体走管外、称为壳程。 管内流体从换热管一端流向另一端一次，称为一程；对U形管换热器， 管内流体从换热管一端经过U形弯曲段流向另一端一次，称为两程.

第5章两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论 ，可以解决机械振动中的一些问题。

但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。

多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别 ，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。

本章主要介绍研究两 自由度系统机械振动的基本方法 。

如图5-1所示。

平板代表车身，它的位置可 以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移 z 及平板的转角v 来确定。

这样，车辆在铅直面内的振动 问题就被简化为一个两自由度的系统 。

国 21-15.1双质量弹簧系统的自由振动5.1.1运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统 。

略去 摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐 标X 1、X 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用 X 1、X 2表示。

两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得m 1x 1 (k 1k 2)x^ —k 2x 2 =0 |m 2x 2 — k 2 亠 k 2x 2 =0(5-1)显然此时k 1 k 2 a -,m 1k 2c _d _m 2但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同这就是两自由度系统的自由振动微分方程。

习惯上写成下列形式 x 1 ax 1x 2 一 bx 2 =0dx 2 =0(5-2)图5-2两自由度的弹簧质量系统(5-7)由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。

较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率5.2.2 主振型将固有频率P 1和P 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比5.1.2固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 x^ A 1 sin( pt亠二)x 2 = A 2 sin( pt 亠：：£)(5-3)或写成以下的矩阵形式X 1A 1T网 n(pt+ot)(5-4)X 2将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组-b-p _| !.A 2(5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即展开后为纠 p 2)=-b d - p 2p 4 -(a d)p 2 ad -be =0(5-6)式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。

2
486 EI
20
3m
例：求图示体系对称振动情况下的频率。 m/2 1 m EI
m m EI 3m m
1
0.25 2 1 0.875
M1
0.5 1
3m
EI 3m
M2
4.5 1.6875 1.125 1 11 0 22 4.5 12 21 M1 , M1 相乘:11 EI EI EI EI 4. m ) ( 4.5 m )2 4(1 3 )m m m 1 ( 11m( 5 22 .6875) 11m1 1.22 2 ) 2 4 (4.51.687521.1252 )2 2 11 22 12 1 1 0相乘 6875 1 1122 MEI 2:1 1.6875( 2 M ,22 22 2 0 2 2 M 10 M2 EI 0 1 M 2 ,.M10相乘或M1 ，M 2 相乘.596 EI , 1 0.943 EI 2 8125 / EI m 0 3 1 2 1 m m 1 2 2 1. /1.125 125m EI 12 21 EI
k21=－k2 ,
k22=k2 ,
k12=－k2
12
3 5 k k 0.38197 2 m m k 2 3 5 k 2 2.61803 2 m m
21
22
2
1 0.61803 2 1.61803
k k
m m
9
求振型： Y11 ω1→第一主振型：
Y21
k 1 k12 2 2k 0.38197 1.618 k k11 1 m1
§10-5 多自由度体系的自由振动
工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析 单层工业厂房 水塔 有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系 进行分析 多层房屋、高层建筑 不等高厂房排架和块式基础

A sin( 0 t )
2. 单自由度系统的小振动
三、复摆系统的自由振动 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
d M mgl sin I 2 d t ( 5 )
d mgl I 2 dt
2
2
M l F
转动正向 O 向外
l
*C
d 2 0 2 dt
2. 单自由度系统的小振动
例2：已知 m, OA=AB=L, 求系统微振动固有频率 解：系统的动能和势能 1 1 1 1 2 2 2 2 T J o mv c J c mv B 2 2 2 2 xc 1.5L cos , yc 0.5L sin , xB 2L cos 1 2 2 2 ~ T ( mL 6mL2 sin 2 ) k 6g 2 3 ~ V 4mgL(1 cos ) m L 2 2 1 1~ 2 ~ 2 m mL mq T m (0) q 3 2 2 1 1~ 2 ~ 2 V (q) V " (0)q k q k 4mgL 2 2
3.1 多自由度系统小振动问题（推导）

ˆ 0 ˆ A ˆ 2M K

本征值问题（求本征值 2 和本征矢量 A ）
f ( 2 ) det k m 2 0
即
k11 m11 2 k21 m21 2 ks1 ms1 2
k12 m12 2
T ——周期，每振动一次所经历的时间。 T
2
0
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
0 —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
2. 单自由度系统的小振动

k 23 k 2 2k1
k3=245MN/m
k 33 k 2 k 3 2k1 2.5k1 4.5k1
2
2015/12/7
第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
一、特征方程法(Characteristic Equation Method)
φ (3) 1 .000 , 1 . 247 ,
0.802
0 . 555
T
T
节点
k3=245MN/m
频率 方程 为
k11 ω2 j m1 k21 k31
k12 k22 ω2 j m2 k32
k13 k23 0 k33 ω2 m j 3
第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法(I) 第十讲：多自由度系统特征值问题求解方法 (I)
频率方程：
K 2 M k1 m1 2 1 k 1 1 0 1 m1 2 3 1. 5 k 1 2 0 2 m 4 . 5 1 .5 1 2 k1 0
x1 : x2 : : xn A1 : A2 : : An
(K i M ) A ( i ) 0
i 1, 2, , n
由于上述方程组的系数行列式为零，该方程是降秩的；对于没有 重根的情况，只有n-1个方程是独立的。
并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状， 整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一 自振频率 k 进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为 主振型(振型) 无阻尼自由振动的解为
(2)系统的运动方程由刚度矩阵表示 设系统的广义坐标列向量为x，则运动微分方程为 为二阶齐次方程 按微分方程理论，设齐次方程的特解为 x j A j sin(ωt θ ) j 1,2, ,n

例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945

解：系统具有一个
第2页 共20页
2010/9/5 21:47
第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
题4-2图
用瞬心法求 ：
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
自由度，选 为广 义坐标。 半圆柱体在任意位 置的动能为：
故 系统具有理想约束，重力的元功为
图中：kx、m 应反向。方程应为
4-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题4-9图所 示。试求机座在图示平面内的运动方程。
第13页 共20页
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
(h) 与运动方程
(i) 两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
4-7 应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
第10页 共20页
题4-7图
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
质量矩阵
刚度矩阵 位移列阵 4-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭 转弹簧的弹性系数为kT，如题4-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位 置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。
（b）
运动的分离体图如图（b）所示。 地震中可设q为微小角度，因此
应用动能定理的微分形式
等式两边同除 ，
，等式两边同除 故微分方程为
若为小摆动
，
动的微分方程为
① ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆

φ
T i
M
x (0)
A i sin i X i (0) X i (0) Aii cosi
Ai
X
i
(0)
2
X i (0)
i
2
tan
i
i X i (0)
X i (0)
第4章 多自由度系统的振动
4.2.7 关于特征根的重根问题
不失一般性，假定某一特征根为二重根：
2 i 1
2 i
系数矩阵的秩等于n－2。
k11
m2
i 11
k12
m2
i 12
k13
m2
i 13
k1n
m2
i 1n
A1i
0
k21
m2
i 21
k31
m2
i 31
k22
m2
i 22
k32
m2
i 32
k23
m2
i 23
k33
m2
i 33
k2n k3 n
m2
i 2n
m2
i 3n
A2i
A3i
00
kn1
m2
i n1
φi c iφi φi / mi* 4.2.6 初始条件
由物理坐标的初始条件确定模态坐标的初始条件：
x(t) φ X (t) φ Ai sin( it i ) X (0) Ai sini
x(0) φ X (0) x(0) φ X (0) X(0) Ai i cos i
φT M x(0) φT M φ X (0) φT M x (0) φT M φ X (0)
(φ3 ) (φ2 )
1 2
0.29357 0.66734

§5-3 两度系统的强迫振动 动力吸振器
两自由度系统有阻尼强迫振动运动微分方程为：
C11 C12 X K11 M11 M12 X 1 1 M 21 M 22 X 2 C21 C22 X 2 K 21 K12 X1 F1 it e K 22 X 2 F2
令 x1 (t ) X 1e it， x2 (t ) X 2 eit
代入上式，得：
2
K M iCX F
Z () K 2 M iC
Zi j Ki j 2 M i j iCi j
令
[Z(ω)]称为阻抗矩阵，其元素
C
C11
C21
K
K11
K 21
§5-2 无阻尼系统的自由振动
对无阻尼系统的自由振动，其运动微分方程为：
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2 k2 x1 0 k2 k3 x2 0
Z 22 F1 Z12 F2 X1 2 Z11 Z 22 Z12
Z 21 F1 Z11 F2 X2 2 Z11 Z 22 Z12
式中利用了对称关系Z12＝Z21。
现考虑图示无阻尼情况，系统运动微分方程为：
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2 k2 x1 F1 sin t k2 x2 0
M11 M 21 M12 m1 0 M 22 0 m2 C12 c1 c2 C22 c2 c2 c2 c3 K12 k1 k2 K 22 k2 k2 k2 k3

多自由度系统的运动微分方程牛顿第二定律矢量建模方法 影响系数法•刚度影响系数法•柔度影响系数法Lagrange方程方法•约束、自由度与广义坐标•Lagrange方程建模方法多自由度系统的运动微分方程牛顿第二定律建模多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模以1m 为研究对象，有()())(1122111221111t F x x c x c x x k x k xm +−+−−+−=&&&&& （1） 以2m 为研究对象，有()())(2232321221212t F x c x k x x c x x k xm +−−−+−=&&&&& （2）将方程(1)、（2）整理可得多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模()[]()[])(1221212212111t F x k x k k x c x c c xm =−++−++&&&& （3） ()[]()[])(2232122321212t F x k k x k x c c x c xm =++−+++−+&&&& （4） 将方程(3)、(4)写成矩阵形式⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(002121322221213222212121t F t F x x k k k k k k x xc c c c c c x x m m &&&&&&即)(t F kx x C xM =++&&& 多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。

象例题中在各个离散质量上建立的坐标系为描述系统的物理坐标系，在此坐标下的系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为系统的物理参数。

第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。

从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。

研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。

很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。

①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。

设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。

质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。

(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。

此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。

这些力的作用方向如图所示。

应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。

(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。

这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。

第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

R′=0
3、自由度及自由度数 (1)自由度：描述相平衡体系所必须指定的最少独立变量。 (2)自由度数F：描述相平衡物系中所必须指定的最少独立变量 数目。如T、P、各相浓度等。 或：在不引起旧相消失和新相生成的前提下，物系(体系)可 以在一定范围内自由变动的强度性质数目。 4、相律 (1)相律定义：解决相平衡物系中F,P,C之间相互关系的规律。
其中3=2－1,所以不是独立的； 为此：S=5，R=2 ③R＇独立浓度限制条件数，对每个独立反应而言
R＇求算方法
如:CaCO3(s)= CaO(s)+ CO2(g),
C+
参加反应各物质处于不同相时,R ' 0; 参加反应物质中有2种或以上物质处于同 一相,且浓度自始至终严格按反应方程式 计量系数反应者,R ' 1, 否则R ' 0
ξ5—2拉乌尔定律和亨利定律
1.拉乌尔定律
(1)定义：定温下，稀溶液中溶剂A的蒸气压PA等于纯溶剂蒸气压
与溶剂的摩尔分数xA的乘积或溶剂蒸气压降低值( 溶剂蒸气压之比等于溶液中溶质的量分数。 (2)公式： 或 )与纯
注意: PA若溶质不挥发,则PA为溶液蒸气压;若溶质挥发,则PA为溶 剂A在气相中的蒸气分压,该定律仅适用于较稀溶液(或理想稀溶
a)当P=1时，F为最大，Fmax=C+1，确定画相图座标数。 b)当F=0时，P为最大，Pmax=C+2，确定最多共存相数。 c)当F<0时,系统处于非平衡态。

ξ5—9单组分系统相平衡
1、水的相图（单组分系统的相图） （1）相图制备依据
描述由实验数据把多相物系状态随温度，压力，等变量变化关系
的图形叫相图。我们讨论的单组分物系为真空纯水，即C=1，令 F=0时，则Pmax=C+2=1+2=3；令P=1时，则Fmax=C-P+2=2；故单组分或（不定积分式） NhomakorabeaP