cl8b第六章-弯曲正应力

五、正应力最大值的确定
1、横截面上：⑴对Z轴对称的截面
t max
m
c ax
z
⑵对Z轴不对称的截面
z
t max
c max
Mym
t ax
Iz Mym
c ax
Iz
M max Wz
2、整个梁上：⑴对Z轴对称的截面
t max
m
c ax
M max Wz
⑵对Z轴不对称的截面
t max
(
My)m
a
t x
Iz
c max
Mz
ydA
A
E y ydA E
A
A
y2dA
E
Iz
M
1 M
EI z
——（弯曲变形计 算的基本公式）
EI z 梁的抗弯刚度。
将上式代入（2）式得：
My
Iz
……弯曲正应力计算公式。
三、注意：弯矩代入绝对值，应力的符号由变形来判断。
当M>0时，Z轴上侧所有点为压应力，下侧所有点为拉应力；
相应比值时，要校核剪应力 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
31
q 3.6kN / m
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m）
A
Fs qL/ 2
L3m
B 木梁如图，[]=7 M Pa，[]=0. 9 M Pa， 试求最大正应力和最大剪应力之比, x并校核梁的强度。
M
-qL/ 2 解：、画内力图求危险面内力
2
Fs A
三、剪应力的强度计算
1、强度条件：
max
F S smax zmax Izb
2、强度计算：
⑴、校核强度，⑵、设计截面尺寸，⑶、确定外荷载。

近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y

第6章 弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P

a
2

h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。

例1：求1-1截面上A、B两点的正应力。
解：（1）1-1截面上的弯矩
F=1kN
M z F 1 q 1 0.5
q=600N/m
20
1300N m
1
A
（2）惯性矩Iz
Iz

bh3 12

0.1 0.153 12
1
1m
2m
B 40
100 y
z 150
2.81105 m4
F l a Fl a
M max 2 2 4
A
max
M max W1
Fl a [ ]
4W1
F

4W1[ ]
l a
A
F
a
B
l
（b）
F/2
F/2
a
B
即
[F ]2

4W1[ ]
l a
l
F l a
横力弯曲与纯弯曲
横力弯曲 —— 剪力FS不为零
（ Bending by transverse force ）
例如AC, DB段
FS
纯弯曲 —— 剪力FS ＝0且 弯矩为常数
（ Pure bending ）
例如CD段
变形几何关系的建立
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验——观察——假定
纯弯曲试验: 取对称截面梁，例如矩形截面梁，在其侧表
—— 梁横截面上正应力计算公式
纯弯曲时梁的正应力
关于中性轴的概念
由静力平衡关系： dA A
FNx
0
z
得： dA E ydA
A
A
x y

E