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弯曲正应力公式

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45钢φ55许用弯曲正应力

45钢φ55许用弯曲正应力

45钢φ55许用弯曲正应力
钢材是一种重要的金属材料，广泛应用于各种建筑、机械、电子等行业中。

然而，在
使用钢材的过程中，为了保证其稳定、安全的使用，需要进行各种测试和计算。

其中一个
重要的因素就是许用应力。

本文将介绍45钢φ55许用弯曲正应力。

① 弯曲应力的定义
弯曲应力是指在受力的物体上，由于其横截面发生曲率而产生的应力。

简单来说，就
是物体在受力的情况下，其截面会发生扭曲和变形，产生一定的应力。

② 许用应力的概念
在材料的设计和使用中，由于各种因素的影响，材料在单独承担某种强度作用时是不
安全的。

因此必须设定一个允许材料在强度作用下所承受的最大应力，称为许用应力。

③ 45钢的特点
45钢是一种中碳合金钢，主要成分为碳、锰和硅等。

特点是硬度高、强度大、韧性好、可加工性好等。

可以用于制造机械零件、轴类、齿轮、螺母等。

σ = M * y / I
其中，M为弯曲力矩，y为截面离中心距离，I为截面惯性矩。

弯曲力矩M的计算公式为：
其中，F为作用在物体上的力，l为作用力的臂长。

截面离中心距离y的计算公式为：
其中，h为圆形截面的直径。

综上所述，45钢φ55许用弯曲正应力可以通过对弯曲力矩、截面离中心距离和截面
惯性矩进行计算，从而得到其许用应力。

总之，许用应力是设计和使用材料时必须考虑的重要因素，针对不同的材料和应用场景，需要根据其特性和要求，进行恰当的计算和控制。

只有这样才能保证材料的安全性和
可靠性，提高使用效率和经济性。

5-03 横力弯曲时的正应力

5-03 横力弯曲时的正应力

5-03 横力弯曲时的正应力
结构对称，载荷对称可以将受力做对称；
弯矩图，左右两端是0，最大弯矩在跨度的中点上，简支梁作用均布载荷，最大弯矩是（q乘l的平方）除以8
对于塑性材料只要找弯矩绝对值最大的面做危险面，距离中性轴最远的点作为危险点，只要这个点满足强度就行。

塑性材料：不管内力图，不管截面形状，找弯矩的绝对
值最大，找距离中心轴不管上下绝对值最大。

只要这点
不超过许用应力就可以了。

强度条件124；
脆性材料内力图都在X轴上方或者下方，这时候危险面
在最大点，这时候，拉的满足拉，压的满足压，两个强
度条件；
内力图上边下面都有，弯矩的正的或负的绝对值最大，
两个面都是危险面，每个面上拉压都校核一遍，四个强
度条件，两个危险面。

工字钢型号和抗弯截面系数有关
脆性材料：1、做内力图；2、确定危险截面；3、最
大正；最大负都是危险截面；4、关于中心轴不对称；
5、一个面上校核2次；
6、一共四个结论。

总结：
1、什么叫纯弯曲？
2、弯曲正应力的分布规律？
宽度：均匀
高度：线性
正弯矩：正弯矩作用下上压下拉
危险点：距离中性轴最远的点
弯曲正应力的计算公式：弯矩乘上点到中性轴的距离；
如果塑性材料，中性轴对称：弯矩除上抗弯截面系数；
强度校核
塑性材料：
脆性材料：面有一个，危险点上下分别校核，如果内力图上下都有，正的绝对值最大，负的绝对值最大定位危险截面，每个面上拉和压分别校核
牢记：弯曲应力同一个面上既有拉又有压。

纯弯曲梁的正应力实验参考书报告

纯弯曲梁的正应力实验参考书报告

《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告一、实验目的1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式二、实验仪器设备和工具3.XL3416 纯弯曲试验装置4.力＆应变综合参数测试仪5.游标卡尺、钢板尺三、实验原理及方法在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为σ= My / I z式中M为弯矩，Iz为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。

为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。

实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。

加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量σ实i=E△ε实i将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。

四、实验步骤1.设计好本实验所需的各类数据表格。

2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变片到中性层的距离yi。

见附表13.拟订加载方案。

先选取适当的初载荷P0（一般取P=10％Pmax左右），估算Pmax （该实验载荷范围Pmax≤4000N），分4～6级加载。

4.根据加载方案，调整好实验加载装置。

5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。

6. 加载。

均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。

实验至少重复两次。

见附表27. 作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。

附表1 （试件相关数据）附表2 （实验数据）载荷 N P 500 1000 1500 2000 2500 3000 △P 500 500 500 500 500 各 测点电阻应变仪读数 µε 4 εP -33 -66 -99 -133 -166△εP -33 -33 -34 -33平均值 -33.252 εP -16 -33 -50 -67 -83 △εP -17 -17 -17 -16 平均值 16.751 εP 0 0 0 0 0 △εP 0 0 0 0 平均值 03 εP 15 32 47 63 79 △εP 17 15 16 16 平均值 16 5 εP 32 65 97 130 163△εP 33 32 33 33平均值 32.75五、实验结果处理1. 实验值计算根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算各点的实验应力值，因1µε=10-6ε，所以各点实验应力计算：应变片至中性层距离（mm ） 梁的尺寸和有关参数 Y 1 －20 宽 度 b = 20 mmY 2 －10 高 度 h = 40 mmY 3 0 跨 度 L = 620mm （新700 mm ）Y 4 10 载荷距离 a = 150 mmY 5 20 弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ）泊 松 比 μ= 0.26惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4σi 实=E εi 实=E ×△εi ×10-62. 理论值计算载荷增量 △P= 500 N弯距增量 △M=△P ·a/2=37.5 N ·m各点理论值计算：σi 理= △M ·y i3. 绘出实验应力值和理论应力值的分布图分别以横坐标轴表示各测点的应力σi 实和σi 理，以纵坐标轴表示各测点距梁中性层位置y i ，选用合适的比例绘出应力分布图。

弯矩M正应力σ

弯矩M正应力σ

常用截面的抗弯截面系数分别为
bh3
b
z
Wz

Iz ymax

12 h
bh2 6
y
2
z
d
y
Wz

Iz ymax

d 4 / 64
d/2

d 3
32
d
z
a
d
D
D
y
Wz

Iz ymax

D3
32
(1a 4)
[例7.1] 图示悬臂梁，横截面为矩形。梁自由端B受 集中荷载F=3.5kN作用，试计算梁的最大弯曲正应力 和危险截面上K点的弯曲正应力。
s max

M max WZ
WZ

IZ ymax

IZ h
2
特点：最大拉应力=最大压应力
s max
s max
②T形截面梁的正应力
s max

M W1
W1

IZ y1
s max

M W2
W2
IZ y2
特点： 最大拉应力≠最大压应力
s max
s max
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
σdA x
σt,max y
横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比
正应力的大小沿截面高度呈线性变化，截面上下边缘处的 正应力绝对值最大，中性轴的正应力为零。
2、纯弯曲梁正应力
（二）正应力公式
变形几何关系 y
物理关系 s E
静力学关系
1 M
EIZ
s E y
s My
在拉区s为正,压区s为负

12第十二讲(弯曲正应力)

12第十二讲(弯曲正应力)

材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。

弯曲应力(剪应力6月9日)(1)

弯曲应力(剪应力6月9日)(1)

[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]

[1 12

8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz

Iz ym a x

26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核

max

M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件

max

(
FQ Sz,max
I z
)max

[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z

A*

yc
b(h 2

y) [ y

h 2
2
y
]
b (h2 24

y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz

1 bh3 12


6FQ bh3
( h2 4

y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。

材料力学第五章 弯曲应力

材料力学第五章 弯曲应力
x
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx

* 式中 S z

A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。

材料力学--弯曲正应力及其强度条件

材料力学--弯曲正应力及其强度条件

C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为

最大弯曲正应力公式_概述及解释说明

最大弯曲正应力公式_概述及解释说明

最大弯曲正应力公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在深入探讨最大弯曲正应力公式，对其进行概述和解释说明。

最大弯曲正应力公式是在工程领域中广泛使用的一种计算方法，用于评估材料在受到弯曲载荷作用时的应变情况。

通过该公式，可以确定材料能够承受的最大弯曲载荷，并从而进行结构设计和材料选型。

1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对最大弯曲正应力公式的介绍和分析：2. 最大弯曲正应力公式概述：首先，将简要介绍什么是弯曲应力和弯曲变形，并进一步阐明最大弯曲正应力的定义。

此外，我们还将重点介绍公式的推导过程及其中所做的重要假设。

3. 解释说明最大弯曲正应力公式的要点：接下来，在这一部分中，我们将阐明如何选择合适的安全系数和强度理论来使用该公式。

同时，我们还会详细解释正应力公式中各个参数的意义，并探讨其在实际工程中的应用和局限性。

4. 其他相关正应力公式讨论与比较：在本节中，我们将对其他相关的正应力公式进行讨论，并与最大弯曲正应力公式进行比较。

具体而言，我们将分析改进型公式和经验公式的优缺点，以及水平方向与垂直方向弯曲主应力的计算方法差异，并对各个公式的适用性和误差进行评估。

5. 结论：文章的最后一部分将对最大弯曲正应力公式进行总结，回顾其解释和适用性。

同时，我们还将讨论目前存在的问题，并提出未来研究方向的建议。

1.3 目的通过本文的撰写和阐述，旨在帮助读者全面了解最大弯曲正应力公式及其相关概念。

在工程实践中正确理解和运用该公式可以有效地预测材料在受到弯曲载荷作用时的行为，为设计安全可靠、经济高效的工程结构提供参考依据。

同时，通过对其他相关公式的比较和分析，读者也能够在实际工程中根据具体情况选择最合适的计算方法。

2. 最大弯曲正应力公式概述2.1 弯曲应力和弯曲变形简介在工程领域中，当物体受到外力作用时，会发生弯曲应力和弯曲变形。

弯曲应力是由于作用在物体上的外部载荷引起的，在物体断面上产生张力和压缩应力。

纯弯曲梁的正应力实验报告

纯弯曲梁的正应力实验报告

姓名：班级：学号：实验报告纯弯曲梁的正应力实验一、实验目的：1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力公式二、实验设备及工具：1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置2.数字测力仪、电阻应变仪三、实验原理及方法：在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：σ=My/I z为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。

贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。

采用增量法加载，每增加等量荷载△P（500N）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i，从而求出应力增量：σ实i=E△ε实i将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。

四、原始数据：五、实验步骤：1.打开应变仪、测力仪电源开关2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。

3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。

按清零键，使测力计显示零。

4.应变仪调零。

按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。

5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。

用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。

以后，加力每次500N，到3000N 为止。

6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。

六、实验结果及处理：1.各点实验应力值计算根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值：σ实i=E△εPi×10-62.各点理论应力值计算载荷增量△P=500N弯矩增量△M=△P/2×a应力理论值计算σ理i=∆M∙YiI z（验证的就是它）3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图以横坐标表示各测点的应力σ实和σ理，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。

正应力计算公式

正应力计算公式

m
0
(M＜0)
0
横截面上的最大正应力：
t

M y1 IZ
,
c

M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
t c max
max

M ymax IZ
ห้องสมุดไป่ตู้

M WZ
Wz

Iz y max
Wz 称为抗弯截面模量
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
三、静力学关系
FN

dA 0
A
M y z dA 0
A
dA
Mz y dA M
A
FN
dA 0
A

E y dA 0

A
ydA 0
A
Sz =yC A = 0 中性轴过形心
M y

z dA
A

0

zE
A
y dA
1.纯弯曲：（CD段）
Fs = 0，M = const
横截面上只有正应力 而无切应力
P
AC
a
P
l
2.横力弯曲：（AC和DB段） Fs P
Fs ≠ 0，M ≠ 0
横截面上既有正应力
又有切应力
M
Pa
P Da B
P
P
CL8TU1
§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系

0

I yz

0
Mz y dA M

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析

M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。

横力弯曲时的正应力计算公式课件

横力弯曲时的正应力计算公式课件

问题二：如何处理复杂的边界条件？
边界条件的处理是难点
在实际工程中，常常会遇到各种复杂的边界条件，如固定、自由、简支、固定+简支等。这些边界条件会对正应力的计算产 生影响。因此，在应用计算公式时，需要充分考虑这些边界条件，并对其进行适当的处理。例如，对于固定+简支的边界条件 ，可以通过引入修正系数来处理。
横力弯曲时的正应力 计算公式课件
• 引言 • 横力弯曲的基础知识 • 横力弯曲的正应力计算公式 • 横力弯曲的正应力计算公式实例
解析 • 公式应用中的常见问题及解决方
案 • 总结与展望
目录
01
引言
主题介绍
主题背景
横力弯曲是工程中常见的受力形 式，正应力计算是分析其受力情 况的关键。
主题意义
掌握横力弯曲时的正应力计算公 式有助于正确分析结构的承载能 力和优化设计。
计算公式的推导
公式推导基于材料力学和弹性力学的基本原理，通过分析横 力弯曲时梁的受力情况和变形形态，推导出正应力的计算公 式。
公式推导过程中涉及到的基本概念包括应力和应变、胡克定 律、弯曲力矩等，通过数学推导和物理分析，得出正应力与 弯矩、剪力和梁的几何参数之间的关系。
计算公式的应用场景
01
该计算公式适用于计算横力弯曲 时梁的正应力，广泛应用于工程 实践中的结构分析和设计。
学习目标
理解横力弯曲的基本 概念和受力特点。
能够运用公式解决实 际工程中的问题。
掌握正应力的计算方 法和公式。
02
横力弯曲的基础知识
横力弯曲的定义
横力弯曲
是指物体在受到与轴线垂直的横向力 的作用下发生的弯曲变形。
定义解释
当一个物体在受到与它的轴线垂直的 力的作用时，这个力会使物体发生弯 曲变形，这个变形就是横力弯曲。

横力弯曲时的正应力计算公式

横力弯曲时的正应力计算公式
a/2
F
a/2
A
C
l/2 l/2
D
B
解： 分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲 应力同时达到最大。
主梁AB的最大弯矩
M maxAB
F (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
M maxCD
Fa 4
由 即
M max AB M max CD
F Fa (l a) 4 4
得
4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长 是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这 层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
o
对称轴
z
目录
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况； 下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称 面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：

y

（6—1）
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。


中性轴必然通过截面形心。 E 1 M EI z sin 0 0 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）

弯曲杆件正应力计算公式课件

弯曲杆件正应力计算公式课件

03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
存在不均匀分布的载荷。
公式应用
需要使用更复杂的公式来计算正应 力，例如能量法、有限元法等。
实际应用
例如，汽车、飞机等交通工具中的 车架、机翼等部件在受到多个方向 的力时，会发生复杂弯曲变形。
考虑材料非线性的弯曲杆件实例分析
材料非线性
材料的力学性质并非是线性的， 而是随着应力的增加而逐渐改变。
公式应用
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
考虑非线性效应和损 伤破坏
未来的研究可以考虑弯曲杆件在 强载和冲击条件下的非线性效应 以及损伤破坏问题。对于这些复 杂问题，需要采用更为精细的分 析方法和数值模拟技术来预测结 构的性能和行为。
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弯曲杆件正应力计算公式课 件
• 杆件弯曲基本理论 • 弯曲杆件正应力计算公式推导 • 弯曲杆件正应力计算公式应用 • 弯曲杆件正应力计算公式的扩展与改进 • 弯曲杆件正应力计算实例分析 • 总结与展望
01
杆件弯曲基本理论
弯曲的概念与基本假 设
弯曲的概念：当杆件承受垂直于其轴线 的力或力矩时，杆件将发生弯曲变形。
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σ = My Iz
(12.4)
物理条件：材料是线弹性材 料所以可以应用胡克定律， 即σ = Eε。线性变化的应变 必然引起线性变化的应力。 因此，如正应变的变化规律 一样，正应力从在中性轴处 的零应力线性地变化到离 中性轴最远处的最大值。
静力学条件：由横截面上正 应力的合力应为零可以确 定中性轴的位置。
ε = a′b′ − ab = (ρ + y)dθ − ρdθ = y
ab
ρdθ
ρ
(12.1)
注意到中性层上的任 意线不改变长度。根据定 义，沿 a′b′的正应变可表示 为：
47
Stresses in Beams
Physical Condition. The material behaves in a linear-elastic manner so that Hooke’s law applies, that is, σ = Eε. A linear variation of normal strain must then be the consequence of a linear variation in normal stress. Hence, like the normal strain variation, normal stress will vary from zero at the member’s neutral axis to a maximum value, a distance farthest from the neutral axis.
Equation 12.4 is often referred to as the flexure formula. It is used to determine the normal stress in a straight member, having a cross section that is symmetrical with respect to an axis, and the moment is applied perpendicular to this axis.
式 12.4 就是弯曲正应 力公式。该式用来确定有不 变的对称横截面的直梁在 受到垂直于梁轴线的力矩 作用下的正应力。
Stresses in Beams
CHAPTER 12 STRESSES IN BEAMS
12.1 The Flexure Formula
The beam is considered to be pure bending when it is subjected to a bending moment without either shearing or axial forces. Further, the beam has a uniform cross section, the cross section is symmetric about a vertical axis, the loads act in the plane of symmetry, and bending takes place in the same plane.
∫ ∫ yσ dA = E y 2dA = M
A
ρA

(12.3)
Here the integral represents the moment of inertia of the cross-sectional area, computed about the neutral axis and symbolized as Iz. Substituting equation 12.2 into equation 12.3,
几何条件：为了探讨材料是 如何变形的，一个离梁端距 离为 x 处，未变形宽度为 dx 的单元体被分离出来。该单 元体的未变形和变形后的 形状如图 12.2 所示。
dx
O1
O2
x
y
a
b
ρ
dθ
y O1 dx O2
a’
b’
Figure 12.2
Notice that any line segment located on the neutral surface does not change its length. By definition, the normal strain along a′b′ is determined as follow,
在弯矩作用下的可变 形杆件变形特性使得杆件 的下半部材料受拉，上半部 材料受压。因此，这两部分 材料的中间一定存在着一 个面，称为中性层，这层上 纵向的材料纤维的长度没 有变化。
由此可得关于应力使 材料产生变形的三个假设。 第一，在中性层上的纵向坐 标 x 长度保持不变。力矩使 梁产生弯曲变形，从而直线 变为在 x-y 对称平面内的曲 线。第二，变形时所有的横 截面保持平面并且与纵向 线垂直。第三，任何横截面 自身的变形将被忽略。
The beam has been loaded by couples to produce pure bending. After the bending moment is determined when the external couples were applied to the beam, the stress distribution on the cross section of a beam needs to be developed.
Figure 12.1 (a)
Figure 12.1 (b)
46
Stresses in Beams
The behaviour of any deformable bar subjected to a bending moment causes the material within the bottom portion of the bar to stretch and the material within the top portion to compress. Consequently, between these two regions there must be a surface, called the neutral surface, in which longitudinal fibres of the material will not undergo a change in length.
The stress in the beam can be determined from the requirement that the resultant internal moment M must be equal to the moment produced by the stress distribution about the neutral axis.
12.1 弯曲正应力公式
当梁上只有弯矩而没 有剪力和轴力作用时为纯 弯曲。并且梁的横截面不变 化，有竖直方向的对称轴， 加载在对称平面内，弯曲也 发生在同一平面内。
力偶加载在梁上产生 纯弯曲。加载后确定了梁内 的弯矩后，需要确定应力在 梁横截面的分布情况。
如图 12.1(a)所示的未 变形的杆，横截面为矩形， 杆上标示纵向线和横向线。 当加载一个弯矩后，标示线 如图 12.1(b)所示。图中可以 看出，纵向线变为曲线，横 向线保持为直线但有一定 的旋转。
From these observations the following three assumptions can be made regarding the way the stress deforms the material. First, the longitudinal axis x, which lies within the neutral surface, does not experience any change in length. Rather the moment will tend to deform the beam so that this line becomes a curve that lies in the x-y plane of symmetry. Second, all cross sections of the beam remain plane and perpendicular to the longitudinal axis during the deformation. And third, any deformation of the cross section within its own plane will be neglected.
σ = Ey ρ
(12.2)
Statics Condition. The position of the neutral axis on the cross section can be located by satisfying the condition that the resultant force produced by the stress distribution over the cross-section area must be equal to zero.
∫Aσ dA
=
∫A
Ey ρ
dA
=
E ρ
∫A
ydA
=
0
Since E/ρ is not equal to zero, then
∫A ydA = 0
This condition can only be satisfied if the neutral axis is also the horizontal centroidal axis for the cross section. Consequently, once the centroid for the member’s cross-sectional area is determined, the location of the neutral axis is known.