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材料力学_邓宗白_纯弯曲时的正应力

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纯弯曲时的正应力

纯弯曲时的正应力
空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ=200
Ｄ1 ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
由
max
M W
32
D13 (1
0.64
)
7.9
104
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102 (1 0.62 ) 2002
0.7
4
由此可见，载荷相同、 max要求相等的条件
M z ydA M
A
纯弯曲时的正应力：公式推导
E y
N dA 0
1
A
M y zdA 0 2 M z ydA M 3
A
A
将应力表达式代入（1）式，得
N
A
dA
E
A
ydA
0
Sz ydA 0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
将应力表达式代入(2)式，得
A z
dA
E
yzdA
2. 纯弯曲时的变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长， 部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
纯弯曲时的正应力：概述
3. 纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为面上无剪应力
（2）纵向纤维间无正应力
纵向纤维无挤压
横截面上只有轴向正应力
纯弯曲时的正应力：公式推导
1. 变形几何关系
M
M
z x
y
中性轴(Neutral Axis)

材料力学第6章

材料力学第6章

M EI z
1
纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式：
My Iz
10
正应力的正负号与弯矩M和坐标y的正负号有关。 实际计算中，可根据梁变形的情况来判断，当横截面 上的弯矩为正时，梁下边受拉，上边受压，所以中性 轴以下为拉应力，中性轴以上为压应力。当横截面上 的弯矩为负时，则相反。 可知，横截面上距中性轴最远的各点处，正 应力值最大。横截面上的最大正应力为：
13
6.1.2
纯弯曲理论的推广
横力弯曲时，梁的横截面上不仅有正应力，而且 有切应力。加载后，梁的横截面将发生翘曲，不 再保持平面。进一步的分析表明，当梁的跨长L与 截面高度之比 L / h 5 时，切应力的存在对正应力 和弯曲变形的影响很小，用纯弯曲时梁横截面上 的正应力计算公式计算的应力，与梁内真实的应 力相比误差很小，能够满足工程问题精度的要求， 且跨高比愈大，误差愈小。
M x y Iz
14
例题6.1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中 力F，已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m，a=2m， F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。
15
解：先求出C截面上弯矩
M C Fa 1.5 103 N 2m 3 103 N m
max
Mymax Iz
令：
Iz Wz ymax
横截面上最大弯曲正应力为：
max
M Wz
11
Wz称为弯曲截面系数，它与梁横截面的形状和尺 寸有关，量纲为 长度3 矩形截面
Iz Wz ymax bh3 2 bh 12 h 6 2
圆截面
3 Iz d Wz 64 d y max 32 2

纯弯曲时梁横截面上的正应力

纯弯曲时梁横截面上的正应力

(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
259
mm
所以a点的正应力为
a
M max ya Iz
375103 259103 65600108
148.1 MPa
例3 图示梁由工字钢制成。许用弯曲正应力[]
＝152 MPa, F＝75 kN，试选择工字钢的型号 。
解: 求约束反力, 作弯矩图 F F F
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 E E y
M z
y dA M
A
E y2dA EIz M
A
Iz
y2dA 为横是梁中性层的曲率表达式。
EIz称为梁的抗弯刚度。
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E y
1 M
EIz
My
示。铸铁的抗拉许用应力为[t]＝30MPa, 抗压 许用应力为[c]＝160 MPa。已知截面对形心轴
z的Iz＝763 cm4, y1＝52 mm。校核梁的强度。
80
20
F1＝9 kN F2＝4 kN
AC
B
D
1m 1m 1m
y1
C
z
120
y2
20
y
80
120 20
y1
解：求约束反力
FA＝2.5 kN, FB＝10.5 kN
52 mm。
B截面
y2
y1
80
C
z
t max
M B y1 Iz
4000 0.052 763 108
27.2 MPa [ t]
FA F1＝9 kN
y 20
FB F2＝4 kN
y2 120 20 52 88 mm

材料力学_邓宗白_纯弯曲时的正应力

材料力学_邓宗白_纯弯曲时的正应力

[例 2] 在相同载荷下，将实心轴改成 smax 相等的空心轴，空心轴内外
径比为 0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
Ｄ
ｄ1
由
σ max
=
M W
π 32
D13
(1
−
0.64
)
=
7.9
×10−4
D1 = 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
-6-
《纯弯曲时的正应力》教案
连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式演示。
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
-1-
《纯弯曲时的正应力》教案
（3）中性轴的位置 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直 于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。
3． 直梁横截面上弯曲正应力公式 σ = My Iz
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
σ = My Iz
4. 导出σ max 的表达式、抗弯截面模量 W 的定义及常用横截面 W 的表达式。
b
σ max
=
Mymax Iz
=M I z ymax
抗弯截面系数( Section Modulus)
z
y d
矩形截面
W = I z = bh3 12 = bh2
查型钢表或用组合法求。
注意：如果中性轴不是横截面对称（如 T 形钢)， ymax 有两个，对应 W 也应有两个。
三、 教学手段
综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。
-2-
《纯弯曲时的正应力》教案
四、 教学方法
问题探索研究式教学方法。

力学实验报告 纯弯曲梁的正应力实验

力学实验报告 纯弯曲梁的正应力实验

-2.93
������5
-5.86
3.5 结果分析
实际值 σ 实(MPa) 5.73 2.47 -0.206 -3.21 -5.81
相对误差(%) 2.26% 15.60% — 9.69% 0.85%
通过计算发现，在误差允许的范围内，大部分各数据符合实际要求。通过σ������ − ������������的关系图可以发现，随着与中性轴距离的增大，对应的应力值也增大，二者成 正比关系，符合梁在纯弯曲时横截面上理论分布规律。
σ1 实 = ������ × Δ̅̅̅���̅���1̅ = 5.73 × 106������������
σ2 实 = ������ × Δ̅̅̅���̅���2̅ = 2.47 × 106������������
σ3 实 = ������ × Δ̅̅̅���̅���3̅ = −0.206 × 106������������
六、实验体会
相对于实验一，在进行实验二的时候对于电测法的使用会有一定的了解和熟 悉度，但由于实验是对实验原理依然不是完全理解，所以做实验时还是存在一定 困难，但是所得到的数据和后期的计算结果还是很让人满意的。
5/5
四、实验数据及其处理
1.1 实验试件参数
应变片至中性层距离（mm）
y1
-20
y2
-10
y3
0
y4
10
y5
20
梁的尺寸和有关参数
宽度 b （mm）
20
高度 h （mm）
40
跨度 L（mm）
600
载荷距离 a（mm）
125
弹性模量 E （Gpa）
206
泊松比 μ
0.26
2.2 实验原始数据

实验七 纯弯曲梁的正应力实验[DOC]

实验七 纯弯曲梁的正应力实验[DOC]

实验七纯弯曲梁的正应力实验[DOC]
实验目的：研究梁的中间点和两端点载荷作用下，现对象梁的变形和应力响应关系；测量梁的悬臂梁跨度；实现双轴载荷下梁的变形和应力的测量。

实验原理：该实验中的梁采用的是纯弯曲（非支承梁），根据应力方程和变形方程，可将变形和应力计算出来；悬臂梁跨径由始及终支点的水平位移量和圆半径决定。

实验仪器：梁材、载荷架、千分表、探头等测试器具。

实验步骤：
1. 将测试材料准备好，将梁安放到载荷架上，并调节支点的位置，使梁跨径恒定。

2. 调节载荷架，给两端点施加线性载荷，以产生纯弯的梁曲线。

3. 使用千分表和探头记录梁曲线的支点位置，从而计算梁跨径。

4. 根据应力方程和变形方程，计算梁中间点和两端点处的应力和变形量。

实验结果：
通过测量和计算，实验获得以下结果：
梁跨度：397 mm
中间点应力：234 MPa
两端点应力：110 MPa。

纯-弯曲梁的正应力实验

纯-弯曲梁的正应力实验本实验旨在研究弯曲梁在受力时的正应力分布情况，通过实验数据的测量及分析，探讨影响梁正应力分布的因素，并对梁的强度进行评估。

1. 实验原理1.1 弯曲梁正应力分析弯曲梁是一种常用的结构元件，例如桥梁、楼层结构等，她受到外力的作用会发生弯曲形变，产生正应力和剪应力。

弯曲梁的正应力是沿着截面法向的应力，在梁的顶部为拉应力，底部为压应力。

正应力的计算公式如下：$$\sigma = \frac{My}{I}$$其中，$\sigma$为正应力，$M$为弯矩，$y$为受力点到截面重心的距离，$I$为截面惯性矩。

弯曲梁正应力的分布情况受到多种因素的影响，主要包括：① 梁材料的弹性模量：弹性模量越大，弯曲梁的刚度越大，相同外力作用下，梁的形变和正应力都会相应减小。

② 梁截面形状和尺寸：梁截面的惯性矩影响正应力的大小和分布情况。

截面抗弯性能越强，正应力越小。

③ 受力位置和方向：受力位置和作用方向是影响正应力大小和分布情况的重要因素。

不同位置和方向的外力作用会导致不同的正应力分布规律。

2. 实验设备和方法本实验采用的主要设备有：弯曲梁试验机、电子天平、千分尺等。

2.2 实验步骤1. 准备弯曲梁样品，将其加工成常用的矩形截面和半圆形截面，分别测量其截面形状和尺寸。

2. 调整弯曲梁试验机，设置好取样位置和取样方式。

3. 将弯曲梁放入试验机，设置试验参数，包括荷重大小、位移速率等。

4. 开始试验，记录每个荷载下的跨中挠度和荷载大小，并计算出弯矩大小。

5. 在试验过程中，用电子天平测量梁的重量，并用千分尺对梁的跨中直径和截面高度进行测量，计算出截面惯性矩。

6. 根据测量数据，计算出每个荷载下的正应力，并绘制出正应力分布图。

3. 结果分析3.1 实验数据记录本实验用常见的矩形和半圆形弯曲梁进行了试验，记录了不同工况下的荷载和跨中挠度等数据。

根据数据计算得出弯矩以及正应力等数据，具体数据结果如下表：1. 矩形截面弯曲梁（1）弯曲梁在起始荷载下出现了微小的振动，但并未发生失稳。

弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)


§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z

纯弯曲时梁横截面上的正应力

截面几何参数的定义，可得
E E Sz N Aσ dA A ydA o ρ ρ
(g)
E I yz E o M y A zσ dA A zydA ρ ρ E E Iz 2 M M z A yσ dA A y dA ρ ρ
(h)
(I)
E E Sz N Aσ dA A ydA o ρ ρ
o1
y
dx
o2
B1
B
B1B为 A B1 的伸长量
AB1
(c)
y (d θ ) AB1 B1 B ε dx O1 O2 AB1
为 A 点的纵向线应变。
C
d
O1 O2 dx 为中性层上纵向线段的
长度 A
o1
y
dx
o2
B1
B
中性层的曲率为
1 dθ ρ dx
(c)
y (d θ ) AB1 B1 B ε dx O1 O2 AB1
画两条相邻的横向线 mm 和 nn ,并在两横向线间靠近顶
面和底面处分别划将条纵向线 aa 和 bb （图5-1 a ） m
a b m n
m a b
n
m
(a)
(b)
根据观察，梁变形后： 1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线； 2. 横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且 与弯曲后的 aa ，bb垂直； 3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短；
m a b m n n a b b m
m
a
m
n
m
a b n
(a)
(b)
平面假设 ：梁在受力弯曲后，原 来的横截面仍为平面，它绕其上的 某一轴 旋转了一个角度，且仍垂 C

材料力学第五章弯曲应力-正应力

A*为距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积
1dA
y
m’ m
n
式中：S z *
A
*
y1dA
为面积A*对中性轴的静矩.
FN1 FN 2
M * Sz Iz M dM * Sz Iz
' '
z
y A1 x
dFS bdx
由平衡方程
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
Fx 0

x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-2
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 160mm d2 130mm, a 0.267m,b 0.16m, F 62.5kN, 材料的许用应力 60MPa .
分析（1）
max
max
M
M
max
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz

M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
y
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
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二、 教学重点和难点
1． 纯弯曲和横力弯曲 （1）纯弯曲 杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。 （2）横力弯曲 杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。
2． 中性层和中性轴 （1）中性层 杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，
称中性层。在教学中以立体图形的方式加以解释。 （2）中性轴 中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的
[例 2] 在相同载荷下，将实心轴改成 smax 相等的空心轴，空心轴内外
径比为 0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
Ｄ
ｄ1
由
σ max
=
M W
π 32
D13
(1
−
0.64
)
=
7.9
×10−4
D1 = 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
-6-
《纯弯曲时的正应力》教案
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
σ = My Iz
4. 导出σ max 的表达式、抗弯截面模量 W 的定义及常用横截面 W 的表达式。
b
σ max
=
Mymax Iz
=M I z ymax
=M W
h
W = Iz ymax
抗弯截面系数( Section Modulus)
z
y d
矩形截面
W = I z = bh3 12 = bh2
横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一 侧为拉应力，另一侧则为压应力。横截面上最大正应力
σ max
=
M W
其中 W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的 W 计算公式：
（1） 矩形截面 （2） 实心圆截面 （3） 空心圆截面 （4） 型钢
W = bh2 6
W = πd3 32
W = π D3 (1−α 4 ) 32
是从纯弯
梁推得，
能否适用于横力弯曲？
P a
P a
CA Q
\A MP
A C
\
BD P
⊕ B Dx
BD Pa
讨论 4 目的：承上启下，引出如何计算横力弯曲时的正应力，为下堂课的内 容埋下伏笔。
-9-
A空 A实
=
π 4
D12 (1−α π D2
2)
= 2102 (1− 0.62 ) 2002
= 0.7
4
由此可见，载荷相同、 σmax要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。 火车车轮轴
如何设计车轮轴的横截面? 中间段可以采用空心圆截面节省材料。
（四） 结论与讨论
1．首先回顾本堂课的内容，作小结；
本堂课得到了纯弯曲时横截面上应力计算公式以及最大应力的表达式：
h2 h2
6
实心圆截面
W = Iz d2
= πd 4 64 d2
= πd 3 32
空心圆截面
W = πD3 (1−α 4 ) 32
α=d D
型钢
可查型钢表或用组合法求
z
yD d
z y
h
z
b
-5-
《纯弯曲时的正应力》教案
（三）例题讲解
在例题的讨论中回答引例提出的问题，达到首尾呼应的目的。
[例 1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于 200mm 的实心圆，
试计算轴内横截面上最大正应力。
Ｄ 30 kN·m
L
分析： 纯弯曲
σ max
=
M W
M
30 kN·m ⊕
解：
（1）计算W
W = π D 3 = π × 2003 ×10−9 = 7 .9 × 10 −4 m 3
32
32
（2）计算σ max
σ max
=
M W
=
30 ×103 7.9 ×10−4
= 38.2 MPa
3. 利用静力平衡方程得到横截面上正应力计算公式，并由轴力 N=0 确定中 性轴的位置。
-4-
《纯弯曲时的正应力》教案
∫ N =
σ
A
dA =
E ρ
∫ ydA
A
=0
Sz = ∫ ydA = 0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
∫ ∫ M = y σ dA = E y 2 dA
A
ρA
1= M ρ E Iz
讨论 3：如梁由两种材料粘接而成，横截面如图所示，如何推导横截面上正应力 计算公式？
M
M
E1 A1
E2 A2
-8-
《纯弯曲时的正应力》教案
讨论 3 目的：叠梁问题，有一定的难度，启发学生积极思考，鼓励学生以小 论文的方式展开讨论。
讨论4：如何计算
AC
段和
BD
段上应力？正应力计算公式σ
= My Iz
σ = E y = My ρ Iz
1= M ρ E Iz
没有关系。
讨论 1 目的：给学生灌输正确的力学观念：弯曲正应力与材料弹性模量无关。 以后在做科学研究时，可以用便宜的材料代替贵的材料，所得到的弯曲正应力的
结果可直接应用。
讨论 2：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？
“ ” •
（1）平截面假设( Plane Assumption ) (a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面; (b) 仍垂直于变形后梁的轴线
（2）纵向纤维间无正应力
（二）推导纯弯曲时横截面上的正应力公式
1. 利用变形几何关系推导出横截面上的应变。
b1'b2' = (ρ + y)dθ
b1b2 = dx = O1O2 = O1'O2' = ρ dθ
2．以模型演示的方式，引导学生观察实验现象，自己总结出纯弯曲变 形特征；并引出基本假设。
部分纵 段缩短。
纯弯曲变形特征： （1）各纵向线段弯成弧线，且
向线段伸长，部分纵向线
（2）各横向线相对转过了一个 角度, 仍保持为直线。
（3）变形后的横向线仍与纵向 弧线垂直。
-3-
《纯弯曲时的正应力》教案
纯弯曲时的基本假设
d
h
b
以
二
分
为
宋
厚 。
凡 梁 之 大 小 ，
各
李 诫 《 营 造 法 式 》
随 其 广 分 为 三 分 ，
意为矩形梁木的高:宽=3:2。试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面 梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
讨论 2 目的：从古代建筑中梁构件出发，博古引今，调动学生积极性，利用 刚学习的知识去解决实际问题并考证前人总结的经验。
σ = My Iz
σ max
=
M W
结论 1） 直梁发生纯弯曲变形，横截面上正应力沿横截面高度上线性分布。 此外还得到变形后梁的轴线方程：
1= M ρ E Iz 结论 2） 直梁发生纯弯曲变形，变形后梁的轴线的曲率与弯矩成正比。
2．提出四个讨论题
-7-
《纯弯曲时的正应力》教案
讨论 1： 纯弯曲时横截面上正应力大小与梁的弹性模量 E 有关系否？
查型钢表或用组合法求。
注意：如果中性轴不是横截面对称（如 T 形钢)， ymax 有两个，对应 W 也应有两个。
三、 教学手段
综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。
-2-
《纯弯曲时的正应力》教案
四、 教学方法
问题探索研究式教学方法。
五、 讲课内容
（一）概述 1．以火车车轮轴上的应力计算及横截面设计的问题作为引例，调动学 生学习兴趣，并介绍纯弯曲及横力弯曲的概念，从而引入纯弯曲时的应 力分析。 如何简化出火车车轮轴的力学模型? 如何计算火车车轮轴内的应力? 如何设计车轮轴的横截面?
ε = (ρ + y)dθ − ρ dθ = y
ρ dθ
ρ
dx
O1
y b1
O2 b2
ρ dθ
M O1'
y b1'
M O2'
b2'
2. 由物理关系得到横截面上应力的分布规律。
σ = Eε
M
σ =E y ρ
中性轴 z
O
Байду номын сангаас
x
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离 成正比。即沿截面高度，弯曲正应力按线性规律变化。
连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式演示。
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
-1-
《纯弯曲时的正应力》教案
（3）中性轴的位置 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直 于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。
3． 直梁横截面上弯曲正应力公式 σ = My Iz
《纯弯曲时的正应力》教案
《纯弯曲时的正应力》教案
南京航空航天大学 刘荣梅
一、 教学目标
1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。 2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。 3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。 4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学
生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。