第３４卷第１８期中国机械工程V o l ．３４㊀N o ．１８２０２３年９月C H I N A M E C HA N I C A LE N G I N E E R I N Gp p．２１４３Ｇ２１５２负载条件下R V 减速器动态传动误差分析与试验许立新１,２㊀夏㊀晨２㊀杨㊀博２１．重庆大学高端装备机械传动全国重点实验室,重庆,４０００４４２．重庆大学机械与运载工程学院,重庆,４０００４４摘要:目前R V 减速器传动精度出厂标定值是在空载条件下检测的,难以反映扭矩加载条件下的真实精度性能,为有效揭示负载作用下R V 减速器动态传动误差特性,考虑关键传动件几何形状与位置度多源误差因素影响,提出了两曲柄轴标准型R V 减速器接触多体系统动力学理论模型.在建模中,针对R V 减速器传动结构特点,首先完成整机动力学参数化建模架构设计,然后针对第一级渐开线齿轮传动㊁第二级摆线针轮传动以及多组转臂轴承和支承轴承部分,提出详细的动态接触分析方法;在此基础上,以R V ２０E 减速器为对象,探讨扭矩负载作用下减速器动态传动误差特性.研究结果表明,随着负载扭矩的增大,减速器传动误差幅值不断增大,但幅值增长率逐渐减小;相比于空载情况,额定扭矩下的减速器传动误差计算增幅为７３．１％,试验测试增幅为５８．９％.关键词:R V 减速器;摆线传动;接触分析;动态传动误差;轴承中图分类号:T H １１３;O ３１３D O I :１０．３９６９/j ．i s s n ．１００４ １３２X．２０２３．１８．００１开放科学(资源服务)标识码(O S I D ):A n a l y s i s a n dT e s t o nD yn a m i cT r a n s m i s s i o nE r r o r s o fR VR e d u c e r s u n d e r L o a dC o n d i t i o n sX U L i x i n １,２㊀X I A C h e n ２㊀Y A N GB o２１．S t a t eK e y L a b o r a t o r y o fM e c h a n i c a lT r a n s m i s s i o n ,C h o n g q i n g U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g ,４０００４４２．C o l l e g e o fM e c h a n i c a l a n dV e h i c l eE n g i n e e r i n g ,C h o n g q i n g U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g,４０００４４A b s t r a c t :F o r t h e c u r r e n tR Vr e d u c e r t r a n s m i s s i o n a c c u r a c y f a c t o r y ca l ib r a t i o n v a l u ew a s d e t ec t ed u n de rn o Ｇl o a d c o n d i t i o n s ,i tw a s d if f i c u l t t o r e f l e c t t h e r e a l a c c u r a c y p e r f o r m a n c e u n d e r t o r q u e l o a d i n gc o nd i t i o n s ,i no r de r t o ef f e c t i v e l y r e v e a l t h e d yn a m i c t r a n s m i s s i o ne r r o r c h a r a c t e r i s t i c so f t h eR Vr e Ｇd u c e r s u n d e rt h ea c t i o no ft h el o a d ,at h e o r e t i c a ld y n a m i c m o d e lo fc o n t a c t m u l t i Ｇb o d y s ys t e m o f s t a n d a r dR Vr e d u c e rw i t h t w o c r a n k s h a f t sw a s p r o p o s e d ,w h i c h t o o k t h em u l t i Ｇe r r o r f a c t o r s o f ge o m Ｇe t r y a n d p o s i t i o n of k e y t r a n s m i s s i o n p a r t s i n t o c o n s i d e r a t i o n ．I n o r d e r t o e f f e c t i v e l y r e v e a l t h e d yn a m Ｇi c t r a n s m i s s i o ne r r o r c h a r a c t e r i s t i c so fR Vr e d u c e r su n d e r l o a d ,d u r i n g m o d e l i n g ,f i r s t l y,t h e p a r a Ｇm e t r i cm o d e l o f t h ew h o l e r e d u c e rw a s d e s i g n e d a n d c o m pl e t e d f o r t h eR Vr e d u c e r t r a n s m i s s i o n s t r u c Ｇt u r e c h a r a c t e r i s t i c s ．S e c o n d l y ,ad e t a i l e dd y n a m i cc o n t a c t a n a l y s i sm e t h o dw a s p r o p o s e dc o n s i d e r i n gi n v o l u t e g e a r d r i v e o f t h e f i r s t s t a g e ,c y c l o i d a l Ｇp i n d r i v e o f t h e s e c o n d s t a g e ,a n dm u l t i pl e s e t s o f t u r n Ｇi n g Ｇa r mb e a r i n g s a n d s u p p o r t b e a r i n g s ．T h u s ,t h e d yn a m i c t r a n s m i s s i o n e r r o r c h a r a c t e r i s t i c s o f r e d u c Ｇe r u n d e r t o r q u e l o a dw e r ed i s c u s s e d t a k i n g R V ２０Ea s t h eo b je c t ．T h e r e s u l t s s h o wt h a tw i t ht h e i n Ｇc r e a s e of l o a d t o r q u e ,t h e t r a n s m i s s i o ne r r o r a m p l i t u d e s o f r e d u c e r a r e i n c r e a s i ng ,b u t th e a m pl i t u d e g r o w t h r a t e i s d e c r e a s i n g ．C o m pa r e dw i t hn o Ｇl o a d c o n d i t i o n s ,t h e i n c r e a s eo f t h e o r e t i c a l t r a n s m i s s i o n e r r o r s o f t h e r e d u c e r s u n d e r r a t e d t o r q u e i s a s ７３．１％,a n d t h e i n c r e a s eo f e x p e r i m e n t a l t r a n s m i s s i o n e r r o r s u n d e r r a t e d t o r qu e i s a s ５８．９％．K e y wo r d s :R Vr e d u c e r ;c y c l o i d a l t r a n s m i s s i o n ;c o n t a c ta n a l y s i s ;d y n a m i c t r a n s m i s s i o ne r r o r ;b e a r i n g收稿日期:２０２３０２２２基金项目:国家自然科学基金(５２０７５０５２);广东省重点领域研发计划(２０２０B ０９０９２６００３)０㊀引言R V 减速器因其具备高精度㊁高刚性和小体积㊁大速比等优异传动性能,被广泛应用于工业机器人㊁精密机床等智能机械装备中.传动精度是R V 减速器最重要的性能指标,也是R V 减速器产品在出厂前必须检测并标识的关键性能参数.目前,R V 减速器传动精度的测试与评价是在空载条件下进行的,无法反映减速器在负载情况下的真实传动精度性能.工程应用表明,随着工作负载的施加,R V 减速器传动误差将增大,远远超出产品出厂标称指标,因此,如何考虑负载作用,揭示关键传动件公差设计与R V 减速器动态传动误差之间的映射规律,从而准确评估R V 减速器３４１２ Copyright ©博看网. All Rights Reserved.传动精度性能,是目前亟须解决的一个非常重要的理论难题.近年来,众多学者围绕R V减速器传动误差建模开展了大量的研究工作.Y A N G等[１]建立了考虑多曲柄轴过约束传动结构影响的R V减速器传动误差等价模型,模型中将关键传动件制造误差等效为杆长误差模型,该模型的准确性得到了试验验证.基于静力学理论,L I等[２]建立了考虑齿廓修形和输出柱销间隙影响的R V减速器摆线针齿传动齿廓接触分析(t o o t hc o n t a c ta n a l yＧs i s,T C A)模型,对摆线传动静态传动误差进行了分析.基于T C A分析模型,S H I H等[３]分析了齿廓修形和针齿销位置度加工误差对摆线传动精度和回差特性的影响.L I N等[４]针对摆线传动提出了一种新的运动误差分析方法,该方法采用蒙特卡罗模型对传动件公差设计进行优化,可以获得摆线减速器较高的传动精度.S U N等[５]提出了一种改进型T C A分析方法,并针对国产新型摆线减速器(C h i n ab e a r i n g r e d u c e r,C B R)进行了传动误差分析.考虑摆线齿轮制造误差的影响,L I 等[６]分析了R V减速器摆线针轮传动特性,探讨了摆线针轮啮合接触状态与减速器传动误差之间的映射规律.针对R V减速器高精度装配问题, C HU等[７]提出了基于遗传算法的零部件精度选配设计方法并验证了该匹配方法的可行性和有效性.李兵等[８]采用作用线增量法,建立了R V减速器传动误差分析模型,研究了各个构件的原始误差对输出转角误差的影响规律,揭示了各个构件原始误差的传递过程.上述研究主要基于运动学或静力学理论研究R V减速器传动误差特性.在R V减速器动力学建模以及动态传动误差研究方面,韩林山等[９]综合考虑各传动零件的加工误差㊁安装误差㊁配合间隙及齿轮啮合刚度㊁轴承刚度等因素影响,建立了R V减速器的动态传动精度计算模型,完成了R V 减速器全局误差敏感性分析[１０].郑钰馨等[１１]采用集中质量法建立了五自由度纯扭转R V减速器动力学模型,分析了传动系统在启动和稳定过程中各部件的动态响应曲线以及整机传动误差频谱图.R E N等[１２]建立了R V减速器多自由度非线性动力学模型,研究了不同修形间隙下减速器转角位移和转速随时间的变化规律.将多体动力学方法与有限元方法相结合,C A O等[１３]提出了一种考虑刚柔耦合作用的R V减速器动力学分析方法,研究了几何误差与构件弹性变形之间的耦合效应对系统动态传动精度的影响.在前期研究中,笔者基于接触多体动力学理论,考虑多曲柄轴过约束传动结构影响,建立了R V减速器摆线针轮传动机构的参数化动力学模型,研究了摆线修形齿隙和滚针轴承间隙对传动系统动态响应的影响[１４].考虑输出扭矩负载作用的R V减速器动态传动精度分析必须依据动力学方法.基于前期研究,笔者提出建立两曲柄轴标准型R V减速器接触多体系统整机动力学模型,模型考虑渐开线齿轮传动㊁摆线针轮传动以及多组转臂轴承和支承轴承动态子结构对传动精度的影响.此外,给出了R V减速器关键传动件如曲柄轴㊁摆线轮和针轮的几何形状误差与加工位置度误差表达方法.通过接触多体动力学分析,探讨了负载扭矩变化对R V减速器动态传动误差的影响规律.最后,通过试验对动力学模型的精度以及分析结果的准确性进行了验证.１㊀R V减速器接触多体动力学建模１．１㊀R V减速器整机动力学建模架构设计R V减速器传动原理如图１a所示,以两曲柄轴标准型R V减速器为对象,在多体系统动力学理论框架下,建立其整机动力学模型架构如图１b 所示.建模过程中完整地考虑了R V减速器第一级渐开线齿轮传动和第二级摆线针轮传动子结构,同时考虑了多组转臂轴承和支承轴承的影响.模型中,假设行星齿轮与所在曲柄轴为同一个运动构件,输出盘与压紧盘为同一个运动构件(又称为输出行星架).传动系统中共包括六个运动刚体,分别是一个输入齿轮轴㊁两组行星齿轮与曲柄轴组件㊁两片摆线轮和一个输出盘与压紧盘组件.图１b中,ωp表示输入齿轮轴转速,ωg表示行星齿轮转速,ωo表示输出盘转速,T l o a d表示减速器负载扭矩.传动系统广义坐标共１８个,具体表示为q＝(x p,y p,θp,x A g,y A g,θA g,x B g,y B g,θB g,x a c,y a c,θa c,x b c,y b c,θb c,x o,y o,θo)T(１)式中,(x p,y p,θp)为输入齿轮轴广义坐标;(x A g,y A g,θA g)㊁(x B g,y B g,θB g)分别为两组行星齿轮A㊁B与曲柄轴组件的广义坐标;(x a c,y a c,θa c)㊁(x b c,y b c,θb c)分别为摆线轮a和摆线轮b的广义坐标;(x o,y o,θo)表示输出盘与压紧盘组件的广义坐标.系统质量矩阵可以表示为Μ＝d i a g(m p,m p,I p,m g,m g,I g,m g,m g,I g,m c,m c,I c,m c,m c,I c,m o,m o,I o)(２)式中,m p㊁I p分别为输入齿轮轴的质量和转动惯量;m g㊁I g分别为行星齿轮与曲柄轴组件的质量和转动惯量;m c㊁I c分别为摆线轮的质量和转动惯量;m o㊁I o分别为输出盘与压紧盘组件的质量和转动惯量.４４１２中国机械工程第３４卷第１８期２０２３年９月下半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀(a )R V 减速器传动原理㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(b )R V 减速器动力学建模图１㊀R V 减速器传动原理及其动力学建模架构设计F i g ．１㊀T r a n s m i s s i o n p r i n c i p l e a n dd y n a m i cm o d e l l i n g a r c h i t e c t u r e d e s i gno fR Vr e d u c e r ㊀㊀系统约束方程可以表示为Φ＝x p y p x o y o θp －ωpt ìîíïïïïïïüþýïïïïïï＝０(３)式中,t 为时间.上述约束方程的作用在于保证减速器的输入齿轮轴和输出行星架仅保留回转自由度,同时约束输入齿轮轴以ωp 匀速转动.系统中其他各传动构件的运动特性将由构件彼此之间的动态接触特性决定.传动系统的动力学方程可以表示为M ΦTq Φq ０éëêêùûúúq ㊆λéëêêùûúú＝Q G －(Φq q )q q －２Φqt q －Φt t éëêêùûúú(４)其中,Φq 为约束方程雅可比矩阵;q为系统广义速度矢量;q㊆为系统广义加速度矢量;λ为拉格朗日乘子;Q G 为系统广义力矢量,Q G 中包括重力㊁负载扭矩以及构件之间的接触力;Φq t 为约束方程雅可比矩阵关于时间求导;Φt t 为约束方程关于时间二阶求导.１．２㊀第一级渐开线齿轮传动部分接触建模针对两曲柄轴R V 减速器行星齿轮传动部分,建立其动力学模型如图２所示,轮齿之间的接触作用采用等效弹簧模拟.图中,坐标系O X Y 为全局坐标系,o p x p y p 为输入齿轮轴局部坐标系,o A gx A gy A g㊁o B g x B g y Bg 分别为行星齿轮与曲柄轴组件的局部坐标系,K t 为齿轮时变啮合刚度,C t 为啮合阻尼,b t 为传动中齿轮副齿侧动态间隙.主从动齿轮分度圆半径分别表示为R p 和R g ,R v 表示两个行星齿轮理想情况下的分布圆半径.此外,由于行星齿轮所在曲柄轴考虑了支承轴承弹性影响,行星齿轮中心存在弹性跳动,这也导致了齿轮传动实际中心距存在时变特性.因此,用矢量e Ap g 和e B p g 分别表示两组行星齿轮中心的径向跳动位置矢量,矢量a A p g 和a Bp g 分别表示主从动轮之间两组理想中心距矢量,矢量a ᶄA p g 和a ᶄB p g 分别表示主从动轮之间两组实际中心距矢量.图２㊀R V 减速器渐开线齿轮传动建模F i g ．２㊀I n v o l u t e g e a r t r a n s m i s s i o nm o d e l i n g ofR Vr e d u c e r 由于在两对齿轮传动中,啮合相位以及从动轮中心跳动量不完全一致,因此模型中齿轮副啮合刚度K t ㊁啮合阻尼C t 和齿侧动态间隙b t 的取值规律会不同.根据渐开线几何性质,齿轮副动态齿隙b A ,B t可表示为[１５]bA ,Bt＝(２πR ᶄA ,BP Z p－s ᶄA ,B p ㊀－s ᶄA ,B g ㊀)c o s αᶄA ,B ＋b o (５)式中,R ᶄA ,BP ㊀为与行星轮A 和行星轮B 分别啮合时的主动轮节圆半径;Z p 为主动轮齿数;s ᶄA ,B p ㊀㊁s ᶄA ,B g ㊀分别为主从动齿轮的节圆齿厚;b o 为初始齿侧间隙;αᶄA ,B 为啮合角.啮合角与实际中心距之间的函数关系可表示为αᶄA ,B ＝a r c c o s (a a ᶄA ,Bc o s α)(６)５４１２ 负载条件下R V 减速器动态传动误差分析与试验许立新㊀夏㊀晨㊀杨㊀博Copyright ©博看网. All Rights Reserved.式中,a 为齿轮理想中心距;a ᶄA ,B 为行星轮A 和行星轮B实际中心距;α为标准压力角.由式(５)和式(６)可得齿轮副动态齿侧间隙表达式为b A ,Bt ＝２a c o s α(i n v (αᶄA ,B )－i n v (α))＋b o(７)式中,i n v ()为渐开线函数.齿轮啮合线方向上的相对位移可表示为g A ,Bt＝(R ᶄp θp －R ᶄg θA ,Bg )c o s αᶄA ,B ＋e A ,B x c o s αᶄA ,B ＋e A ,By s i n αᶄA ,B (８)式中,e A ,B x ㊁e A ,By分别为行星齿轮中心在坐标轴方向上的跳动量.采用齿侧间隙函数f A ,Bt 判断齿轮副在啮合过程中的接触状态,则有[１５]f A ,B t ＝g A ,Bt ㊀㊀㊀㊀㊀㊀g A ,Bt ȡ００－b A ,B t ＜g A ,Bt ＜０|g A ,B t ＋b A ,B t |g A ,B t ɤ－bA ,Bt ìîíïïï(９)当满足g A ,Bt ȡ０时,主从动齿轮处于齿面接触传力状态;当－b A ,B t ＜g A ,Bt ＜０时,齿轮处于脱离接触非传力状态;当g A ,B t ɤ－b A ,B t时,齿轮处于齿背接触传力状态.齿轮副时变啮合刚度K A ,Bt 可以采用以下公式进行简化计算:KA ,Bt＝k m ＋k ac o s (ωm t ＋φA ,B)(１０)式中,k m 为平均啮合刚度;k a 为时变啮合刚度幅值;ωm 为齿轮啮合频率;φA ,B为变刚度初始相位角.设定齿轮副啮合阻尼CA ,Bt随着齿侧间隙函数的变化而变化,具体如下:C A ,B t ＝０㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀f A ,Bt＜d ０C m f A ,B t －d ０d １－d ０d ０ɤf A ,Bt ɤd １C m f A ,B t ＞d １ìîíïïïï(１１)式中,C m 为啮合阻尼给定值;d ０㊁d １为接触深度临界值,d １＞d ０.齿轮副动态接触啮合力可采用下式计算[１５]:F A ,B ＝K A ,B t (f A ,B t )１０/９＋C A ,B t gA ,Bt(１２)式中,gA ,B t 为啮合线上的相对速度.１．３㊀第二级摆线针轮传动部分接触建模以摆线轮a 为例,摆线轮与针轮之间的接触分析模型如图３所示.图中,坐标系o a c x a c y ac 为摆线轮a 局部坐标系,位于摆线轮几何中心.在广义坐标系下,各针齿中心P j 的位置矢量为r P j .摆线齿廓上点Q i 的位置矢量可以表示为r Q i ＝r a c ＋A a c s Q i c(１３)式中,r ac 为摆线轮局部坐标系原点在广义坐标系下的位置矢量;s Q i c 为摆线齿廓点在局部坐标系下的位置矢量;A a c 为坐标转换矩阵,用于描述摆线轮局部坐标系在广义坐标系下的方位;i 为摆线齿廓离散点序号.摆线轮齿廓与各个针齿销中心之间的相对位图３㊀摆线针轮接触分析模型F i g ．３㊀C o n t a c t a n a l y s i sm o d e l o f c y c l o i d a l pi n w h e e l 置矢量可以表示为d a i j ＝rQ i －r P j (１４)式中,j 为针齿销序号.在动力学计算中,将式(１４)执行i ˑj 次循环计算,即可完成某一瞬时下摆线轮与针轮之间的接触分析.摆线齿廓与各个针齿销是否形成接触的判定条件为d ai j －r r p ɤ０(１５)式中,r r p 为针齿销半径.形成接触后,弹性接触变形可以采用下式计算:δa i j ＝| d ai j －r r p |(１６)在接触分析过程中,通过针齿销数与摆线齿廓点数的循环计算遴选出各针齿销与摆线齿廓之间的最大接触变形量δai j ma x ,进而获得摆线齿廓点与针齿销中心之间的最小相对位置矢量d ai j mi n ,如图３所示.对应各个针齿销,接触线方向单位法矢量可以表示为n a j ＝d a i j m i n / d ai j mi n (１７)在接触线作用方向,摆线齿廓与针齿销相对法向速度可计算为v n a j ＝(rQ i －r P j )T n a j (１８)其中,rQ i 为摆线齿廓点速度矢量;rP j 为针齿销中心速度矢量,由于假设针齿销位置固定不运动,因此存在r P j ＝[０㊀０]T ;n a j 为接触线方向单位法矢量.针齿销与摆线齿廓之间的接触力可以采用下式计算[１４]:F j ＝K p c (δa i j m a x )１０/９＋c c C p c v n a j(１９)式中,K p c 为摆线针齿销接触刚度;C p c 为摆线针齿销接触阻尼;c c 为阻尼调节系数.受摆线齿廓曲率半径变化影响,针齿销与摆线齿廓接触位置不同,接触刚度大小会有所不同.为简化计算,模型中将摆线针齿销接触刚度设为常数,其值由摆线平均曲率半径基于H e r t z接触公式计算得到.６４１２ 中国机械工程第３４卷第１８期２０２３年９月下半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.此外,阻尼调节系数的主要作用是保证接触分析过程的稳定性,其表达式如下:c c ＝０㊀㊀㊀㊀㊀㊀δai j m a x ＜δ０δa i j m a x －δ０δ１－δ０δ０ɤδai j ma x ɤδ１１δa i j ma x ＞δ１ìîíïïïï(２０)式中,δ０㊁δ１为接触深度临界值,δ１＞δ０.１．４㊀转臂轴承与支承轴承部分接触建模R V 减速器中转臂轴承为滚针轴承,支承轴承为圆锥滚子轴承.由于所采用的非标准圆锥滚子轴承接触角较小,因此建模中仅考虑圆锥滚子轴承的径向支承作用,同时将圆锥滚子轴承的轴向预紧量根据接触角大小转化为径向预紧量.以摆线轮a 中的一组转臂轴承和支承轴承为例,转臂轴承接触建模如图４所示,支承轴承接触建模如图５所示.图４㊀转臂轴承接触建模F i g ．４㊀A r m b e a r i n g c o n t a c tm o d e l i ng图５㊀支承轴承接触建模F i g ．５㊀S u p p o r t i n g b e a r i n g c o n t a c tm o d e l i n g针对转臂轴承接触建模,首先将曲柄轴偏心外圆柱面和摆线轮轴承孔内圆柱面视为轴承滚动体内外滚道.在广义坐标系O X Y 下,轴承内外滚道几何中心P c 和P n 的位置矢量可以表示为r P c c ＝r a c ＋A a c s a c(２１)r P n n ＝r P g g ＋A A g s Ao n (２２)式中,r P gg 为曲柄轴回转中心在广义坐标系下的位置矢量;s ac 为轴承外滚道几何中心在摆线轮a 局部坐标系下的位置矢量;s A o n 为曲柄轴偏心距矢量;A A g 为坐标转换矩阵,用于描述曲柄轴局部坐标系在广义坐标系下的方位.考虑到曲柄轴回转中心在局部坐标系下的位置矢量为s Ag ,式(２２)可以进一步写为r P n n ＝r A g ＋A A g s A g ＋A A gs Ao n (２３)式中,r Ag为曲柄轴局部坐标系原点在广义坐标系下的位置矢量.受间隙与弹性变形的影响,转臂轴承受力后内外滚道几何中心之间的相对偏心矢量可表示为e a c n ＝r P c c －r P n n(２４)式(２４)对时间求导,可得相对偏心速度矢量ea c n ＝rP c c －rP nn (２５)轴承偏心距离可采用下式计算:e ac n ＝(e a c n )T e ac n(２６)假设各滚动体在轴承套圈内均匀分布且同步转动,则滚动体公转角速度可采用下式计算:ωc ＝ωi n R n ＋ωo u tR c R n ＋R c(２７)式中,R n ㊁R c 分别为转臂轴承内外滚道半径;ωi n ㊁ωo u t 分别为轴承内外滚道角速度,由曲柄轴和摆线轮角速度决定.在轴承回转过程中,各个滚动体的转角位置可确定为φ(k )b ＝φ(k )０＋ωct (２８)式中,φ(k )０为各滚动体初始位置角;k 为转臂轴承内滚动体序号.轴承内部各个滚动体在不同位置处的径向偏移可以采用下式计算δa b ＝e a c n x c o s φ(k )b ＋e ac n ys i n φ(k)b (２９)式中,e a c n x ㊁e a c n y 分别为偏心矢量e a c n 在广义坐标系坐标轴方向上的位移分量.各滚动体在其相位方向上的相对偏心速度可以表示为v a b ＝v a c n x c o s φ(k )b ＋v ac n ys i n φ(k)b (３０)式中,v a c n x ㊁v a c n y 分别为相对速度矢量eac n 在广义坐标系坐标轴方向上的速度分量.在不考虑径向游隙条件下,轴承各滚动体与滚道之间的法向接触力可以表示为[１４]F a b ＝K b (δa b )１０/９＋c c C b v a b(３１)式中,K b ㊁C b 分别为滚动体与滚道之间的接触总刚度和阻尼.支承轴承的接触建模过程与上述转臂轴承类似,不同之处在于支承轴承需要考虑预紧作用.如图５所示,在广义坐标系下,支承轴承内外滚道几何中心P g 和P o 的位置矢量可以表示为r P g g ＝r A g ＋A A g s Ag (３２)r P o o ＝r o ＋A o s o(３３)式中,r o 为输出盘与压紧盘组件局部坐标系原点在广义７４１２ 负载条件下R V 减速器动态传动误差分析与试验许立新㊀夏㊀晨㊀杨㊀博Copyright ©博看网. All Rights Reserved.坐标系下的位置矢量;s o为支承轴承外滚道几何中心在输出盘与压紧盘组件局部坐标系下的位置矢量;A o为坐标转换矩阵,用于描述输出盘与压紧盘组件局部坐标系在广义坐标系下的方位.支承轴承内外滚道几何中心之间的相对偏心矢量可表示为e A g o＝r P g g－r P o o(３４)轴承内部各个滚动体在不同位置处的径向偏移可以采用下式计算δ－a b＝e A g o x c o sφ－( k)b＋e A g o y s i nφ－( k)b(３５)式中,e A g o x㊁e A g o y分别为偏心矢量e A g o在广义坐标系坐标轴方向上的位移分量;φ－( k)b为各个滚动体的转角位置,计算方法与式(２８)一致; k为支承轴承内滚动体序号.考虑轴承预紧影响,在式(３１)基础上,支承轴承各滚动体与滚道之间的法向接触力可以表示为F a b＝ K n b(δ－a b＋h)１０/９＋c c C n b v－a b(３６)式中,h为支承轴承因轴向预紧而产生的径向分量; K n b㊁ C n b分别为滚动体与滚道之间的径向接触总刚度和阻尼; v－a b为各滚动体在位置方向上的相对偏心速度,计算方法与式(３０)一致.２㊀关键传动件误差建模根据工程制造经验,曲柄轴㊁摆线轮和针轮的加工制造精度是影响R V减速器传动精度性能的关键,因此,建模中将考虑上述关键传动件主要几何形状与位置度误差影响.２．１㊀曲柄轴形位误差表达方法曲柄轴形位误差将考虑偏心圆半径误差和偏心位置度误差,如图６所示,同一个曲柄轴上的两个偏心圆理想半径为R n,计入加工随机误差后,两个偏心圆半径分别表示为Rᶄ１n和Rᶄ２n:Rᶄ１n(Rᶄ２n)＝R n＋R a n d[l０g㊀l１g](３７)式中,R a n d[l０g㊀l１g]表示在偏心圆半径长度公差区间图６㊀曲柄轴形位误差建模F i g．６㊀C r a n k s h a f t p o s i t i o n e r r o rm o d e l i n g [l０g㊀l１g]内随机取值,且保证上偏差l１g大于等于下偏差l０g取值.理想情况下,曲柄轴两个偏心圆的偏心距相等且相位角相差１８０ʎ,考虑位置度误差后,偏心距大小及相位角可以采用下式确定:sᶄ１o n(sᶄ２o n)＝s o n＋R a n d[l０o n㊀l１o n](３８)θᶄ１g(θᶄ２g)＝π(２π)＋R a n d[φ０g㊀φ１g](３９)式中,R a n d[l０o n㊀l１o n]表示在偏心距长度公差区间[l０o n㊀l１o n]内随机取值,且保证上偏差l１o n大于等于下偏差l０o n取值;R a n d[φ０g㊀φ１g]表示在偏心相位角度公差区间[φ０g㊀φ１g]内随机取值,且保证上偏差φ１g大于等于下偏差φ０g取值.２．２㊀摆线轮轴承孔形位误差表达方法摆线轮形位误差将考虑转臂轴承孔半径误差和轴承孔位置度误差,如图７所示,同一片摆线轮上的两个轴承孔理想半径为R c,计入加工随机误差后,两个轴承孔半径分别表示为Rᶄ１c和Rᶄ２c:Rᶄ１c(Rᶄ２c)＝R c＋R a n d[l０c㊀l１c](４０)式中,R a n d[l０c㊀l１c]表示在轴承孔半径长度公差区间[l０c㊀l１c]内随机取值,且保证上偏差l１c大于等于下偏差l０c取值.图７㊀摆线轮轴承孔形位误差建模F i g．７㊀M o d e l i n g o fb o r e p o s i t i o n e r r o r o f c y c l o i d a lw h e e l b e a r i n g s理想情况下,摆线轮两个轴承孔分布圆半径相等且相位角相差１８０ʎ,考虑位置度误差后,分布圆半径大小及相位角可以采用下式确定:sᶄ１c(sᶄ２c)＝R v＋R a n d[l０v㊀l１v](４１)θᶄ１c(θᶄ２c)＝π(２π)＋R a n d[φ０c㊀φ１c](４２)式中,R v为理想情况下摆线轮轴承孔中心分布圆半径; R a n d[l０v㊀l１v]表示在分布圆半径长度公差区间[l０v㊀l１v]内随机取值,且保证上偏差l０v大于等于下偏差l１v取值; R a n d[φ０c㊀φ１c]表示在轴承孔中心相位角度公差区间[φ０c㊀φ１c]内随机取值,且保证上偏差φ１c大于等于下偏差φ０c取值.摆线齿廓也存在加工误差,这种齿形误差难以精确表达.此外,在工程设计中,也需要摆线齿与针齿销之间形成合理的齿侧间隙,以便于装配８４１２中国机械工程第３４卷第１８期２０２３年９月下半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.与润滑.考虑到这些影响,摆线轮将采用正等距修形方法进行修形,从而对齿形误差与齿侧间隙进行简化模拟.２．３㊀针轮形位误差表达方法针轮形位误差将考虑各个针齿销半径误差和针齿销位置度误差,如图８所示.理想情况下各个针齿销半径相同为r r b ,计入加工随机误差后,各个针齿销实际半径将不同.采用随机函数表达各个针齿销实际半径大小为r ᶄr b j ＝r r b ＋R a n d [l ０r b ㊀l １r b ](４３)式中,R a n d [l ０r b ㊀l １r b ]表示在针齿销半径长度公差区间[l ０r b ㊀l １r b ]内随机取值,且保证上偏差l １r b 大于等于下偏差l ０r b 取值.图８㊀针轮形位误差建模F i g ．８㊀P i n w h e e l s h a p e e r r o rm o d e l i n g理想情况下各个针齿销位于同一个分布圆上,分布圆半径为r b ,计入加工随机误差后,各个针齿销分布径向距离将不同.采用随机函数表达各个针齿销位置误差:r ᶄb j ＝rb ＋R a n d [l ０b ㊀l １b ](４４)θᶄb j ＝θb ＋R a n d [φ０b ㊀φ１b ](４５)式中,r ᶄb j 为针齿销向径;θᶄb j 为针齿销实际相位角;θb 为针齿销理论相位角;R a n d [l ０b ㊀l １b ]表示在分布圆半径长度公差区间[l ０b㊀l １b]内随机取值,且保证上偏差l １b大于等于下偏差l ０b 取值;R a n d [φ０b ㊀φ１b ]表示在针齿销分布相位角度公差区间[φ０b ㊀φ１b ]内随机取值,且保证上偏差φ１b 大于等于下偏差φ０b 取值.３㊀算例分析㊁讨论与验证３．１㊀R V ２０E 模型参数以工业机器人两曲柄轴标准型R V ２０E 减速器(图１)为分析对象,该减速器传动比为１２１,其几何结构设计参数如表１所示,传动构件质量惯性参数如表２所示,关键传动件公差设计参数如表３所示,动力学分析参数如表４所示.此外,设定渐开线齿轮初始齿侧间隙为２μm ,摆线等距修形量为２μm .３．２㊀动态传动误差计算通过动力学计算,可以得到减速器输入端和表１㊀零部件几何结构设计参数T a b ．１㊀C o m p o n e n t g e o m e t r y d e s i gn p a r a m e t e r s 传动件几何结构设计参数数值渐开线齿轮输入齿轮齿数９行星齿轮齿数２７模数１．５摆线针轮曲柄偏心距(mm )０．９针齿销直径(mm )４针齿销分布圆直径(mm )１０４．２５针齿销数目４０摆线齿数目３９摆线短幅系数０．６９摆线等距修形量(μm )２转臂轴承内滚道直径(mm )２０．５外滚道直径(mm )２６．５滚动体直径(mm )３滚动体数目１６支承轴承内滚道等效直径(mm )１４外滚道等效直径(mm )２０．４滚动体等效直径(mm )３．２滚动体数目１３表２㊀传动构件质量惯性参数T a b ．２㊀Q u a l i t y i n e r t i a p a r a m e t e r s o f t r a n s m i s s i o n c o m po n e n t s 传动件质量m (k g )转动惯量J (k g•mm ２)输入齿轮轴０．１２７．２４行星齿轮与曲柄轴组件０．１３１３．８１摆线轮０．２２３７８输出盘与压紧盘组件１．６２２８８表３㊀传动构件公差设计参数T a b ．３㊀T o l e r a n c e d e s i gn p a r a m e t e r s o f t r a n s m i s s i o n c o m po n e n t s 传动件形位公差设计公差取值上偏差下偏差曲柄轴偏心圆半径公差(μm )－１－３偏心距长度公差(μm )３－３偏心相位角公差(ᵡ)６０－６０摆线轮摆线轮轴承孔半径公差(μm )３１摆线轮轴承孔分布圆半径公差(μm )３－３摆线轮轴承孔中心相位角公差(ᵡ)６０－６０针轮针齿销半径公差(μm )－１－３针齿销分布圆半径公差(μm )３１针齿销分布相位角公差(ᵡ)６０－６０表４㊀动力学计算参数T a b ．４㊀K i n e t i c c a l c u l a t i o n p a r a m e t e r s参数设置数值输入齿轮轴转速(r /m i n)２０００齿轮平均啮合刚度(N /m )１．４ˑ１０８齿轮时变啮合刚度幅值(N /m )５ˑ１０７齿轮副接触阻尼给定值(N s /m )５００摆线针齿接触刚度(N /m )３．２ˑ１０８摆线针齿接触阻尼(N s /m )５００转臂轴承滚动体接触刚度(N /m )５．１ˑ１０８支承轴承滚动体径向接触刚度(N /m )１．６ˑ１０８滚动体滚道接触阻尼(N s /m )５００额定负载扭矩(N m )１６７重力加速度(m /s ２)９．８数值计算方法O d e ４５求解积分时间步长(m s)０．０１９４１２ 负载条件下R V 减速器动态传动误差分析与试验许立新㊀夏㊀晨㊀杨㊀博Copyright ©博看网. All Rights Reserved.输出端转角θp 和θo 的变化规律,结合减速器传动比i r e d u c e r ,计算减速器传动误差:ε＝θp/i r e d u c e r －θo (４６)通过修改负载扭矩T l o a d 的取值大小,能够得到不同扭矩负载条件下的减速器动态传动误差变化规律.图９和图１０分别给出了空载条件下减速器动态传动误差时域与频域响应曲线.可以发现,在空载情况下减速器最大传动误差为５７．５ᵡ,误差曲线周期性波动非常明显,在频率比为４０附近,误差幅值贡献量最大.传动误差的频率用f 表示,f o 表示输出法兰盘的旋转频率,频率比f /f o 代表了输出法兰每转一圈的传动误差变化量.图１１和图１２分别给出了在额定负载扭矩(１６７Nm )条件下减速器动态传动误差时域与频域响应曲线,此时,传动误差最大值达到９９．５２ᵡ.显然,考虑额定负载作用后,减速器传动误差显著增大,相比于空载情况,额定情况下的最大传动误差增幅为７３．１％.进一步分析,在空载情况下,减速器传动件之间的接触力可以忽略不计,因此导致传动误差的因素只能是因公差配合和摆线修形引入的传动界面间隙.而在负载情况下,除了受上述因素影响外,零件传力界面之间的弹性变形量将不能忽视.此外,由于渐开线齿轮传动部分位于减速器高速级,它对减速器输出误差影响非常有限,且分析中未考虑齿轮齿形几何误差的影响,因此在频域分析中观察不到齿轮传动对减速器输出误图９㊀空载条件下传动误差时域分析F i g ．９㊀T i m e d o m a i na n a l ys i s o f t r a n s m i s s i o n e r r o r u n d e r n o Ｇl o a d c o n d i t i o ns图１０㊀空载条件下传动误差频域分析F i g ．１０㊀F r e q u e n c y d o m a i na n a l ys i s o f t r a n s m i s s i o n e r r o r u n d e r n o Ｇl o a d c o n d i t i o ns图１１㊀额定负载条件下传动误差时域分析F i g ．１１㊀T i m e d o m a i na n a l ys i s o f t r a n s m i s s i o n e r r o r u n d e r r a t e d l o a d c o n d i t i o ns图１２㊀额定负载条件下传动误差频域分析F i g ．１２㊀F r e q u e n c y d o m a i na n a l ys i s o f t r a n s m i s s i o n e r r o r u n d e r r a t e d l o a d c o n d i t i o n s差的影响.受机器人运动工况影响,R V 减速器经常工作在变负载情况下,为探明负载变化对减速器传动误差幅值的影响,对不同负载作用下的减速器最大传动误差值进行了统计,如图１３所示.在０．２T o (T o 为额定扭矩)条件下,减速器传动误差幅值为７２．０９ᵡ;在０．４T o 条件下,减速器传动误差幅值为８２．５９ᵡ;在０．６T o 条件下,减速器传动误差幅值为８８．９９ᵡ;在０．８T o 条件下,减速器传动误差幅值为９５．４２ᵡ.总体表现出,随着负载扭矩的不断增大,减速器传动误差幅值随之增大,但幅值增长率却在下降.导致这一现象的主要原因在于,随着负载的增大,减速器传动零件接触界面之间的弹性接触变形随之增大,从而引起传动误差的逐渐增大.随着负载扭矩的增大,传动零件之间将逐渐克服配合间隙,传动零件之间的有效接触点逐渐增多,减速器整机扭转刚度逐渐增大,因此图１３㊀不同负载扭矩条件下传动误差幅值变化F i g ．１３㊀C h a n g e o f t r a n s m i s s i o n e r r o r a m pl i t u d e u n d e r d i f f e r e n t l o a d t o r qu e c o n d i t i o n s０５１２ 中国机械工程第３４卷第１８期２０２３年９月下半月Copyright ©博看网. 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