必修五等差数列的性质

§2.2.2 等差数列的性质 学习目标 1. 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2. 能运用等差数列的性质解决有关问题. 知识点一 等差数列的性质 思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？ 答案 利用1＋100＝2＋99＝…. 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和. 即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….

梳理 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.

知识点二 由等差数列衍生的新数列 思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？ 答案 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d. ∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列.

梳理 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.( √ ) 2.等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N*，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.( √ )

3.等差数列{an}中，若m＋n为偶数，且m，n∈N*，则am＋an2＝2mna.( √ )

类型一 等差数列推广通项公式的应用 例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为an＝a2＋(n－2)d， 所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.

反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算. 跟踪训练1 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12， 则a8等于( ) A.0 B.3 C.8 D.11 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B

解析 ∵{bn}为等差数列，设其公差为d，则d＝b10－b310－3＝12－－27＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.

类型二 等差数列与一次函数的关系 例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列 解 取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p. 它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列. 由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.

反思与感悟 根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列⇔an

＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质.

跟踪训练2 若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则使ak·ak＋1<0的k值为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 23

解析 由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－23，又a1＝15，∴{an}是首项为15，公差为－23的等差数列，

∴an＝a1＋(n－1)d＝15＋(n－1)×－23＝－23n＋473. 令an＝0，解得n＝472＝23.5， ∵d＝－23，数列{an}是递减数列，∴a23>0，a24<0，∴k＝23.

类型三 等差数列性质的应用 例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式. 考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题 解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. 方法二 设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45， 即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.

引申探究 1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？ 解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d，∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d， aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as. 2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________. 答案 20 解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7， ∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.

反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想. 跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值. 考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题 解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d， ∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列. ∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27. 方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13，① ∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33. ∴a1＋4d＝11，②

联立①②解得 d＝－2，a1＝19. ∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27. 1. 在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( ) A.3 B.－6 C.4 D.－3 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B

解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝－20－105＝－6. 2. 在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( ) A.32 B.－32 C.35 D.－35 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 C 解析 由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35. 3. 等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )

A.3 B.－3 C.32 D.－32 考点 等差数列的性质 题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 A 解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3. 4. 下列说法中正确的是( ) A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列 答案 C 5. 在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( ) A.an＝34n－234 B.an＝－5－32(n－1) C.an＝－5－34(n－1) D.an＝54n2－3n 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 A

1. 在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列. 2. 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.