必修5等差数列基础(简单)

高中数学必修5等差数列基础简单测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1.2）=-1．下列命题：①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；②若{a n}是等差数列，则{[a n）}也是等差数列；③若{a n}是等比数列，则{[a n）}也是等比数列；④若x∈（1，4），则方程[x）-x=有3个根．正确的是（）A．②④B．③④C．①③D．①④2．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）A．B．C．D．3．设数列{a n}（n∈N*）满足a n+2=2a n+1-a n，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．a n+1-a n＜0B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值4．等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，ca3，…，ca n（c为常数，且c≠0）是（）A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．非等差数列D．以上都不对5．设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4．若定义，给出下列命题：（1）b1，b2，b3，b4是一个等差数列；（2）b1＜b2；（3）b2＞4；（4）b4＞32；（5）b2：b4=256．其中真命题的个数为（）A．2B．3C．4D．56．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（）A．公差为a的等差数列B．公差为-a的等差数列C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列7．已知（z-x）2=4（x-y）（y-z），则（）A．x，y，z成等差数列B．x，y，z成等比数列C．成等差数列D．成等比数列8．已知tanB=，则cotA、cotB、cotC（）A．成等差数列B．成等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列9．已知lg2，，lg（1-y）顺次成等差数列，则（）A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值-1，最大值1C．y有最小值，无最大值D．y有最小值，最大值110．要在如下表所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列．则填入标有※的空格的数是（）A．309B．142C．222D．372二．填空题（共__小题）11．给出下列命题：①数列{a n}为等差数列的充要条件是其前n项和S n=An2+Bn+C中的C=0（A、B、C为常数）；②不等式f（x）＞0的解的端点值是方程f（x）=0的根；③非p或q 为真命题的充要条件是p且非q为假命题；④动点P到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e，若e＞1，则动点P的轨迹为双曲线，其中正确命题的序号有______．12．若在所给条件下，数列{a n}的每一项的值都能唯一确定，则称该数列是“确定的”，在下列各组条件下，有哪些数列是“确定的”？请把对应的序号填在横线上______．（注：S n是{a n}的前n项和，n∈N*）①{a n}是等差数列，S1=2，S2=3；②{a n}是等差数列，S1=1，S5=25；③{a n}是等比数列，S1=1，S4=31；④{a n}是等比数列，S1=2，a3=2；⑤{a n}满足S n=2a n．13．给出下列命题：①若f（x）为增函数，则[f（x）]2也为增函数；②命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的充要条件；③设2a=3，2b=6，2c=12，则a、b、c成等差数列．其中正确命题的序号是______（注：把你认为正确命题的序号都填上）．14．给出下列命题：①是函数．②若f（x）为增函数，则[f（x）]2也为增函数．③命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的充要条件．④设2a=3，2b=6，2c=12，则a、b、c成等差数列．其中正确命题的序号是______（注：把你认为正确命题的序号都填上）．15．设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列四个命题：①若a n+1=a n（n∈N*），则{a n}既是等差数列又是等比数列；②若S n=a n2+b n（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=1-（-1）n，则{a n}是等比数列；④若{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n（n∈N*）也成等差数列；其中正确的命题是______（填上正确的序号）．16．给出数列{a n}的条件如下：①设b n=2a n，{b n}是等差数列；②设b n-1=a n-1+a n（n≥2），{b n}是等差数列；③前n项的和S n=n2+1；④设b n=2a n-1，数列{b n}前n项和为n2．其中使数列{a n}是等差数列的条件的正确序号是______．17．下列命题正确的有______（把所有正确命题的序号填在横线上）：①若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；②若S n是等差数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n成等差数列；③若S n是等比数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．18．数列{a n}中，，若存在实数λ，使得数列为等差数列，则λ=______．19．下面给出的四个命题中：①对任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在直线y=2x+1上是数列a n为等差数列的充分不必要条件；②“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；③设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）与坐标轴有4个交点A（x1，0），B（x2，0），C（0，y1），D（0，y2），则有x1x2-y1y2=0；④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数的图象．其中是真命题的有______（将你认为正确的序号都填上）．20．设数列的前n项的和为S n（n∈N+），则关于{a n}有下列三个命题：①若a n+1=a n，则{a n}即是等差数列，又是等比数列；②若S n=an2+bn（a，b∈R）⇔{a n}是等差数列；③若S n=1-（-1）n，则{a n}是等比数列．则正确的命题是______．三．简答题（共__小题）21．已知数列{a}的前n项和为S n，且S n=n2+3n+2，n∈N×（I）求{a n}的通项公式；（II）2b n=b n-1+a n（n≥2，n∈N×）确定的数列{b n}能否为等差数列？若能，求b1的值；若不能，说明理由．22．数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立．（1）求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是3A-B+C=0；（2）若C=0，{a n}是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对于所有的自然数n，都有，证明{a n}是等差数列．24．函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=（1）求的值．（2）数列{a n}满足：，数列{a n}是等差数列吗？请给予证明．25．已知正项数列{a n}的首项a1=m，其中0＜m＜1，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1=f（a n）（n≥1且n∈N），证明是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n≥1且n∈N），数列{b n}满足b n=，试证明b1+b2+…+b n＜．26．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（1）设（n∈N*），证明：数列{b n}是等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求的值；（3）设c n=2b n-1，数列{c n}的前n项和为T n，，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d1+d2+d3+…+d n≥log8（2m+t）成立？请说明理由．27．设点A n（x n，0），P n（x n，2n-1）和抛物线C n：y=x2+a n x+b n（n∈N*），其中a n=-2-4n-，x n由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点P n+1（x n+1，2n）在抛物线C n：y=x2+a n x+b n上，点A n（x n，0）到P n+1的距离是A n到C n上点的最短距离．（Ⅰ）求x2及C1的方程．（Ⅱ）证明{x n}是等差数列．高中数学必修5等差数列基础简单测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1.2）=-1．下列命题：①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；②若{a n}是等差数列，则{[a n）}也是等差数列；③若{a n}是等比数列，则{[a n）}也是等比数列；④若x∈（1，4），则方程[x）-x=有3个根．正确的是（）A．②④B．③④C．①③D．①④答案：D解析：解：当x为整数时，f（x）=[x）-x=（x+1）-x=1，当x不为整数时，f（x）=[x）-x∈（0，1），故f（x）=[x）-x，值域是（0，1]，故①为真命题；0.4，0.8，1.2是一个等差数列，但[0.4），[0.8），[1.2）即1，1，2不是等差数列，故②为假命题；1，，是等比数列，但[1），[），[）即2，1，1不是等比数列，故③为假命题；当x∈（1，4）时，当且仅当x∈{1.5，2.5，3.5}时，方程[x）-x=成立，故④x∈（1，4）方程[x）-x=有3个根为真命题，故答案为：①④．2．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有{（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）}、{（1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）}、{（1，3，5），（2，4，6），（7，8，9）}、{（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）}、{（1，5，9），（2，3，4），（6，7，8）}，共5组．∴所求概率为．故选A3．设数列{a n}（n∈N*）满足a n+2=2a n+1-a n，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．a n+1-a n＜0B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案：C解析：解：因为a n+2=2a n+1-a n所以数列是等差数列，由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2+…+a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a n+1-a n=a7-a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．4．等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，ca3，…，ca n（c为常数，且c≠0）是（）A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．非等差数列D．以上都不对答案：B解析：解：由等差数列的定义可得a n-a n-1=d∴ca n-ca n-1=c（a n-a n-1）=cd故选B．5．设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4．若定义，给出下列命题：（1）b1，b2，b3，b4是一个等差数列；（2）b1＜b2；（3）b2＞4；（4）b4＞32；（5）b2：b4=256．其中真命题的个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：A解析：解：∵a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4．故数列{a n}是一个递增数列，又∵，故数列{b n}是一个公比大于1的等比数列，故（1）b1，b2，b3，b4是一个等差数列，错误；（2）b1＜b2，正确；又＜a2＜，∴＞22=4，故（3）正确；又＜a4＜，∴＞，故b4＞32=25，不一定成立，故（4）错误；而b2：b4＜1，故b2：b4=256错误故真命题的个数为两个，故选A6．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（）A．公差为a的等差数列B．公差为-a的等差数列C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列答案：A解析：解：∵，∴a n=S（n）-s（n-1）==∴a n-a n-1==a∴数列{a n}是以a为公差的等差数列故选A7．已知（z-x）2=4（x-y）（y-z），则（）A．x，y，z成等差数列B．x，y，z成等比数列C．成等差数列D．成等比数列答案：A解析：解：∵（z-x）2=4（x-y）（y-z），∴[（x-y）+（y-z）]2=4（x-y）（y-z），化为[（x-y）-（y-z）]2=0，∴x-y=y-z，∴2y=x+z，∴x，y，z成等差数列．故选A．8．已知tanB=，则cotA、cotB、cotC（）A．成等差数列B．成等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列答案：A解析：解：tanB==∵sinAsinC≠0，否则tanB=0，cotB不存在．分子分母同除以sinAsinC，tanB=，再取倒数cotA+cotC=2cotB，∴cotA、cotB、cotC 成等差数列．故选A．9．已知lg2，，lg（1-y）顺次成等差数列，则（）A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值-1，最大值1C．y有最小值，无最大值D．y有最小值，最大值1答案：C解析：解：∵lg2，，lg（1-y）顺次成等差数列，∴，∴．∴．∵，∴．故选：C．10．要在如下表所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列．则填入标有※的空格的数是（）A．309B．142C．222D．372答案：B解析：解：由题意，第三行第三列的数为206-2x，所以2（206-2x）=2y+186，所以2x+y=113，①又第四行第二列的数为74+，∴y+103=2（74+），∴4x-3y=161②由①②解得：x=50，y=13．∴设第一列等差数列的首项为a1，公差为d，则d=0-y=-13，∴0=a1+4d，∴a1=52，即第一行第一列的数为52；在第三列中，其公差d′=2x-103=100-103=-3，∴第三列的首项为b1=b5-4d′=100-4×（-3）=112；∵第一行中的数成等差数列，第一项a1=52，第三项为112，∴第四项※=52+3×=142．故选B．二．填空题（共__小题）11．给出下列命题：①数列{a n}为等差数列的充要条件是其前n项和S n=An2+Bn+C中的C=0（A、B、C为常数）；②不等式f（x）＞0的解的端点值是方程f（x）=0的根；③非p或q 为真命题的充要条件是p且非q为假命题；④动点P到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e，若e＞1，则动点P的轨迹为双曲线，其中正确命题的序号有______．答案：①③解析：解：①数列{a n}为等差数列⇔=⇔S n=An2+Bn+C，其中C=0，所以正确．对于②如，端点x=1是对应方程的增根，错误．③非p或q为真命题说明至少一个真命题⇔p且非q为假命题，正确．④要注意定点不能在定直线上才满足双曲线的定义．所以正确的命题有①③．故答案为：①③12．若在所给条件下，数列{a n}的每一项的值都能唯一确定，则称该数列是“确定的”，在下列各组条件下，有哪些数列是“确定的”？请把对应的序号填在横线上______．（注：S n是{a n}的前n项和，n∈N*）①{a n}是等差数列，S1=2，S2=3；②{a n}是等差数列，S1=1，S5=25；③{a n}是等比数列，S1=1，S4=31；④{a n}是等比数列，S1=2，a3=2；⑤{a n}满足S n=2a n．答案：①②③⑤解析：解：∵①{a n}是等差数列，设其公差为d，又∵S1=2，S2=3∴a2=3-2=1∴d=1-2=-1∴a n=2-（n-1）=3-n 每一项都是确定的，∴①对∵②{a n}是等差数列，S1=1，S5=25∴S5===25∴a5=9∴4d=9-1=8∴d=2∴a n=1+2（n-1）=2n-1∴②对∵③{a n}是等比数列，S1=1，S4=31 设其公比为q（q≠1），∴S4===31∴q3+q2+q=30令y=q3+q2+q，则y′=3q2+2q+1，∵其△=4-12=-8＜0∴y′＞0恒成立∴函数y=q3+q2+q为单调增函数，∴方程q3+q2+q=30有唯一的解，即{a n}的每一项都是确定的．∴③对．④{a n}是等比数列，S1=2，a3=a1•q2=2∴q2=1∴q=±1∴{a n}的各项是不确定的∴④不对．⑤{a n}满足S n=2a n∴a1=2a1∴a1=0当n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1∴a n=2a n-1，∴a n=0．∴⑤对故答案为：①②③⑤13．给出下列命题：①若f（x）为增函数，则[f（x）]2也为增函数；②命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的充要条件；③设2a=3，2b=6，2c=12，则a、b、c成等差数列．其中正确命题的序号是______（注：把你认为正确命题的序号都填上）．答案：③解析：解：对于①例如f（x）=x则[f（x）]2=x2，虽然f（x）是增函数但[f（x）]2不是增函数对于②中的命题甲⇔⇔0≤a＜1故命题甲是命题乙成立的必要不充分条件对于③∵（2b）2=2a•2c，∴2b=a+c，∴a、b、c成等差数列故③正确故答案为：③14．给出下列命题：①是函数．②若f（x）为增函数，则[f（x）]2也为增函数．③命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的充要条件．④设2a=3，2b=6，2c=12，则a、b、c成等差数列．其中正确命题的序号是______（注：把你认为正确命题的序号都填上）．答案：④解析：解：对于①，因为x-3≥0且2-x≥0，得到x不存在，故为假命题；对于②，设y=f（x）=x，则[f（x）]2=x2有增有减，故为假命题；对于③，当a=0时，ax2+2ax+1＞0的解集也是R，故为假命题；对于④，因为36=3×12⇒（2b）2=2a•2c⇒2b=a+c⇒a、b、c成等差数列，故为真命题；所以，只有④为真命题．故答案为：④．15．设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列四个命题：①若a n+1=a n（n∈N*），则{a n}既是等差数列又是等比数列；②若S n=a n2+b n（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=1-（-1）n，则{a n}是等比数列；④若{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n（n∈N*）也成等差数列；其中正确的命题是______（填上正确的序号）．答案：③④解析：解：对于①，当a n+1=a n≠0时，{a n}既是等差数列又是等比数列，否则不成立，∴①错误；对于②，如a n=n2，b n=1时，S n=a n2+b n=n4+1，{a n}不是等差数列，∴②错误；对于③，当S n=1-（-1）n时，S n+1=1-（-1）n+1，∴a n+1=S n+1-S n=2•（-1）n，a n=2•（-1）n-1，∴=-1为常数，∴{a n}是等比数列，③正确；对于④，当{a n}是等差数列时，S n=na1+n（n-1）d，S2n-S n=na n+1+n（n-1）d，S3n-S2n=na2n+1+n（n-1）d，∴（S3n-S2n）-（S2n-S n）=n（a2n+1-a n+1）=n2d，（S2n-S n）-S n=n（a n+1-a1）=n2d，∴（S3n-S2n）-（S2n-S n）=（S2n-S n）-S n，即S n，S2n-S n，S3n-S2n成等差数，∴④正确；综上，正确的命题是③④．故答案为：③④．16．给出数列{a n}的条件如下：①设b n=2a n，{b n}是等差数列；②设b n-1=a n-1+a n（n≥2），{b n}是等差数列；③前n项的和S n=n2+1；④设b n=2a n-1，数列{b n}前n项和为n2．其中使数列{a n}是等差数列的条件的正确序号是______．答案：①，④解析：解：对于①{b n}是等差数列，∴b n-b n-1=2a n-2a n-1=d（常数）∴a n-a n-1=，故数列{a n}为等差数列，①正确．∵b n-1=a n-1+a n，∴b n=a n+a n+1，两式相减得a n+1-a n-1=d，数列{a n}不一定是等差数列②不正确③中S n=n2+1，∴当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n-1，但a1=12+1=2不符合a n=2n-1∴a n=∴数列{a n}不是等差数列④2a n-1=n2-（n-1）2=2n-1，n≥2，a n=n，当n=1时a1=1符合∴a n=n，∴数列{a n}为等差数列故答案为：①④17．下列命题正确的有______（把所有正确命题的序号填在横线上）：①若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；②若S n是等差数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n成等差数列；③若S n是等比数列{a n}的前n项的和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项的和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．答案：②④解析：解：①取数列{a n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a m+a n=a s+a t，故错；②设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n-S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n-S n+n2d，∴2（S2n-S n）=S n+（S3n-S2n），∴S n，S2n-S n，S3n-S2n是等差数列．此选项正确；③设a n=（-1）n，则S2=0，S4-S2=0，S6-S4=0，∴此数列不是等比数列，此选项错；④因为a n=S n-S n-1=（Aq n+B）-（Aq n-1+B）=Aq n-Aq n-1=（Aq-1）×q n-1，所以此数列为首项是Aq-1，公比为q的等比数列，则S n=，所以B=，A=-，∴A+B=0，故正确；故答案为②④．18．数列{a n}中，，若存在实数λ，使得数列为等差数列，则λ=______．答案：-1解析：解：n≥2时，-=∵∴-=1-∵数列为等差数列，∴1-为常数，∴λ=-119．下面给出的四个命题中：①对任意的n∈N*，点P n（n，a n）都在直线y=2x+1上是数列a n为等差数列的充分不必要条件；②“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；③设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）与坐标轴有4个交点A（x1，0），B（x2，0），C（0，y1），D（0，y2），则有x1x2-y1y2=0；④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数的图象．其中是真命题的有______（将你认为正确的序号都填上）．答案：①③④解析：解：对于①，∵点P n（n，a n）都在直线y=2x+1上∴数列a n为等差数列但反之不成立．故①对对于②，∵直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的充要条件是（m+2）（m-2）+m（m+2）=0即m=-2或m=1所以②“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”充分不必要条件；故②不正确对于③，令y=0得x2+Dx+F=0∴x1x2=-F同理y1y2=-F所以x1x2-y1y2=0，故③正确对于④，将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到函数，故④正确故答案为①③④20．设数列的前n项的和为S n（n∈N+），则关于{a n}有下列三个命题：①若a n+1=a n，则{a n}即是等差数列，又是等比数列；②若S n=an2+bn（a，b∈R）⇔{a n}是等差数列；③若S n=1-（-1）n，则{a n}是等比数列．则正确的命题是______．解析：解：对于①、如：数列0、0、0、…，是等差数列但不是等比数列，则①不正确；对于②、由S n=an2+bn，（a，b∈R），当n=1时，a1=S1=a+b，当n≥2时，a n=S n-S n-1=an2+bn-[a（n-1）2+b（n-1）]=2an-a+b．当n=1时a1适合上式．∴a n=2an-a+b．满足a n+1-a n=2a为常数，则{a n}是等差数列，当{a n}是等差数列时，S n==，即为S n=an2+bn（a，b∈R）形式，成立，则②正确；对于③、若S n=1-（-1）n，当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=1-（-1）n-[1-（-1）n-1]=（-1）n+1+（-1）n-1，当n为奇数时，a n=2．当n为偶数时，a n=-2．所以{a n}是等比数列，则③正确；故答案为：②③．三．简答题（共__小题）21．已知数列{a}的前n项和为S n，且S n=n2+3n+2，n∈N×（I）求{a n}的通项公式；（II）2b n=b n-1+a n（n≥2，n∈N×）确定的数列{b n}能否为等差数列？若能，求b1的值；若不能，说明理由．答案：解：（I）n=1时，a1=S1=6，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n+2所以{a n}的通项公式为（II）由（I）知当n≥2时，2b n=b n-1+2n+2，整理得：利用累乘法得：若b1=2，则b n=2n，{b n}为等差数列；若b1≠2，则，此时{b n}不是等差数列所以当b1=2时，数列{b n}为等差数列．解析：解：（I）n=1时，a1=S1=6，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n+2所以{a n}的通项公式为（II）由（I）知当n≥2时，2b n=b n-1+2n+2，整理得：利用累乘法得：若b1=2，则b n=2n，{b n}为等差数列；若b1≠2，则，此时{b n}不是等差数列所以当b1=2时，数列{b n}为等差数列．22．数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立．（1）求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是3A-B+C=0；（2）若C=0，{a n}是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值．答案：解：（1）①数列{a n}为等差数列，∴a n+S n===An2+Bn+C，∴，，C=a1-d，∴3A-B+C=-+（a1-d）=0，因此3A-B+C=0成立；②当B=3A+C时，则．当n=1时，2a1=4A+2C，得到a1=2A+C；当n=2时，a2+S2=4A+2（3A+C）+C，化为2a2+a1=10A+3C，∴a2=4A+C；当n=3时，a3+S3=9A+3（3A+C）+C，化为2a3+a2+a1=18A+4C，∴a3=6A+C；…猜想：数列{a n}是以2A+C为首项，2A为公差的等差数列，则a n=2nA+C．下面用数学归纳法证明：（i）当n=1时，易知成立．（ii）假设n=k 时成立，即a k=2kA+C．则n=k+1时，由a k+1+S k+1=A（k+1）2+（3A+C）（k+1）+C，而a k+S k=Ak2+（3A+C）k+C，两式相减得2a k+1-a k=（2k+4）A+C，把a k=2kA+C代入得a k+1=2（k+1）A+C，即当n=k+1时，a k+1=2（k+1）A+C成立．综上可知：对于∀n∈N*，a n=2nA+C都成立，即数列{a n}是等差数列．由以上①②可知：数列{a n}为等差数列的充要条件是3A-B+C=0；（2）∵{a n}是首项为1的等差数列，由（1）知：B=3A，∴1+1=A+B=4A，∴，B=，∴d=2A=1，公差d=1，∴a n=n．∴====1+，∴==2012+1-=2013＜2013．∴不超过P的最大整数的值为2012．解析：解：（1）①数列{a n}为等差数列，∴a n+S n===An2+Bn+C，∴，，C=a1-d，∴3A-B+C=-+（a1-d）=0，因此3A-B+C=0成立；②当B=3A+C时，则．当n=1时，2a1=4A+2C，得到a1=2A+C；当n=2时，a2+S2=4A+2（3A+C）+C，化为2a2+a1=10A+3C，∴a2=4A+C；当n=3时，a3+S3=9A+3（3A+C）+C，化为2a3+a2+a1=18A+4C，∴a3=6A+C；…猜想：数列{a n}是以2A+C为首项，2A为公差的等差数列，则a n=2nA+C．下面用数学归纳法证明：（i）当n=1时，易知成立．（ii）假设n=k 时成立，即a k=2kA+C．则n=k+1时，由a k+1+S k+1=A（k+1）2+（3A+C）（k+1）+C，而a k+S k=Ak2+（3A+C）k+C，两式相减得2a k+1-a k=（2k+4）A+C，把a k=2kA+C代入得a k+1=2（k+1）A+C，即当n=k+1时，a k+1=2（k+1）A+C成立．综上可知：对于∀n∈N*，a n=2nA+C都成立，即数列{a n}是等差数列．由以上①②可知：数列{a n}为等差数列的充要条件是3A-B+C=0；（2）∵{a n}是首项为1的等差数列，由（1）知：B=3A，∴1+1=A+B=4A，∴，B=，∴d=2A=1，公差d=1，∴a n=n．∴====1+，∴==2012+1-=2013＜2013．∴不超过P的最大整数的值为2012．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对于所有的自然数n，都有，证明{a n}是等差数列．答案：证明：法一：令d=a2-a1．下面用数学归纳法证明a n=a1+（n-1）d（n∈N）．（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1．当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立．（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a k=a1+（k-1）d．由题设，有S k=，S k+1=，又S k+1=S k+a k+1∴（k+1）把a k=a1+（k-1）d代入上式，得（k+1）（a1+a k+1）=2ka1+k（k-1）d+2a k+1．整理得（k-1）a k+1=（k-1）a1+k（k-1）d．∵k≥2，∴a k+1=a1+kd．即当n=k+1时等式成立．由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a n}是等差数列法二：当n≥2时，由题设，，．所以a n=S n-S n-1=-同理有a n+1=-．从而a n+1-a n=-n（a1+a n）+，整理得a n+1-a n=a n-a n-1═a2-a1从而{a n}是等差数列．解析：证明：法一：令d=a2-a1．下面用数学归纳法证明a n=a1+（n-1）d（n∈N）．（1）当n=1时上述等式为恒等式a1=a1．当n=2时，a1+（2-1）d=a1+（a2-a1）=a2，等式成立．（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a k=a1+（k-1）d．由题设，有S k=，S k+1=，又S k+1=S k+a k+1∴（k+1）把a k=a1+（k-1）d代入上式，得（k+1）（a1+a k+1）=2ka1+k（k-1）d+2a k+1．整理得（k-1）a k+1=（k-1）a1+k（k-1）d．∵k≥2，∴a k+1=a1+kd．即当n=k+1时等式成立．由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a n}是等差数列法二：当n≥2时，由题设，，．所以a n=S n-S n-1=-同理有a n+1=-．从而a n+1-a n=-n（a1+a n）+，整理得a n+1-a n=a n-a n-1═a2-a1从而{a n}是等差数列．24．函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=（1）求的值．（2）数列{a n}满足：，数列{a n}是等差数列吗？请给予证明．答案：解：（1）由f（x）+f（1-x）=，令，得，∴（2）数列{a n}是等差数列．事实上，令x=，得，即，又，两式相加得：=，∴，则．故数列{a n}是等差数列．解析：解：（1）由f（x）+f（1-x）=，令，得，∴（2）数列{a n}是等差数列．事实上，令x=，得，即，又，两式相加得：=，∴，则．故数列{a n}是等差数列．25．已知正项数列{a n}的首项a1=m，其中0＜m＜1，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1=f（a n）（n≥1且n∈N），证明是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n≥1且n∈N），数列{b n}满足b n=，试证明b1+b2+…+b n＜．答案：解：（1）∵f（x）=∴∴∴是公差为2的等差数列又∴∴（2）由（1）知0＜a n+1≤∴∴，…，，则而a1=m，则∵0＜m＜1，∴∴，i=1，2，3，…，n∴，i=1，2，3，…，n ∴（）=；∴b1+b2+…+b n＜．解析：解：（1）∵f（x）=∴∴∴是公差为2的等差数列又∴∴（2）由（1）知0＜a n+1≤∴∴，…，，则而a1=m，则∵0＜m＜1，∴∴，i=1，2，3，…，n∴，i=1，2，3，…，n∴（）=；∴b1+b2+…+b n＜．26．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（1）设（n∈N*），证明：数列{b n}是等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求的值；（3）设c n=2b n-1，数列{c n}的前n项和为T n，，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d1+d2+d3+…+d n≥log8（2m+t）成立？请说明理由．答案：解：（1）a n+1=2a n+2n，，（2分）b n+1=b n+1，故{b n}为等差数列，b1=1，b n=n．（4分）（2）由（1）可得a n=n2n-1（6分）S n=1•20+2•21+3•22+n•2n-12S n=1•21+2•22+3•23+（n-1）•2n-1+n•2n两式相减，得-S n=20+21+22+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n，即S n=（n-1）2n+1（8分）∴（10分）（3）由（1）可得T n=n2，（12分）∴，∴{d1+d2+d3++d n}单调递增，即，（14分）要使d1+d2+d3++d n≥log8（2m+t）对任意正整数n成立，必须且只需，即0＜2m+t≤2对任意m∈[1，2]恒成立．（16分）∴[2+t，4+t]⊆（0，2]，即矛盾．∴满足条件的实数t不存在．解析：解：（1）a n+1=2a n+2n，，（2分）b n+1=b n+1，故{b n}为等差数列，b1=1，b n=n．（4分）（2）由（1）可得a n=n2n-1（6分）S n=1•20+2•21+3•22+n•2n-12S n=1•21+2•22+3•23+（n-1）•2n-1+n•2n两式相减，得-S n=20+21+22+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n，即S n=（n-1）2n+1（8分）∴（10分）（3）由（1）可得T n=n2，（12分）∴，∴{d1+d2+d3++d n}单调递增，即，（14分）要使d1+d2+d3++d n≥log8（2m+t）对任意正整数n成立，必须且只需，即0＜2m+t≤2对任意m∈[1，2]恒成立．（16分）∴[2+t，4+t]⊆（0，2]，即矛盾．∴满足条件的实数t不存在．27．设点A n（x n，0），P n（x n，2n-1）和抛物线C n：y=x2+a n x+b n（n∈N*），其中a n=-2-4n-，x n由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点P n+1（x n+1，2n）在抛物线C n：y=x2+a n x+b n上，点A n（x n，0）到P n+1的距离是A n到C n上点的最短距离．（Ⅰ）求x2及C1的方程．（Ⅱ）证明{x n}是等差数列．答案：解：（Ⅰ）由题意得A1（1，0），C1：y=x2-7x+b1，设点P（x，y）是C1上任意一点，则|A1P|==令f（x）=（x-1）2+（x2-7x+b1）2则f‘（x）=2（x-1）+2（x2-7x+b1）（2x-7）由题意得f'（x2）=0，即2（x2-1）+2（x22-7x+b1）（2x2-7）=0又P2（x2，2）在C1上，∴2=x22-7x2+b1解得x2=3，b1=14故C1的方程为y=x2-7x+14（Ⅱ）设点P（x，y）是C n上任意一点，则|A n P|==令g（x）=（x-x n）2+（x2+a n x+b n）2则g'（x）=2（x-x n）+2（x2+a n x+b n）（2x+a n）由题意得g'（x n+1）=0即2（x n+1-x n）+2（x n+12+a n x+b n）（2x n+1+a n）=0又∵2n=x n+1，∴（x n+1-x n）+2n（2x n+1+a n）=0（n≥1），下面用数学归纳法证明x n=2n-1，①当n=1时，x1=1，等式成立；②假设当n=k时，等式成立，即x k=2k-1，则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）x k+1-x k+2k a k=0，又a k=2-4k-，∴x k+1==2k+1，即n=k+1时，等式成立．由①②知，等式对n∈N*成立，故{x n}是等差数列．解析：解：（Ⅰ）由题意得A1（1，0），C1：y=x2-7x+b1，设点P（x，y）是C1上任意一点，则|A1P|==令f（x）=（x-1）2+（x2-7x+b1）2则f‘（x）=2（x-1）+2（x2-7x+b1）（2x-7）由题意得f'（x2）=0，即2（x2-1）+2（x22-7x+b1）（2x2-7）=0又P2（x2，2）在C1上，∴2=x22-7x2+b1解得x2=3，b1=14故C1的方程为y=x2-7x+14（Ⅱ）设点P（x，y）是C n上任意一点，则|A n P|==令g（x）=（x-x n）2+（x2+a n x+b n）2则g'（x）=2（x-x n）+2（x2+a n x+b n）（2x+a n）由题意得g'（x n+1）=0即2（x n+1-x n）+2（x n+12+a n x+b n）（2x n+1+a n）=0又∵2n=x n+1，∴（x n+1-x n）+2n（2x n+1+a n）=0（n≥1），下面用数学归纳法证明x n=2n-1，①当n=1时，x1=1，等式成立；②假设当n=k时，等式成立，即x k=2k-1，则当n=k+1时，由（*）知（1+2k+1）x k+1-x k+2k a k=0，又a k=2-4k-，∴x k+1==2k+1，即n=k+1时，等式成立．由①②知，等式对n∈N*成立，故{x n}是等差数列．。